Inferencia Estadística Aplicada - Centro de Geociencias ::.. UNAM

Inferencia Estadística
Aplicada
Materiales didácticos
Página de la clase:
www.geociencias.unam.mx/~ramon/estinf.html
Nota: se puede accesar también como:
http://www.geociencias.unam.mx/%7Eramon/estinf.html
Es muy conveniente, aunque no indispensable, contar con el software Minitab®.
Una muestra tomada de una población sólo puede ser de valor mientras
nos permita formar un juicio sobre las condiciones y características de
la población a la que ésta pertence (Gosset, 1908).
Los grandes consumidores de Coca Cola son:
Más Ricos
Más Sanos
Más Libres
¿Le crees al
encabezado de
estas gráficas?
Introducción
Estadística:
stica En el lenguaje común (por ejemplo en las crónicas deportivas) es
conocida como un conjunto de datos. Se refiere a un conjunto de métodos para
manejar la obtención, presentación y el análisis de observaciones numéricas. Sus
fines son: Describir al conjunto de datos obtenidos y tomar decisiones, o bien,
realizar generalizaciones acerca de las características de todas las posibles
observaciones bajo consideración.
La Estadística es una de las ramas de la matemática con más aplicaciones ya que
casi en cualquier rama del conocimiento humano tiene aplicación. Se considera
como su fundador a Godofredo Achenwall, profesor alemán (1719-1772), él y sus
seguidores estructuraron métodos estadísticos para estudiar las riquezas de las
naciones.
Existen muchas definiciones dependientes de sus aplicaciones, pero en el fondo
todas ellas coinciden de una u otra forma en el que la estadística “es un método
científico de operar con los datos y de interpretarlos”.
De la definición anterior pueden percibirse dos grandes áreas de acción de la
Estadística:
• Estadística Descriptiva
• Estadística Inferencial
Si tenemos la posibilidad de conocer a todos y cada uno de los integrantes de una
población a la cual queremos estudiar, entonces usaremos los métodos de la
Estadística Descriptiva,
Descriptiva que incluye la obtención, organización, presentación y
descripción de la información numérica.
Pero si no nos es posible conocer a toda la población entonces tomaremos una
muestra de ella, la estudiaremos y se sacarán conclusiones que se extrapolarán a
toda la población, para lo que se usarán los métodos de la Estadística Inferencial.
Inferencial
Estadística Descriptiva. Se refiere a aquella parte del estudio que incluye la
obtención, organización, presentación y descripción de la información numérica.
Estadística Inferencial. Es una técnica de la cual se obtienen generalizaciones o se
toman decisiones con base a información parcial o incompleta obtenida mediante
técnicas descriptivas.
Los conceptos básicos de Probabilidad y de distribuciones muestrales sirven como
introducción al método de Inferencia Estadística;
stica esta se compone en dos áreas:
• Pruebas de Hipótesis
• Estimación
La estimación se encarga de buscar establecer los valores de los parámetros de la
población.
Las pruebas de Hipótesis constituyen un proceso relacionado con aceptar o rechazar
afirmaciones acerca de los parámetros de la población.
Los dos pasos anteriores se pueden resumir diciendo que el propósito es hacer
inferencias sobre la población a partir de una muestra y estmar la confianza con la
que estas inferencias pueden ser verdaderas.
Para poder entablar las bases de lo que conlleva un estudio estadístico necesitamos
algunas definiciones:
Población. Conjunto de todas las posibles observaciones. Sinónimo de Conjunto
Universal se le define como la totalidad de todas las posibles mediciones
observables, bajo consideración en una situación dada por determinado problema,
circunstancias diferentes implican situaciones diferentes.
Las Poblaciones se clasifican en función a su cardinalidad (cuantificación).
Población Finita. Es aquella que incluye un número limitado de medidas y
observaciones.
Población Infinita. Es aquella que por incluir un gran número de medidas y
observaciones no es posible determinar la cantidad de éstas.
En lo general, las características medibles de una población son denominadas
Parámetros.
Muestra.
Muestra Es un conjunto de observaciones o medidas tomadas a partir de una
población dada, es decir, es un subconjunto de la población. Desde luego, la
cardinalidad de la muestra depende de la cardinalidad de la población. Las muestras
deben ser representativas para evitar un sesgo u error.
A pesar de que puede existir una población de un tamaño específico
(generalmente grande), lo que tenemos a la mano es una parte de dicha
población, o sea, una muestra.
muestra
Cuando la estadística causa problemas:
problemas
Yule(1926) descubrió una relación positiva muy estrecha entre la tasa de
matrimonios realizados por la iglesia de Inglaterra y la tasa de mortalidad en el país.
En otro caso, se encontró una alta relación entre el número de ministros religiosos
ordenados y el número de nacimientos.
Ambos casos son resultado de estudios estadísticos serios
¿Podrías establecer que en verdad existiera una relación entre estas situaciones?
Repaso de Conceptos Básicos
Sumatoria
La sumatoria se denota con el símbolo
∑
Se usa para indicar una suma de términos, por ejemplo:
n
∑ xi
i =1
= x1 + x 2 + x 3 + ... + x n
Ejemplo:
si queremos sumar los siguientes valores:
x1
x2
x3
x4
x5
x6
3
2
4
2
1
3
3
a)
∑ xi = x2 + x3
i=2
6
b)
3
∑ xi = 2 + 4
n
∑ xi
i =1
= 15
∑ xi = 6
i=2
∑ xi = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
i =1
3
i=2
n
∑ xi
i =1
= 3+ 2+ 4+ 2+1+ 3
Actividad 1 Calcular las siguientes sumatorias:
7
a)
5
∑ xi =
4
b) ∑ 2 xi =
i =1
c) ∑ 3( xi − 4)
i =1
i =1
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
2.3
3.5
6.2
7.1
8.3
10.4
15.3
Distribución de frecuencias.
Cuando los datos son numerosos, es conveniente agruparlos para que la información sea
más fácil de interpretar. El primer tipo de agrupación se hace contando el número de
veces que se repite cada valor, a lo que se le llama frecuencia.
Ejemplo: Se midieron las estaturas en cm de las alumnas de 1° de Secundaria
y nos reportan los datos siguientes:
152 157 153 154 147 150 151 149 142 157 145 152 143 151 144 148 138 139 145
137 146 155 141 148 154 154 162 142 159 152 140 131 143 158 139 145 149 142
137 147 146 138 139 139 159 140 143 142 125 153 160 144 152 148 146 158 143
137 144 152 131 150 149 144 151 139 137 144 143 154 145 153 157 146 147 158
138 132 137 139 143 132 142 146 143 136 149 151 152 141 154 143 145 144 158
140 147 145 144 150 145 145 146 148 149 153 155 159
Actividad 2. Ordenar los datos anteriores y anotar sus frecuencias.
Con los datos anteriores se van a formar lo que se conoce como una Tabla de
Distribución de Frecuencias.
Frecuencias
Tabla de Distribución de Frecuencias de las estaturas de las niñas de 1° de
Secundaria
X
Frecuencia
X
Frecuencia
X
Frecuencia
4
3 151 ////
125 /
1 138 ///
126
0 139 //// /
6 152 //// /
6
127
0 140 ///
3 153 ////
4
128
0 141 //
2 154 ////
5
129
0 142 ////
2
5 155 //
130
0 143 //// ///
0
8 156
131 //
2 144 //// //
3
7 157 ///
132 //
2 145 //// ///
4
8 158 ////
133
0 146 //// /
3
6 159 ///
134
0 147 ////
1
4 160 /
135
0 148 ////
0
4 161
136 /
1 149 ////
1
5 162 /
137 ////
3
5 150 ///
Suman
N = 108
Tabla de Distribución de Frecuencias de Datos Agrupados
Con una distribución de frecuencias podemos ya ver algunas características de los
datos, pero no podemos tener una visión integral de su comportamiento.
Para ello vamos a construir lo que se conoce como una tabla de distribución de
frecuencias de datos agrupados. Esto es agrupar datos en “clases”.
Un Intervalo o clase es un subconjunto de todos los datos enmarcado entre dos valores.
La Marca de clase se llama al valor intermedio del intervalo, es el que va a representar
a todos los valores que caigan en el intervalo.
Los datos anteriores pueden agruparse por intervalos de clases (pensemos en cajitas) e
indicar el número de datos que contiene cada clase (frecuencia), de la forma similar a
lo que hicimos en las gráficas de barras. A esta distribución se le llama distribución de
frecuencias agrupadas.
A continuación se dan algunas recomendaciones para construir este tipo de tabla
1. El número total de intervalos de clase no deberá ser menor que 6 ni mayor de 20
para no perder la ventaja de visualización de los datos.
2. El número de intervalos deberá aproximarse a la raíz cuadrada del número total de
datos
3. Los puntos medios o marcas de clase deberán tener el mismo número de dígitos de
los datos en bruto
4. La longitud del intervalo deberá ser impar para que los extremos del intervalo no
incluyan datos observados
5. Las marcas de clase deberán ser fáciles de manejar
6. La diferencia entre marcas de clase deberá ser constante e igual a la longitud del
intervalo
Ahora, para hacer la agrupación de los datos se siguen los siguientes pasos:
1° se calcula el rango (R) que es la diferencia entre los valores extremos de los datos
R = X sup − X inf
si éste no es entero se tiene que redondear al entero superior,
Ejemplo (las estaturas):
Si X sup = 162 y
X inf = 125 entonces R = 162 -125 = 37
2° Se elige el número de intervalos, debemos escoger el número de intervalos de clase
de preferencia entre 6 y 20. Podemos tener una buena idea del número adecuado de
intervalos aplicando la recomendación de que
n= N
Ejemplo: Si N =108, entonces n = 108 ≈ 10 , con lo que el intervalo quedaría con la
siguiente longitud
i=
R 37
=
= 3.7 ≈ 4
n 10
pero como no es impar se tiene que cambiar el número de intervalos
37
i
=
= 4.11 4 por lo que estaríamos en la misma
Si usamos 9 intervalos, entonces
9
situación (no es impar), y tenemos que buscar otro número de intervalos.
37
= 4.6 ≈ 5 y como es impar podemos usar éste
Empleando 8 intervalos nos da i =
8
número de intervalos.
3° Una vez que se decidió el número de intervalos y la longitud de éstos para empezar
a formarlos vemos cuál es el nuevo rango que nos da el número de intervalos
multiplicado por la longitud, siendo en el caso del ejemplo
R = i ⋅ n = 5(8) = 40
con lo que tenemos 3 elementos más de los que teníamos originalmente (el Rango era
de 37) y debemos decidir cómo distribuirlos, preferiblemente de manera equilibrada, es
decir, en el caso del ejemplo podemos iniciar el conteo en 123 y terminar en 163
4° Para asegurarnos de que ningún dato queda en los extremos de los intervalos nos
moveremos media unidad.
Para el ejemplo entonces vamos a empezar en 122.5 y terminaremos en 162.5
Actividad 3. Construir una tabla con las características anteriores usando los datos de
las estaturas de niñas de secundaria.
Intervalos de clase
Estaturas en centímetros
122.5 -127.5
127.5 -132.5
132.5 -137.5
137.5 -142.5
142.5 -147.5
147.5 -152.5
152.5 -157.5
157.5 -162.5
Total
Marca de clase
126
131
136
141
146
151
156
161
Frecuencia
Alumnos
1
4
9
24
29
22
14
5
N = 108
Histograma de Frecuencias
Se llama Histograma de frecuencias a la gráfica en la que en el eje de las abscisas se
grafican los intervalos y en el de las ordenadas se grafican las frecuencias.
Para nuestro ejemplo:
Histograma de Frecuencias de las Estaturas de las Niñas de 1° de Secundaria
Alturas de alumnas de secundaria
35
30
Frequencia
25
20
15
10
5
0
125
130
135
140
145
C1
150
155
160
Polígono de Frecuencias
Se llama polígono de frecuencias a la poligonal que une los puntos medios de los
extremos superiores de las barras (marcas de clase) empezando en una marca de clase
antes y terminando una después. Muchas veces se grafican el histograma y el polígono
de frecuencia juntos, para lo cual se tiene que agregar a la tabla de distribución de
frecuencias agrupada la columna con las marcas de clase.
Polígono de Frecuencias de las Estaturas de las Niñas de 1° de Secundaria
Alturas de alumnas de secundaria
35
30
Frequencia
25
20
15
10
5
0
125
130
135
140
145
C1
150
155
160
Medidas de tendencia central
Al ver las tablas de frecuencias se hizo evidente que algunos datos se repiten más que
otros, al ver las gráficas de frecuencias se puede observar fácilmente la tendencia a
repetirse los valores en vecindarios.
Por lo general la mayor densidad de datos se encuentra en la parte central de la gráfica
y cada que nos alejemos del centro va disminuyendo la frecuencia en que aparecen los
datos, de igualmente de ambos lados, formando una curva parecida a una campana, a
lo que se llama comportamiento “normal”.
En el ejemplo anterior se tiene un ligero sesgo positivo ( hacia la derecha), pero para
dar más sentido a estas observaciones y poder hacer comparaciones con otras
poblaciones se ideó que se pueden medir el promedio de una población, o el valor que
más se repite en ella, o el valor que queda al centro de nuestra población los que nos
pueden ayudar a ver que tan “normal” es nuestra distribución.
Podemos pensar que si estas tres medidas son muy parecidas entre sí, entonces la
población sí tiene un comportamiento normal, mientras más se alejen entre ellas, más
lejos de un comportamiento normal estará nuestra población.
Ahora veamos estas medidas que se conocen como medidas de tendencia central que
son la media aritmética, la mediana y la moda, vamos a ver cómo se diferencian para
datos agrupados o no. En datos no agrupados, las definiremos como:
Moda Es el valor del dato que más se repite
Mediana El valor que queda en la mitad de la muestra
Media Promedio aritmético de nuestros datos
Para el ejemplo:
Moda= en este caso 143 y 145 en los datos originales (se llama multimodal)
Mediana. n = N = 108 = 54 , por lo que la Mediana = 145 (se cuentan los datos hasta
2
2
llegar al dato 54)
Media =
x
∑
x=
N
i
=
15805
≈ 146.34
108
En datos agrupados (histograma) la moda es el valor (marca de clase) de la
barra más alta, en nuestro ejemplo, Moda = 145. Se localiza el valor de la Media
(146.3) y de la Mediana en el eje de las X (también 145 para el ejemplo).
Alturas de alumnas de secundaria
Normal
35
Mean
StDev
N
30
Frequency
25
20
15
10
5
0
125
130
135
140
145
150
C1
Media
Moda
Mediana
155
160
146.3
7.242
108
Actividad 4. Calcular la moda, la mediana y la media de los datos no agrupados que se
presentan a continuación
Distribución de Frecuencias de la Duración en Servicio de los Profesores
Universitarios
Dato
Dato
Dato
Dato
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia
1.
1
11.
7
21.
2
31.
0
2.
1
12.
7
22.
1
32.
1
3.
1
13.
7
23.
1
33.
1
4.
2
14.
4
24.
1
34.
1
5.
1
15.
4
25.
5
35.
0
6.
5
16.
4
26.
1
36.
0
7.
5
17.
5
27.
0
37.
0
8.
4
18.
5
28.
1
38.
1
9.
5
19.
4
29.
1
39.
0
10.
6
20.
2
30.
2
40.
1
Total
100
Moda:
son 11, 12 y 13 por lo que sería multimodal
Mediana:
N 100
=
= 50
Mediana = 13
2
2
∑ xi = 150 = 15
x=
100
N
n=
Media:
¿Cómo calculas la
media si tienes datos
con frecuencias?
Actividad 5. Calcular la moda, la mediana y la media de los datos agrupados del
ejemplo anterior (9 intervalos)
Duración en Servicio de los Profesores Universitarios
Normal
30
Mean
StDev
N
25
Frequency
Moda = 10
N 100
= 50 ,
n= =
2
2
Mediana= 13
20
Media: x =
15
10
5
0
15
7.991
100
0
10
Moda
20
30
C1
Media
Mediana
40
∑x
i
N
=
150
= 15
100
Tarea 1. Calcular la Moda, Mediana y Media de los siguientes datos sin
agrupar y agrupados, y elaborar una tabla de distribución de frecuencias
acumuladas, un histograma y polígono de frecuencias.
Tabla de Distribución de Frecuencias de distancias alcanzadas por pelotas
de golf nuevas
Dato
223.7
224.4
226.9
232.3
232.7
233.5
237.4
Frecuencia
1
1
1
1
1
1
1
Dato
Dato
Dato
Frecuencia
239.9
1
243.6
1
247.2
1
248.3
1
249.2
1
252.8
1
253.6
1
Frecuencia
256.3
1
256.5
1
258.8
1
260.4
1
264.3
1
265.1
1
267.5
1
Frecuencia
269.6
1
271.4
1
278.7
1
294.1
1
Total
25