t12. relatividad general (iv): cosmología

T12. RELATIVIDAD GENERAL (IV): COSMOLOGÍA
1. Introducción
2. Modelos de universo
3. La paradoja de Olbers
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T12. Cosmología
1
Modelos de universo
• Suponer homegeneidad e isotropía a gran escala (principio cosmológico)
⇒ métrica de Robertson-Walker:
ds2 = dt2 − R2 (t)
dr2
1 − kr2
+ r2 (dθ 2 + sin2 θdϕ2 )
– R(t): factor cosmológico de escala [relacionado con tamaño del universo y con z]
z=
v
δr
Ṙ
δR
R −R
λ0 − λ
≈ = H ≡ δt =
= 0
λ
c
c
R
R
R
R0
⇒ 1+z =
definiendo H = Ṙ/R
R
Se suele también definir:
R(t)
a(t) =
R0
(factor de escala adimensional)
donde R0 = R(t0 ) es el factor de escala en la época actual.
– k: parámetro de curvatura [tres valores: k = +1 (cerrado) , −1 (abierto) , 0 (plano)]
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2
• Sustituyéndola en las ecuaciones de Einstein: Rµν − 12 R gµν − Λ gµν =
8πGN
Tµν
c4
y asumiendo que Tµν = diag(ρ, p, p, p) (fluido perfecto de densidad ρ y presión p) se
obtiene la evolución del universo (ecuaciones de Friedmann-LeMaître):
2
Ṙ
=
H2 ≡
R
R̈
=
R
kc2
Λc2
8πGN ρ
− 2 +
3
R
3
Λc2 4πGN
−
(ρ + 3p/c2 )
3
3
– Universo estático [Einstein, 1917]
ajustar Λ > 0 (abandonado en 1920s)
– Universo en expansión (o recesión)
Globo sin centro en 3D
• A partir de estas dos ecuaciones se deduce una tercera:
ρ̇ = −3H (ρ + p/c2 )
que nos da ρ en función de R para un universo con una sóla componente con ecuación de
estado p = ωρc2 , pues entonces ρ̇ = −3(1 + ω )ρ Ṙ/R cuya solución es
ρ ∝ R −3(1+ ω ) ∝ a −3(1+ ω )
si ω 6= −1
lo que nos permite conocer la evolución del universo en distintas eras:
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3
– universo dominado por la radiación (ω = 1/3):
(depreciando curvatura y Λ)
2
ȧ
1
∝ ρ , ρ ∝ a−4 ⇒ a(t) ∝ t1/2 ; H =
a
2t
[así era el universo desde el fin de la etapa inflacionaria (10−35 − 10−33 s tras el Big Bang)
hasta que la densidad de materia y radiación se igualaron, unos 104 años después.]
– universo dominado por la materia (ω = 0):
2
ȧ
∝ ρ , ρ ∝ a −3 ⇒
a
(depreciando curvatura y Λ)
a(t) ∝ t2/3 ;
H=
2
3t
[así ha sido el universo desde que tenía unos 104 años, es decir casi siempre]
– universo dominado por la energía del vacío (ω = −1):
2
ä
ȧ
≈
> 0 , ρ = const ⇒ a(t) ∝ e Ht ;
a
a
(depreciando curvatura)
H = const .
[así era el universo durante la inflación y así parece ser que empieza a serlo también ahora: un
universo dominado por la constante cosmológica.]
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4
1
H=
2t
a(t) ∝ t1/2 ;
a(t) ∝ t2/3 ;
h
2
H=
3t
a(t) ∝ e Ht ;
H = const
i
ρ = ρΛ
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Parámetros cosmológicos
Su determinación observacional
⇒
geometría de nuestro universo k
• El parámetro de Hubble H mide el ritmo de expansión del universo:
Ṙ 0.04
Valor actual (constante de Hubble) H0 = = 100 h km s−1 Mpc−1 , h = 0.71+
−0.03
R 0
3H 2
• El parámetro de densidad Ω, normalizado a ρc =
' 10−29 g/cm3
8πGN
En la época actual:
ρ
Ω≡
= Ω M + ΩΛ ;
ρc
ΩM
ρM
=
,
ρc
Λc2
ΩΛ =
3H 2
[Ωγ = (4.9 ± 0.5) × 10−5 ]
Ω M = Ω B + Ων + ΩCDM
Ω B = 0.044 ± 0.004 ≈ Ωvis
0.003 <
∼ ΩHDM ≈ Ων < 0.015
ΩCDM = 0.22 ± 0.04
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(≈ 0.18 Ω M )
(≈ 0.82 Ω M )
6
– Nótese que la primera ecuación de F-LM relaciona H, k y Ω = Ω M + ΩΛ :
kc2
2
=
H
( Ω − 1)
R2
⇒ Ω > 1: universo cerrado, Ω = 1: universo plano (k = 0) y Ω < 1: universo abierto
• La constante cosmológica Λ influye en la distancia de luminosidad d L
1
H0 d L = c z + (q0 − 1)z2 + . . .
2
Fig
pues el parámetro de deceleración q0 vale:
R R̈ 1
q0 ≡ − 2 ≈ Ω M − Ω Λ
2
Ṙ 0
Exactamente: q0 = 21 Ω0 +
3
2
∑i ωi Ωi , donde Ω0 = ∑i Ωi y pi = ωi ρi (ecuación de estado) es la presión de la especie i,
siendo ω = 0 para partículas no relativistas, ω = + 13 para partículas relativistas y ω = −1 para la constante cosmológica
(llamada energía oscura que produce una presión negativa, de sentido contrario a la gravedad)
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FAINTER
(Farther)
(Further back in time)
meff
= m B + 5 log10 d L (Mpc) + 25
B
h
i
H0 d L = c z + 12 (1 − q0 )(cz)2 + . . .
q0 ' 12 Ω M − ΩΛ
Perlmutter, et al. (1998)
24
effective mB
22
Flat
Supernova
Cosmology
Project
Λ=0
(ΩΜ,ΩΛ) =
( 0, 1 )
(0.5,0.5) (0, 0)
( 1, 0 ) (1, 0)
(1.5,–0.5) (2, 0)
26
20
18
Calan/Tololo
(Hamuy et al,
A.J. 1996)
16
14
0.02
0.05
0.1
redshift z
0.2
0.5
1.0
MORE REDSHIFT
(More total expansion of universe
since the supernova explosion)
In flat universe: ΩM = 0.28 [± 0.085 statistical] [± 0.05 systematic]
Prob. of fit to Λ = 0 universe: 1%
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Valores observados
⇒
universo plano dominado por la constante cosmológica
Ω M = 0.27 ± 0.04
ΩΛ



> 1 : cerrado


• Ω = ΩΛ + Ω M
= 1 : plano



 < 1 : abierto
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= 0.73 ± 0.04

 < 0 : acelerando
1
• q0 = 2 Ω M − Ω Λ
 > 0 : decelerando
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• destino . . .
9
Sobre el destino del universo
• Universo abierto (k = −1)
• Universo cerrado (k = +1)
⇒
⇒
expansión eterna independiente de Λ
recolapso si 0 ≤ Λ < f (Ω M )
expansión eterna si Λ > f (Ω M ) > 0
Evolución del universo
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La paradoja de Olbers
[Kepler s. XVII, Halley, Cheseaux s XVIII, Olbers s. XIX]
¿Por qué no es el cielo de noche tan uniformemente brillante como la superficie del Sol?
Explicaciones
Discusión
1
Existencia de polvo
Mal. Se calentaría; oscurecería el Sol
2
Número finito de estrellas
No. Aun así todas brillarían mucho
3
Distribución no uniforme de estrellas
Quizás. No, según el principio cosmológico
4
Expansión (oscurecimiento Doppler)
Sí. Contribuye pero menos que la siguiente
5
El universo es joven
Sí. La luz no ha tenido tiempo de llegar
Soluciones de la paradoja incompatibles con universo estático y eterno
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Estructura a gran escala del universo
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