Solución

II Concurso de Resolución de Problemas
Curso 2011-2012
Solución del Problema no 2.
Esta es una variación del problema del cajón de un armario lleno de calcetines
completamente desorganizados. En dicho problema existe una cantidad determinada
de calcetines de diversos colores, y se quiere determinar la probabilidad de que al
elegir dos calcetines al azar sean del mismo color.
En esta variación del problema, sólo sabemos que existen calcetines de dos colores,
blancos y negros, y que la probabilidad de sacar dos calcetines blancos es 12 .
1. La primera cuestión es determinar cuál es la cantidad mı́nima de calcetines de
cada color que debe haber en el cajón para que esto suceda.
2. La segunda cuestión es determinar cuál es la cantidad mı́nima de calcetines
que debe haber para que el número de calcetines negros sea par.
Solución: Sea
B : Número de calcetines blancos en el cajón
N : Número de calcetines negros en el cajón
Sacar 2 calcetines blancos a la vez es equivalente a sacar sucesivamente y sin reposición dos calcetines y que estos sean blancos
Si definimos el suceso
Bk : Sacar un calcetı́n blanco en la k–ésima extracción
el enunciado del problema nos indica que
P (B1 ∩ B2 ) =
1
2
Utilizando la fórmula de la probabilidad condicionada
P (B1 ∩ B2 ) = P (B1 ) · P (B2 | B1 )
La probabilidad de sacar un calcetı́n blanco en la primera extracción es utilizando
la definición clásica de probabilidad como la razón entre casos favorables y posibles,
obtenemos
B
P (B1 ) =
N +B
Si hemos sacado un calcetı́n blanco en la primera extracción, tendremos un calcetı́n
blanco menos , pero también un calcetı́n menos en total, luego
P (B2 | B1 ) =
B−1
N +B−1
y llegamos a la conclusión
P (B2 | B1 ) =
B−1
B (B − 1)
B
·
=
N +B N +B−1
(B + N ) (B + N − 1)
Esta probabilidad es conocida e igual a 21 , por tanto
1
B (B − 1)
=
(B + N ) (B + N − 1)
2
o de forma equivalente
2B (B − 1) = (B + N ) (B + N − 1)
Si efectuamos las operaciones obtendremos
2B 2 − 2B = B 2 + BN − B + N B + N 2 − N
y pasando todo al primer miembro de la igualdad resulta
B 2 − (1 + 2N ) B + N − N 2 = 0
que es una ecuación de segundo grado en B (o en N ), cuyas soluciones son
q
√
(1 + 2N ) ± (1 + 2N )2 − 4 (N − N 2 )
(1 + 2N ) ± 1 + 8N 2
B=
=
2
2
es decir


 B+ =
√
(1+2N )+ 1+8N 2
2

 B =
−
√
(1+2N )− 1+8N 2
2
(1)
Como el número de calcetines debe cumplir B > 0, descartamos la solución negativa,
ya que
√
√
√
(1 + 2N ) − 1 + 8N 2
B− =
> 0 ⇔ (1 + 2N )− 1 + 8N 2 > 0 ⇔ (1 + 2N ) > 1 + 8N 2
2
y como N ≥ 0
(1 + 2N ) >
√
1 + 8N 2 > 0
finalmente elevando al cuadrado
(1 + 2N )2 > 1 + 8N 2 ⇔ 1 + 4N + 4N 2 > 1 + 8N 2 ⇔ 4N > 4N 2 ⇔ 1 > N
es decir N = 0, pero entonces sustituyendo en 1 obtenemos B = 1 y por tanto no
podrı́amos formar ni una pareja. Debemos tomar como solución a B+ y el número
e calcetines blancos será:
√
(1 + 2N ) + 1 + 8N 2
B = B+ =
2
Ahora bien como B ∈ N, el número que hay dentro de la raı́z debe ser un cuadrado
perfecto, es decir
1 + 8N 2 = p2
(2)
Lo que resta por hacer es dar valores a la N de forma creciente hasta que se
produzca esta situación. Ya hemos visto que N no puede ser 0, puesto que entonces
no tendrı́amos ninguna pareja, ası́ que tomaremos N ≥ 1, para obtener la siguiente
tabla
√
√
(1+2N )+ 1+8N 2
2
1
+
8N
B
=
N 1 + 8N 2
2
√
1
9
9
=
3
3
√
2
33
5,3723
√33 = 5. 7445
73
73 = 8. 5440
7,7720
3
Vemos que el primero de los valores N = 1, nos proporciona la respuesta buscada
negros ⇒ N = 1
blancos ⇒ B = 3
Si ahora el número de negros debe ser par, entonces probando sólo para esos valores
√
√
2
N 1 + 8N 2 √ 1 + 8N 2
B = (1+2N )+2 1+8N
4
129
129
10,1789
√ = 11. 3578
6
289
289 = 17
15
y obtenemos la solución pedida para
negros ⇒ N = 6
blancos ⇒ B = 15
Curiosidades: Si utilizamos la ecuación 2 y la expresamos como
8N 2 = p2 − 1 = (p − 1) (p + 1)
Está claro que p2 − 1 debe ser par y por tanto p2 será impar y por tanto p también
lo será, es decir
p = 2k + 1
y sustituyendo
8N 2 = (2k + 1 − 1) (2k + 1 + 1) = 2k (2k + 2) = 4k (k + 1)
Despejando N 2
k (k + 1)
2
La parte de la derecha de esta última expresión es la suma de los k primeros números
naturales, es decir obtenemos
N2 =
N2 = 1 + 2 + · · · + k
Las soluciones del problema están relacionadas con los números que son por una
parte cuadrados perfectos y a la vez triangulares. Invitamos al lector a descubrir
algunas propiedades de estos números cuyos 12 primeros miembros son los siguientes:
N2
1
36
1225
41616
1413721
48024900
1631432881
55420693056
1882672131025
63955431761796
2172602007770041
73804512832419600
que dan como posibles soluciones al problema las siguientes combinaciones calcetines
N
1
6
35
204
1189
6930
40391
235416
1372105
7997214
46611179
271669860
B
3
15
85
493
2871
16731
97513
568345
3312555
19306983
112529341
655869061
Notar por ejemplo que
62 = 16 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8
o
352 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + · · · + 49