taller de matemática - Instituto Universitario de Tecnologia Venezuela

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA VENEZUELA
CURSO PROPEDÉUTICO
TALLER DE MATEMÁTICA
CARACAS, MARZO DE 2013
CONTENIDO
ESTUDIO DEL SISTEMA DECIMAL
Base del sistema decimal
Nomenclatura
Ordenes
Subordenes
Valor absoluto
Valor relativo
El campo real
Leyes formales de las operaciones fundamentales con números reales
Igualdad
Suma o adición
Multiplicación
Axiomas de orden
Ejercicios y problemas propuestos
SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE ENTEROS, FRACCIONALES Y DECIMALES DE
OPERACIONES ARITMÉTICAS
Sumas aritméticas
Suma de conjuntos
Suma de números naturales
Leyes de la suma
Ley de Uniformidad
Ley conmutativa
Ley asociativa
Ley disociativa
Ley de monotonía
Ejercicios y problemas
Restas aritméticas
Leyes de la resta
Ley de uniformidad
Ley de monotonía
Alteraciones del minuendo
Ejercicios y problemas
Multiplicaciones aritméticas
Relación entre el producto y el multiplicando
Multiplicación por la unidad seguida de ceros
Multiplicación de dos números terminados en ceros
Leyes de la multiplicación
Ley de uniformidad
Ley conmutativa
Ley asociativa
Ley disociativa
Ley de monotonía
Ley distributiva
Regla general para multiplicar sumas algebraicas
Ejercicios y problemas
Divisiones aritméticas
División por la unidad seguida de ceros
Leyes de la división
Ley de uniformidad
Ley de monotonía
Ley distributiva
Ejercicios y problemas
POTENCIACIÓN
Regla
Potencia de un producto
Potencia de una fracción
Potencia de potencia
Producto de potencia de igual base
División de potencia de igual base
Ejercicios y problemas
RADICACIÓN
Raíz de un producto indicado
Raíz de un número fraccionario
Raíz de una potencia
Raíz de una raíz
Simplificación de radicales
Suma y resta de radicales
Multiplicación de radicales
División de radicales
Potencias de radicales
Raices de radicales
Ejecicios y problemas
SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE ENTEROS, FRACCIONALES Y DECIMALES DE
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La suma algebraica
Suma de monomios
Suma de polinomios
Ejercicios y problemas
La resta algebraica
Resta de monomios
Resta de polinomios
Ejercicios y problemas
La multiplicación algebraica
Multiplicación de monomios
Procedimiento para multiplicar un polinomio por un monomio
Procedimiento para multiplicar dos polinomios
Eliminación de signos de agrupación con productos indicados
Ejercicios y problemas
La división algebraica
División de monomios
División de polinomio entre monomio
Procedimiento para la división dos polinomio
Ejercicios y problemas
INDICADORES BÁSICOS – RAZONES, PROPORCIONES, PORCENTAJES Y TASAS
Razón
Proporción
Porcentaje
Tasa
SUMATORIAS
ELIMINACIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Regla general para introducir cantidades en signos de agrupación
Ejercicios y problemas
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
Concepto de ecuación
Miembro
Términos
Clase de ecuaciones
Grado
Raices o soluciones
Transposición de términos
Procedimiento para la resolución de ecuaciones de primer grado
Ejercicios y problemas
PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES
Cuadrado de la suma de dos cantidades
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades
Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x – b)
Cubo de la suma de dos cantidades
Cubo de la diferencia de dos cantidades
Ejercicios y problemas
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
Factores
Factorización de un monomio
Factorización de un polinomio cuando todos los términos tienen un factor comun y este es
un monomio.
Factor comun por agrupación de término
Ejercicios y problemas
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es un radical de
segundo grado
Racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es un radical de
tercer grado
Racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es un binomio que
contiene radicales de indice dos
Ejercicios y problemas
NÚMERO FACTORIAL – TEORIA COMBINATORIA
Número factorial
Teoría combinatoria
Permutaciones
Ejercicios y problemas
Variaciones
Ejercicios y problemas
Combinaciones
Ejercicios y problemas
DESIGUALDADES – INECUACIONES
Desigualdad
Miembros
Términos
Propiedades de las desigualdades
Inecuaciones
Ejercicios y problemas
TEORIA DE CONJUNTOS
Conjuntos iguales
Conjuntos finitos e infinitos
Subconjuntos
Conjunto universal
Conjunto vacio
Operaciones entre conjuntos
Unión de conjuntos
Intersección de conjuntos
Complemento relativo
Complemento absoluto
Leyes del algebra de conjuntos
Ejercicios y problemas
FUNCIONES
Definición de funciones
Aplicaciones, operadores, transformadores
Dominio de imágenes de una función
Función inyectivas
Funciones sobreyectivas
Función identica
Función constante
COORDENADAS RECTANGULARES
SIGNOS DE LA FUNCIONES TRIGINOMÉTRICAS
RESUMEN DE LOS VALORES DE LA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
LA LINEA RECTA
Recta - Punto - pendiente
Recta - Pendiente – ordenada en el origen
Recta – cartesiana
Recta - reducida o abscisa y ordenada en el origen
Recta – general
Recta - Normal
Reducción de la forma general a normal
Distancia de un punto a una recta
Ejercicios y problemas
ESTUDIO DEL SISTEMA DECIMAL
El sistema decimal o decuplo es el que tiene por base 10. Es el que más empleamos comúnmente
todos los seres humanos.
Base del sistema decimal
La base del sistema decimal es 10, lo que significa que diez unidades de un orden cualquiera
constituyen una unidad del orden inmediato superior y viceversa, una unidad de un orden
cualquiera está formada por diez unidades del orden inmediato inferior
Nomenclatura
La numeración decimal consta de órdenes y subórdenes, a continuación veremos cómo se forman
cada una de ellas.
Ordenes
Si al número 1, que es la unidad de primer orden, añadimos sucesivamente, y una a una,
unidades, formaremos los números 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, hasta llegar a diez unidades, que ya
forman unas decena o unidad del orden superior inmediato.
Decena es la unidad de segundo orden y es la reunión de diez unidades. A una decena añadimos
los nombres de los nueve primeros números obtendremos el 11, 12, 13, etc. hasta llegar a 20 o
dos decenas si repetimos este procedimiento llegaremos hasta 30 o tres decenas, 40 o 4 decenas
hasta llegar a 100 o diez decenas, que ya forman una unidad del orden superior inmediato
Centena es la unidad de tercer orden y es la reunión de diez decenas o 100 unidades.
Si a la centena añadimos los nombres de los noventa y nueve primeros números, iremos formando
los números 101, 102, 103, etc., hasta llegar a 200 o dos centenas si repetimos este
procedimiento llegarnos hasta 300 o tres centenas, 400 o 4 centenas, etc. hasta llegar a 1000 o
diez centenas, que ya forman una unidad del orden superior inmediato.
Millar es la unidad de cuarto orden y es la reunión de diez centenas o mil unidades. Si al millar
añadimos los nombres de los novecientos noventa y nueve primeros números, iremos obteniendo
los números sucesivos hasta llegar a 2.000, o dos millares, 3.000 o tres millares, etc. hasta llegar a
diez mil o diez millares, que ya forman una unidad del orden superior inmediato.
Decena de millar es la unidad de quinto orden y es la reunión de diez millares o diez mil unidades.
Añadiendo a una decena de millar los nombre de los nueve mil novecientos noventa y nueve
primeros números, formaremos el 20.000 o dos decenas de millar, 30.000 o tres decenas de millar,
etc. hasta llegar a 10 diez decenas de millar o 100.000, y que constituyen una unidad del orden
superior inmediato.
Centena de millar es la unidad de sexto orden y es la reunión de diez decenas de millar. De modo
similar llegaremos al millón o unidad de séptimo orden que consta de diez centenas de millar o
mil millares; decena de millón o unidad de octavo orden, que constas de 10.000.000; centena de
millón o unidad de noveno orden; unidad de millar de millón o unidad de decimo orden; decena
de millar de millón o unidad de undécimo orden; centena de millar de millón unidad de
duodécimo orden; billón o unidad de decimo tercer orden y que es la reunión de de un millón de
millones; trillón o unidad de decimo noveno orden que es la reunión de un millón de billones; etc.
Subordenes
Así como la decena consta de diez unidades, la centena de diez decenas, etc., del mismo modo
podemos suponer que la unidad simple o de primer orden está dividida en diez partes iguales que
reciben el nombre de decimas y que constituyen el primer suborden; cada decima se divide en
otras diez partes iguales llamadas centésimas y que forman el segundo orden; cada centésima se
divide en otras diez partes iguales llamadas milésimas que forman el tercer suborden; y asi
sucesivamente se van formando las diezmilésimas o de cuarto orden; las cienmilésimas o quinto
orden; etc.
ordenes
millonésimas
cienmilésimas
diezmilésimas
milésimas
décimas
unidad
decenas
centenas
centésimas
subordenes
simples
unidad
decenas
millares
centenas
unidad
decenas
millones
centenas
unidad
decenas
millar de
millones
centenas
unidad
decenas
centenas
billones
unidad
decenas
centenas
millar de
billones
Valor absoluto
Valor absoluto es el que tiene el número por su figura sin importar el lugar que ocupa en el
arreglo; por ejemplo en el número 6.866 el valor absoluto de 6, 8, 6, 6, son 6, 8, 6, 6.
Valor relativo
Valor relativo es el que tiene el número de acuerdo al lugar que ocupa en el arreglo; por ejemplo
en el numero 6.866 el valor relativo del 6 de las derecha es 6 unidades del primer orden; el valor
relativo del 6 de las decenas es 6*10 = 60 unidades de primer orden; el valor relativo del 6 de los
millares es 6*10*10*10 = 6.000 unidades de primer orden.
El valor relativo del 8 es 8*10*10 = 800 unidades de primer orden
El campo real
El siguiente diagrama mostrará las distintas clases de números con los cuales vamos a trabajar
NUMERO REALES
NEGATIVOS
RACIONALES
ENTEROS
CERO
POSITIVO
IRRACIONALES
FRACCIONARIO
RACIONALES
ENTEROS
FRACCIONARIO
IRRACIONALES
Leyes formales de las operaciones fundamentales con números reales
Sin pretensiones de profundizar prematuramente en el campo numérico, vamos a explicar las
leyes formales de la suma y de la multiplicación, ya que las demás operaciones fundamentales
pueden explicarse como inversa de estas, así, la resta, la división, la potenciación la logaritmación
y la radicación. El conjunto de estas leyes formales constituirá una definición indirecta de los
números reales y de las operaciones fundamentales. Estas leyes que no requieren demostración,
pues son de aprehensión inmediata, se llaman axiomas.
Igualdad
1. Axioma de identidad: a = a
2. Axioma de reciprocidad: Si a = b, entonces b = a
3. Axioma de transitividad: Si a = b y b = c, entonces a = c
Suma o adición
1. Axioma de uniformidad: La suma de dos números es siempre igual, es decir, única;
así, si a = b y c = d, entonces a + c = b + d
2. Axioma de conmutatividad: a + b = b + a
3. Axioma de asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c)
4. Axioma de identidad o módulo de la suma: Hay un número y solo un número, el cero (0),
de modo que a + 0 = 0 + a = a, para cualquier valor de a. De ahí que el cero (0) reciba el
nombre de elemento idéntico o módulo de la suma.
Multiplicación
1. Axioma de uniformidad: El producto de dos números es siempre igual, es decir, único,
Así si a = b y c = d, entonces ac = bd
2. Axioma de conmutatividad: ab = ba
3. Axioma de asociatividad: (ab)c = a(bc)
4. Axioma de distributividad: Con respecto a la suma tenemos que a(b + c) = ab + ac
5. Axioma de identidad o módulo del producto: Hay un numero y solo un numero, el uno (1),
de modo que a*1 = 1*a = a para cualquier valor de a
6. Axioma de existencia del inverso: Para todo número real a = 0 (a diferente de cero)
corresponde un numero real, y solo uno, “x”, de modo que ax = 1. Este número ”x” se
llama inverso de a, y se representa por
Axiomas de orden
1. Tricotomía: Si tenemos dos números reales a y b solo puede haber una relación, y solo
una, entre ambos, es decir: a > b; a = b ó a < b
2. Monotonía de la suma: Si a > b tenemos que a + c > b + c
3. Monotonía de la multiplicación: Si a > b y c > 0 entonces ac > bc
Ejercicios y problemas propuestos
1. ¿Qué forman diez decenas; diez centenas de millar; diez millones?
2. ¿Qué forman mil millares, diez mil centenas; cien mil decenas?
3. Cuántos millares tiene un millón; cuantas decenas de millar tiene una decena de millar de
millón; cuántos millones un billón
4. Cuántas décimas hay en 3 unidades; en 2 decenas; en 3 centenas
5. ¿Qué orden representa la primera cifra de la izquierda de un número de 3 cifras; de 4
cifras; de 6 cifras
6. Diga el valor relativo de cada una de las cifras de:
1. 26
2. 287
3. 3184
4. 15000
5. 82596
6. 486325
7. 20356849
8. 6489783
9. 87634
10. 456849875
7. Descomponer los siguientes números en la suma de los valores relativos de sus cifras
1. 805
2. 3741
3. 20308
4. 300018
5. 1015049
6. 303708144
8. En cuántas unidades disminuyen los números
1. 276 cambiando el 7 por 0?
2. 294 cambiando el 2 y el 9 por 0?
3. 1365 cambiando el 1, el 3 y 6 por 0?
4. 23140 cambiando el 1 por 0 y el 4 por 3?
5. 186754 cambiando el 6 por 4 y el 5 por 2?
6. 974532 cambiando el 4 por 3, el 5 por 4 y el 3 por 0?
9. Escribir los siguientes números
1. Quince mil veintiocho
2. Trescientos cuarenta mil dos
3. Quinientos dos mil tres
4. Ciento cuarenta y cuatro millones ciento cuarenta y cuatro
5. Doscientos catorce mil millones cuatrocientos seis
6. Tres mil tres billones, trescientos treinta mil, trescientos dos
7. Seis trillones, seis billones, seiscientos sesenta millones seiscientos mil
seiscientos seis
10. Escribir los siguientes números
1. Veinticuatro milésimas
2. Treinta y nueve cien milésimas
3. Quinientos cinco millonésimas
4. Trescientos ocho unidades con seis centésimas
5. Treinta mil treinta unidades
6. Mil treinta y dos millonésimas
11. Leer los números siguientes
1. 136505
2. 463107105
3. 96723416543
4. 2005724568903
5. 56784321903423456,348
6. 0,00074
7.
8.
9.
10.
0,00107286
16,0564
1555,55555
968755684235,00008
SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE ENTEROS, FRACCIONALES Y DECIMALES DE
OPERACIONES ARITMÉTICAS
Las operaciones aritméticas son siete: suma, resta, multiplicación, división, potencia, radicación y
logaritmación
Sumas aritméticas
Suma de conjuntos
Sumar dos o más conjuntos (sumandos) que no tiene elementos comunes, es reunir en un solo
conjunto (suma) todos los elementos que integran los conjuntos dados. Por ejemplo sumar los
conjuntos ADR, KLPÑ, BNMJCF es formar el conjunto ADRKLPÑBNMJCF, que tiene todos los
elementos de los conjuntos dados y solo ellos.
Suma de números naturales
Suma de varios números naturales es el número cardinal del conjunto suma cuyos números
cardinales son los números dados. Así, al sumar los conjuntos cuyos números cardinales son 4, 6 y
9, obtenemos otro conjunto cuyo número cardinal es 19, que es la suma de 4 + 6 + 9
Leyes de la suma
Las leyes de la suma son cinco: ley de uniformidad, ley conmutativa, ley asociativa, ley disociativa y
ley de monotonía.
Ley de Uniformidad
Esta ley puede enunciarse de tres maneras equivalentes:
1. La suma de varios números dados tienen un valor único o siempre igual.
3 peras + 6 peras = 9 peras
3 vehículos + 6 vehículos = 9 vehículos
Vemos, pues, que la suma de 3 y 6, cualquiera que sea la naturaleza de los conjuntos que
ellos representan, siempre es 9
2. Las sumas de números respectivamente iguales son iguales.
Si cada puesto de un autobús está ocupado por un pasajero de modo que no queda
ningún pasajero sin asiento ni ningún asiento vacío, tenemos que el número de pasajeros
es igual al número de asientos del autobús
3. Sumando miembro a miembro varias igualdades, resulta, otra igualdad. Veamos:
4=4
7=7
2 = 2_____
4 +7 +2 = 4 +7 + 2
Ley conmutativa
El orden de los sumandos no altera la suma total
4 + 9 + 7 = 9 + 7 + 4 = 7 + 4 + 9 = 20
Ley asociativa
La suma de varios sumandos no se altera si se sustituyen varios sumandos por su suma
5 + 3 + 8 + 6 = 8 + 8 + 6 = 5 + 11 + 6 = 5 + 3 + 14 = 22
Ley disociativa
La suma de varios números no se modifica si descomponemos uno o varios sumandos en dos o
más sumandos.
9 + 5 + 7 + 8 = 3 + 6 + 5 + 7 + 8 = 9 + 5 +4 + 3 +8 = 29
Ley de monotonía
Esta ley consta de dos partes:
1.- Sumando miembro a miembro desigualdades del mismo sentido con igualdades resulta
una desigualdad del mismo sentido.
4=4
7<9
2 < 5_____
4 +7 +2 < 4 +9 + 5
2.- Sumando miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido, resulta otra
desigualdad del mismo sentido.
4<3
7<9
2 < 5_____
4 +7 +2 < 3 +9 + 5
Ejercicios y problemas
1. Qué alteraciones experimenta una suma cuando:
a. Se aumenta un sumando en 5 unidades
b. Se disminuye un sumando en 7 unidades
c. Se aumenta un sumando en 4 unidades y otro en 7 unidades
d. Si se disminuye un sumando en 8 unidades y otro sumando en 5 unidades
e. Si se aumenta un sumando en 7 unidades y otro se disminuye en 7 unidades
f. Si un sumando se disminuye en 9 unidades y otro se aumenta en 13 unidades
g. Si un sumando se aumenta en 5 unidades y otro se disminuye en 9 unidades
2. Dada la suma x + y + 9 = 30, completar las siguientes igualdades:
a. (x + 9) + 9 + y =
b. x + 6 + y =
c. (x – 3) + 12 + c =
d. (x + 8) + 9 + (y + 1) =
e. x + 7 + (y – 5) =
f. (x – 6) + 9 + (c + 1)
3. Dada la suma m + n + p = S, completar las siguientes igualdades:
a. (m + 5) + n + p =
b. (m – 3) + (n + 11) +p =
c. (m + 1) + (n + 2) + (p + 3) =
d. (m – 5) + (n – 3) + (p - 1) =
e. (m + 5) + (n- -2) + (p + 8) =
f. (m + 9) + (n – 3) + (p – 6) =
4. Si a + b + c= 40, determinar el valor de x en cada una de las siguientes igualdades:
a. (a + x) + b +c = 47
b. a + (b – x) + c = 25
c. a + b + (c + x) = 63
5. Dados los números 504, 8568, 10854 y 6258, súmelos y verifique la exactitud de la
operación aplicando la propiedad conmutativa
6. Dados los números 6973, 38625, 845, 32, 2485789 y 8754, súmelos y verifique la exactitud
de la operación aplicando la propiedad asociativa.
7. Dados los números 23,2458; 0,00548; 2358,2; 147,000258; 45879; 5,00045; súmelos y
verifique la exactitud de la operación aplicando la propiedad conmutativa.
8. Efectuar las siguientes operaciones
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2+
g.
h.
Restas aritméticas
La resta es la operación inversa de la suma que tiene por objeto, dada la suma de dos sumandos
minuendo y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resto o diferencia)
Leyes de la resta
Las leyes de la resta son dos: la ley de uniformidad y la ley de monotonía.
Ley de uniformidad
Esta ley puede enunciarse de dos maneras que son equivalentes:
1.- La diferencia de dos números tienen un valor único o siempre es igual. Ejemplo: La diferencia
9 - 4 = 5, porque 5 es el único número que sumado con 4 da 9
2.- Restando miembro a miembro dos igualdades, se obtiene otra igualdad.
9=9
3=3
6=6
Ley de monotonía
Esta ley consta de tres partes:
1.- Si de una desigualdad (minuendo) se resta se resta una igualdad (sustraendo), siempre que la
resta se pueda realizar, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad del
minuendo.
9 > 6
5 = 5
4 >1
5< 8
3 = 3
2 < 5
x < y
v = u
x – v < y -u
2.- Si de una igualdad (minuendo) se resta se resta una desigualdad (sustraendo), siempre que la
resta se pueda realizar, resulta una desigualdad de sentido contrario que la desigualdad del
sustraendo.
8 = 8
6 > 4
2 <4
9= 9
3 < 6
6 > 3
x = y
v < u
x – v > y -u
3.- Si de una desigualdad (minuendo) se resta se resta una desigualdad (sustraendo) de sentido
contrario, siempre que la resta se pueda realizar, resulta una desigualdad del mismo sentido que
la desigualdad del minuendo.
8 > 5
3 < 4
5 >1
5< 9
3 > 1
2 < 8
x < y
v > u
x – v < y -u
Alteraciones del minuendo
1.- Si el minuendo aumenta o disminuye un número cualquiera y el sustraendo no varía, la
diferencia que da aumentada o disminuida en el mismo número.
2.- Si el sustraendo aumenta o disminuye un número cualquiera y el minuendo no varía, la
diferencia disminuye en el primer caso y aumenta en el segundo el mismo número.
3.- Si el minuendo y el sustraendo aumentan o disminuyen a la vez un mismo número, la diferencia
no varía.
Ejercicios y problemas
1. Qué alteraciones experimenta una diferencia cuando:
a. Al minuendo se le suman 4 unidades
b. Al minuendo se le restan 9 unidades
c. Al sustraendo se le suman 8 unidades
d. Al sustraendo se le restan 6 unidades
e. Cuando al minuendo y al sustraendo se le suman 12 unidades
f. Cuando al minuendo y al sustraendo se le restan 20 unidades
g. Si al minuendo se le suman 7 unidades y al sustraendo se le suman 3 unidades
h. Si al minuendo se le restan 5unidades y al sustraendo se le restan 7 unidades
i. Si al minuendo se le suman 8 unidades y al sustraendo se le restan 2 unidades
2. Dada la resta M – S = 45, completar las siguientes igualdades:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
(M + 8) – S =
(M - 3) – S =
M – (S + 4) =
M – (S - 8) =
(M + 1) – (S + 1) =
(M – 8) – (S – 8) =
(M + 7) – (S + 9) =
(M - 8) – (S - 3) =
(M + 2) – (S - 7) =
(M - 7) – (S + 1) =
3. Si M – S = 37, determinar el valor de x en cada una de las siguientes igualdades:
a. (M + x) – S = 60
b. (M - x) – S = 26
c. M – (S + 4) = 30
d. M – (S - 8) = 50
4. Efectué la siguientes restas
a. De 80201062 restar 48765934
b. De 900045006 restar 489675864
c. De 802, 0004583 restar 2,857964862
d. De 0,00452124 restar 0,00024896
e.
f.
g.
Multiplicaciones aritméticas
La multiplicación es una operación de composición que tiene por objeto, dados dos números
llamados multiplicando y multiplicador, hallar un numero llamado producto que sea respecto del
multiplicando lo que el multiplicador es respecto de la unidad.
En efecto, multiplicar 4 (multiplicando) por 5 (multiplicador) es hallar un numero que sea respecto
de 4 lo que 5 es respecto de 1, pero 5 es cinco veces 1, luego el producto será 5 veces 4, o sea 20.
Relación entre el producto y el multiplicando
1.- Si el multiplicador es cero, el producto es igual a cero
2.- Si el multiplicador es 1, el producto es igual al multiplicando
Multiplicación por la unidad seguida de ceros
Para multiplicar un entero por la unidad seguida de ceros se añaden al entero tantos ceros como
cero acompañen a la unidad.
1.- 56x1000 = 56.000
2.- 3.495x10.000 = 34.950.000
Multiplicación de dos números terminados en ceros
Multiplicación de dos números terminados en ceros se multiplican los números como si no
tuvieran ceros y a la derecha de este producto se añaden tantos ceros como tengan el
multiplicando y el multiplicador.
1.- 560.000x34.000 = 19.040.000.000
2.- 2.340.000x2.700.000 = 6.318.000.000.000
Leyes de la multiplicación
Las leyes de la multiplicación son 6: Ley de uniformidad, ley conmutativa, ley asociativa, ley
disociativa, ley de monotonía y ley distributiva.
Ley de uniformidad
Multiplicando miembro a miembro varias igualdades resulta otra igualdad.
8 = 8
4 = 4
32 = 32
x = y
v = u
xv = yu
Ley conmutativa
El orden de los factores no altera el producto.
1.- 5 x 9 = 9 x 5 = 45
2.- 4 x 7 x 8 x 5 = 7 x 8 x 5 x 4 = 8 x 5 x 4 x 7 = 5 x 4 x 7 x 8 = 1.120
Ley asociativa
El producto de varios números no varía si se sustituyen dos o más factores por su producto.
3 x 5 x 7 x 9 x 6 = 15 x 7 x 9 x 6 = 15 x 63 x 6 = 3 x 35 x 54 = 5.670
Ley disociativa
El producto de varios números no varía si se descomponen dos o más factores en dos o más
factores.
12 x 8 x 6 x 15 = 3 x 4 x 8 x 6 x 15 = 12 x 8 x 2 x 3 x 15 = 8.640
Ley de monotonía
Consta de dos partes:
1.- Multiplicando miembro a miembro desigualdades del mismo sentido e igualdades, resulta una
desigualdad del mismo sentido que la dada.
8 > 5
3 = 3
24 > 15
6 = 6
3 < 5
18 < 30
x = y
v > u
xv > yu
2.- Multiplicando miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido resulta una
desigualdad del mismo sentido que la dada.
8 > 5
6 > 3
48 > 15
4 < 6
3 < 5
12 < 30
x > y
v > u
xv > yu
Ley distributiva
1. Para multiplicar una suma indicada por un número se multiplica cada sumando por este
número y se suman los productos.
(4 + 6 + 7)5 = 20 + 30 + 35 = 85
2. Para multiplicar una resta indicada por un número se multiplican el minuendo y el
sustraendo por este número y se restan los productos parciales.
(9 – 5)6 = 54 – 30 = 24
3. Para multiplicar una suma algebraica por un número se multiplica cada término de la suma
por dicho número, aplicando la regla de los signos.
(9 + 5 – 3 + 4 – 2)3 = 27 + 15 – 9 +12 – 6 = 39
4. Para multiplicar dos sumas indicadas se multiplican todos los términos de la primera por
cada uno de los términos de la segunda y se suman los productos parciales.
(8 + 6)(4 + 7) = 32 + 56 + 24 + 42 = 154
5. Para multiplicar una suma por una diferencia se suman los productos de cada término de
la suma por el minuendo y de esta suma se restan los productos de cada término de la
suma por el sustraendo.
(8 + 6)(7 – 5) = 56 + 42 - 40 – 30 = 28
Regla general para multiplicar sumas algebraicas
Para multiplicar dos sumas algebraicas se multiplica cada término de la primera suma por cada
término de la segunda suma, poniendo delante de cada producto el signo + cuando los dos
términos que su multiplican tienen signos iguales, y el signo – cuando tienen signos distintos.
1,- (7 – 4)(8 – 5) = 56 – 35 – 32 + 20 = 9
2.- (8 – 5 + 4)(6 - 4 + 3 – 2) = 48 – 32 + 24 – 16 – 30 + 20 – 15 + 10 + 24 – 16 + 12 – 8 = 138 - 117 =21
3.- (m - n)(a - b - c) = ma – mb – mc – na + nb + nc
Ejercicios y problemas
1. Aplicando la propiedad conmutativa de la multiplicación, escriba de 3 maneras diferentes
los siguientes productos.
a. 12 . 8 . 6
b. 6 . 8 . 4 . 9
c. x . y . z . v
2. Escribir de 3 maneras diferentes aplicando la propiedad asociativa los siguientes
productos.
a. 9 . 8 . 7
b. 3 . 8 . 5 . 9
c. a . b . c . d
3. Transformar los siguientes productos en un producto de dos factores de dos maneras
distintas.
a. 6 . 8 . 7 . 4
b. 3 . 8 . 5 . 9. 6 .4
c. a . b . c . d . f
4. Transformar los siguientes productos en productos de cinco factores.
a. 40 . 15
b. 45 . 21
c. a(bcdf)
5. Realizar los siguientes productor
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Multiplicar 487950408 por 458
Multiplicar 804090603 por 2709
Multiplicar 487,020506 por 2,203
Multiplicar 0,0405894 por 0,045
Multiplicar 487950408 por 458
g.
h.
i.
j.
k.
6. Efectué abreviadamente los siguientes multiplicaciones:
a. 683 . 1000
b. 50869 . 1000000
c. 23,8549 . 1000)
d. 479 . 600
e. 3450 . 700
f. 7358 . 99 6803 . 9999
g. 846 . 101
h. 6734 . 10001
i. 7856 . 1600
j. 7856 . 8100
k. 125001 . 25
Divisiones aritméticas
La división es una operación inversa de la multiplicación que tiene por objeto dado el producto de
dos factores (dividendo) y una de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).
División por la unidad seguida de ceros
Para dividir un entero por la unidad seguida de ceros, se separan de su derecha con un punto
decimal, tantas cifras como ceros acompañen a la unidad, porque con ello el valor relativo de cada
cifra se hace tantas veces menor como indica el divisor.
1. 864 10 = 86,4
2. 876.569
= 8.765,69
3. 8.000
Leyes de la división
Las leyes de la división exacta son tres: ley de uniformidad, ley de monotonía y ley distributiva.
Ley de uniformidad
Esta ley puede enunciarse de dos maneras:
1. El cociente de dos números tiene un valor único o siempre igual. Así, el cociente
40
tiene un valor único, 5, porque 5 es el único numero que multiplicado por 8 da 40.
2. Dividiendo miembro a miembro dos igualdades, resulta otra igualdad
8 = 8
2 = 2
4 >4
x = y
v = u
x v= y u
Ley de monotonía
Esta ley consta de tres partes:
1. Si una desigualdad (dividendo) se divide entre una igualdad (divisor), siempre que la
división se factible, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad del
dividendo.
6 > 4
12 < 15
x > y
2 = 2
3 = 3
v = u
3 > 2
4 <5
x v > y u
2. Si una igualdad (dividendo) se divide entre una desigualdad (divisor), siempre que la
división sea posible, resulta una desigualdad de sentido contrario que la desigualdad
divisor.
10 = 10
40 = 40
x = y
5 > 2
5 < 8
v < u
2 < 5
8 >5
x v> y
3. Si una desigualdad (dividendo) se divide entre otra desigualdad de sentido contrario
(divisor), siempre que la división sea posible, resulta una desigualdad del mismo sentido
que la desigualdad del dividendo.
15 > 5
3 < 5
5 > 1
15 < 30
5 > 3
5 < 10
x > y
v < u
x v> y
Ley distributiva
1. Para dividir una suma indicada por un número, se divide cada sumando por este número y
se suman los cocientes parciales.
(8 + 6 + 10) 2 = 4 + 3 + 5 = 12
2. Para dividir una resta indicada entre un número se divide el minuendo y el sustraendo por
este número y se restan los cocientes parciales.
(20 – 5) 5 = 4 – 1 = 3
3. Para dividir una suma algebraica por un número se divide cada término por dicho número,
poniendo delante de cada cociente parcial el signo + si el término que se divide es positivo
y el signo – si es negativo.
(20 -25 - 40 +15) 5 = 4 – 5 - 8 + 3 = - 6
4. Para dividir un producto indicado entre un número se divide uno solo de los factores del
producto por dicho número.
(8 x 6)
2 = 4 x 6 = 24
Ejercicios y problemas
1. Qué alteraciones experimenta el cociente en cada uno de los siguientes casos:
a. Cuando el dividendo se multiplica por n
b. Cuando el dividendo se divide por n
c. Cuando el divisor se multiplica por n
d. Cuando el divisor se divide por n
e. Cuando el dividendo y el divisor se multiplica por n
f. Cuando el dividendo y el divisor se dividen por n
2. Dada la igualdad
completar las siguientes igualdades:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
3. Completar las siguientes igualdades sabiendo que
a.
b.
c.
d.
4. Realizar las siguientes divisiones
a. Dividir 87594586 entre 89
b. Dividir 489254002 entre 40865
c. Dividir 487,005409 entre 2,245
d. Dividir 0,00457892 entre 0,04586
e.
f.
g.
POTENCIACIÓN
Llamamos potencia de un número relativo al producto de tomarlo como factor tantas veces como
se quiera. Si “a” es un numero relativo cualquiera y n > 1 es un número natural, tendremos la
notación an, que se lee ‘a’ elevado a la enésima potencia, e indica que “a” debe tomarse como
factor n veces, como se muestra a continuación:
n veces
n
a = a . a . a. . . . . . . . a
n
En la notación a = x, llamamos potencia al producto x, base al número que tomamos como
factor “a”, y exponente a “n”, que nos indica las veces que debemos tomar como factor a “a”.
A la operación de hallar el producto x, la llamamos potenciación o elevación de potencia, veamos
un ejemplo:
64 = 6.6.6.6 = 1.296
En este ejemplo, 6 es la base; 4 es el exponente, y 1.296 es la potencia.
Regla
La potencia de un número positivo siempre es positiva a2 = +A, así mismo a3 = +A
La potencia de un número negativo será positiva si el exponente es entero y par (-a)2 = +A
La potencia de un número negativo será negativa si el exponente entero es impar (-a)3 = -A
Potencia de un producto
Para elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores a dicha potencia y se
multiplican estas potencias.
(abcd)n = an.bn.cn.dn
(4.2.8)2 = 42.22.82 = 16.4.64 = 4.096
Potencia de una fracción
Para elevar una fracción a una potencia cualquiera se eleven su numerador y denominador a dicha
potencia.
Potencia de potencia
Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base, poniéndole por exponente el
producto de los exponentes.
(an)m = an.m
(32)4 = 32.4 = 38 = 6.561
(-22)3 = -22.3 = -26 = -64
Hay que poner especial cuidado en no confundir la potencia de una potencia, con la elevación de
un número a una potencia cuyo exponente, a la vez este afectado por otro exponente, Así, no es lo
mismo (53)2 que esto
53*3 = 59 = 1.953.125
(53)2 = 53*2 = 56 = 15.625
y
=
Producto de potencia de igual base
Para multiplicar dos o más potencias de igual base, se eleva dicha base a la potencia que resulte de
la suma de los exponentes respectivos. Ejemplo:
División de potencia de igual base
La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la potencia que dé la
diferencia de ambos exponentes
= am-n
= 47-4 = 43 = 64
Si un número cualquiera a # 0, se eleva a la potencia “0” es igual a +1, es decir:
a0 = +1
60 = +1
(345)0 = +1
Si un número cualquiera a
0, se eleva a un exponente negativo cualquiera – m es igual al
reciproco de la potencia am, de exponente positivo, es decir:
a-m =
4-3 =
=
Ejercicios y problemas
Desarrollar las siguientes potencias:
1.
2.
3.
4.
(14)3
(0,013)2
[(32)2]3
[(xyz)3]5
R: 1
R: 0,000000000001
R: 531441
R: x15y15z15
5.
R:
6.
R: 400
7.
R:
8.
R:
9.
R:
10.
R: 81
RADICACIÓN
Raíz de un número es otro número que elevado a una potencia reproduce el número dado. Así:
porque
3x es la raíz cúbica de 27
porque
El signo de raíz es
llamado signo radical. Debajo de este signo se coloca la cantidad a la cual se
extrae la raíz llamada por eso cantidad subradical.
El signo lleva un índice que indica la potencia a que hay que elevar la raíz para que reproduzca la
cantidad subradical. Por convención el índice 2 se suprime y cuando el signo no lleva índice se
entiende que el índice es 2.
Raíz de un producto indicado
La raíz de cualquier grado de un producto indicado de vario factores es igual al producto de la
raíces de mismo grado de cada uno de los factores.
=
= 8.9.10 = 720
Raíz de un número fraccionario
La raíz de cualquier grado de un cociente exacto o un quebrado es igual a la raíz de dicho grado del
numerador sobre la raíz de mismo grado del denominador.
=
=
=
Raíz de una potencia
La raíz de cualquier grado de una potencia se obtiene dividiendo el exponente de la potencia por
el índice de la raíz.
=
=
=
= 8
Raíz de una raíz
La raíz de cualquier grado de una raíz se obtiene multiplicando los índices de ambas raíces.
=
=
=
Simplificación de radicales
Un radical esta reducido a su más simple expresión cuando descomponiendo en sus factores
primos la cantidad subradical se observa que todos por factores primos están elevados a
exponentes menores que el índice radical.
Para reducir un radical a su más simple expresión se descomponen la cantidad en factores primos
y se hace con ellos los arreglos que se indica a continuación.
1.
=
.
2.
=
3. 3
4.
=
=3
=3. .3
=
=
.3
= 2.3.
= 6
36
=2
Suma y resta de radicales
Se simplifican los radicales dados si es posible y se efectúan las operaciones indicadas, ejemplos:
1.- Efectuar
+
Descomponemos en factores primos las cantidades sus radicales:
=
=
= 4
=
= 3
De acuerdo con esto:
+
2.- Efectuar 2
= 4
+ 5
+ 3
= 7
–
Descomponemos en factores primos las cantidades sus radicales:
2
5
=2
= 5
=
= 5.3
=
= 15
= 4
De acuerdo con esto:
2
+ 5
–
= 2
3.- Efectuar 2
+
+ 15
-4
= 13
-
Descomponemos en factores primos las cantidades sus radicales:
2
=2
= 2.5
=
= 2
=
= 2
= 10
De acuerdo con esto:
2
+
4.- Efectuar
-
= 10
+
+ 2
- 2
= 8
+2
-
Descomponemos en factores primos las cantidades sus radicales:
=
= 2
=
= .5
=
= 3
=
De acuerdo con esto:
+
-
2
+ 3
-
5
-
Multiplicación de radicales
Para multiplicar radicales del mismo índice se multiplican los coeficientes entre sí y las cantidades
subradicales entre sí, y el producto de las cantidades subradicales se coloca bajo el signo radical
común.
Efectuar
=
= 2
Efectuar 2
Efectuar 3
2
.2
Efectuar
= 2.3.5
= 3.2
.
= 6
.
=
= 30
=6
= 6.2.3 = 36
.
=
=
=
25
División de radicales
Para dividir radicales del mismo índice se dividen los coeficientes entre si y las cantidades
subradicales entre si y el cociente de las cantidades subradicales se coloca bajo el signo radical
común.
1. Efectuar
2. Efectuar 10
=
5
=
3. Efectuar 3
4
=
4. Efectuar
=
=
=5
= 2
=
=
=
= =
=
=
=
.5
=
Potencias de radicales
Para elevar un radical a una potencia cualquiera se eleva a esa potencia la cantidad subradical.
1. Elevar
2. Elevar
3. Elevar
al cubo, veamos:
a la cuarta potencia, veamos:
al cuadrado, veamos:
3
=
4
2
=
=
=
5
=
=
=
= 2
Raices de radicales
Para obtener raíces de radicales se multiplican los índices de los radicales y se coloca la cantidad
subradical bajo un radical que tenga como índice el producto de los índices de los radicales.
1. Extraer la raíz cubica de
veamos:
2. Extraer la raíz cuadrada de
veamos:
=
=
Ejecicios y problemas
Efectuar cada una de las siguientes operaciones
1. 3a
2.
.
R: 18a
a
R:
3.
R:
4.
R:
5.
R:
6.
R:
7.
R:
8.
R:
9.
R:
10.
R:
11.
R:
12.
R:
=
=
=
=
=2
13.
14.
R: a
.
R:
15.
R:
16.
R:
17.
R:
18.
R:
19. 3
R: 3a
20.
R:
SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE ENTEROS, FRACCIONALES Y DECIMALES DE
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La suma algebraica
La suma algebraica es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones
algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma).
En aritmética, la suma siempre significa aumento, pero en algebra la suma es un concepto más
general, pues puede significar aumento o disminución
Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a continuación de las otras con sus
propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay.
Suma de monomios
1. Hallar la suma de 4a, 7b, 5c y 9e De acuerdo con el procedimiento seria:
4a + 7b + 5c + 9e
2. Hallar la suma de 4a2b, 5ab2, 2a2b, 6ab2 y 5b3 De acuerdo con el procedimiento seria:
4a2b + 5ab2 + 2a2b + 6ab2 + 5b3 = 6a2b + 11ab2 + 5b3
3. Hallar la suma de 3a y - 2b De acuerdo con el procedimiento seria:
3a + (- 2b) = 3a - 2b
4. Hallar la suma de 7x, - 8y, - 15x, 9y, - 4z y 9 De acuerdo con el procedimiento seria:
7x + (- 8y) + (- 15x) + 9y + (- 4z) + 9 = 7x - 8y - 15x + 9y - 4z + 9 = - 8x +y – 4z + 9
5. Hallar la suma de
seria:
- 2b2) + ( -
- 2b2, -
,-
De acuerdo con el procedimiento
- 2b2 -
+(= a2 -
-
-
6. Hallar la suma de 0,25a, - 0,043b, - 0,002c, 0,36b, - 0,01a, 0,0008c De acuerdo con el
procedimiento seria:
0,25a + (- 0,043b) + (- 0,002c) + 0,36b + ( - 0,01a) + 0,0008c
= 0,25a - 0,043b - 0,002c + 0,36b - 0,01a + 0,0008c = 0,24a + 0317b -0,3142c
Suma de polinomios
1.- Hallar la suma de 5a - b, 2a + 3b – 2c y - 6a + 5b De acuerdo con el procedimiento seria:
(5a – b) + (2a + 3b – 2c) + (- 6a + 5b) = 5a – b + 2a + 3b – 2c - 6a + 5b = a + 7b - 2c
2.- Hallar la suma de 3m – 2n + 4, 6n + 4p - 5, 8n – 6, y m -n – 4p De acuerdo con el
procedimiento seria:
(3m – 2n + 4) + (6n + 4p – 5) + (8n – 6) + (m -n – 4p)
= 3m – 2n + 4 + 6n + 4p – 5 + 8n – 6 + m - n – 4p = 4m – 11n – 7
3.- Hallar la suma de a3b – b4 + ab3, - 2a2b2 + 4ab3 + 2b4 y 5a3b – 4ab3 – 6a2b2 – b4 – 6
De acuerdo con el procedimiento seria:
(a3b – b4 + ab3) + (- 2a2b2 + 4ab3 + 2b4) + (5a3b – 4ab3 – 6a2b2 – b4 – 6)
= a3b – b4 + ab3 - 2a2b2 + 4ab3 + 2b4 + 5a3b – 4ab3 – 6a2b2 – b4 – 6
= 6a3b - 8a2b2 + ab3 – 6
4.- Hallar la suma de
+ 2y3 + 3, De acuerdo con el procedimiento seria:
-
,
-5
+ 2y3 -
(
+ 3) + (-
+ 2y3 -
=
-
+3+
-
)+(
+
- 5)
-5
–2
4.- Hallar la suma de 0,2a3 + 0,4ab2 – 0,5a2b, - 0,8b3 + 0,6ab2 – 0,3a2b, -0,4a3 + 6 – 0,8a2b, 0,2a3 +
0,9b3 + 1,5a2b De acuerdo con el procedimiento seria:
(0,2a3 + 0,4ab2 – 0,5a2b) + (- 0,8b3 + 0,6ab2 – 0,3a2b) + (- 0,4a3 + 6 – 0,8a2b) + (0,2a3 + 0,9b3 +
1,5a2b)
= 0,2a3 + 0,4ab2 – 0,5a2b - 0,8b3 + 0,6ab2 – 0,3a2b - 0,4a3 + 6 – 0,8a2b + 0,2a3 + 0,9b3 + 1,5a2b
= - 0,1a2b + ab2 + 0,1b3 + 6
Ejercicios y problemas
Realizar las siguientes sumas
1. 5x, - 6y
2. – 11m, 6m
3.
,
4. 3m, - 2n, 4k
5.
,
,
6. a, - 3b, - 8c, 4b – a , 8c
7.
8.
9.
10.
,
,
,
-m –n +p
- 2p - 6q +3r; p +5q – 8r
+ x2; - 7y2 +4xy – x2; 5y2 – x2 +6xy; - 6x2 – 4xy + y2
La resta algebraica
La resta algebraica es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos
(minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia).
Es evidente, de esta definición, que la suma del sustraendo y la diferencia tiene que ser el
minuendo.
En aritmética la resta siempre implica disminución, mientras que la resta de algebra tiene un
carácter mas general, pues puede significar disminución o aumento.
Para restar dos expresiones algebraicas se escribe el minuendo con sus propios signos y a
continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes si los
hay.
Resta de monomios
1.- De – 6 restar 9 de acuerdo con el procedimiento seria: - 6 – 9 = - 15
2.- Restar 3b de 5a de acuerdo con el procedimiento seria: 5a - 3b
3.- De 8 restar - 6 de acuerdo con el procedimiento seria: 8 – (- 6) = 8 + 6 = 14
4.- Restar 3a2bc de - 5a2bc de acuerdo con el procedimiento seria: - 5a2bc - 3a2bc = - 8a2bc
5.- De -
de acuerdo con el procedimiento seria:
-
-
=
Resta de polinomios
Cuando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del minuendo cada uno de los términos del
sustraendo, así que a continuación del minuendo escribiremos el sustraendo cambiando el signo a
todos sus términos.
1.- De 4a - 3b +6c restar 2a + 3b – 2c – 4 de acuerdo con el procedimiento seria:
4a - 3b +6c – (2a + 3b – 2c – 4) = 4a - 3b +6c – 2a - 3b + 2c + 4 = 2a -6b +8c + 4
2.- Restar - 4a5b – ab5 + 6a3b3 – a2b4 - 3b6 de 8a4b2 + a6 – 4a2b4 + 6ab5
procedimiento seria:
de acuerdo con el
8a4b2 + a6 – 4a2b4 + 6ab5 - (- 4a5b – ab5 + 6a3b3 – a2b4 - 3b6 )
= 8a4b2 + a6 – 4a2b4 + 6ab5 + 4a5b + ab5 - 6a3b3 + a2b4 + 3b6
= a6 + 4a5b + 8a4b2 - 6a3b3 – 3a2b4 + 7ab5 + 3b6
3.- Restar - 4a3b3 seria:
=-
a2b2 – 9 de -
+ a2b2 – 8 – (- 4a3b3 + a2b2 – 8 + 4a3b3 +
Ejercicios y problemas
1. De x +y restar x – y
2. De a3 – a2b restar 7a2b + 9ab2
+ a2b2 - 8 de acuerdo con el procedimiento
a2b2 – 9)
a2b2 + 9 = 4a3b3 -
a2b2 -
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
De y2 + 6y3 – 8 restar 2y4 – 3y2 + 6y
De x3 – 9x + 6x2 – 19 restar – 11x2 +21x – 43 + 6x3
De mn+1 – 6mn-2 + 8mn-3 – 19mn-5 restar 8mn + 5mn-2 + 6mn-3 + mn-4 + 9mn-5
De
+
3
2
2
2
Restar x – xy de x y + 5xy
Restar 3a2 + ab – 6b2 de -5b2 + 8ab + a2
Restar 25a2b + 8ab2 – b3 de a3 – 9a2b – b3
Restar x5 – x2y3 + 6xy4 + 25y5 de - 3xy4 – 8x3y2 – 19y5 + 18
Restar ax+2 – 5ax+1 – 6ax de ax+3 – 8ax+1 - 5
Restar
La multiplicación algebraica
La multiplicación algebraica es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas
multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto.
Es importante recordar algunas notas muy importantes sobre la multiplicación.
1.
2.
3.
4.
5.
El orden de los factores no altera el producto, ley conmutativa
Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo, ley asociativa
Signos iguales en un producto de dos factores dan signo +
Signos diferentes en un producto de dos factores dan signo –
El signo del producto de varios factores es + cuando tiene un numero par de factores
negativos o ninguno
6. El signo del producto de varios factores es - cuando tiene un numero impar de factores
negativos
7. Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por
exponente la suma de los exponentes de los factores
8. El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los coeficientes de la factores
Multiplicación de monomios
Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los
factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los
exponentes que tengan en los factores. El signo del producto vendrá dado por la ley de los signos.
1.- Multiplicar 3x3 por 6x5
3x3. 6x5 = 3.6.x3+5 = 18x8 el signo del producto es mas + porque + por + da +
2.- Multiplicar – 2ab2 por – 6ma5b4
(– 2ab2).(- 6ma5b4) = 2.6.a1+6b2+4m = 12a7b6m el signo del producto es + porque - por - da +
3.- Multiplicar 4x2y3 por – 6y5z
(4x2y3).( – 6y5z) = 4.6x2y3+5z = - 24 x2y8z el signo del producto es - porque + por - da -
4.- Multiplicar – a2b3 por 5ambnc5
(– a2b3).( 5ambnc5) = -1.5am+2bn+3c5 = - 5am+2bn+3c5 el signo del producto es - porque - por + da 5.- Multiplicar ax+2bx+3 por – 6ax+3b4
(ax+2bx+3 ).( – 6ax+3b4) = - 6ax+2+x+3bx+3+4 = – 6a2x+5bx+7
5.- Multiplicar
a3b por -
a5b2
( a3b).( - a5b2) = - . a8b3 =
a8b3 =
6.- Efectuar (3x)(-4x2y3)(-2x4y2) = 24x7y5
a8b3
El signo del producto es + porque hay un numero par de factores negativos
7.- Efectuar (- 5a2b)(- am)(- a2bn) =
am+4bn+1 = - am+4bn+1
El signo del producto es - porque hay un número impar de factores negativos
Procedimiento para multiplicar un polinomio por un monomio
Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica el monomio por cada uno de los
términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos, y se separan los
productos parciales con sus propios signos, esta es la Ley Distributiva de la multiplicación.
1.- Multiplicar 4x2 – 7x + 6 por 3a2x3
3a2x3 (4x2 – 7x + 6) = 3a2x3(4x2) + 3a2x3(– 7x) + 3a2x3(6) = 12 a2x5 - 21 a2x4 + 18 a2x3
2.- Multiplicar 2xa+1y – 4xay2 + 3xa+1y3 – xa-2y4 por -3x2yn
-3x2yn(2xa+1y – 4xay2 + 3xa-1y3 – xa-2y4) = - 6 xa+3 yn +1 + 12 xa+2 yn +2 - 9 xa+1 yn +3 + 3 xa yn +4
3.- Multiplicar a4b2 -
a3b2x2 ( a4b2 -
a2b4 +
a2b4 +
b6 por -
a3b2x2
b6 ) =
a7b4x2 +
a5b6x2 -
a3b8x2 simplificando tenemos:
=
a7b4x2 +
a5b6x2 -
a3b8x2
Procedimiento para multiplicar dos polinomios
Para multiplicar dos polinomio se multiplican todos los términos del multiplicador por cada uno de
los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los términos
semejantes.
1.- multiplicar 6y2 + 2x2 – 5xy por 3x2 – 4y2 + 2xy
Ordenamos los polinomios en orden ascendente en relación a “x” y los colocamos de la siguiente
manera, para trabajar con más orden.
2x2 – 5xy + 6y2
3x2 + 2xy – 4y2
6 x4 - 15 x3y + 18 x2 y2
4x3y - 10 x2 y2 + 12x y3
- 8 x2 y2 + 20 x y3 - 24 y4
________________________________________
6 x4 - 11 x3y
+32 x y3 - 24 y4
o sea que:
(6y2 + 2x2 – 5xy)(3x2 – 4y2 + 2xy) = 6 x4 - 11 x3y + 32 x y3 - 24 y4
2.- multiplicar
x2 + y2 – xy por
x2 –
x2 – y2 - xy
xy +
y2
x2 - xy – y2
_________________
x4 -
x3y +
-
x3y +
x2 y 2
x2 y 2 -
xy3
- x2 y2 + xy3 - y4
__________________________________
x4 -
x3y +
( x2 + y2 – xy)( x2 – y2 - xy) =
x2 y 2 -
x4 -
x3y +
xy3 - y4
x2 y 2 -
o sea que
xy3 - y4
Eliminación de signos de agrupación con productos indicados
Un coeficiente colocado junto a un signo de agrupación indica que hay que multiplicarlo por cada
uno de los términos encerrados en el signo de agrupación.
1.- Resolver y simplificar 6x +
6x +
= 6x + {x + 2[x + 5y - 3x – 3y]} = 6x + {x + 2x + 10y - 6x – 6y}
= 6x + x + 2x + 10y - 6x – 6y = 3x + 4y
2.- Resolver y simplificar m -3(m + n) + [ - { - ( -2m + n – 2 - 3[ m – n + 1]) + m }]
m -3(m + n) + [ - { - ( -2m + n – 2 - 3[ m – n + 1]) + m }]
= m -3m - 3n + [ - { - ( -2m + n – 2 - 3 m + 3 n - 3) + m }]
= m -3m - 3n + [ - { 2m - n + 2 + 3 m - 3 n + 3 + m }]
= m -3m - 3n + [ - 2m + n - 2 - 3 m + 3 n - 3 - m ]
= m -3m - 3n - 2m + n - 2 - 3 m + 3 n - 3 - m
= - 8m + n – 5
Ejercicios y problemas
Multiplicar
1. - 6a2b por – 2ab2
2. 3a2bx por 7b3x5
3. –xm+1yn+2 por - 4xm-3yn-5c2
4.
5.
6. (4a2)(-5a3x2)(-ay2)
7. (ambx)(-a2)(-2ab)(-3a2b)
8.
9.
(a3 - 4a2 +6a)
10. – 4a4m2(a3 – 5a2b – 8ab2)
11. 3x2m(xm+1 + 3xm – xm-1)
12. -3a2x3(x4 – 6x3 + 8x2 – 7x + 5)
13.
14.
15. (- 4y + 5x)(- 3x + 2y)
16. (m4 – 2m3n + 3m2n2 – 4n4)(n3 – 5mn2 + 3m2n – m3)
17. (x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz)(x + y + z)
18. (xa-1 + 2xa-2 – xa-3 + xa-4)(-xa-3 + xa-1 – xa-2)
19.
20.
La división algebraica
La división algebraica es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores
(dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor cociente.
La ley de los signos en la división algebraica es la misma que en la multiplicación, es decir, signos
iguales dan + y signos diferentes dan Para dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se le pone de exponente la
diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor.
El coeficiente del cociente es el cociente de dividir el coeficiente del dividendo entre el coeficiente
del divisor
División de monomios
Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a
continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a cada letra un exponente igual
a la diferencia entre el exponente que tiene el dividendo y el exponente que tiene el divisor. El
signo lo da la ley de los signos.
1.- Dividir y simplificar 8a5b3 entre – 4a3b2
8a5b3
– 4a3b2 =
= - 2 a5-3b3-2 = - 2 a2b
2.- Dividir y simplificar – 10a6b4c entre - 2a2b
– 10a6b4c
- 2a2b =
= 5 a6-2b4-1c = 5 a4b3c
3.- Dividir y simplificar ax+3bm+2 entre ax+2bm+1
ax+3bm+2
ax+2bm+1 =
=
=
= ab
4.- Dividir y simplificar x4 y7z entre
x4 y7z
x4 y2z =
=
x4 y2z
x4-4 y7-2z1-1 =
y5
División de polinomio entre monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio por
el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos. Esta es la Ley Distributiva de
la división.
1.- Dividir 3x3 - 6x2y + 9xy2 entre 3x
3
-6
y + 9x
3x =
=
= x2 – 2xy +3
2.- Dividir a3b - a2b2 + ab3 - b4 entre b
b-
+
-
b =
=
-
+
-
Procedimiento para la división dos polinomio
1. Se ordena el dividendo y el divisor con relación a una misma letra
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y tendremos
el primer término del cociente
3. Este primer término del cociente se multiplica por todos los términos del divisor y el
resultado se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada
término debajo de su semejante
4. Si algún término de este producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe
en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor
5. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el
segundo término del cociente
6. Este segundo término del cociente se multiplica por todo los términos del divisor y el
resultado se resta del dividendo, cambiando los signos
7. Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se
efectúan las operaciones anteriores, y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero
cuando la división es exacto o cuando la división no es exacta debemos detenerla cuando
el primer termino del residuo es de grado inferior al primer termino del divisor con
relación a una misma letra.
1.- Dividir 28a2 – 30b2 - 11ab entre 4a - 5b
Ordenamos el dividendo y el divisor en orden ascendente con realcion a una letra, por ejemplo la
“a” y en consecuencias tendremos:
28a2 - 11ab – 30b2 / 4a - 5b______
-28a2 + 35ab
7a + 6b
2
24ab – 30b
-24ab + 30b2
2.- Dividir x12 + x6y6 – x8y4 – x2y10 entre x8 + x6y2 – x4y4 – x2y6
Al ordenar el dividendo tenemos x12 – x8y4 + x6y6 – x2y10 podemos observar que faltan los
términos “x10y2” y “x4y8”; dejaremos los espacios correspondientes donde corresponda.
x12
– x8y4 + x6y6
– x2y10
12
10 2
8 4
6 6
-x – x y + x y + x y
– x10y2
+2 x6y6
10 2
8 4
x y + x y - x6y6 - x4y8
x8y4 + x6y6 - x4y8 – x2y10
- 8 4
x y - x6y6 + x4y8 + x2y10
/ x8 + x6y2 – x4y4 – x2y6
x4 - x2y2 + y4
3.- Dividir 3ax+5 + 19ax+3 – 10ax+4 – 8ax+2 + 5ax+1 entre a2 – 3a + 5
Ordenando en orden descendente con relación a la letra “a”, obtendremos:
3ax+5 – 10ax+4 + 19ax+3 – 8ax+2 + 5ax+1
-3ax+5 + 9ax+4 - 15ax+3
– ax+4 + 4ax+3 – 8ax+2
ax+4 - 3ax+3 + 5ax+2
ax+3 – 3ax+2 + 5ax+1
-ax+3 + 3ax+2 - 5ax+1
4.- Dividir x3 -
x2y + xy2 - y3 entre x + y
x3 -
/ a2 – 3a + 5_______
3ax+3 - ax+2 + ax+1
x2y +
xy2 -
x3 + x2y
- x2y + xy2
x2y - xy2
Ejercicios y problemas
xy2
-
y3
- xy2
+
y3
y3
x +
y
Realizar las siguientes divisiones:
1. – 14a3b4c entre a3b4
2. – 108a7b6c8 entre – 20b6c8
3. – 4ax-2bn entre – 5a3b2
4.
5.
6.
m9n2 – 10m7n4 – 20m5n6 + 12m3n8 entre 2m24
7. 4ax+4bm-1 – 6ax+3bm-2 + 8ax+2bm-3 entre – 2ax+2bm-4
8.
9.
10. 14x2 – 12 + 22x entre 7x – 3
11. 3y5 + 5y2 – 12y + 10 entre y2 + 3
12. X6 + 6x3 – 2x5 – 7x2 – 4x + 6 entre x4 – 3x2 + 2
13. 22a2b4 – 5a4b2 + a5b – 40ab5 entre a2b + 2ab2 – 10b3
14. a6 -5a5 + 31a2 – 8a + 21 entre a3 – 2a – 7
15. 3m7 – 11m5 + m4 + 18m3 – 8m – 3m2 + 4 entre m4 – 3m2 + 4
16. X5 + y5 entre x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4
17. x2a+5 – 3x2a+3 + 2x2a+4 – 4x2a+2 + 2x2a+1 entre xa+3 – 2xa+1
18. a2nb3 – a2n-1b4 + a2n-2b5 – 2a2n-4b7 + a2n-5b8 entre anb – an-1b2 +2an-2b3 – an-3b4
19.
20.
INDICADORES BÁSICOS – RAZONES, PROPORCIONES, PORCENTAJES Y TASAS
Razón
Se define la razón como el valor que indica la relación cuantitativa existente entre dos cantidades.
Podemos decir que una razón se calcula, generalmente, entre las partes de un todo.
R x/y =
Ej.: Si en un salón de clase hay 50 niñas y 25 niños, ¿Cuál es la razón del número de niñas con
respecto al número de niños?
R H/V =
=
Por cada 2 niñas hay un niño
Proporción
La proporción es una razón, pero su diferencia con las razones anteriores, es que el denominador
del cociente es el número total de unidades enunciadas, es decir, la proporción se calcula
relacionando cada partes del todo con el todo. La suma total de toda proporción es igual a la
unidad.
X + Y + ----------------------------+ Z / T
P X/T =
; PY/T =
P X/T + PY/T
; …………………….. ;PZ/T =
+ -------------------------
+ PZ/T = 1
Ej: Si en un salón de clase hay 60 alumnos de los cuales 36 son niñas y 24 niños, ¿Cuál es la
proporción del número de niñas y niños del salón?
P H/T =
=
P V/T =
0,6
=
= 0,4
P H/T + P V/T = 0,6 + 0,4 = 1
Porcentaje
Se llama porcentaje a una proporción multiplicada por 100. La suma total de todo procentaje es
igual a cien.
X + Y + ………………………………….+ Z / T
,………………...,
,
+,…………….....,
+
=
100
Ej: Si en un salón de clase hay 60 alumnos de los cuales 36 son niñas y 24 niños, ¿Cuál es el
porcentaje del número de niñas y niños del salón?
=
=
60
=
*100 =
*100 = 40
Es evidente que el 100 % de un numéro es el mismo número. As, el 100 % de 9 es 9. En el
porcentaje se pueden presentar cinco casos.
1. Hallar el porcentaje de un número
Hallar el 17 % de 47
Diremos :
100 %...............47
17 %................ x
x=
= 7,99
2. Hallar un número cuando se conoce un porcentaje de él
¿De qué número es 54 el 27 % ?
Diremos
27 %....................54
100%.....................x
x=
= 200
3. Dados dos números, averiguar que porcentaje es uno del otro
¿Qué porcentaje de 9.400 es 2.350 ?
Diremos
9.400 ....................100 %
2.350.....................x
x=
= 25 %
4. Porcentaje más
Se trata de hallar un número sabiendo el % que otro número es más que él.
¿De qué número es 495 el 10 % mas ?
El número que buscamos lo representamos por su 100 %. Si 495 es el 10 % más que ese
número, 495 sera el 100 % + 10 % igual a 110 % del número buscado.
Diremos
110 % ....................495
100 %.....................x
x=
= 450
5. Porcentaje menos
Se trata de hallar un número conociendo el porcentaje que otro número es menos que él.
¿De qué número es 330 el 12 % menos ?
El número que buscamos lo representamos por su 100 %. Si 330 es el 12 % menos que
ese número, 330 sera el 100 % - 12 % igual a 88 % del número buscado.:
Diremos
88 % ....................330
100 %.....................x
x=
= 375
Tasa
Son las que indican las variaciones existentes entre dos cantidades. Al decir variación significa que
esta puede ser de aumento o de disminución
Porcentaje de aumento: Pa =
Porcentaje de disminución: Pd =
Donde M = cifra mayor y m = cifra menor
El cuadro siguiente nuestra la producción de arroz, en toneladas, en el estado Guárico para el
periodo 2000 - 2005.
AÑO
TONELADAS
2000
25.486
2001
28.489
2002
30.458
2003
25.650
2004
29.459
2005
32.500
Determine el porcentaje de crecimiento de la producción entre los años 2000 al 2001
Pa =
=
= 11,48 %
Determine el porcentaje de disminución de la producción entre los años 2002 al 2003
Pa =
=
= (15,79 %)
VEAMOS UN EJEMPLO COMPLETO
1. Dada la siguiente serie cronológica realizada a través de un censo en una urbanización:
AÑO
1981
1982
1983
1984
1985
POBLACIÓN
TOTAL
5.210
5.432
5.768
5.800
6.020
En base a los datos anteriores:
MUJERES
2.605
2.988
4.038
4.222
4.500
HOMBRES
2.605
2.444
1.730
1.578
1.520
1.- Calcular la tasa de crecimiento interanual de la población total.
P82/81 =
=
= 4,26 %
P83/82 =
=
= 6,19 %
P84/83 =
=
= 0,55 %
P85/84 =
=
= 3,79 %
2.- Cuál es la razón del número de mujeres con respecto a los hombres, para cada uno de
los años.
=1
= 1,22
= 2,33
= 2,68
= 2,96
3.- Cuál es la proporción de mujeres y hombres con respecto a la población en cada uno de
los años.
= 0,5
= 0,5
= 055
= 0,45
= 0,70
= 0,30
= 0,73
= 0,27
= 0,75
= 0,25
SUMATORIAS
El símbolo
definición
se utiliza para indicar la suma de todas las xi desde i = 1 “a” i = n, es decir, por
= x1 + x2 + x3 + …………………………+ xn
Cuando no cabe confusión posible se representa esta suma por la notación más simple
Propiedades
1. La sumatoria de una constante, es igual al límite superior de la sumatoria por la constante
= n * k desarrollando tenemos
= k + k + …n veces…+ k sacando factor común a k, tenemos
= k(1 +1 +… (n veces)……. +1) = n*k
2. La sumatoria de una constante por una variable, es igual a la constante que multiplica a la
sumatoria de la variable
= k
desarrollando tenemos
= kx1 + kx2 + …….+ kxn sacando factor común a k, tenemos
= k(x1 +x2 + …..+ xn) = k
3. La sumatoria de la suma o diferencia de dos o más variables, es igual a la suma o
diferencia de los sumatorias de las variables
4.
=
desarrollando tenemos
= (x1 +y1) + (x2 + y2) + …….+ (xn+ yn) agrupando tenemos
= x1 + x2 + …..+ xn + y1 + y2 + …..+ yn =
5. La sumatoria de los cuadrados de una variable es diferente al cuadrado de la sumatoria
)2
Xi
X2i
4
16
9
81
5
25
8
64
6
36
32
222
222
(32)2 = 1.024
6. Las sumatoria del producto de dos o más variable, es diferente del producto de la
sumatorias
182
32*29 = 918
xi
yi
xi.yi
4
7
28
9
3
27
5
5
25
8
9
72
6
5
30
32
29
182
Ejercicios y problemas
1. Desarrolle las siguientes sumatorias:
a.
b.
c.
+ 5)3
=
d.
e.
kk
f.
-4
g.
=
2. Exprese cada una de las siguientes sumas mediante la notación sumatorias:
Y21 + Y22 + Y23 + Y24 + Y25 + Y26
f1x1 + f2x2 + f3x3 + f4x4+ ………+fnxn
b.
c. (y1 + 5)3 + (y2 + 5)3 + (y3 + 5)3 +(y4 + 5)3
d. 11 + 22 + 33 +44 +55 +66 +77 +88 +99
a.
3. Demostrar que:
a.
b.
c.
Σ(xi - 1)2= Σx2i + 2Σxi + n
) =
+ aΣxi + bΣxi + nab
ELIMINACIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Los signos de agrupación o paréntesis son de tres clases: el paréntesis,
llaves
.
el corchete
y las
Los signos de agrupación se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellos deben
considerarse como un todo, o sea como una sola cantidad.
Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo + se deja el mismo signo que tengan a
cada una de las cantidades que se hallan dentro de él.
Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo - se cambia el signo que tengan a cada
una de las cantidades que se hallan dentro de él.
Con el siguiente cuadro podemos recordar fácilmente la ley de los signos de la multiplicación o de
la división con números relativos.
+ por +
- por + por - por +
da + así mismo
da + así mismo
da - así mismo
da - así mismo
+
+
+
entre
entre
entre
entre
+
-
da
da
da
da
+
+
-
1.- Eliminar los signos de agrupación en la expresión y reducir términos semejante:
x +(y – z) +2x – (x +y) = x + y – z + 2x –x –y = 2x - z
2.- Eliminar los signos de agrupación en la expresión y reducir términos semejante:
5x +(-x – y) -
+
=x–6
3.- Eliminar los signos de agrupación en la expresión y reducir términos semejante:
3a +
= 3a +
= 3a + { -5x + a - 9x + a + x}
= 3a - 5x + a - 9x + a + x
= 5a - 13x
4.- Eliminar los signos de agrupación en la expresión y reducir términos semejante:
- [ - 3a - { b +[ - a + (2a – b) – ( -a +b)] +3b} + 4a] = - [ - 3a - { b + [ - a + 2a – b + a – b ] +3b } + 4a]
= - [ - 3a - { b - a + 2a – b + a – b +3b } + 4a]
= - [ - 3a - b + a - 2a + b - a + b - 3b + 4a ]
= 3a + b - a + 2a - b + a - b + 3b - 4a
= a +2b
Regla general para introducir cantidades en signos de agrupación
1.- Para introducir cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo + se deja a
cada una de las cantidades con el mismo signo que tenga. Ejemplo:
Introducir los tres últimos términos de la expresión 2x3 – 3x2 + 4x - 6 en un paréntesis precedido
del signo + .
2x3 – 3x2 + 4x - 6 = 2x3 + (– 3x2 + 4x – 6)
2.- Para introducir cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo - se cambia
el signo a cada una de las cantidades que se incluyen en él. Ejemplo:
Introducir los tres últimos términos de la expresión 2x3 – 3x2 + 4x - 6 en un paréntesis precedido
del signo - .
2x3 – 3x2 + 4x - 6 = 2x3 - (3x2 - 4x + 6)
Ejercicios y problemas
Efectuar las siguientes operaciones
1. 150 – [(5 – 1) – (4 – 3)]
R: 147
2. 520 + {8 – 3 +[9 – (4 +2 -1)]}
R: 529
3. 500 – {6 +[(14 – 6) – (7 – 2) + (4 – 1)]}
R: 488
4. 8 + {9 - [6 – (5 – 4)]} +14 – {11 – [7 – (3 – 2)]}
R: 21
5. 250 – [(6 + 4) – (3 – 1) + 2] + {16 – [(8 + 3) – (12 – 10)]}
R: 247
6. x – [3a + 2(-x + 1)]
R: 3x – 3a - 2
7. – [3x – 2y + (x – 2y) – 2(x + y) – 3(2x + 1)]
R: 4x + 6y + 3
8. a – (x + y) – 3(x – y) +2[- (x – 2y) – 2(-x – y)]
R: a -2x + 10y
9. m – 3(m + n) + { - [ - (- 2m + n – 2 – 3[m – n – 1]) + m}
R: - 8m + n - 5
10. – {a + b – 2(a – b) + 3{ - [2a + b -3(a + b – 1)]} – 3[-a + 2( -1 +a )]}
R: a – 9b + 3
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
Concepto de ecuación
Una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas
incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas.
De esta manera podemos ver que 3x + 8 = 32 es una ecuación, porque es una igualdad en la que
hay una incógnita, la x, y esta igualdad solo se verifica, o sea que solo es verdadera, para el valor
x = 8. En efecto, si sustituimos la x por 8 tenemos 3(8) + 8 = 32 ; o sea 32 = 32
Si damos a x un valor distinto a 8, la igualdad no se verifica o no es verdadera.
Miembro
Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que esta a la izquierda
del signo de la igualdad o identidad y se llama segundo miembro, a la expresión que está a la
derecha. Asi en la ecuación 6x – 10 = 4x – 6 el primer miembro es 6x – 10 y el segundo miembro
es 4x – 6
Términos
Llamaremos términos a cada una de las cantidades que están conectadas con otra por el signo + o
-, o la cantidad que está sola en un miembro. Así, en la ecuación 6x – 10 = 4x – 6 los términos
son : 6x, – 10, 4x y - 6
Clase de ecuaciones
1. Una ecuación numérica es una ecuación que no tiene más letras que las incógnitas, como
8x – 10 = 2x + 8 donde la única letra es la incógnita x.
2. Una ecuación literal es una ecuación que ádemas de las incógnitas tiene letras, que
representan contidades conocidas, como : 6x + 4a = 10b - bx
3. Una ecuación es entera cuando ninguno de sus términos tiene denominador como en los
casos enteriores, y es fraccionaria cuando algunos o todos sus términos tienen
denominador, como :
Grado
Grado de una ecuación con una sola incognita es el mayor exponente que tiene la incógnita en la
ecuación. Así, 8x – 12 = 6x – 2 y ax + d = cx – e son ecuaciones de primer grado porque el mayor
exponente de x es 1.
Raices o soluciones
Raices o soluciones de una ecuación son los valores que verifican la ecuación, es decir, que
sustituidos en lugar de las incógnitas, convierten la ecuación en identidad.
Transposición de términos
La transposición de términos consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a
otro. Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro cambiándolo el
signo.
5x + b = 4a + c pasemos b para el segundo miembro 5x = 4a + c - b
Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación varie,
porque esto equivales a multiplicar los dos miembros de la ecuación por -1, con lo cual la igualdad
no varia.
- 4x – 6 = 2x – 15 multiplicamos ambos miembros por (-1) 4x + 6 = - 2x + 15
Procedimiento para la resolución de ecuaciones de primer grado
1. Se efectúan las operaciones indicadas si las hay
2. Se realizan las transposiciones de términos, reuniendo en un miembro todos los términos
que contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.
3. Se reducen términos semejantes en cada miembro.
4. Se despeja la incógnita aplicando el procedimiento correspondiente
Veamos algunos ejemplos:
1. 6x – 10 = 2x + 6 pasemos términos en ambos miembros, tendremos :
6x – 2x = 6 + 10
4x = 16
x=
x=4
2. 5x +{ -2x +(-x + 6)]} = 18 – { -(7x + 6) – (3x – 24)} eliminamos signos de agrupación
5x +{ -2x -x + 6} = 18 – { -7x - 6 – 3x + 24}
5x -2x -x + 6 = 18 +7x + 6 + 3x – 24 pasamos términos
5x - 2x - x – 7x – 3x = 18 + 6 – 24 – 6
2
- 8x = - 6
2
3. (3x – 1) – 3(2x + 3) + 42 = 2x(-x – 5) – (x – 1)
binomios :
2
2
2
2
2
x=
x=
desarrollaremos los cuadrados de los
2
9x – 6x + 1 -3(4x +12x + 9) + 42 = 2x( -x - 5) – (x - 2x + 1) suprimiendo paréntesis
2
2
9x – 6x + 1 - 12x - 36x - 27 + 42 = -2x - 10x – x + 2x – 1 pasamos términos
2
2
2
2
9x – 6x - 12x - 36x +2x + 10x + x - 2x = – 1 -1 + 27 – 42
- 34x = -17
x=
x=
4.
Realizamos las multiplicaciones indicadas
El m.c.m de 5, 3 y 6 es 30. Quitamos denominadores
6(x – 2) – 30(2x – 3) = 10(8x + 2) – 5(2x + 7) Realizamos las multiplicaciones indicadas
6x – 12 – 60x + 90 = 80x + 20 – 10x – 35 pasamos términos
6x– 60x - 80x +10x = 20 – 35 + 12 - 90
- 124x = - 93
x=
x=
5.
Hallaremos el m.c.m de los denominadores, descomponiendo los binomios en factores
2
x + 2x – 3 = (x+ 3)(x + 1)
2
x – 9 = (x +3)(x - 3)
2
x - 4x + 3 = (x – 3)(x – 1)
El m.c.m es : (x +3)(x - 3)(x -1)
Dividiendo (x +3)(x - 3)(x -1) entre la descomposición de cada denominador y
multiplicando cada cociente por el numerador respectivo, tendremos :
(x -2)(x -3) – (x -1)(x +1) = 4(x + 3)
2
2
2
2
x – 5x +6 – (x -1) = 4x + 12
x – 5x + 6 – x +1 = 4x + 12
2
2
x – 5x – x - 4x = 12 - 6 - 1
x=
- 9x = 5
x=-
6. a(x + a) – x = a(a – 1) +1
2
2
ax + a – x = a + a + 1
2
2
ax – x = a + a + 1 - a
x(a – 1) = a +1
x=Ejercicios y problemas
Resolver las siguientes ecuaciones
1. 5x + 6 = 10x + 5
R:x=
2. 8x – 4 + 3x = 7x + x + 14
R:x=6
3. 3x + 101 – 4x – 33 = 108 – 16x -100
R:x=-4
4. (5 – 3x) – (- 4x + 6)= (8x + 11) – (3x – 6)
5. 3x + [- 5x – (x + 3)] = 8x + (- 5x – 9)
6. 71 + [- 5x + (- 2x + 3)] = 25 – [ - (3x + 4) – (4x + 3)]
7. 7(18 – x) – 6(3 – 5x) = - (7x + 9) – 3(2x + 5) – 12
8. (x + 1)(2x + 5) = (2x + 3)(x – 4) + 5
9. 2(x – 3)2 – 3(x + 1)2 + (x – 5)(x – 3) + 4(x2 – 5x + 1) = 4x2 – 12
10. 5(1 – x)2 – 6(x2 – 3x – 7) = x(x – 3) – 2x(x + 5) – 2
R:x=
R:x=1
R:x=3
R:x=-4
R:x=-1
R:x=1
R:x=
11.
R:x=
12.
R:x=-
13.
R:x=
14.
R:x=-2
15.
R : x = 14
16.
R:x= 8
17.
R:x=
18.
R:x=
19.
R:x=
20.
R : x - 11
21.
R:x= 7
22.
R:x=
23. x(a + b) – 3 – a(a – 2) = 2(x – 1) – x(a – b)
R:x=
24.
R:x= n-m
25.
R : x = 2a + 3b
PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES
Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyos resultados
pueden ser escritos por simple inspección, es decir, sin realizar la multiplicación.
Cuadrado de la suma de dos cantidades
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el duplo
de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
(a + b)2 =
1.
Desarrollas
2. Desarrollar
3. Desarrollar
4.
Desarrollar
+ 2ab +
(x + 5)2 = x2 + 2.x.5 + 52 = x2 + 10x + 25
(3a + 4b2)2 = (3a)2 + 2(3a)( 4b2) + (4b2)2 = 9 +24a + 16b4
(4a2 + 6x3)2 = (4a2)2 + 2(4a2)( 6x3) + (6x3)2 = 16 a4 + 48 a2 x3 +36x6
(6a x4 + 8y5)2 = (6a)2 + 2(6a x4 )( 8y5) + (8y5)2 = 36 + 96a x4 y5 + 64y10
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos
el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
(a - b)2 =
1.
Desarrollas
2. Desarrollar
3. Desarrollar
4.
Desarrollar
- 2ab +
(x - 5)2 = x2 - 2.x.5 + 52 = x2 - 10x + 25
(3a - 4b2)2 = (3a)2 - 2(3a)( 4b2) + (4b2)2 = 9 -24a + 16b4
(4a2 - 6x3)2 = (4a2)2 - 2(4a2)( 6x3) + (6x3)2 = 16 a4 - 48 a2 x3 +36x6
(6a x4 - 8y5)2 = (6a)2 - 2(6a x4 )( 8y5) + (8y5)2 = 36 - 96a x4 y5 + 64y10
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades
La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado de minuendo (en la
diferencia) menos el cuadrado de la diferencia.
(a + b)(a – b) = a2 - b2
Efectuar (a + x)(a – x) = a2 - x2
Efectuar (2a + 3)(2a - 3) = (2a)2 - 32 = 4
2
2
- 9
2
Efectuar (n - 1)(n + 1) = n - 1 = n - 1
Efectuar (5an+1 + 3 am) (5an+1 - 3 am) = (5an+1 )2 - (3 am)2 = 25a2n+2 - 9 a2m
Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x – b)
El producto de dos binomios de la forma (x + a)(x – b) es igual al cuadrado del término común, mas
la suma algebraica de los términos no comunes multiplicada por el término común, mas el
producto algebraico de los términos no común.
(x + a)(x – b) = x2
(a – b)
Efectuar (x – 7)( x + 4) = x2 - 3x - 28
Efectuar (x3 + 8)(x3 – 5) = (x3)2 + 3x3 - 40 = x6 + 3x3 - 40
Cubo de la suma de dos cantidades
El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo de
cuadrado de la primera por la segunda, mas el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda,
mas el cubo de la segunda.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Desarrollar (x + 1)3 = x3 + 3x21 + 3x12 + 13 = x3 + 3x2 + 3x + 1
Desarrollar (4x + 5)3 = (4x)3 + 3(4x)25 + 3(4x)52 + 53 = 64x3 + 240x2 + 300x + 125
Cubo de la diferencia de dos cantidades
El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triplo
de cuadrado de la primera por la segunda, mas el triplo de la primera por el cuadrado de la
segunda, menos el cubo de la segunda.
(a + b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Desarrollar (x - 1)3 = x3 - 3x21 + 3x12 - 13 = x3 - 3x2 + 3x - 1
Desarrollar (4x - 5)3 = (4x)3 - 3(4x)25 + 3(4x)52 - 53 = 64x3 - 240x2 + 300x – 125
Ejercicios y problemas
Escribir por simple inspección, el resultado de:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
(a + 6)2
(7a + 12)2
(3a3 + 8b4)2
(8x2y + 9m3)2
(xa+1 + yx-2)2
(3a4 - 5b2)2
(x5 - 3ay2)2
(10x3 – 9xy5)2
(Xm – yn)2
(xa-1 – 3xa-2)2
(2a – 1)(1 + 2a)
(1 – 3ax)(3ax + 1)
(1 - 8xy)(1 + 8xy)
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
(am + bm)(am – bn)
(3xa – 6ym)(5ym + 3xa)
(a +b+ c)(a +b –c)
(m – n - 1)(m – n + 1)
(2a – b – c)(2a – b + c)
(x2 – 5x + 6)(x2 + 5x – 6)
(x3 – x2 – x)(x3 + x2 + x)
(x + 7)(x – 3)
(n – 19)(n + 10)
(x3 + 7)(x3 – 6)
(a2b2 – 1)(a2b2 + 7)
(ax+1 – 6)(ax+1 – 5)
(m + 3)3
(1 – 3y)3
(4n + 3)3
(a2 – 2b)3
(1 – a2)3
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
Factores
Se llama factores de una expresión algebraica a las operaciones algebraicas que multiplicadas
entre si dan como producto la primera expresión.
Asi, multiplicando x por (x + z) tenemos: x(x + z) = x2 + xz
por tanto x y (x + z), que multiplicados entre si dan como producto x2 + xz, son factores o divisores
de x2 + xz
Del mismo modo (x + 5)(x + 6) = x2 +11x +30
Diremos que (x + 5) y (x + 6) son factores de x2 +11x +30
Descomponer en factores o factorar una expresión algebraica es convertirla en el producto
indicado de sus factores.
Factorización de un monomio
Los factores de un monomio se pueden encontrar por simple inspección.
Así, los factores de 20xyz son 22.5.x.y.z, de acuerdo con esto entonces 22.5.x.y.z = 20xyz
Factorización de un polinomio cuando todos los términos tienen un factor común y este es un
monomio.
Descomponer en factores x2 + 3x
x2 y 3x contienen el factor común x. Escribimos el factor común x como coeficiente de un
paréntesis; dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir x2 x y 3x x obteniendo:
x2 + 3x = x(x + 3).
Descomponer en factores 10b - 30ab3
Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos 10 porque siempre se
saca el mayor factor común. De las letras, el único factor común es b porque está en los dos
términos de la expresión dada y la tomamos con su menor exponente b.
Por tanto el factor común es 10b. Lo Escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro
escribimos los cocientes de dividir 10b
b = 1 y -30ab3 10b = -3ab2 obteniendo:
10b - 30ab3 = 10b(1 - 3ab2)
Descomponer en factores 10x2 – 5x + 15x4 El factor común es: 5x obteniendo:
10x2 – 5x + 15x4 = 5x(2x – 1 + 3x3)
Descomponer en factores 36mxy2 + 54m2x2y2 -18my2 El factor común es: 18my2 obteniendo:
36mxy2 + 54m2x2y2 -18my2 = 18my2(2x + 3mx2 – 1)
Descomponer en factores 6xy3 + 9nx2y3 - 12nx3y3 + 3n2x4y3 El factor común es: 3xy3 obteniendo:
6xy3 + 9nx2y3 - 12nx3y3 + 3n2x4y3 = 3xy3(2 + 3nx -4nx2 + n2x3)
factorización de un polinomio cuando todos los términos tiene un factor común y este es un
polinomio.
1.- Descomponer en factores x(a + b) + m(a + b)
Los dos términos de este expresión tiene de factor común el binomio (a + b)
Se escribe (a + b) como coeficiente de un paréntesis y dentro del paréntesis se escribe los
cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a + b), es decir:
= x
y
por tanto tendremos:
x(a + b) + m(a + b) = (a + b)(x + m)
2.- Descomponer en factores 2x(a – 1) – y(a – 1)
Los dos términos de esta expresión tiene de factor común el binomio (a – 1), por tanto:
= 2x
y
= y por tanto tendremos:
2x(a – 1) – y(a – 1) = (a – 1)(2x -y)
3.- Descomponer en factores m(x + 2) + x + 2
Esta expresión podemos escribirla: m(x + 2) + (x + 2) = m(x + 2) +1(x + 2) donde el factor común
es (x + 2), factorizando tenemos:
m(x + 2) +1(x + 2) = (x + 2)(m + 1)
4.- Descomponer en factores a(x + 1) – x – 1
Esta expresión podemos escribirla: a(x + 1) – x – 1 = a(x + 1) – (x + 1) = a(x + 1) – 1(x + 1)
introduciendo los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo menos (-), donde el
factor común es (x + 1), factorizando tenemos:
a(x + 1) –1(x + 1) = (x + 1)(a – 1)
5.- Descomponer en factores 2x(x + y + z) - x – y – z agrupando tenemos
2x(x + y + z) - x – y – z = 2x(x + y + z) – (x + y + z) = (x + y + z)(2x – 1)
6.- Descomponer en factores (x – a)(y + 2) + b(y + 2) el factor común es: (y + 2)
(x – a)(y + 2) + b(y + 2) = (y + 2)(x – a + b)
7.- Descomponer en factores (x + 2)(x – 1) – (x – 1)(x – 3) el factor común es: (x – 1)
(x + 2)(x – 1) – (x – 1)(x – 3) = (x – 1)
= (x – 1)(x +2 – x + 3) = 5(x - 1)
8.- Descomponer en factores x(a – 1) + y(a – 1) – a + 1 agrupando tenemos
x(a – 1) + y(a – 1) – a + 1 = x(a – 1) + y(a – 1) – ( a – 1) el factor común es: (a – 1)
x(a – 1) + y(a – 1) – ( a – 1) = (a – 1)(x + y – 1)
Factor común por agrupación de término
Factorizar ax +bx +ay +by
Procederemos de la siguiente manera: Los primeros términos tienen el factor común “x” y los dos
últimos el factor común “y”. Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos
últimos en otro paréntesis precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo + y de
acuerdo con esto tendremos que:
ax +bx +ay +by = (ax +bx) + (ay +by) = x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)
La agrupación puede hacerse generalmente de muchas maneras con tal que los dos términos que
se agrupan tangan algún factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los
paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales, veamos el
ejemplo anterior:
ax +bx +ay +by = (ax + ay) + (bx + by) = a(x + y) + b(x + y) = (a +b)(x + y)
1.- Descomponer en factores 3a2 – 6ab + 4a – 8b agrupando tenemos:
3a2 – 6ab + 4a – 8b = (3a2 – 6ab) + (4a – 8b) = 3a(a - 2b) + 4(a + 2b) = (3a +4)(a + 2b)
2.- Descomponer en factores 2a2 – 3ab – 4a + 6b agrupando tenemos:
2a2 – 3ab – 4a + 6b = (2a2 – 3ab) – (4a - 6b) = a(2a -3b) – 2(2a – 3b) = (2a -3b)(a – 2)
3.- Descomponer en factores 2a2 – 3ab – 4a + 6b agrupando tenemos:
2a2 – 3ab – 4a + 6b = (2a2 – 4a) – (3ab – 6b) = 2a(a – 2) – 3b(a – 2) = (a – 2)(2a – 3b)
4.- Descomponer en factores x +z2 -2ax – 2az2 agrupando tenemos:
x +z2 -2ax – 2az2 = (x +z2) – (2ax + 2az2) = (x +z2) – 2a(x +z2) = (x +z2)(1 – 2a)
5.- Descomponer en factores ax –ay + az +x –y +z
agrupando tenemos:
ax –ay + az +x –y +z = (ax –ay + az) + (x –y +z) = a(x –y +z) + (x –y +z) = (a +1)( x –y +z)
6.- Descomponer en factores a2x – ax2 – 2a2y + 2axy + x3 – 2x2y
agrupando tenemos:
a2x – ax2 – 2a2y + 2axy + x3 – 2x2y = (a2x – ax2 + x3) – (2a2y - 2axy + 2x2y)
= x(a2 – ax + x2) – 2y(a2 – ax + x2)
= (x – 2y)( a2 – ax + x2)
Ejercicios y problemas
Factorar o descomponer en dos factores:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
8m2 – 12mn
24a2xy2 – 36x2y4
2a2x + 2ax2 – 3ax
a2b2c2 –a2c2x2+a2c2y2
25x7 – 10x5 + 15x3 – 5x2
100a2b3c – 150ab2c2 + 50ab3c3 -200abc2
a20 – a16 + a12 – a8 + a4 – a2
2x(n – 1) – 3y(n – 1)
1 – x +2a(1 – x)
x(2a + b + c) – 2a – b – c
a(x - 1) – (a + 2)(x – 1)
(x – 3)(x – 4) + (x – 3)(x + 4)
X(a + 2) –a -2 + 3(a + 2)
x2 – a2 + x – a2x
6ax + 3a + 1 + 2x
n2x – 5a2y2 – n2y2 + 5a2x
17.
18.
19.
20.
2am – 2an + 2a – m + n -1
3ax – 2by – 2bx – 6a + 3ay + 4b
2x3 – nx2 + 2xz2- nz2- 3ny2 + 6xy2
a2b3 – n4 + a2b3x2 – n4x2 – 3a2b3 + 3n4x
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Racionalizar el denominador de una fracción es transformar la fracción que tenga por
denominador un número irracional en otra fracción equivalente cuyo denominador sea racional,
es decir, que tenga raíz exacta, a fin de extraer esta raíz y que desaparezca el signo radical del
denominador.
Racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es un radical de segundo
grado
Se multiplican los dos términos de la fracción por el radical que multiplicado por el denominador
lo convierte en un cuadrado perfecto y se simplifica el resultado.
1. Racionalizar el denominador de
veamos,
=
2. Racionalizar el denominador de
veamos
=
=
=
=
=
=
==
3. Racionalizar el denominador de
Como 18 =
multiplicamos ambos términos de la fracción por
del 2 se haga par. Veamos:
=
=
=
para que el exponente
==
Racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es un radical de tercer
grado
Se multiplican los dos términos de la fracción por el radical que multiplicado por el denominador
lo convierte en un cubo perfecto y se simplifica el resultado.
Racionalizar el denominador de
Se multiplican ambos términos de la fracción por
=
=
Racionalizar el denominador de
=
y se efectúan operaciones:
=
=
Se multiplican ambos términos de la fracción por
y se efectúan operaciones:
=
=
=
Racionalizar el denominador de
Como 12 = .3 hay que multiplicar ambos términos por
múltiplos de 3 y tendremos:
=
=
=
para que los exponentes queden
= =
Racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es un binomio que
contiene radicales de indice dos
Se multiplican los dos términos de la fracción por la expresión conjugada del denominador.
Racionalizar el denominador de
Multiplicamos los dos términos de la fracción por
=
=
Racionalizar el denominador de
Multiplicamos los dos términos de la fracción por
=
=
=
=
Ejercicios y problemas
Racionalizar el denominador de las siguientes fracciones.
1.
R:
2.
R:
3.
R: xy
4.
R:
5.
R:
=
=
6.
R:
7.
R:
8.
R: 7 -
9.
R:
10.
R:
NÚMERO FACTORIAL – TEORÍA COMBINATORIA
Número factorial
El factorial de un número cualquiera n se denota por n ! y viene definido por :
n ! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)………………..3.2.1
veamos algunos ejemplos :
6 ! = 6.5.4.3.2.1 = 720
5 !.4 ! = (5.4.3.2.1)(4.3.2.1)= 120.24 = 2.880
Por convenio se considera que 0 ! = 1
Los números factoriales se pueden eliminar entre si, pero no esta permitido eliminar el
factorial de un número con un número simple, veamos :
pero
5!
Teoría combinatoria
La teoria combinatoria estudia la ordenación de las cosas o elementos. La distinta ordenación
de las cosas o elementos origina las variaciones, las permutaciones y las combinaciones.
Permutaciones
Se llama permutacióna los grupos que se pueden formar con varios elementos entrando todos
en cada grupo, de modo que un grupo se diferencie de otro cualquiera en el orden en que
estan colocados los elementos.
Las permutaciones que se pueden formar con las letras a, b, c son :
abc, acb, bac, bca, cab,cba
En general, dados n elementos, para formar una permutacion se elige uno cualquiera de los n
elementos, luego cualquiera de los (n – 1) y así sucesivamente, por lo que el número de
permutaciones sera :
Pn = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)………………..3.2.1 = n !
Ejemplo : cuantas permutaciones se pueden obtener con las letras a, b, c, d, e
P5 = 5.4.3.2.1 = 120
Ejercicios y problemas
1.
2.
3.
4.
En una clase de 20 pupitres, de cuántas maneras se pueden sentar 20 alumnos ?
¿De cuántas formas pueden colocarse 6 libros en un estante ?
¿De cuánta maneras pueden sentarse 10 personas a un mismo lado de una mesa ?
Con 9 jugadores, ¿de cuántos modos se puede disponer una novena si el pitcher y el
cather son siempre los mismos.
Variaciones
Se llama variaciones, al número de distintos grupos que se pueden formar con r elementos
elegidos entre los n elementos de un conjunto dado, siendo n r. Estos grupos que se pueden
formar con varios elementos (letras, objetos, personas) tomandolos uno a uno, dos a dos, tres
a tres, etc de modo que dos grupos del mismo numero de elementos se diferencien por lo
menos en un elemento, si tienen los mismos elementos, por el orden en que estan colocados.
Así, tendremos que :
Vn,r =
Ejemplo : Cuantas variaciones de dos letras se pueden formar con las letras a, b, c, d, e
V5,2 =
= 5.4 = 20
ab ba ca da ea
ac bc cb db eb
ad bd cd dc ec
ae be ce de ed
Ejercicios y problemas
1. Hallar el número de variciones en los siguientes casos :
a. V6 , 4
b. V5 , 3
c. V8 , 5
d. Vx + 2 , 4
e. Vm , m
f. Vm , m - 2
g. Vm + 1 , m - 1
h. V2 , 1 + V3 , 2 + V4 , 3
i. Vm , n – (m – n + 1) Vm , n – 1
j.
–
k.
2. Resolver las siguientes ecuaciones :
a.
b.
c.
d.
Vx , 2 + Vx - 1 , 2 = 32
V7 , x = 5V7 , x -1
Vx , 3 + Vx - 1 , 3 = 55(x – 1)
Vx+3 , 3 - Vx +2 , 2 - Vx - 1 , 1 = 96
3. Se forman banderas tricolores sin repeticion a franjas horizontales con los siete
colores del arco iris, averiguar :
a.
b.
c.
d.
¿Cuántas se pueden formar ?
¿Cuántas de ellas tendrán la franja superior roja ?
¿Cuántas de ellas tendrán la franja superior roja y la inferior azul ?
¿En cuántas de ellas intervendrán al mismo tiempo el color verde y el amarillo
Combinaciones
Se llaman combinaciones a los grupos que se pueden formar con varios elementos uno a uno,
dos a dos, tres a tres, etc., de modo que dos grupos que tengan el mismo número de elementos
se diferencien por lo menos en un elemento. Así, tendremos que :
Cn,r =
Ejemplo : ¿Cuántas combinaciones de dos letras se pueden formar con las letras a, b, c, d, e ?
C5,2 =
=
=
= 10
ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de
Ejercicios y problemas
1. Calcular el número de combinaciones en cada uno de los sigiuentes casos :
a.
b.
c.
d.
e.
f.
C8 , 2
C7 , 2
C5 , 5
Cm n - 1
Cm – 1 , n + 3
Cm + 2 , m - 2
2. Calcular el valor de las expresiones indicadas en los siguientes casos :
a.
b.
c.
d.
3. Resolver las siguientes ecuaciones :
4.
5.
6.
7.
8.
9.
a. Cx + 3 , 2 - Cx + 2 , 2 = 5
b. C5 , x = 10C4 , x - 1
c. C6 , x + 1 = C7 , x + 2
d. C6 x + 1 = C5 , x - 1
Se dispone de 6 consonentes y cinco vocales para componer palabras que deben estar
formadas por cuatro consonantes y tres vocales.¿Cuántas palabras distintas se podran
formar en estas condiciones ?
De cuántas formas pueden 10 objetos dividirse en dos grupos de 4 y 6 objetos
respectivamente.
De cuántas formas puede elegirse un comité de 5 personas de entre 9 personas.
De un total de 5 matemáticos y 7 físicos, se forma un comite de 2 matemáticos y 3
físicos. ¿De cuántas formas puede formarse, si :
a. Puede pertenecer a él cualquier matemático y físico
b. Un físico determinado debe pertenecer el comité
c. Dos matemáticos determinados no pueden estar en el comité
En un examense ponen 8 temas para que el alumno escoja 5. ¿Cuántas selecciones
puede hacer el alumno
De entre 8 candidatos, ¿Cuántas ternas pueden hacerse ?
DESIGUALDADES - INECUACIONES
Desigualdad
Una desigualdad expresa que una cantidad real o una expresión, es mayor o menor que otra.
A continuación se indica el significado de los signos de desigualdad.
1
2
3
4
5
6
a > b significa que a es mayor que b (o bien que a – b es un número positivo)
a < b significa que a es menor que b (o bien que a – b es un número negativo)
a b significa que a es mayor o igual que b
a b significa que a es menor o igual que b
0 < a < 2 significa que a es mayoe que 0, pero menor que 2
–2
significa que x es mayor o igual que – 2, pero menor que 2
Miembros
Se llama primer miembro de una desigualdad a la expresión que está a la izquierda y el segundo
miembro a al que está a la derecha del signo de desigualdad.
Así, en x + y > a – b el primer miembro es x + y y el segundo a – b
Términos
Los términos de una desigualdad las cantidades que están separadas de otras por el signo m + o –
o la cantidad que está sola en un miembro.
En la desigualdad anterior los términos son x, y, a y – b
Propiedades de las desigualdades
1 Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o se resta una misma cantidad, el signo
de la desigualdad no varía
Así, dada la desigualdad x > y podemos escribir x + a > y + a y x - a > y - a
Un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miembro a otro
cambiándole el signo
Así, en la desigualdad a > b + c podemos pasar c al primer miembro con signo – y quedará
a – c > b, porque equivale a restar c a los dos miembros.
En la desigualdad a - b > c podemos pasar b al segundo miembro con signo + y quedará
a > b + c + , porque equivale a sumar b a los dos miembros.
2
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad
positiva, el signo de la desigualdad no varía.
Así, dada la desigualdad x > y y siendo z una cantidad positiva, podemos escribir :
xz > yz y
Se pueden suprimir denominadores en una desigualdad, sin que varie el signo de la
desigualdad, porque ello equivale a multiplicar todos los términos de la desigualdad, o sea
sus dos miembros, por el m.c.m de los denominadores.
3
4
5
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad
negativa, el signo de la desigualdad varía.
Así, si en la desigualdad a > b multiplicamos ambos miembros por – c, tendremos – ac < bc
Y dividiéndolos por – c, o sea multiplicar por
, tendremos :
Si se cambia el signo a todos los términos, o sea los dos miembros de una desigualdad, el
signo de la desigualdad varía porque equivale a multiplicar los dos miembros de la
desigfualdad por – 1
Así, si en la desigualdad a – b > - c cambiamos el signo a todos los términos, tendremos :
b–a<c
Si en una desigualdad se cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de
signo. Así, si a > b es evidente que b < a
Si en una desigualdad se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo.
Así, si a > b se tiene que
6
Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia
positiva, el signo de la desigualdad no cambia.
Así, 7 > 5. Elevando al cuadrado 72 > 52 o sea 49 > 25
7 Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una potencia impar positiva,
el signo de la desigualdad no cambia.
Así, - 5 > - 8. Elevando al cubo : (- 5)3 > (- 8)3 o sea – 125 > - 512
4 > - 4. Elevando al cubo : 43 > (- 4)3 o sea 64 > - 64
8 Si en una desigualdad los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia
par positiva, el signo de la desigualdad cambia.
Así, - 5 > - 8. Elevando al cuadrado (- 5)2 = 25 y (- 8)2 = 64, o sea 25 < 64
9 Si en una desigualdad un miembro es positivo y otro negativo y ambos se elevan a una
misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar.
Así, 4 > - 6. Elevando al cuadrado 42 = 16 y (- 6)2 = 36 y queda 16 < 36 cambia
Si 7 > - 3. Elevando al cuadrado 72 = 49 y (- 3)2 = 9 y queda 49 > 9 no cambia
10 Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma raíz
positiva, el signo de la desigualdad no cambia.
Así, si c > d y n es positivo, tendremos que :
11 Si dos o más desigualdades del mismo signo se suman o multiplican miembro a miembro,
resulta una desigualdad del mismo signo.
Así, a > b y c > d, tendremos que : a + c > b +d y ac > bd
12 Si dos desigualdades del mismo signo se restan o se dividen miembro a miembro, el
resultado no es necesariamente una desigualdad del mismo signo, pudiera ser una
igualdad.
Así, 9 > 7 y 4 > 1. Restando miembro a miembro : 9 – 4 = 5 y 7 – 1 = 6 queda 5 < 6 ; cambia
Sea, 12 > 10 y 6 > 5. Si dividimos miembro a miembro estas desigualdades tendremos :
luego que una igualdad 2 = 2
Inecuaciones
Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas)
y que sólo se verifica para determinados valores de la incógnita.
Así, la desigualdad 2x – 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y solo se verifica
para cualquier valor de x mayor que 8. En efecto ; Para x = 8 se convertiria en una igualdad y para
x < 8 se convertiria en una desigualdad de signo contrario.
Resolver una inecuación es hallar los valores de las incógnitas que satisfacen la inecuación.
Laresolución de las inecuaciones se funda en las propiedades de las desigualdades y en las
consecuencias que de las mismas se derivan.
Veamos algunos ejemplos :
1
Resolver la inecuación 2x – 3 > x + 5 transponiendo términos
2x – x > 5 + 3, por tanto x > 8
8 es el límite de x, es decir, que la desigualdad dada sólo se verifica para los valores de x
mayores que 8.
2
Hallar el límite de x en 7 Suprimiendo denominadores : 42 – 3x > 10x – 36 transponiendo términos
- 3x -10x > -36 – 42 o sea – 13X > -78 cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace
cambiar el signo de la desigualdad, se tiene que : 13x < 78, finalmente x <
=6
6 es el límite superior de x, es decir, que la desigualdad dada sólo se verifica para los
valores de x menores que 6.
3
Hallar el límite de x en (x + 3)(x – 1) < (x – 1)2 + 3x
Resolviendo tenemos : x2 + 2x – 3 < x2 – 2x +1 + 3x transponiendo términos
x2 + 2x – x2 + 2x – 3x < 1 +3, o sea x < 4, 4 es el límite superior de x
Ejercicios y problemas
Hallar el límide x en las inecuaciones siguientes :
1
2
3
4
5
x – 6 > 21 – 8x
3x – 4 +
3(x – 2) + 2x(x + 3) > (2x – 1)(x + 4)
(2x – 3)2 + 4x2(x – 7) < 4(x – 2)3
TEORÍA DE CONJUNTOS
Un conjunto es cualquier lista bien definida o cualquier colección de objetos, y sera
representado por las letras mayúsculas A, B, C, X, Y ….. Los objetos que integran el conjunto se
llaman sus elementos o miembros y se denotan por la letras minúsculas a, b, c, x, y ……
El enunciado p es un elemento de A o, en forma equivalente, ‘‘p pertenece a A’’, se escribe :
p
En forma equivalente la negacion de que ‘’p no pertenece a A’’, se escribe :
p
Hay dos maneras para especificar un conjunto
1. Por extensión, que consiste en enumerar todos sus elemento. Por ejemplo :
A = {a, e, i, o, u}
Denota el conjunto A cuyos elementos son las letras a, e, i, o, u. Notemos que los
elementos van separados por comas y encerrados entre llaves { }
2. Por compresión, que consiste en enunciar aquellas propiedades que caracterizan los
elementos del conjunto. Por ejemplo :
B = {x : x es un entero, x>0}
Que se lee ‘‘B es el conjunto de los x tales que x son enteros y mayores que cero’’
Describe el conjunto B cuyos elementos son los enteros positivos. Una letra
generalmente x, se emplea para denotar un elemento representativo del conjunto ; los
dos puntos se leen como ‘’tal que’´y la coma como ‘’y’’
Veamos algunos ejemplos :
a. El conjunto B = {x : x es un entero, x>0} se puede escribir B = {1, 2, 3, 4…..}
Observemos que 4
pero -6
b. El conjunto A = {a, e, i, o, u} tambien se puede escribir :
A = {x : x es una letra del alfabeto, x es una vocal}
Observemos que u
pero p
c. Sea E = {x : x2 – 3x + 2 = 0}. En otras palabras, E consta de aquellos números
que son soluciones de la ecuación dada, llamado algunas veces el conjunto
solución de la ecuación, es decir : E = {1, 2}
Conjuntos iguales
Dos conjuntos A y B son iguales, se escribe A = B, si constan de los mismos elementos, es decir,
si cada elemento de A pertenece a B y cada elemento de B pertenece a A. La negacion de A = B
se escribe A
. Veamos un ejemplo :
Sea M = {x : x2 – 3x + 2 = 0},
N = {2, 1}
y
K = {1, 2, 2, 1, }
Entonces M = N = K. Observemos que un conjunto no depende de la manera como se
presenten sus elementos. Un conjunto queda igual aunque sus elementos se repitan o
reagrupen
Conjuntos finitos e infinitos
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Un conjunto es finito si consta exactamente de ‘’n’’
elementos diferentes, donde n es algún entero positivo ; de otra manera es Ͻun conjunto
infinito. Veamos algunos ejemplo :
1. Sea D el conjunto de los meses del año. En otras palabras :
D = {ene, feb, mar, abr, may, jun, jul, agos, sept oct nov, dic} entonces D es finito
2.
Subconjuntos
Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B o, de manera equivalente, B es un
superconjunto de A, y se escribe : A B o B A
Si cada elemento de A también pertenece a B ; esto es, x A implica x
También decimos
que A está contenido en B o B contiene a A : La Negacion de A B se escribe A ) B o B ) A y
establece que existe una x A tal que x
Veamos algunos ejemplos :
1. Consideremos los conjuntos
A = {1, 3, 5. 7. ….}, B = {5, 10, 15, 20……}
C = {x : x es primo, X > 2} = {3, 5,7, 11,……….}
Entonces C A ya que todo número primo mayor que 2 es impar. De otra parte
, B ) A ya que 10
pero 10
2. Sea N el conjunto de los enteros positivos, Z el conjunto de los enteros, Q el conjunto
de los números racionales y R el conjunto de los números reales. Entonces :
N
Z
Q
R
3. El conjunto H = {2, 4, 6} es un subconjunto del conjunto G = {6, 2, 4}, ya que cada
número 2, 4. 6 que pertenece a H también pertenece a G. En efecto H = G. De una
manera semejante puede demostrarse que todo conjunto es un subcobjunto de si
mismo
Como se anotó en el ejemplo precedente, A B no excluye la posibilidad de A = B. En efecto,
podemos dar una nueva definición de igualdad de conjunto como sigue :
Dos conjunto A y B son iguales si A B y B A
Conjunto universal
En cualquier aplicación de la teoría de conjuntos, todos los conjuntos que se investigan se
consideran subconjunto de un conjunto dado. Llamamos este conjunto el conjunto universal y
lo representaremos en este caso por W. Veamos algunos ejemplos :
1. En geometría plana, el conjunto universal consta de todos los puntos en el plano
2. En estudios de población humana, el conjunto universal consta de toda la gente en el
mundo
3. En el estudio de los números, el conjunto universal consta de todo el campo real
Conjunto vacio
El conjunto vacio o conjunto nulo, es un conjunto que no contiene elementos. Esta conjunto, se
simboliza por se considera finito y subconjunto de cualquier otro conjunto. Entonces para
cualquier conjunto A,
A
W. Veamos algunos ejemplos :
1. Sea A = {x : x2 = 4, x es impar} entonces A =
2. Sea B el conjunto de personas de más de 200 años de edad. De acuerdo con la
estadisitcas vitales, B es un conjunto vacio.
3. Sea C el conjunto de las personas que miden más de 3 metros. De acuerdo con las
estadisticas, C es un conjunto vacio.
Operaciones entre conjuntos
Unión de conjuntos
La unión de dos conjuntos A y B , expresada por A
que pertenecen a A o a B :
A
B = {x : x
A o x
B, es el conjunto de todos los elementos
B}
Aqui el ‘’o’’se usa en el sentido y/o. Veamos un ejemplo
Ejemplo : Si A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 4, 6, 8} hallar A
A
B
B consta de los elementos en A o en B (o en ambos) : luego A
Intersección de conjuntos
La intersección de dos conjuntos A y B , expresada por A
que pertenecen tanto a A como a B :
A
B = {x : x
A y x
B, es el conjunto de los elementos
B}
Ejemplo : Si A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 4, 6, 8} hallar A
A
B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
B
B consta de los elementos que están en A y en B : luego A
B = {1, 4}
Si A B = esto es si A y B no tienen ningún elemento en común, entonces se dice que A y
B son disjuntos o no se intersectan.
Complemento relativo
El complemento relativo de un conjunto B con respecto a un conjunto A o, simplemente, la
diferencia de A y B, expresada por A \ B, es el conjunto de elementos que pertenece a A pero
no pertenece a B
A B = {x : x A y x B}
Obervemos que A B y B son disjuntos, ya que (A B)
B=
Ejemplo : Si B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6} hallar B C
B C consta de los elementos de B que no estan en C ; luego B C = {2, 8}
Complemento absoluto
El complemento absoluto o, simplemente, complemento de un conjunto A, expresado por Ac,
es el conjunto de los elementos que no pertenecen a A :
Ac = {x : x
W y x
A}
Esto es, Ac es la diferencia del conjunto universal W y el conjunto A
Ejemplo : Si W = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A = {1, 2, 3, 4]
Ac consta de los elementos en W que no están en A ; luego Ac = {5, 6, 7, 8, 9}
Los siguientes diagramas, que se llaman diagramas de venn, muestran las operaciones entre
conjuntos. Aquí los conjuntos se representan por medio de áreas planas y W el conjunto
universal por el área de todo el rectángulo.
A
B
A
A\B
Ac
Leyes del algebra de conjuntos
1. Leyes de idempotencia
a. A
b. A
2. Leyes asociativas
a. (A
b. (A
3. Leyes conmutativas
a. A
b. A
4. Leyes distributivas
a. A
b. A
5. Leyes de identidad
a. A
)
)
b. A
c. A
d. A
6. Leyes de complemento
a. A Ac = W
b. A Ac
c. (Ac)c = A
d. Wc =
7. Leyes de morgan
a. (A B)c = Ac Bc
b. (A B)c = Ac Bc
Ejercicios y problemas
1. Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6} donde W = {1, 2, 3, 4, 5,……….}, Hallar :
a. A B
R : A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b. A B
R : A B = {3, 4}
c. A \ B
R : A \ B = {1, 2}
d. Ac
R : Ac = {5, 6, 7, ……….}
2. Sean W = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} y c ={3, 4, 5, 6} hallar :
a. Ac
R : Ac = {5, 6, 7, 8, 9}
b. A C
R : A C = {3, 4}
c. (A C)c
R : (A C)c = {1, 2, 5, 6, 7, 8, 9}
d. A B
R : A B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
e. B \ C
R : B \ C = {2, 8}
3. Sean W = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, b, c, d, e}, B = {a, c, e, g} y C = {b. e. f. g}. Hallar
a. A C
R : A C = {a, b, c, d, e, f, g} = W
b. B A
R : B A = {a, c, e}
c. C \ B
R : C \ B = {b, f}
d. Bc C
R : Bc C = {b, d, e, f, g}
e. Cc A
R : Cc A = {a, c, d} = Cc
f. (A C)c
R : (A C)c = {b, e, f, g}
c
c
g. (A B )
R : (A Bc)c = {b, d, f, g}
c
c
h. (A A )
R : (A Bc)c = {a, b, c, d, e, f, g} = W
4.
Sea A = {x : 3x = 6}. ¿Es A =2 ? R : A es el conjunto que consta del elemento 2, esto es, A = {2}
El número 2 pertenece a A ; no es igual a A. Existe uns diferencia
básica entre un elemento p y el conjunto de un solo elemento {p}.
5. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son iguales {a, b, c}, {c, b, a, c}, {b, c, b, a}, {c, a, c, b}?
R : Todos son iguales, El orden y la repeticón no altera un conjunto
6. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son finitos
a. Los dias de la semana
b. {1, 2, 3, 4, 5, ……….98, 99, 100}
c. los habitantes de la tierra
R : Finito
R : Finito
R : Finito
d.
e.
f.
g.
h.
{x : x es un número par}
{1, 2, 3, 4, 5, ………………….}
El conjunto de las letras del alfabeto
El conjunto de los números que son multiplos de 5
El conjunto de animales que viven en la tierra
7. Determinar cuáles de los conjuntos siguientes son iguales ; ,
R : Infinito
R : Infinito
R : Finito
R : Infinito
R : Finito
, {0}
R : Cada conjunto es diferente de los otros. El conjunto {0} contiene un elemento, el número cero. El conjunto
no contiene elemento ; es el conjunto vacio. El conjunto
contiene también un elemento, el conjunto
vacio.
8. Determinar si alguno de los conjuntos es vacio :
a. X = {x : x2 = 9, 2x = 4}
b. Y = {x : x
c. Z = {x : x + 8 = 8}
R : Vacio
R : Vacio
R : No es vacio
9. Demostrar que A = {2, 3, 4, 5} no es subconjunto de B = {x : x es par}
R : Es necesario demostrar que, por lo menos, un elemento de A no pertenece a B. Ahora bien, 3
consta de números pares, 3 B ; luego A no es subconjunto de B
y como B
10. Demostrar que si A B y B C, entonces A C
R : Debemos demostrarque todo elemeto de A también pertenece a C. Sea x A. Ahora bien A
x B. Pero B C ; luego x C. Hemos demostrado que x A implica x C, es decir, que A C
B implica que
11. Sean V = {d} , W = {c, d} , X = {a, b, c}, Y = {a, b} y Z = {a, b, d}. Determinar cuáles de
los siguiente enunciados son verdaderos y duáles falsos.
a. Y X
b. W
c. Z ) V
d. V X
e.
X=W
f. W Y
R : Como todo elemento de Y es elemento de X, Y X es verdadero
R:a
pero a
R:d
y también pertenece a Z ; luego Z ) V es verdadero
; luego W
es verdadero
R:d
pero d
luego V no es sunconjunto de X, V X es falso
R:a
pero a
; luego W
R:c
pero c
; luego W Y es falso
es falso
12. En cada uno de los diagramas de venn, cubra con rayas :
a. A
b. A
B
B
13. En el diagrama de venn que sigue sombrear :
a.
b.
c.
d.
Bc
(A B)c
(A B)c
Ac Bc
14. En el siguiente diagrama de venn, sombrear :
a. A
C)
b. (A B) (A C)
15. Demostrar que : B \ A = B
Ac
La operación diferencia de conjuntos puede escribirse en términos de las operaciones
de intersección y complementación.
R : B\A = {x : x
B, x
A} = { x : x
B, x
Ac} = B
16. Demostrar la ley distibutiva, es decir, A
R:A
C) = {x : x
A;x
C} = {x : x
Ac
C) = (A
A; x
B)
Bo x
(A
C}
C)
= {x : x
= (A
17. Demostrar que : (A\B)
En efecto : (A\B)
B = {x : x
A, x
B)
B; o x
(A
A, x
C } = {x : x
}
B=
A\B, x
B} = { x : x
A, x
18. Demostrar la Ley de Morgan, es decir, (A
B)c = {x : x
B;x
C)
B, x
B} =
El último paso proviene de que no hay ningún elemento x que cumpla x
En efecto : (A
A
A
B} = = { x : x
19. Demostrar : para cualquiera A y B, A
A, x
B)c = Ac
B y x
Bc
B} = { x : x
A
Ac, x
Bc} = Ac
Bc
B
En efecto : Sea x A
entonces x A y x B. En particular x
A
Además, si x A, entonces x A o x B, es decir. x
palabras, A
A B
20. Demostrar A
si y solo si A
=A
En efecto : Supongamos A . Sea x
x
De esta manera, A A
B
A. Como x A
A B. Por tanto,
A ; entonces, por hipótesis, x
B. Luego x
implica que x A,
A B. en otras
Ay x
B, luego
Por otra parte, es siempre verdadero que
Entonces
FUNCIONES
Definición de funciones
Si a cada elemento de un conjunto A se la hace corresponder de algún modo un elemento
único de un conjunto B, se dice que esa correspondencia es una función. La cual se escribe de
la siguiente manare :
f:A
B
que se lee ‘’f es una función de A en B’’. El conjunto A se llama dominio de definición o
simplemente dominio de la función f, y B se llama codominio de f. Por otra parte, si a A, el
elemento de B que le correspone a ‘’a’’se llama imagen y de denota por f(a), que se lee ‘’f de a’’
Veamos algunos ejemplos para aclarar bien este concepto :
1. Sea f el hacer corresponder a cada número real su cuadrado, esto es, para cada
número real x sea f(x) = x2. Dominio de definición y codominio de f son ambos los
números reales, de modo que se puede escribir f : R
R
2. La Sea f el asignar a cada país del mundo su ciudad capital. Aqui el dominio de f es le
conjunto de paises del mundo ; el codomino de f es el conjunto de ciudades capitales
del mundo. La imagen de Venezuela es Caracas, o sea f(Venezuela) = Caracas
3. Sean A = {a, b, c, d} y B = {a, b, c}. Definase una función f de A en B por la
correspondencia f(a) = b, f(b) = c, f(c) = c y f(d) = b. Según esta definición, la imagen
por ejemplo de b es c
4. Sean A = {a, b, c, d} y B = {x, y, z}, y f : A
muestra a continuación
B la definida por el diagrama que se
a
x
b
y
c
z
d
5. Sea a = {-1,1}. Sea f la función que hace corresponder a cada número racional de R el
número 1, y a cada número irracional de R el númro -1. Entonces f : R
A, y f se
definiria de esta manera :
f(x) =
Obérvese que las funciones de los ejemplo 1 y 5 vienen definidas por fórmulas características.
Pero no siempre tiene que ser así. Por lo que se ve en los otros ejemplos.La reglas de
correspondenciaque definen las funcionespueden ser diagramas como en el ejemplo 4,
pueden ser geográficas como en el ejemplo 2, o bien cuando el dominio es finito, la
correspondencia puede ser enunciada para cada elemento del dominio, como ocurre en el
ejemplo 3.
Aplicaciones, operadores, transformadores
Si A y B son conjunto en general, no necesariamente conjunto de números, se dice por lo
común que una función f de A en B es una aplicación de A en B ; y la notación f : A
B se lee
entonces ‘’f aplica A en B’’. Se puede simbolizar también una aplicación, o función, f de A en B
por A f B
o por el diagrama :
A
f
B
Si el domino y codominio de una función f son el mismo conjunto, por ejemplo f : A
A
Es frecuente llamar a f operador o transformación sobre A. Como se vera luego, los
operadores son casos especiales importantes de funciones.
Funciones iguales
Si f y g son funciones definidas en el mismo dominio D y si f(a) = f(g) para todo a
las funciones f y g son iguales y se escribe f = g. Veamos algunos ejemplos :
D, entonces
1. Sea f(x) = x2, siendo x un número real. Sea g(x) = x2, siendo x un número complejo.
Entonces f no es igual a g, pues tienen dominio diferente.
2. Sea la función f definida por el diagrama que se muestra a continuación :
1
1
2
2
22
3
4
Se ahora una funcion g definida por la fórmula g(x) = x2, siendo el domunio de g el
conjunto{1, 2}. Entonces f = g, pues ambas tienen el mismo dominio de definición y
tanto f cono g asignan la misma imagen a cada elemento del dominio.
3. Sean f : R
Ryg:R
R. supóngase que f está definida por f(x) = x2 y que g lo
2
está por g(y) = y . Entonces f y g son funciones iguales, es decir, f = g. obsérvese que x e
y son simplemente variables mudas en las fórmulas que definen las funciones.
Dominio de imágenes de una función
Sea f una aplicación de A en B, es decir, sea f : A
B. No es preciso que todo elemento de B
sea imagen de un elemento de A. Ahora bien, el conjunto de los elementos de B que so
imágenes de un elemento de A por lo menos, se llama dominio de imágenes de f (Cuando el
dominio es un conjunto de números se dice con preferencia dominio de valores). Se simboliza
el dominio de imágenes de f : A
B por f(A). Hay que observar que f(A) es un
subconjunto de B. A continuación veremos algunos ejemplos :
1. Sea la función f : R
R definida por la fórmula f(x) = x2. El dominio de imágenes de
f es el conjunto de los números positivos y el cero.
2. Sean A = {a, b, c, d} y B = {a, b, c}. Definase una función f : A
B por la
correspondencia f(a) = b, f(b) = c, f(c) = c y f(d) = b. Entonces f(A) = {b, c}
Función inyectivas
Sea f una aplicación de A en B. Entonces f se dice que es una función inyectiva si elementos
distintos de B corresponden a elementos distintos de A, es decir, si dos elementos distintos de
A tiene imágenes distintas. Dicho brevemente, f : A
B en función inyectiva si f(a) = f(a’)
lo que implica que a = a’, o lo que es lo mismo, si a a’ implica que f(a) f(a’). Veamos
algunos ejemplos :
1. Sea la función f : R
R definida por la fórmula f(x) = x2. F no es función inyectiva,
pues f(2) = f(-2) = 4, o sea que dos números reales diferentes, 2 y -2, tienen la misma
imagen, el número 4.
2. Sea la función f : R
R definida por la fórmula f(x) = x3. f es una función inyectiva
puesto que los cubos de dos números reales distintos son distintos ellos mismos.
3. La función f que asigna a cada país del mundo su ciudad capital es una función
inyectiva, ya que paises distintos tienen ciudades capitales distintas, es decir, ninguna
ciudad es la capital de dos paises diferentes.
Funciones sobreyectivas
Sea A una función de A en B. El dominio de imágenes f(A) de la función f es un sunconjunto de
B. esto es, f(A) B. Si f(A) = B, es decir, si todo elemento de B es imagen de al menos un
elemento de A, se dice entonces que ‘’f es una función biyectiva de A en B’’ o que ‘’f es una
función de A sobre B’’ o bien que ‘’f aplica A sobre B’’. Veamos algunos ejemplos :
1. Sea la función f : R
R definida por la fórmula f(x) = x2. f no es función
sobreyectiva porque los números negativos no aparecen en el domino de imágenes de
f, esto es, ningun número negativo es cuadrado de un número real.
2. Sean A = {a, b, c, d} y B = {x, y, z}, y f : A
B la definida por el diagrama que se
muestra a continuación
a
x
b
y
c
z
d
Notese que f(A) ¨{x, y, z} = B, esto es que el dominio de imágenes de f es igual al
codominio B, Así, pues, f aplica A sobre B, o sea que f es una aplicación sobreyectiva.
3. Sean A = {a, b, c, d} y B = {a, b, c}. Definase una función f : A
B por la
correspondencia f(a) = b, f(b) = c, f(c) = c y f(d) = b. Nótese que f(A) = {b, c}, como
B = {a, b, c] el dominio de imágenes de f no es igual al codominio
Función identica
Sea A un conjunto cualquiera. La función f : A
A, definida por f(x) = x, o sea la función f
que hace corresponder a cada elemento de A el mismo elemento, se llama función identidad o
transformación identica sobre A. Se la denota por 1o también por 1A.
Función constante
Una función f de A en B se llama función constante si a cada elemento da A se le asigna el
mismo elemento b B. O dicho de otro modo : f : A
B es una función constante si el
dominio de imágenes de f consta de un elemento solamente. Veamos algunos ejemplos :
1
2
Sea f : R
R definida por la fórmula f(x) = 5. F es una función constante, ya que a
todo elemento le corresponde 5
Sea la función definida por el diafgrama que se muestras a continuación :
a
1
1
b
2
2
c
3
3
f no es entonces una función constante, pues el dominio de imágenes consta 1 y 2
3
Sea la función definida por el diafgrama que se muestras a continuación :
a
1
b
2
c
3
f es una función constante, puesto que 3 se le hace corresponder a todo elemento de A
COORDENADAS RECTANGULARES
El sistema de coordenadas rectangulares o plano cartesiano divide al plano en cuatro
cuadrantes por medio de dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto 0. La
horizontal X‘OY se denomina eje x, la vertical Y’OY, se denomina eje y, y ambas forman los dos
ejes de coordenadas, El punto 0 se llama origen del sistema.
La distancia de un punto al eje y se denomina abscisa del mismo. La distancia de un punto al
eje x es la ordenada y ambas constituyenlas coordenas del punto en cuestión y se representan
por el simbolo (x , y). Las abscisas son positivas cuando el punto está situado a la derecha del
eje y, y negativas en caso contrario. Las ordenadas son positivas cuando el punto está por
encima del eje x, y negativas en caso contrario
Para representar puntos de coordenadas conocidas hay que adoptar una escala adecuada
sobre cada uno de los ejes coordenados. Ambas escalas pueden ser iguales o diferentes.
Y
Cuadrante II
(- , +)
Cuadrante I
(+, +)
X’
X
0
Cuadrante III
(- , -)
Cuadrante IV
(+ ,-)
Y’
SIGNOS DE LA FUNCIONES TRIGINOMÉTRICAS
FUNCIÓN
seno
coseno
tangente
cotangente
secante
cosecante
I
+
+
+
+
+
+
II
+
+
III
+
+
-
IV
+
+
-
RESUMEN DE LOS VALORES DE LA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
FUNCIÓN
O°
seno
90°
180°
270°
360°
0
1
0
-1
0
coseno
1
0
-1
0
1
tangente
0
1
No existe
0
No existe
0
No existe
1
0
No existe
0
No existe
No existe
-1
No existe
1
1
No existe
-1
No existe
cotangente
secante
cosecante
30°
1
No existe
45°
60°
2
2
LA LINEA RECTA
La recta, analiticamente, es una ecuación lineal o de primer grado en dos variables.
Recíprocamente, la representación gráfica del lugar geómetrico cuya ecuación sea de primer grado
en dos variables es una recta.
Una linea recta queda determinada completamente si se conocen dos condiciones, por ejemplo,
dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendiente o coeficiente angular), etc.
Formas de la ecuación de la recta
Recta - Punto - pendiente
La ecuación de la recta que pasa por el punto P1(x1, y1) y cuya pendiente sea m, es :
y – y1 = m(x – x1)
Ejemplo : Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-4, 3) y tenga de pendiente
y – 3 = (x + 4), es decir ; 2y – 6 = x + 4, o bien x – 2y + 10 = 0
Recta - Pendiente – ordenada en el origen
La ecuación de la recta de pendiente m y que corta al eje y en el punto (0, b) siendo b la ordenada
en el origen, es :
y = mx + b
Ejemplo : Hallar la ecuación de la recta que pasa por (0, 5) y tenga pendiente - 2
y = - 2x + 5, o bien 2x + y – 5 = 0
Recta – cartesiana
La ecuación de la resta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), es :
Ejemplo : Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(- 2, - 3) y P2(4, 2)
- 6(y + 3) = - 5(x + 2)
- 6y – 18 = - 5x - 10
5x – 6y – 8 = 0
Recta - reducida o abscisa y ordenada en el origen
La ecuación de la recta que corta a los ejes coordenadas x e y en los puntos (a, 0), siendo a la
abscisa en el origen y (0, b) la ordenada en el origen, respectivamente, es :
Ejemplo : Hallar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen son 5 y – 3,
respectivamente
3x - 5y = 15
3x - 5y - 15 = 0
Recta – general
Una ecuación lineal o de primer grado en las variable x e y es de la forma Ax + By + C = 0
En donde A, B y C son constantes arbitrarias. La pendiente de la recta escrita en esta
forma es m =
y su ordenada en el origen b =
Ejemplo : Hallar la pendiente m y la ordenada en el origen b de la recta 2y + 3x = 7
Llevamos la ecuación a la forma Ax + By + C = 0, es decir : 3x + 2y - 7 = 0
Donde A = 2, B = 3 y C = - 7
La pendiente sera m =
y la ordenada en el origen b =
=
Recta - Normal
Una recta también que da determinada si se conocen la longitud de la perpendicular a ella trazada
desde el origen (0 , 0) y el ángulo que dicha perpendicular forma con el eje x.
Y
A
N
p
0
X
B
Sea AB la recta y 0N la perpendicular desde el origen 0 a AB. La distancia p (parámetro)de 0 a AB
se considera siempre positiva cualquiera que sea la posición de AB, es decir, para todos los valores
del ángulo
que la perpendicular forma con el semieje x positivo desde 0 a 360°.
Sean (x 1, y1) las coordenadas del punto C. En estas condiciones:
x = p cos , y1 = p sen , y pendiente de AB =
= - cotg = Llamando (x , y)otro punto cualquiera de AB, entonces:
y – y1 = - cotg
-
x cos
- p = 0, que es la ecuación de la recta en forma normal.
+ y sen
o bien y - p sen = -
(x - p cos
Veamos algunos ejemplos:
1. Trazar la recta AB para los valores de p y
p = 5,
simplificando tenernos:
y escribir sus ecuaciones respectivas.
xcos + y sen - = 0 sustituyendo:
x cos 30° + y sen 30° - 5 = 0, es decir
A
+
5
30°
- 5 = 0, o bien
+ y – 10 = 0
B
2. Trazar la recta AB para los valoresde p y
p = 6,
y escribir sus ecuaciones respectivas
Y
xcos + y sen – p = 0, sustituyendo
xcos 120° + y sen 120° - 6 = 0, es decir
B
x -
+ 12 = 0
6
120°
A
X
0
3. Trazar la recta AB para los valores de p y
p = 4,
B
Y
240°
y escribir sus ecuaciones respectivas
xcos + ysen - 4 = 0, sustituyendo
xcos 240° + y sen 240° - 4 = 0, es decir
X
4
A
x +
+ 8=0
4. Trazar la recta AB para los valores de p y
p = 5,
y escribir sus ecuaciones respectivas
Y
A
X
315°
xcos + sen - p = 0, sustituyendo
xcos 315° + ysen 315° - 4 = 0, es decir
5
, o bien
X - y - 5
= 0
B
Reducción de la forma general a normal
Sean Ax + By + C = 0 y x cos + y sen - p = 0 las ecuaciones de una misma recta escrita en sus
forma general y normal respectivamente; los coeficientes de ambas ecuaciones han de ser iguales
o proporcionales. Por tanto,
, siendo k la constante de proporcionalidad.
En estas condiciones, cos = kA,
= kB, -p = kC. Elevando al cuadrado las dos primeras
tenemos cos2 = k2A2 y sen2 = k2B2 ahora sumemos cos2 + sen2 = k2A2 + k2B = k2(A2 + B2)
Pero sabemos que cos2 + sen2 = 1 por tanto k2(A2 + B2) = 1 despejamos k y tenemos:
K=
Teniendo en cuenta este valor de k y sustituyendo obtebdremos :
Cos = =
Sen = =
, -p=
Por lo tanto, la forma normal de Ax + By + C = 0
x +
y+
= 0
En la que se debe considerar el signo del radical el opuesto al de C. Si C = 0, el signo del radical se
considera igual al de B.
Veamos algunos ejemplos :
1. Reducir a forma normal la ecuacion
y hallar p y
La forma normal de Ax +By + C = 0 es
A=
B = 1,
x +
=
=
y+
= 0
= 2. Como C = - 9 es negativo,
se toma con signo positivo. La ecuación en forma normal es :
cos
Como cos
y sen
sen
p=
son ambos positivo,
está en el primer cuadrante
2. Reducir a forma normal la ecuacion
y hallar p y
La forma normal de Ax +By + C = 0 es
x +
A = 3, B = - 4,
=
negativo,
=
=
y+
= 0
= 5, Como C = - 6 es
se toma con signo positivo. La ecuación en forma normal es :
cos
Como cos
y
sen
es positivo y sen
p=
es nagativo,
3. Reducir a forma normal la ecuacion
La forma normal de Ax +By + C = 0 es
y
52’.
está en el cuarto cuadrante
y hallar p y
x +
y+
= 0
A = 1, B = 1,
=
=
=
, Como C = 6 es positivo,
toma con signo negativo. La ecuación en forma normal es :
, y cos
Como cos
y sen
= sen
son nagativos,
=
, p=
está en el tercer cuadrante
4. Reducir a forma normal la ecuacion
La forma normal de Ax +By + C = 0 es
y hallar p y
x +
y+
A = 12, B = - 5,
=
=
=
se toma con el mismo que B (= - 5), con lo cual, sen
ecuación en forma normal es :
cos
Como cos
=
es negativo y sen
sen
se
=
es positivo,
= 0
= 13, Como C = 0,
será positivo y
< 180°. La
, p = 0,
está en el segundo cuadrante
Distancia de un punto a una recta
Para hallar la distancia d de un punto (x1 , y1) a una recta L, se traza la recta L1 paralela a L y que
pase por (x1 , y1)
Y
d (x1 , y1)
d
p
w
0
La ecuación de L es x cos + y sen
ya que ambas recta son paralelas.
L
L1
X
- p = 0, y la ecuación de L1 es x cos
Las coordenadas de (x1 , y1) satisfacen la ecuación de L1, x cos
Despejando la distancia, tenemos: d = x cos + y sen - p
+ y sen - (p + d) = 0,
+ y sen
- (p + d) = 0.
En el caso de que (x1 , y1) y el origen estén a distinto lado de la recta L, la distancia d es positiva ;
si estuviera al mismo lado de L, d sería negativa.
Veamos algunos ejemplos:
1. Hallar la distancia d desde la recta 8x + 15y – 24 = 0 al punto (- 2, - 3)
La forma normal de la ecuación es :
–
= 0, o bien
–
= 0, o bien
–
=0
–
d=
=
=-5
Como d es negativo, el punto (- 2, - 3) y el origen están al mismo lado de la recta
2. Hallar la distancia d desde la recta 6x - 8y + 5 = 0 al punto (- 1, 7)
La forma normal de la ecuación es :
= 0, o bien
= 0, o bien
= 0
d=
=
= 5,7
3. Como d es positivo, el punto (- 1, 7) y el origen están a distintolado de la recta
Ejercicios y problemas
1. Hallar las ecuaciónes de las rectas que satisfacen las siguientes condiciones :
a. Pasa por ( 0 ,2), m = 3
R : y – 3x – 2 = 0
b. Pasa por (0, - 3), m = - 2
R : y + 2x + 3 = 0
c. Pasa por (0, 4), m =
R : x – 3y + 12 =0
d. Pasa por (0, - 1), m = 0
R:y+1=0
e. Pasa por (o, 3), m =
R : 4x + 3y – 9 =0
2. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos :
a. (2, - 3) y (4, 2)
b. (- 4, 1) y (3, - 5 )
c. (7, 0) y (0, 4)
d. (0, 0) y (5, - 3)
e. (5, - 3) y ( 5, 2)
f. (- 5, 2) y (3, 2)
R : 5x – 2y – 16 = 0
R :6X + 7Y + 17 = 0
R : 4x + 7y – 28 = 0
R :3X + 5Y = 0
R:x–5=0
R:y–2=0
3. Deducir la ecuacion de la recta cuyos puntos de interseccion con los ejes son (a, 0) y (0, b).
(a = abscisa en el origen, b = ordenada en l origen). R :
1
4. Hallar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen son 5 y – 3
respectivamente. R : 3x – 5y – 15 =0
5. Hallar la pendiente m y la ordenada en el origen b de la recta cuya ecuación es Ax + By + C
= 0, siendo A, B y C constantes arbitrarias. R : m =
y b=
6. Hallar la pendiente m y la ordenada en el origen b de la recta 2y + 3x = 7.
R:m=
y b=
7. Demostrar que si las rectas Ax + By + C = 0 y A’x + B’y + C’ = 0 son paralelas,
y que
si son perpendiculares AA’ + BB’ = 0
8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, - 3) y es paralela a la recta que une
los puntos (4, 1) y (- 2, 2). R : x + 6y + 16 = 0
9. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( -2, 3 ) y es perpendicular a la recta
2x -3y + 6 = 0. R : 3x + 2y = 0
10. Trazar las rectas siguientes para los valores de p y
que se indican, escribiendo sus
ecuaciones.
a. p = 6, = 30°
R:
+ y – 12 = 0
b. p =
,
=
R: x + y – 2 = 0
c. p =
,
=
R: x -
d. p =
,
=
R: x – y -
e. p =
,
=
R: x – 3 = 0
f.
,
=
R: y + 4 = 0
p=
+6=0
= 0
11. Escribir las ecuaciones de las rectas siguientes en forma normal. Hallar p y
a. x – 3y + 6 = 0
R:
= 0, p =
b. 2x + 3y – 10 = 0
R: :
= 0, p =
c. 3x + 4y – 5 = 0
R:
d. 5x + 12y = 0
R:
, p = 0,
e. x + y -
R:
= 0, p = ,
= 0
BIBLIOGRAFIA
1.- Aritmetíca Teoría práctica
Aurelio Baldor
2.- Algebra con gráficos y problemas
Aurelio Baldor
3.- Curso propedeutico de matematicas
J. Gimenez Romero
4.- Teoría de Conjuntos y Temas Afines
Seymour lipschutz – Serie Schaum
5.- Matématicas finitas
Seymour lipschutz – Serie Schaum
6.- Geometría Analitica
Joseph H kindle - Serie Schaum
7.- Estadística
Murray R. spiegel - Serie Schaum
8.- Matématicas de bachillerato
Nestor Alvarado y José Antonini
9.- Estadística Metodoñogís y aplicaciones
David Salama
10.- Algebra Superior
Murray R. spiegel - Serie Schaum
, p = 1,
,
= 108° 26’
,
= 53° 8’
= 67° 23’
=
= 56° 19’