Tema 1. Leyes de Newton

Tema 1. Leyes de Newton
Segunda parte: Fuerzas disipativas
• En el mundo real, la energía no se conserva. Una piedra lanzada hacia arriba no
llega a la altura deseada, la amplitud del péndulo se amortigua, una bola que rueda
sobre el suelo horizontal acaba parándose. Así ocurre porque existen fuerzas de
rozamiento o fricción que se oponen al movimiento. Podríamos decir, no obstante, que
la energía total se conserva si incluimos la energía térmica. que se acumula en los
grados de libertad internos de los cuerpos en cuestión.
•
La consecuencia directa de las fuerzas de rozamiento es la disipación de energía.
En general, la fuerza de rozamiento es paralela y de sentido contrario a la velocidad y
puede expresarse como la suma
Fr (V ) = − µN − βV − γV 2
donde N es la normal o reacción de la superficie en la que se apoya el cuerpo.
1. Amortiguamiento de Coulomb
• Es el rozamiento seco. Cuando un objeto está apoyado sobre una superficie, se
produce una fuerza que se opone al movimiento y que cancela cualquier fuerza aplicada
que sea menor que µN . Si la fuerza aplicada es mayor que µN , la fuerza de
rozamiento toma un valor constante e igual a − µ N . Escribimos, entonces
Fr = −µ N
si
V >0
Fr = − F
si
V =0
1.16 Calcular el tiempo que tarda en pararse una partícula por efecto del
rozamiento de Coulomb si su velocidad inicial es V0 , y la distancia recorrida.
• La ley del movimiento es
ma = − µN = − µmg
y la deceleración que sufre la partícula por el rozamiento seco es
a = − µg
• Integrando con las condiciones iniciales x = x0 , V = V0 en t = 0 , obtenemos
V = V0 − µgt
1
x = x0 + V0t − µ gt 2
2
• Con ayuda de estas fórmulas, obtenemos el tiempo de parada
t=
V0
µg
y la distancia recorrida
V02
x − x0 =
2 µg
2. Amortiguamiento de Stokes
• También llamado viscoso. Cuando un cuerpo se mueve en el seno de un fluido, el
fluido se opone a su movimiento intentando contrarrestar la deformación que provoca el
movimiento del cuerpo. La razón de este comportamiento radica en la viscosidad del
medio fluido, efecto macroscópico originado por el rozamiento entre las capas
moleculares del fluido. El amortiguamiento de Stokes tiene la expresión
FS = −γV
1.17 Calcular la ley de movimiento para una partícula que sufre el
amortiguamiento de Stokes si su velocidad inicial es V0 .
• La ley del movimiento es
m
dV
= −γV
dt
Definiendo la constante de tiempo
τ=
m
γ
la ecuación del movimiento
dV V
+ =0
dt τ
tiene la solución
 t
V = V0 exp − 
 τ
Integrando una vez más, encontramos la posición de la partícula en función del tiempo

 t 
x = V0τ 1 − exp −  
 τ 

• El cuerpo se para cuando V = 0 , al cabo de un tiempo infinito, pero recorre una
distancia finita V0τ . Esto no se corresponde con lo observado (el tiempo de parada
finito), ya que cuando la velocidad se hace pequeña el rozamiento no sigue la forma de
Stokes, y se hace más intenso.
3. Amortiguamiento de Newton
• Tipo de rozamiento en un fluido viscoso, cuando el movimiento adquiere
velocidades mayores que el caso de Stokes, como puede ser el movimiento de un cohete
en la atmósfera. Tiene la expresión
FN (V ) = − βV 2
1.18 Calcular la ley de movimiento para una partícula que sufre el rozamiento
de Newton si su velocidad inicial es V0
• La ley del movimiento es
m
dV
= − βV 2
dt
que escribimos en la forma
dV β 2
+ V =0
dt m
La solución que satisface las condiciones iniciales es
V = V0
1
βV
1+ 0 t
m
De aquí, obtenemos la posición de la partícula
x=
m 
βV 
ln 1 + 0 t 
β 
m 
• El cuerpo se para cuando V = 0 , al cabo de un tiempo infinito, y una distancia
infinita. Esto no se corresponde con lo observado, ya que cuando la velocidad se hace
más pequeña el rozamiento sigue la fórmula de Stokes.