El campo magnético El campo magnético B La fuerza magnética

marcelo.lugo.licona
Una carga en movimiento o una corriente eléctrica establece un campo magnético que puede
ejercer una fuerza magnética sobre otras corrientes o cargas en movimiento.
Aunque las propiedades de B son practicamente las mismas que la de E, hay una diferencia
muy importante: la fuerza eléctrica sobre una
partícula cargada siempre es paralela a E pero
la fuerza magnética sobre una partícula cargada
en movimiento siempre es perpendicular a las
líneas de B. Otra diferencia importante es que la
líneas de B son curvas cerradas.
El campo magnético
Estudiaremos al campo magnético y sus efectos
sobre cargas en movimiento.
El campo magnético B
Se describe al espacio alrededor de un imán permanente o de un conductor con corriente como la
localización de un campo magnético, representado por B.
En electrostática se estudió la relación
→E −
→ carga eléctrica
carga eléctrica −
←
←
(1)
La fuerza magnética sobre una
carga en movimiento
En magnetismo, se intentaria, por simetría, estudiar
−
→
carga magnética →
←B −
← carga magnética
Se establecerá un conjunto de procedimientos para determinar si existe o no un campo magnético
en una región dada del espacio. Se consideran
solo a las fuerzas magnéticas y eléctricas.
(2)
Dado que no existen las ‘cargas magnéticas’, se
estudiará la relación
1. Primero se prueba la presencia de una fuerza
eléctrica en diferentes localizaciones de la región
de interés; más tarde se sustraerá de la fuerza total, por lo que en este momento se puede ignorar.
2. Se lanza una carga de prueba q a través de un
→
→
carga en movimiento −
←B −
← carga en movimiento
(3)
que también se escribe
→
→
corriente eléctrica −
←B −
← corriente eléctrica (4)
1
punto particular P con una velocidad v. Si hubise una fuerza magnética F presente, actuaría de
modo que F ⊥ v.
esto es
3. Conforme se hace variar la direccion de v a través del punto P, se encuentra que la magnitud de
F cambia de cero cuando v tiene cierta dirección
hasta un máximo cuando F ⊥ v. En ángulos intermedios la magnitud de F varía como el seno
del ángulo φ entre v y F. (Hay dos direcciones de
v para las que F es cero, y son direcciones opuestas.)
Para ángulos arbitrarios, las observaciones dan
B=
F⊥
qv
.
(5)
F = qvB sin φ.
(6)
donde φ es el ángulo más pequeño entre v y B.
Debido a que F, v y B son vectores, la ecuación
(6) se puede escribir como
F = qv × B.
4. Conforme se hace variar la magnitud de la velocidad, se observa que la magnitud de la fuerza
varía en proporción directa.
(7)
F
5. También se observa que F es proporcinal a la
magnitud de q, la carga de prueba, y que invierte
su dirección si cambia el signo de q.
B
q
De las observaciones se tiene que la direccion
de B en el punto P es la misma que una de las
direcciones de v para la que F = 0, y que la magnitud de B está determinada por la magnitud F⊥
de la máxima fuerza ejercida cuando la carga de
prueba se lanza en dirección perpendicular a B;
f
v
Figura 1: Una partícula con carga q positiva que se
mueve con velocidad v a través de una región con campo magnético B experimenta una fuerza desviadora F.
2
Tabla 1. Algunos campos magnéticos
Localización
Estrella de neutrones (calculado)
Imán superconductor
Electroimán muy grande
Pequeña barra imantada
Superficie terrestre
Espacio interestelar
Recinto magnéticamente aislado
En la figura 1 se aprecia la relación entre los
vectores v, B y F. Nótese que F se anula cuando φ = 0o o φ = 180o y que la magnitud de F es
máxima cuando φ = 90o o φ = 270o . Ya que F ⊥ v
entonces no puede cambiar la magnitud de v pero sí su dirección, es decir, la fuerza no hace trabajo alguno. Así, un campo magnético constante
no cambia la energía cinética sobre una partícula
cargada y en movimiento.
La ecuación (7) es una definición del campo
magnético. En el SI B se mide en tesla, T,
1 tesla = 1
=1
B (T)
108
5
1
10−2
10−4
10−10
10−14
*Valores aproximados y/o calculados.
newton
coulomb · metro/segundo
cuando pasa por dicho punto? La masa del protón
es 1.67×10−27 kg.
La fuerza de deflexión depende a la rapidez con
la que se mueve el protón
newton
ampere · metro
s
Las líneas de B son cerradas, sin inicio ni fin:
no existen los monopolos magnéticos.
Ejercicio 1. Un campo magnético uniforme B, de
magnitud 2 mT, apunta verticalmente hacia arriba en todo el salón de clase. Un protón de 5.3 MeV
se mueve horizontalmente de sur a norte en el
centro del salón de clase. ¿Cuál es la magnitud
de la fuerza deflectora que actúa sobre el protón
v=
s
v=
2K
m
(2)(5.3 MeV)(1.60 × 10−13 J/MeV)
1.67 × 10−27
v = 3.2 × 107 m/s.
3
y
La ecuación (6) da
E
F = qvB sin φ
v
F = 6.1 × 10−15 N
B
y, calculando la acelración que produce sobre la
partícula
a=
FE
z
F
= 3.7 × 1012 m/s2 .
m
x
FB
Figura 2: Una partícula con carga q positiva que se
mueve con velocidad v a través de una región con campo magnético B y un campo eléctrico E experimenta la
acción de dos fuerzas, la magnética FB y la eléctrica FE
.
La fuerza de Lorentz
Si E y B actúan sobre una partícula cargada, entonces
F = qE + qv × B.
(8)
escalares se tiene
es la fuerza de Lorentz.
Una aplicación común de la fuerza de Lorentz
se encuentra cuando un haz de partículas cargadas pasa a través de una región en la que E y B
son perpendiculares entre sí y perpendiculares a
la dirección de la velocidad de las partículas. Si E,
B y v se orientan como en la figura 7, entonces FE
y FB tienen direcciones opuestas. Esposible ajustar las magnitudes de los campos eléctrico y magnético hasta que las fuerzas sean iguales, de modo que la fuerza de Lorentz sea cero. En términos
qE = qvB
(9)
o
v=
E
.
B
(10)
Así, se tiene un selector de velocidades en el que
sólo las partículas con la velocidad E/B mantendrán su trayectoria rectilínea, es decir, no se verán afectadas por fuerza alguna. El valor de v es
4
Luego, ajustando B hasta que la deflexión fuese
nula, v= E/B, y considerando que q = − e
independiente de la carga y de la masa de las partículas.
Con frecuencia, los haces de partículas cargadas se preparan usando métodos que dan la distribución de velocidades, de modo que se puede
obtener un haz de partículas con una velocidad
específica. J. J. Thomson aplicó este principio en
1897 en su descubrimiento del electrón y la medición de su relación carga-masa. La figura 3 muestra una versión más reciente de su aparato.
B
e
2yE
= 2 .
m B L2
Thomson encontró e/m =1.7×1011 C/kg y el
valor aceptado actualmente es 1.75881962×1011
C/kg.
Otrsa aplicación del selector de velocidades se
tiene en el espectrómetro de msasa, un dispositivo que separa a los iones por su masa, ver la
figura 4.
E
F
B
C
S
V
(12)
E
m4
m3
m2
m1
O
Botella
de vidrio
A la bomba de vacío
B’
Figura 3: El aparato de Thomson.
Figura 4: Diagrama esquemático de un espectrómetro
Thomson midió primero la deflexión vertical y
del haz cuando sólo estaba presente el campo eléctrico
qEL2
y=−
(11)
2mv2
de masas.
Cuando los iones entran al campo B’, uniforme,
es posible medir los radios de sus trayectorias
5
circulares, como se desmostrará más adelante.
Ya que todas las partículas tienen la misma
velocidad, el radio de curvatura se determina
como función de la masa.
y la frecuencia correspondiente es
ν=
Como ya se mencionó, cuando las partículas cargadas entran en un campo magnético uniforme la
única fuerza que actua es la fuerza magnética deflectora que tiene dos propiedades: (1) no cambia
la rapidez de las partículas y (b) siempre actúa
en dirección perpendicular a la velocidad de las
partículas, requisitos para un movimiento circular con rapidez constante.
Ya que B⊥v entonces |FB | = | q| vB y, de la segunda ley de Newton
o
r=
mv
| q |B
=
v2
.
(13)
p
.
| q |B
(14)
r
v
r
=
| q |B
,
m
| q |B
.
2π m
(16)
El ciclotrón
EL ciclotrón de la figura 5 es un acelerador que
produce haces energéticos de partículas cargadas
que se pueden usar en experimentos de reacciones nucleares.
El ciclotrón consiste de dos objetos de metal en
forma de D y se les llama des. Las des están huecas y abiertas en su lado recto. Se conectan a un
oscilador eléctrico que establece una diferencia de
potencial oscilante entre las des. Se establece un
campo magnético perpendicular al plano de las
des. En el centro del instrumento existe una fuente emisora de los iones que se desea acelerar.
Cuando los iones se encuentran entre el espacio
entre las des se aceleran debido a la diferencia de
La rapidez angular del movimiento circular es
ω=
2π
=
Nótese que la frecuencia asociada con el movimiento circular no depende de la rapidez de la
partícula, en tanto que v¿ c.
A la fecuencia dada por la ecuación (16) se le
conoce como frecuencia de ciclotrón.
Las cargas en movimiento circular
| q| vB = m
ω
(15)
6
ecuación (14)
v=
| q|BR
,
m
(17)
y, la corresopndiente energía cinética (no relativista) de las partículas es
K=
1
q2 B2 R 2
m v2 =
.
2
2m
(18)
El sincrotrón
En rpincipio, debe ser posible incrementar l aenergía del haz de partículas en un ciclotrón incrementando el radio. Sin embargo, por arriba de 50
MeV, se pierde la condición de resonancia, Para
entender este efecto debemos regresar a la ecuación 14, en la que se usa el momentum mv.
La expresión r = p/| q|B, es correcta a condición
de usar la expresión
relativista para el momenp
2
tum, p = mv/ 1 − v /c2 , por lo que
Figura 5: Diagrama esquemático de un ciclotrón.
potencial entre las des. Entonces entran en una
de las des donde el campo eléctrico es nulo y el
magnético hace que se meuvan en un semicírculo.
El potencial oscilante da lugar a un campo eléctrico oscilante que acelera a los iones en el espacio
entre las des, de modo que la frecuencia de oscilación sea igual a la frecuencia del ciclotrón, condición conocida como condición de resonancia. Así
los iones ganan energía cinética durante el paso
entre las des hasta que la velocidad final queda
determinada por el radio R del cilotrón, y de la
p
| q|B 1 − v2 /c2
ν=
2π m
(19)
Es posible mitigar esta dificultad ajustando el
cmapo magnético de modo que se incremente a un
radio mayor.
7
Con un sincrotrón es posible alcanzar energías
del orden de 1000-GeV. En lugar de usar sólo un
imán, se usan muchos imanes individuales, que
producen una desviación de 1°, aproximadamente.
trayectoria es R. De acuerdo con la ecuación (18)
K=
1
q2 B2 R 2
m v2 =
= 30 MeV.
2
2m
El efecto Hall
El espejo magnético
En 1879, Edwin H. Hall dirigió un experimento
que permitió la medición directa del signo y el número de la densidad (número por unidad de volumen) de carga de los portadores de carga en un
conductor. El efecto Hall juega un papel crítico en
el entendimiento de la conducción eléctrica en los
metales y los semiconductores.
Considere la figura 6. La dirección de la corriente es la opuesta a la del movimiento de los
electrones. B es perpendicular al plano de la placa.
Los portadores de carga experimentan una
fuerza deflectora F = qv × B y se mueven como se
indica en la figura. Nótese que las carga positivas
que se mueven en la dirección de i experimentan
una fuerza deflectora en la misma dirección.
La acumulación de cargas a lo largo del borde derecho de la placa (y la correspondiente deficiencia de cargas del signo contrario en el borde
Para atrapar a ls partículas cargadas en una región dada del espaciose usan campos magnéticos
no uniformes.
Ejercicio 2. Un cilotrón particular está sieñado
con des de radio R=75 cm y con imanes que pueden establecer un campo de 1.5 T. (a) ¿Cuál debe
ser la frecuencia de oscilación para acelerar deuterones? (b) ¿Cuál es la máxima energía cinética
que pueden adquirir los deuterones?
(a) Un deuteron es un isótopo del hidrógeno,
con una carga q = + e y una masa de 3.34×10−27
kg. Usando la ecuación (16) se encuentra que
ν=
| q|B (1.60 × 10−9 C)(1.5 T)
= 11 MHz.
=
2π m
2π(3.34 × 10−27 kg)
(b) la máxima energía que alcanzan los deuterones se da cuando el radio de curvatura de su
8
i
w
i
w
máximo ya que la fuerza magnética es qv × B)n
está balanceada por la fuerza eléctrica (qE). En
términos vectoriales
E
Vd
Vd
B
B
x
y
Vd
i
x qE
F y
qE + qvd × B = 0,
(20)
E = −vd × B.
(21)
o
Puesto que vd ⊥ B, la ecuación (21) se puede escribir como
E = vd B.
(22)
E
Así,
i
V
j
i
= vd B =
B=
B
w
ne
wtne
o resolviendo para n
Figura 6: El efecto Hall.
opuesto de la placa), que es el efecto Hall, produce un campo eléctrico E a través de la placa y,
así, una diferencia de potencial V = Ew, llamada
diferencia de potencial Hall entre ambos bordes.
Suponiendo que la conducción en el material se
debe a portadores de carga de un signo particular
que se mueven con velocidad de desplazamiento
vd .
Al alcanzar el equilibrio se tiene el voltaje Hall
n=
iB
.
etV
(23)
Ejercicio 3. Una placa de cobre de 150 µm de
espesor se coloca dentro de un campo B=0.65 T
perpendicular al plano de la placa. Una corriente i=23 A pasa a través de la placa. ¿Cuál es la
diferencia de potencial V aparecerá a través de
la anchura de la placa si hubiera un portador de
carga por átomo?
9
Para el cobre ya se calculó antes que n=8.49
×1028 electrones/m3 y, de la ecuación (23)
V=
V=
En 1980 Klaus von Klitzing descubrió que, en
campos magnéticos altos y temperaturas del orden de 1 K, la resistencia Hall no crece linealmente con el campo, en su lugar aparece una serie de
‘escalone’. A este efecto se le conoce como efecto
Hall cuantizado.
La explicación involucra a las trayectorias
circulares en las que los electrones están forzados a moverse debido al campo. La mecánica
cuántica evita que las órbitas de los electrones se
traslapen.
iB
net
(23 A)(0.65 T)
(8.49 × 1028 m−3 )(1.60 × 10−19 C)(150 × 10−6 m)
V = 7.3 × 10−6 V=7.3µV.
Esta diferencia de potencial, aunque pequeña, es
mensurable.
La fuerza magnética sobre una
corriente
El efecto Hall cuantizado (opcional)
Si se escribe la ecuacion 23 como
V
1
=
B.
i
etn
Ya que la corriente eléctrica consiste de cargas en
movimiento, naturalmente que un campo magnético ejercerá una fuerza lateral sobre estos y se
traducirá en una fuerza lateal sobre el alambre
conductor. La figura 7 muestra un alambre que
pasa a través de una región con un campo B.
Cuando el alambre no porta corriente (figura
7a), no experimenta deflexión alguna.
Cuando el alambre porta una corriente, se deflecta (figura 7b) y cunado la corriente se invierte
la deflexión también se invierte (figura 7c). La de-
(24)
La cantidad de la izquierda tiene dimensiones de
resistencia y, aunque no es la convencional, se le
llama resistencia Hall, que se puede determinar
si se miden i y V .
De la ecuación 24 se espera que la resistencia
crezca linealmente con el campo magnéticoB para un material en particular (en el que n y t son
constantes).
10
flexión también se invierte cuando el campo B se
invierte.
B
B
B
i=0
i
i
Figura 8: Un fragmento de alambre con corriente.
(a)
(b)
(c)
fuerza actúa sobre cada electrón del segmento de
alambre y la fuerza total F sobre el segmento es
igual al número N de electrones veces la fuerza
sobre cada electrón:
Figura 7: Alambres con corriente.
Para entender este efecto, considere las cargas
individuales que fluyen en un alambre (figura 8).
Se supone que los electrones se mueven con velocidad constante, vd .
El alambre pasa a través de una región en la
que existe un campo B uniforme. La fuerza lateral sobre cada electrón (de carga q =− e) debida al
campo magnético es − evd × B.
Considérese la fuerza lateral total sobre un
segmento de longitud L del alambre. La misma
F = − N evd × B
(25)
¿Cuántos electrones contiene el segmento de
alambre? Si n es el número de la densidad de
electrones, entonce el número total N de electrones en el segmento es nAL, donde A es la sección
transversal del alambre, así que
F = − nALevd × B.
11
(26)
Sea L un vector igual, en magnitud, a la longitud del segmento y que apunta en la dirección
de la corriente. Los vectores vd y L tienen direcciones opuestas, y es posible escribir la relación
escalar naLevd = iL como
− nAl evd = iL.
(27)
Sustitutyendo la ecuación 27 en la 26, se obtiene
una expresión para la fuerza sobre el segmento:
F = iL × B.
Figura 9: Un fragmento de alambre, L, dirigido, hace
(28)
un ánguloφ con el campo magnético.
La ecuacion 28 se parece a la 7, en la que se puede
considerar como la definición de campo magnético, ver la figura 9.
Si el segmento es perpendicular a la dirección
del campo, la magnitud de la fuerza se puede escribir como
F = iLB
(29)
En el que se puede encontrar la fuerza total sobre
el segmento de longitud L mediante la integración sobre toda la longitud.
Ejercicio 4. Un segmento de alambre de cobre
horizontal, recto, porta un acorriente i = 28 A.
¿Cuál es la magnitud y la dirección del campo
magnético necesario para hacer ‘flotar’ al alambre, est es, balancear su peso? La densidad lineal
de masa es 46.6 g/m.
Si el alambre no es rectoo e lcampo no es uniforme, es posible imaginar que se puede descomponer al alambre en pequeños segmentos rectos
de longitud ds, con lo que
dF = ids × b.
(30)
La figura 10 muestra el arregle. Para una lon12
gitud L alambre se tiene
i, ¿cuál es la fuerza magnética, textbfF resultante
sobre este? De acuerdo con la ecuación 29, la fuer-
mg = iLB,
o
B=
(m/L)g (46.4 × 10−3 kg/m)(9.8 m/s2 )
=
i
28 A
B = 1.6 × 10−2 T = 16mT.
Esto equivale a unas 400 veces la intensidad del
Figura 11: Un segmento de alambre dentro de un
campo magnético uniforme.
za magnética que actúa sobre cada sección recta
tiene una magnitud
F1 = F3 = iLB
Figura 10: Se muestra la sección transversal de un
y apunta hacia abajo, como lo muestran las flechas en la figura. La fuerza dF que actúa sobre
un segmento de arco de longiut ds = R d θ tiene
magnitud
alambre que se puede hacer ‘flotar’ en un campo magnético.
campo magnético de la Tierra.
Ejercicio 5. La figura 11 muestra un segmento
de alambre, puesto dentro de un campo magnético uniforme B que apunta hacia afuera de la página. Si el segmento de alambre porta una corriente
dF = ib ds = iB(R d θ )
y dirección radialmente hacia O, el centro del arco. Sólo la componente dF sinθ de este elemento
13
igual en el brazo opuesto. Una corriente i =0.224
A se ha establecido en el alambre y se encuentra
que para restaurar el balance a su posición previa
de equilibrio se debe añadir una masa m =13.7 g
al brazo de la derecha de la balanza. Encuentre la
magnitud y dirección del campo magnético.
de fuerza, es efectiva, en tanto que la componente
dF cosθ se cancela por la simetría.
La fuerza total sobre el arco central apunta hacia abajo y está dada por
Z π
Z π
F2 =
dFdF sinθ =
(iBR d θ )sinθ
0
0
π
Z
F2 = iBR
0
sinθ d θ = 2iBR.
La fuerza resultante sobre todo el alambre es, entonces,
F = F1 + F2 + F3 = iLB + 2iBR + iLB = iB(2L + 2B).
Esa fuerza es la misma que la que actuaría sobre
un alambre de longitud 2L + 2R.
Ejercicio 6. Una espira rectangular de alambre
(ver la figura 12), que consiste de nueve vueltas
y tiene una anchura a =0.103 m y un alongitud
b =0.685 m está unida al brazo de una balanza.
Una porción de la espira pasa a través de una
región en la que existe un campo magnético de
magnitud B, perpendicular al plano de la espira.
El aparato se ajusta ciuodadosamente hasta que
el peso de la espira queda balanceado por u peso
Figura 12: Este aparato se puede usar para medir B.
14
Ya sea que el campo entre o salga de la página,
las fuerzas sobre las porciones bajas de los lados
largos de la espira se cancelan. Por lo que sólo se
considera la fuerza F sobre la parte más baja de
la espira, que tiene una magnitud iaB en cada
uno de los nueve segmentos de toda la espira y
que están dentro del campo. Ya que fue necesario
añadir peso al mismo brazo, la fuerza magnética en el segmento de abajo debe apuntar hacia
arriba; la fuerza magnética F hacia larriba se balancea añadiendo un peso mg en ese lado. Para
que la fuerza apunte hacia arriba, el campo magnético debe estar apuntando hacia la página. La
condición de equilibrio es
mg = F = 9(iaB) o B =
espira experimenta una torca que tiene a rotarla alrededro de un eje particular (que, en general,
pasa a través del centro de masa).
Figura 13: Una espira rectangular porta una corrien-
mg
= 0.647 T.
9ia
te i y está dentro de un campo magnético uniforme.
La figura 13, muestra una espira rectangular
de alambre en un campo magnético uniforme B.
Por simplicidad sólo se muestra la espira; se supone que los alambres extremos de la espira no
experimentan fuerza magnética alguna. Se supone que la espira está suspendida de tal manera
que es libre de rotar alrededor de cualquier eje.
Se tiene que B = B ĵ. El eje z está en el plano
Un dispositivo que opera con este principio
general se puede usar para efectuar medidas
precisas de campos magnéticos.
La torca sobre una espira con corriente
Cuando una espira de alambre que porta una corriente se pone dentro de un campo magnético, la
15
de la espira y está orientada de mod que los lados 1 y 3 son ⊥ B. n̂ es ⊥ al plano de la espira
y su dirección se determina usando la regla de la
mano derecha, si los dedos de la mano apuntan
en la dirección de la corriente, el pulgar indica la
dirección de n̂, que forma un ángulo θ con B.
F = iL × B permite determinar la fuerza neta
sobre la espira. La magnitud de la fuerza F2 sobre
el lado 2 (de longitud b) es
F2 = ibB sin(π/2 − θ ) = ibB cosθ .
de acción, tienden a hacer rotar a la espira alrededor de un eje paralelo al eje z. La dirección de
la rotación tiende a alinear a n̂ con B.
(31)
que apunta en la dirección +z. La fuerza F4 sobre
el lado 4 tiene magnitud
F4 = ibB sin(π/2 + θ ) = ibB cosθ .
(32)
que apunta en la dirección -z. Dado que estas
fuerzas son iguales y opuestas, no contribuyen a
la fuerza neta sobre la espira, además de que están en la misma línea de acción.
F1 = F3 = iaB; tienen direcciones opuestas a lo
largo del eje x, por lo que F1 + F2 + F3 + F4 = 0.
Pero las torcas producidas por F1 y F3 son diferentes de cero y como no tienen la misma línea
16