Galaxias Elípticas

Galaxias Elípticas
Las galaxias elípticas son las que tienen una estructura más regular de todas las de la secuencia
de Hubble. Hasta finales de los años 70, se creía tener una descripción matemática completa para
la estructura de estas galaxias, según la cual las galaxias elípticas eran un conjunto isotermo
axialmente simétrico, más aplastado cuanto mayor fuera la rotación alrededor de su eje de
simetría.
Hasta 1977, las observaciones no contradecían este esquema. Pero los datos espectroscópicos a
partir de esa fecha (líneas estelares de absorción) pusieron en evidencia que las galaxias elípticas
no tienen rotación, o ésta es tan pequeña que no explica su forma. Estos sistemas no son
isotermos, incluso es posible que ni siquiera tengan un eje de simetría, y su dispersión de
velocidades es anisotrópica.
1. Aspecto tridimensional
El aspecto visual de estas galaxias es una elipse con semiejes mayor a y menor b. Con ellos se
define la elipticidad ε=1-b/a, y el radio equivalente r=(ab) . En general, la elipticidad varía poco
1/2
desde el centro al borde. Las variaciones están correlacionadas con la riqueza del entorno. Para la
mayoría de galaxias aisladas, ε y el radio decrecen monótonamente. Cuando hay otras galaxias
cercanas, la elipticidad es constante e incluso crece ligeramente en las galaxias situadas en los
centros de cúmulos ricos.
Junto con la variación en la elipticidad con el radio, en la mayoría de los casos estas galaxias
muestran también una rotación del semieje mayor. La rotación de las isofotas puede ser una
consecuencia de la estructura triaxial de las galaxias elípticas. El problema es que hay otras
explicaciones para esta rotación, por ejemplo, puede tratarse de un efecto de proyección (Figura 1)
o de oscurecimiento por la fina línea de polvo que puede detectarse aproximadamente en la mitad
de las galaxias elípticas. Sin embargo, la rotación de las isofotas de galaxias en obvia interacción
(centros de cúmulos) es especialmente severa. En estos casos existe poca duda de que la rotación
es intrínseca y no un efecto de proyección.
Figura 1. Los efectos de proyección hacen que el eje mayor giren respecto al eje real.
Si las galaxias elípticas tienen estructura triaxial, en la mayoría de los casos la triaxialidad no es
muy notoria. Uno de los ejes es significativamente diferente de los otros dos y a efectos prácticos
las elípticas pueden considerarse biaxiales. Los estudios no dejan muy claro si la mayoría de las
elípticas son alargadas (prolatas) o achatadas (oblatas). Si la mayoría fueran prolatas, el brillo
superficial de las que tienen una apariencia más esféricas (semieje mayor apuntando hacia
nosotros) debería ser mayor que el brillo superficial de las más elongadas (semieje menor
apuntando hacia nosotros), lo que se traduciría en una anticorrelación entre el brillo superficial y la
elipticidad. La misma anticorrelación debería observarse entre la dispersión de velocidades y la
elipticidad. Sin embargo, el resultado negativo de estos estudios pone en evidencia que debe
haber una mezcla de sistemas prolatos y oblatos.
En 1984 se descubrió a través de técnicas de filtrado que frecuentemente se presentan shells
(capas) alrededor de las galaxias elípticas. Se trata de estructuras estelares muy débiles formando
arcos circulares. En NGC 3923 se llega a observar hasta 26 shells (Figura 2), el último a una
distancia entre 100 y 200 kpc del centro. Los shells se explican como un fenómeno de oscilación
estelar al acretar la galaxia elíptica una compañera más pequeña en una órbita casi radial. Las
simulaciones numéricas muestran que la geometría de los shells es diferente para galaxias
elongadas (formando una estructura como de paréntesis) y para galaxias achatadas (sin
alineación). Este método indica que la proporción de galaxias aplastadas es el doble que la de
elongadas.
Figura 2. Imágenes obtenidas por Malin y Carter (1983) de la galaxias NGC 3923 con shells. Las
escalas y tiempos de exposición son distintos. La barra superior representa a) 10', b) 5' y c) 2'.
Un resultado similar se obtiene a partir de las finas líneas de polvo comentadas anteriormente. Las
partículas de polvo se asientan en equilibrio sobre el plano de simetría de las galaxias. Si la línea
es paralela al eje menor (mayor), la galaxia es prolata (oblata).
2. Colisiones y tiempo de relajación
Calculemos la cantidad δv en que varía la velocidad v de una estrella al pasar cerca de otra.
Podemos tener una estimación aproximada para encuentros en los que δv/v << 1 y la estrella
perturbadora permanece estacionaria durante el encuentro. Podemos calcular la componente δvO
que es perpendicular a v asumiendo que la estrella pasa cerca de la estrella perturbadora en una
línea recta, e integrando la fuerza perpendicular FO que origina δvO a lo largo de la trayectoria.
Siguiendo la notación de la Figura 3:
Gm 2
Gm 2 b
cos
F⊥ = 2
θ
=
b + x2
b2 + x2
(
)
3
2
Gm 2
≈ 2
b
−3
  vt  2  2
1 +    .
  b  
Por las leyes de Newton:
mv ⊥ = F⊥ ,
Sustituyendo esta expresión en la anterior e integrando respecto al tiempo:
/v ⊥ ≈
3
2Gm
Gm ∞
2 −2
(
1
+
s
)
ds =
.
∫
−
∞
bv
bv
Figura 3. Una estrella de test se acerca a la estrella de campo a una velocidad v y con un
parámetro de impacto b. Se estima el impulso resultante sobre la estrella de test aproximando la
trayectoria de la estrella a una línea recta.
Así, GδvOG
2
HV DSUR[LPDGDPHQWH LJXDO D OD IXHU]D HQ OD Pi[LPD DSUR[LPDFLyQ Gm/b )
multiplicada
por la duración de esta fuerza (b/v).
2
Si la densidad superficial de la galaxia es del orden de N/πR , con R el radio característico de la
galaxia, cada vez que la estrella cruce la galaxia, sufrirá un número de encuentros con parámetros
de impacto en el rango b a b+db dado por:
/n =
N
Œ5
2
2Œbdb =
2N
.
R 2 bdb
Cada encuentro produce una perturbación δvO en la velocidad de la estrella, pero debido a que su
orientación es aleatoria, el valor medio de estas perturbaciones (<δvO>) es cero. Sumando los
2
cuadrados de estas perturbaciones, encontramos que vO cambia en una cantidad:
2
 2Gm  2 N
/v ⊥2 ≈ 
bdb.

2
 bv  R
Nótese que la aproximación a una trayectoria recta falla y la ecuación anterior se hace inválida
cuando
GδvOG§v, lo que ocurre cuando el parámetro de impacto toma valores b ≤ bmin = Gm/v2.
Integrando sobre todos los valores de b entre bmin y el máximo parámetro de impacto posible R,
obtenemos:
2
 Gm 
∆v ≡ ∫ /v ≈ 8 N 
 ln Λ ,
bmin
 Rv 
R
2
⊥
2
⊥
con
 R
ln Λ = ln 
 bmin

 rv 2 
Teorema del virial 
 ≈ ln 
 ≡⇒ 
 ⇒≡ ln( N )
2
 v = GNm R 

 Gm 
La velocidad típica de una estrella en una galaxia se relaciona con la masa Nm y el radio de la
galaxia por la expresión:
v2 ≈
GNm
.
R
Entonces, eliminando R, se obtiene:
∆v ⊥2 8 ln Λ
=
.
v2
N
Por tanto, el número de veces que la estrella debe cruzar la galaxia para sufrir un cambio en su
velocidad del orden de la propia velocidad, viene dado por:
nrel =
N
.
8 ln Λ
El tiempo de relajación viene siendo entonces el número nrel de veces que la estrella tiene que
cruzar la galaxia para sufrir relajación, por el tiempo que tarda en cruzarla (tcross =R/v). Nótese que:
R
Rv 2
Λ=
≈
≈N.
bmin Gm
Por tanto, los encuentros individuales entre estrellas perturbarán su velocidad en un tiempo del
orden de 0.1 N / ln N tiempos de cruce:
t rel ≈ 0.1
Las galaxias tienen del orden de N ≈ 10
11
N
t cross .
ln N
estrellas y una existencia de unos pocos centenares de
tiempos de cruce, así que no han tenido tiempo de sufrir relajaciones colisionales. Para un cúmulo
globular, N ≈ 10 y el tcross ≈ 10 años, así que los encuentros estelares sí son importantes en estos
5
5
objetos. Para cúmulos ricos de galaxias, N ≈ 10 y tcross ≈ 10 años, por lo que los encuentros
3
también pueden ser importantes.
9
El tiempo de relajación, podría también definirse como el tiempo que tardan los encuentros
estelares en cambiar la energía de una estrella individual dE a través de encuentros entre dos
cuerpos, en una cantidad similar a su energía E. Nótese que
3. La Ecuación de Vlasov y el teorema de Jeans
En el apartado anterior hemos visto que las estrellas de una galaxia constituyen un conjunto
dinámico sin colisiones. Este hecho nos permite estudiar las galaxias respecto a un potencial
medio U(r). Definamos una función de estrellas en la galaxia f(r,v,t) siempre positiva en el espacio
de fase (r,v). La conservación de la masa nos permite escribir la ecuación de continuidad para f:
df ∂f
∂f dU ∂f
=
+v −
= 0,
dt ∂t
∂r dr ∂v
conocida como la Ecuación de Vlasov o Ecuación de Boltzmann para un sistema sin
colisiones. Nótese que el término dU/dr es la fuerza gravitatoria sobre la unidad de masa en el
punto definido por el vector r.
El potencial U de la distribución de estrellas con densidad ρ(r) se deduce de la ecuación de
Poisson.
∆U (r ) = 4Œ*!(r ) .
Para distribuciones estacionarias se obtiene la ecuación de Vlasov independiente del tiempo
(∂f/∂t = 0). La función de distribución f es entonces constante a lo largo de la curva del espacio de
fase seguida por las estrellas, esto es, f es una integral de las ecuaciones de movimiento.
Teorema de Jeans
Cualquier solución estacionaria de la ecuación de Vlasov depende de las coordenadas del espacio
de fase solamente a través de las integrales de movimiento en el potencial galáctico, y cualquier
función de las integrales produce una solución estacionaria de la ecuación de Vlasov.
Esto significa que si podemos encontrar un sistema completo de integrales de movimiento In(r,v), f
puede escribirse como una función de estas integrales: f(In). La pregunta que surge entonces es
¿cuántas integrales se pueden encontrar para un potencial? Al menos una: la energía. Si el
potencial es esférico, el momento angular J es un vector integral (tres integrales). Puesto que el
espacio de fase tiene 6 dimensiones, el número máximo de integrales es 5. La intersección de las
5 hipersuperficies asociadas con cada una de las 5 integrales debe contener la órbita
unidimensional de una estrella. La quinta integral existe únicamente para potenciales específicos,
como U(r) ∝ 1/r o U(r) ∝ 1/r . Así pues, las soluciones son de la forma f(I1), f(I1,I2), ... f(I1,... I5).
2
En muchos casos prácticos es aplicable el Teorema fuerte de Jeans:
La función de distribución de la galaxia estacionaria en la que casi todas las órbitas son regulares
con frecuencias inconmensurables puede presumirse que es una función sólo de tres integrales
aisladas independientes: f(I1,I2,I3).
4. Galaxias esféricas
Las galaxias esféricas se caracterizan por tener un potencial con simetría esférica. Este hecho nos
permite encontrar 4 integrales del movimiento correspondientes a su energía y momento angular, E
y J, respectivamente. La función de distribución es entonces de la forma f(E,J). Si la simetría
esférica es válida para todas las propiedades, f no depende del vector J sino de su módulo J:
f(E,J). El caso más simple es el de f(E).
Sistemas f(E): Galaxia Isoterma y Modelo de King
Estudiemos estos sistemas a partir de la energía por unidad de masa:
E = 12 v 2 + U .
La ecuación de Poisson que deberemos resolver entonces es:
∆U = 4 ŒG! = 4 ŒG ∫ f dv ,
que expresada en coordenadas esféricas queda:
1 d  2 dU 
 = 4ŒG ∫ f
r
r 2 dr  dr 
(v
1
2
2
)
+ U dv .
Para las tres componentes de la velocidad se puede demostrar que sus dispersiones son:
vr2 = vθ2 = vφ2 =
1 2 1

vr f  2 ∑ vi2 + U  dv r dvθ dvφ ,
∫
!
 i

que significa que la dispersión de velocidades es isotrópica.
Galaxia isoterma
La mayoría de los modelos esféricos derivan de la esfera isoterma. Para este caso, si ρo es la
densidad central y σ la dispersión de velocidades, constante en toda la galaxia por la condición
isoterma, la función de distribución adopta la forma:
(
f I (E) = 2 ŒG 2
)
3/2
! o e − E/1 .
2
Nótese que la forma de f(E) es la de la repartición en equilibrio de un gas de partículas isotermas a
temperatura T, o sea, la función de Maxwell-Boltzmann f(E) ≈ e β , con β = 1/kT. El equivalente a la
- E
temperatura del gas es la velocidad de dispersión de las estrellas. La diferencia más importante es
que, en el caso de un gas, E es la energía por partícula, mientras que, en el caso de una galaxia,
E es la energía por unidad de masa. Hemos visto que las colisiones entre estrellas no juegan un
papel importante en las galaxias, y sólo las colisiones pueden relajar el sistema y llevarlo a una
equipartición de la energía y a una distribución maxwelliana tal que ½ mv ≈ kT. En una galaxia, la
2
equipartición frenaría a las estrellas masivas que caerían al centro, pero esto aún no ha tenido
lugar. El empleo de la energía por unidad de masa se justifica a partir del trabajo de Lynden-Bell
(1967) en el que describe la formación de una galaxia acompañada de una relajación violenta en
una escala de tiempo similar al tiempo de cruce tcross. Esto implica una mezcla de partículas en el
espacio de fase. La relajación violenta lleva a una equipartición de la energía por unidad de masa y
no por partícula.
Integrando la distribución isoterma sobre las velocidades obtenemos la densidad puntual:
! ( r ) = ! o e −U ( r ) σ .
2
Para r >> rc, la ecuación de Poisson para esta ley de densidades lleva al potencial:
r
U (r ) ≈ 21 2 log
 rc

 ,

en donde rc es el radio central (core radius):
rc = 31(4πG! o ) −1 2 ,
para el cual la densidad es:
!(rc ) = 12 ! o .
Combinando las ecuaciones para U y rc se obtiene que la densidad varía según ρ(r) ∝ 1/r .
2
Modelo de King
La función isoterma f(E) ≈ e β se extiende hasta el infinito. Una función más aceptable presenta un
- E
corte a una energía Eo. Esta función corresponde al modelo de King (1966):
0
; si E ≥ E o

f k (E) = 
( E o −E ) 1 2
2 −3 2
− 1) ; si E < E o
(2 Œ1 ) ! o (e
Al igual que en el caso isotermo, la densidad del modelo de King también se obtiene integrando
sobre las velocidades:
!( r )
 4 y  2 y 
= e y erf( y 1 2 ) −  1 +
,
!o
3 
 Œ 
en donde
y=
Eo −U
,
12
y erf es la función de error:
erf ( x) =
2
π
∫e
x
−u 2
0
du .
La ecuación de Poisson, relacionando U(r) y ρ(r), resuelve el problema al permitir eliminar U(r).
Aceptando que Eo - U(r) = 0 a cierta distancia r, existe un valor rt (radio de marea) a partir del cual
ρ = 0. El radio de la galaxia se define como el radio de marea (R = rt) y su masa como la contenida
dentro de ese radio [M = M(rt)]. La energía de corte es entonces: Eo = -GM/R.
*
Los factores de escala del modelo de King son ρo y rc = ( 4 Œ ! o 91 )
2 12
. Una vez fijados estos
factores, quda un único parámetro libre, que mide la importancia de las fuerzas de marea, o de la
energía de corte. Este parámetro podría se Eo, pero suele tomarse en su lugar el parámetro de
concentración:
c = log
rt
.
rc
En galaxias elípticas, c ≈ 2.2 modela muy bien los perfiles de brillo. Para cúmulos globulares,
debido a la mayor importancia de las fuerzas de marea, toma el valor c = 1.
Sistemas f(E,J): Modelos de Eddington y de Michie
Los sistemas f(E,J) permiten la descripción de dispersiones de velocidades anisotrópicas. Se
describen por la función f(E) multiplicada por un factor e
− J 2 2 ra21 2
, donde ra es el radio de anisotropía
característico. El parámetro β de anisotropía nunca se aproxima a la unidad:
β=
1 − σ θ2
1
=
< 1.
2
σr
1 + (ra + r ) 2
Al igual que en el caso anterior, la función f(E) puede ser la función isoterma o la función de King.
Ene el primer caso el sistema f(E,J) da lugar al Modelo de Eddington y en el segundo al Modelo de
Michie,
5. Galaxias axisimétricas
A pesar, como ya dijimos anteriormente, que la forma de las galaxias elípticas no es debida a la
rotación, lo cierto es que no todas carecen de ella. En los modelos de galaxias axisimétricas se
introduce un eje privilegiado, con lo que la función de distribución toma la forma f(E,Jz). Estos
modelos requieren que las dispersiones de velocidades cumplan la condición vr = v z . Para
2
2
una velocidad angular de rotación Ω, un ejemplo de este tipo de función es:
0

f (E, J z ) = 
ΩJ z
 f I ( E )e
1
2
; si E ≥ E o
; si E < E o
Hacia el centro de estas galaxias la rotación es cilíndrica y la velocidad aumenta hacia valores Ωr;
en las regiones externas la velocidad de rotación es constante.
Se pueden construir modelos más realistas a partir de poblaciones estelares con un tipo dado de
órbita o mediante simulaciones de N-cuerpos.