Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares

Sobre la clasificación de ciertas categorías
modulares íntegras
Julia Yael Plavnik 1
Basado en un trabajo conjunto con P. Bruillard, C. Galindo, S.-M.
Hong, Y. Kashina, D. Naidu, S. Natale y E. Rowell
1 Universidad
de Buenos Aires
IMAS - CONICET
VII Encuentro Nacional de Álgebra
La Falda - 04 de Agosto de 2014
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Categorías de fusión
Sea k un cuerpo algebráicamente cerrado de característica
cero.
Una categoría C es una categoría de fusión sobre k si:
es una categoría abeliana k-lineal: HomC (X , Y ) es un
k-espacio vectorial y la composición de morfismos es
bilineal,
es una categoría monoidal: (C, ⊗, a, 1, l, r),
es rígida: para todo X ∈ C existen duales a izquierda y a
derecha,
es semisimple: los objetos son sumas directas finitas de
objetos simples,
C tiene una cantidad finita de clases de isomorfismo de
objetos simples,
los espacios de morfismos son de dimensión finita,
1 es un objeto simple de C.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Categorías de fusión
Sea k un cuerpo algebráicamente cerrado de característica
cero.
Una categoría C es una categoría de fusión sobre k si:
es una categoría abeliana k-lineal: HomC (X , Y ) es un
k-espacio vectorial y la composición de morfismos es
bilineal,
es una categoría monoidal: (C, ⊗, a, 1, l, r),
es rígida: para todo X ∈ C existen duales a izquierda y a
derecha,
es semisimple: los objetos son sumas directas finitas de
objetos simples,
C tiene una cantidad finita de clases de isomorfismo de
objetos simples,
los espacios de morfismos son de dimensión finita,
1 es un objeto simple de C.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Categorías de fusión
Sea k un cuerpo algebráicamente cerrado de característica
cero.
Una categoría C es una categoría de fusión sobre k si:
es una categoría abeliana k-lineal: HomC (X , Y ) es un
k-espacio vectorial y la composición de morfismos es
bilineal,
es una categoría monoidal: (C, ⊗, a, 1, l, r),
es rígida: para todo X ∈ C existen duales a izquierda y a
derecha,
es semisimple: los objetos son sumas directas finitas de
objetos simples,
C tiene una cantidad finita de clases de isomorfismo de
objetos simples,
los espacios de morfismos son de dimensión finita,
1 es un objeto simple de C.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Categorías de fusión
Sea k un cuerpo algebráicamente cerrado de característica
cero.
Una categoría C es una categoría de fusión sobre k si:
es una categoría abeliana k-lineal: HomC (X , Y ) es un
k-espacio vectorial y la composición de morfismos es
bilineal,
es una categoría monoidal: (C, ⊗, a, 1, l, r),
es rígida: para todo X ∈ C existen duales a izquierda y a
derecha,
es semisimple: los objetos son sumas directas finitas de
objetos simples,
C tiene una cantidad finita de clases de isomorfismo de
objetos simples,
los espacios de morfismos son de dimensión finita,
1 es un objeto simple de C.
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Categorías de fusión
Sea k un cuerpo algebráicamente cerrado de característica
cero.
Una categoría C es una categoría de fusión sobre k si:
es una categoría abeliana k-lineal: HomC (X , Y ) es un
k-espacio vectorial y la composición de morfismos es
bilineal,
es una categoría monoidal: (C, ⊗, a, 1, l, r),
es rígida: para todo X ∈ C existen duales a izquierda y a
derecha,
es semisimple: los objetos son sumas directas finitas de
objetos simples,
C tiene una cantidad finita de clases de isomorfismo de
objetos simples,
los espacios de morfismos son de dimensión finita,
1 es un objeto simple de C.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Categorías de fusión
Sea k un cuerpo algebráicamente cerrado de característica
cero.
Una categoría C es una categoría de fusión sobre k si:
es una categoría abeliana k-lineal: HomC (X , Y ) es un
k-espacio vectorial y la composición de morfismos es
bilineal,
es una categoría monoidal: (C, ⊗, a, 1, l, r),
es rígida: para todo X ∈ C existen duales a izquierda y a
derecha,
es semisimple: los objetos son sumas directas finitas de
objetos simples,
C tiene una cantidad finita de clases de isomorfismo de
objetos simples,
los espacios de morfismos son de dimensión finita,
1 es un objeto simple de C.
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Categorías de fusión
Sea k un cuerpo algebráicamente cerrado de característica
cero.
Una categoría C es una categoría de fusión sobre k si:
es una categoría abeliana k-lineal: HomC (X , Y ) es un
k-espacio vectorial y la composición de morfismos es
bilineal,
es una categoría monoidal: (C, ⊗, a, 1, l, r),
es rígida: para todo X ∈ C existen duales a izquierda y a
derecha,
es semisimple: los objetos son sumas directas finitas de
objetos simples,
C tiene una cantidad finita de clases de isomorfismo de
objetos simples,
los espacios de morfismos son de dimensión finita,
1 es un objeto simple de C.
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Categorías de fusión
Sea k un cuerpo algebráicamente cerrado de característica
cero.
Una categoría C es una categoría de fusión sobre k si:
es una categoría abeliana k-lineal: HomC (X , Y ) es un
k-espacio vectorial y la composición de morfismos es
bilineal,
es una categoría monoidal: (C, ⊗, a, 1, l, r),
es rígida: para todo X ∈ C existen duales a izquierda y a
derecha,
es semisimple: los objetos son sumas directas finitas de
objetos simples,
C tiene una cantidad finita de clases de isomorfismo de
objetos simples,
los espacios de morfismos son de dimensión finita,
1 es un objeto simple de C.
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Categorías de fusión
Sea k un cuerpo algebráicamente cerrado de característica
cero.
Una categoría C es una categoría de fusión sobre k si:
es una categoría abeliana k-lineal: HomC (X , Y ) es un
k-espacio vectorial y la composición de morfismos es
bilineal,
es una categoría monoidal: (C, ⊗, a, 1, l, r),
es rígida: para todo X ∈ C existen duales a izquierda y a
derecha,
es semisimple: los objetos son sumas directas finitas de
objetos simples,
C tiene una cantidad finita de clases de isomorfismo de
objetos simples,
los espacios de morfismos son de dimensión finita,
1 es un objeto simple de C.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Ejemplos
Sea G un grupo finito. La categoría Rep(G) de
representaciones de dimensión finita de G sobre k es una
categoría de fusión.
Sea G un grupo finito. La categoría VecωG de espacios
vectoriales G-graduados de dimensión finita sobre k con
asociatividad determinada por un 3-cociclo ω es una
categoría de fusión.
Sea H un álgebra de Hopf semisimple de dimensión finita.
La categoría Rep H de representaciones de dimensión
finita de H es una categoría de fusión.
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Ejemplos
Sea G un grupo finito. La categoría Rep(G) de
representaciones de dimensión finita de G sobre k es una
categoría de fusión.
Sea G un grupo finito. La categoría VecωG de espacios
vectoriales G-graduados de dimensión finita sobre k con
asociatividad determinada por un 3-cociclo ω es una
categoría de fusión.
Sea H un álgebra de Hopf semisimple de dimensión finita.
La categoría Rep H de representaciones de dimensión
finita de H es una categoría de fusión.
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Ejemplos
Sea G un grupo finito. La categoría Rep(G) de
representaciones de dimensión finita de G sobre k es una
categoría de fusión.
Sea G un grupo finito. La categoría VecωG de espacios
vectoriales G-graduados de dimensión finita sobre k con
asociatividad determinada por un 3-cociclo ω es una
categoría de fusión.
Sea H un álgebra de Hopf semisimple de dimensión finita.
La categoría Rep H de representaciones de dimensión
finita de H es una categoría de fusión.
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Dimensión de Frobenius-Perron
Sea C una categoría de fusión sobre k.
Denotaremos Irr(C)= {X0 = 1, X1 , . . . , Xn } al conjunto de
clases de isomorfismo de objetos simples en C.
L
Reglas de fusión: X ⊗ Y ' Z ∈Irr(C) NXZ ,Y Z
(X , Y ∈ Irr(C)) con NXZ ,Y = dim Hom(Z , X ⊗ Y ) ∈ Z+ .
La dimensión de Frobenius-Perron FPdim(X ) ∈ R+ de
X ∈ C es el mayor autovalor no-negativo de la matriz
(NXZ ,Y )Y ,Z ∈Irr(C) (matriz de multiplicación a izquierda por X
c.r. a ⊗).
La dimensiónPde Frobenius-Perron de C es
FPdim(C) = X ∈Irr(C) (FPdim X )2 .
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Dimensión de Frobenius-Perron
Sea C una categoría de fusión sobre k.
Denotaremos Irr(C)= {X0 = 1, X1 , . . . , Xn } al conjunto de
clases de isomorfismo de objetos simples en C.
L
Reglas de fusión: X ⊗ Y ' Z ∈Irr(C) NXZ ,Y Z
(X , Y ∈ Irr(C)) con NXZ ,Y = dim Hom(Z , X ⊗ Y ) ∈ Z+ .
La dimensión de Frobenius-Perron FPdim(X ) ∈ R+ de
X ∈ C es el mayor autovalor no-negativo de la matriz
(NXZ ,Y )Y ,Z ∈Irr(C) (matriz de multiplicación a izquierda por X
c.r. a ⊗).
La dimensiónPde Frobenius-Perron de C es
FPdim(C) = X ∈Irr(C) (FPdim X )2 .
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Dimensión de Frobenius-Perron
Sea C una categoría de fusión sobre k.
Denotaremos Irr(C)= {X0 = 1, X1 , . . . , Xn } al conjunto de
clases de isomorfismo de objetos simples en C.
L
Reglas de fusión: X ⊗ Y ' Z ∈Irr(C) NXZ ,Y Z
(X , Y ∈ Irr(C)) con NXZ ,Y = dim Hom(Z , X ⊗ Y ) ∈ Z+ .
La dimensión de Frobenius-Perron FPdim(X ) ∈ R+ de
X ∈ C es el mayor autovalor no-negativo de la matriz
(NXZ ,Y )Y ,Z ∈Irr(C) (matriz de multiplicación a izquierda por X
c.r. a ⊗).
La dimensiónPde Frobenius-Perron de C es
FPdim(C) = X ∈Irr(C) (FPdim X )2 .
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Dimensión de Frobenius-Perron
Sea C una categoría de fusión sobre k.
Denotaremos Irr(C)= {X0 = 1, X1 , . . . , Xn } al conjunto de
clases de isomorfismo de objetos simples en C.
L
Reglas de fusión: X ⊗ Y ' Z ∈Irr(C) NXZ ,Y Z
(X , Y ∈ Irr(C)) con NXZ ,Y = dim Hom(Z , X ⊗ Y ) ∈ Z+ .
La dimensión de Frobenius-Perron FPdim(X ) ∈ R+ de
X ∈ C es el mayor autovalor no-negativo de la matriz
(NXZ ,Y )Y ,Z ∈Irr(C) (matriz de multiplicación a izquierda por X
c.r. a ⊗).
La dimensiónPde Frobenius-Perron de C es
FPdim(C) = X ∈Irr(C) (FPdim X )2 .
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Dimensión de Frobenius-Perron
Sea C una categoría de fusión sobre k.
Denotaremos Irr(C)= {X0 = 1, X1 , . . . , Xn } al conjunto de
clases de isomorfismo de objetos simples en C.
L
Reglas de fusión: X ⊗ Y ' Z ∈Irr(C) NXZ ,Y Z
(X , Y ∈ Irr(C)) con NXZ ,Y = dim Hom(Z , X ⊗ Y ) ∈ Z+ .
La dimensión de Frobenius-Perron FPdim(X ) ∈ R+ de
X ∈ C es el mayor autovalor no-negativo de la matriz
(NXZ ,Y )Y ,Z ∈Irr(C) (matriz de multiplicación a izquierda por X
c.r. a ⊗).
La dimensiónPde Frobenius-Perron de C es
FPdim(C) = X ∈Irr(C) (FPdim X )2 .
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Dimensión de Frobenius-Perron
Una categoría de fusión C es íntegra si
FPdim(X ) ∈ Z+ , ∀X ∈ Irr(C) (⇒ C ' Rep H, H quasi-Hopf
semisimple [ENO]).
Una categoría de fusión C es déblimente íntegra si
FPdim(C) ∈ Z.
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Dimensión de Frobenius-Perron
Una categoría de fusión C es íntegra si
FPdim(X ) ∈ Z+ , ∀X ∈ Irr(C) (⇒ C ' Rep H, H quasi-Hopf
semisimple [ENO]).
Una categoría de fusión C es déblimente íntegra si
FPdim(C) ∈ Z.
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Categorías de fusión punteadas
Un objeto X ∈ C es invertible si y sólo si FPdim X = 1.
El conjunto de objetos invertible G(C) en C es un grupo c.r.
a ⊗.
Una categoría se dice punteada si todos sus objetos
simples son invertibles. Si C es punteada entonces
C∼
= VecωG .
La subcategoría punteada maximal Cpt de C es la
subcategoría de fusión generada por G(C).
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Categorías de fusión punteadas
Un objeto X ∈ C es invertible si y sólo si FPdim X = 1.
El conjunto de objetos invertible G(C) en C es un grupo c.r.
a ⊗.
Una categoría se dice punteada si todos sus objetos
simples son invertibles. Si C es punteada entonces
C∼
= VecωG .
La subcategoría punteada maximal Cpt de C es la
subcategoría de fusión generada por G(C).
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Categorías de fusión punteadas
Un objeto X ∈ C es invertible si y sólo si FPdim X = 1.
El conjunto de objetos invertible G(C) en C es un grupo c.r.
a ⊗.
Una categoría se dice punteada si todos sus objetos
simples son invertibles. Si C es punteada entonces
C∼
= VecωG .
La subcategoría punteada maximal Cpt de C es la
subcategoría de fusión generada por G(C).
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Categorías de fusión punteadas
Un objeto X ∈ C es invertible si y sólo si FPdim X = 1.
El conjunto de objetos invertible G(C) en C es un grupo c.r.
a ⊗.
Una categoría se dice punteada si todos sus objetos
simples son invertibles. Si C es punteada entonces
C∼
= VecωG .
La subcategoría punteada maximal Cpt de C es la
subcategoría de fusión generada por G(C).
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Categorías de fusión trenzadas
Una categoría de fusión C es trenzada si está munida de
ismorfismos naturales σU,V : U ⊗ V → V ⊗ U (trenza) que
satisfacen los axiomas de hexágono, i.e. el siguiente diagrama
(y otro análogo) conmuta:
aU,V ,W
σU,V ⊗W
(U ⊗ V ) ⊗ W −−−−→ U ⊗ (V ⊗ W ) −−−−−→


σU,V ⊗idW y
(V ⊗ W ) ⊗ U

a
y V ,W ,U
(V ⊗ U) ⊗ W −−−−→ V ⊗ (U ⊗ W ) −−−−−−→ V ⊗ (W ⊗ U).
aV ,U,W
idV ⊗σU,W
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Categorías de fusión trenzadas
Una categoría de fusión C es trenzada si está munida de
ismorfismos naturales σU,V : U ⊗ V → V ⊗ U (trenza) que
satisfacen los axiomas de hexágono, i.e. el siguiente diagrama
(y otro análogo) conmuta:
aU,V ,W
σU,V ⊗W
(U ⊗ V ) ⊗ W −−−−→ U ⊗ (V ⊗ W ) −−−−−→


σU,V ⊗idW y
(V ⊗ W ) ⊗ U

a
y V ,W ,U
(V ⊗ U) ⊗ W −−−−→ V ⊗ (U ⊗ W ) −−−−−−→ V ⊗ (W ⊗ U).
aV ,U,W
idV ⊗σU,W
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Categorías Modulares
Sea C una categoría de fusión trenzada (con trenza σ) sobre k.
• X , Y ∈ C se centralizan mútuamente si σY ,X σX ,Y = idX ⊗Y .
• Sea D ⊆ C. El centralizador D0 de D es la siguiente
subcategoría de fusión de C:
D0 = {X ∈ C : σY ,X σX ,Y = idX ⊗Y , ∀ Y ∈ D}.
• El centro de Müger (o centro simétrico) Z2 (C) de C es el
.
centralizador de C: Z2 (C) = C 0 .
Definición
La categoría C es no-degenerada si su centro de Müger es
trivial. Una categoría modular es una categoría premodular
no-degenerada.
Si C es una categoría modular íntegra, entonces FPdim(X )2
divide a FPdim(C), ∀X ∈ Irr(C).
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Categorías Modulares
Sea C una categoría de fusión trenzada (con trenza σ) sobre k.
• X , Y ∈ C se centralizan mútuamente si σY ,X σX ,Y = idX ⊗Y .
• Sea D ⊆ C. El centralizador D0 de D es la siguiente
subcategoría de fusión de C:
D0 = {X ∈ C : σY ,X σX ,Y = idX ⊗Y , ∀ Y ∈ D}.
• El centro de Müger (o centro simétrico) Z2 (C) de C es el
.
centralizador de C: Z2 (C) = C 0 .
Definición
La categoría C es no-degenerada si su centro de Müger es
trivial. Una categoría modular es una categoría premodular
no-degenerada.
Si C es una categoría modular íntegra, entonces FPdim(X )2
divide a FPdim(C), ∀X ∈ Irr(C).
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Categorías Modulares
Sea C una categoría de fusión trenzada (con trenza σ) sobre k.
• X , Y ∈ C se centralizan mútuamente si σY ,X σX ,Y = idX ⊗Y .
• Sea D ⊆ C. El centralizador D0 de D es la siguiente
subcategoría de fusión de C:
D0 = {X ∈ C : σY ,X σX ,Y = idX ⊗Y , ∀ Y ∈ D}.
• El centro de Müger (o centro simétrico) Z2 (C) de C es el
.
centralizador de C: Z2 (C) = C 0 .
Definición
La categoría C es no-degenerada si su centro de Müger es
trivial. Una categoría modular es una categoría premodular
no-degenerada.
Si C es una categoría modular íntegra, entonces FPdim(X )2
divide a FPdim(C), ∀X ∈ Irr(C).
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Categorías Modulares
Sea C una categoría de fusión trenzada (con trenza σ) sobre k.
• X , Y ∈ C se centralizan mútuamente si σY ,X σX ,Y = idX ⊗Y .
• Sea D ⊆ C. El centralizador D0 de D es la siguiente
subcategoría de fusión de C:
D0 = {X ∈ C : σY ,X σX ,Y = idX ⊗Y , ∀ Y ∈ D}.
• El centro de Müger (o centro simétrico) Z2 (C) de C es el
.
centralizador de C: Z2 (C) = C 0 .
Definición
La categoría C es no-degenerada si su centro de Müger es
trivial. Una categoría modular es una categoría premodular
no-degenerada.
Si C es una categoría modular íntegra, entonces FPdim(X )2
divide a FPdim(C), ∀X ∈ Irr(C).
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Categorías Modulares
Sea C una categoría de fusión trenzada (con trenza σ) sobre k.
• X , Y ∈ C se centralizan mútuamente si σY ,X σX ,Y = idX ⊗Y .
• Sea D ⊆ C. El centralizador D0 de D es la siguiente
subcategoría de fusión de C:
D0 = {X ∈ C : σY ,X σX ,Y = idX ⊗Y , ∀ Y ∈ D}.
• El centro de Müger (o centro simétrico) Z2 (C) de C es el
.
centralizador de C: Z2 (C) = C 0 .
Definición
La categoría C es no-degenerada si su centro de Müger es
trivial. Una categoría modular es una categoría premodular
no-degenerada.
Si C es una categoría modular íntegra, entonces FPdim(X )2
divide a FPdim(C), ∀X ∈ Irr(C).
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Categorías Modulares
Sea C una categoría de fusión trenzada (con trenza σ) sobre k.
• X , Y ∈ C se centralizan mútuamente si σY ,X σX ,Y = idX ⊗Y .
• Sea D ⊆ C. El centralizador D0 de D es la siguiente
subcategoría de fusión de C:
D0 = {X ∈ C : σY ,X σX ,Y = idX ⊗Y , ∀ Y ∈ D}.
• El centro de Müger (o centro simétrico) Z2 (C) de C es el
.
centralizador de C: Z2 (C) = C 0 .
Definición
La categoría C es no-degenerada si su centro de Müger es
trivial. Una categoría modular es una categoría premodular
no-degenerada.
Si C es una categoría modular íntegra, entonces FPdim(X )2
divide a FPdim(C), ∀X ∈ Irr(C).
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Categorías de tipo grupo
Una categoría de fusión de tipo grupo es una categoría de
fusión equivalente a la categoría C(G, ω, F , α) de
kα F -bimódulos en VecωG , donde:
G es un grupo finito,
ω es un 3-cociclo en G,
F ⊆ G es un subgrupo, y
α ∈ C 2 (F , k × ) es una 2-cocadena de F t.q. ω|F = dα.
Equivalentemente, C es una categoría de fusión de tipo grupo
si es Morita equivalente a una categoría de fusión punteada
VecωG .
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Categorías de tipo grupo
Una categoría de fusión de tipo grupo es una categoría de
fusión equivalente a la categoría C(G, ω, F , α) de
kα F -bimódulos en VecωG , donde:
G es un grupo finito,
ω es un 3-cociclo en G,
F ⊆ G es un subgrupo, y
α ∈ C 2 (F , k × ) es una 2-cocadena de F t.q. ω|F = dα.
Equivalentemente, C es una categoría de fusión de tipo grupo
si es Morita equivalente a una categoría de fusión punteada
VecωG .
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Categorías de tipo grupo
Una categoría de fusión de tipo grupo es una categoría de
fusión equivalente a la categoría C(G, ω, F , α) de
kα F -bimódulos en VecωG , donde:
G es un grupo finito,
ω es un 3-cociclo en G,
F ⊆ G es un subgrupo, y
α ∈ C 2 (F , k × ) es una 2-cocadena de F t.q. ω|F = dα.
Equivalentemente, C es una categoría de fusión de tipo grupo
si es Morita equivalente a una categoría de fusión punteada
VecωG .
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Resultados conocidos
Sea C una categoría modular íntegra.
La categoría C es de tipo grupo cuando FPdim(C) toma alguno
de los siguientes valores:
pn [DGNO],
pq [EGO],
pqr [ENO2],
pq 2 [NR], o
pq 3 [NR],
donde p, q y r son primos distintos.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Resultados conocidos
Sea C una categoría modular íntegra.
La categoría C es de tipo grupo cuando FPdim(C) toma alguno
de los siguientes valores:
pn [DGNO],
pq [EGO],
pqr [ENO2],
pq 2 [NR], o
pq 3 [NR],
donde p, q y r son primos distintos.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Resultados conocidos
Sea C una categoría modular íntegra.
La categoría C es de tipo grupo cuando FPdim(C) toma alguno
de los siguientes valores:
pn [DGNO],
pq [EGO],
pqr [ENO2],
pq 2 [NR], o
pq 3 [NR],
donde p, q y r son primos distintos.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
FPdim(C) = pq 4 o p2 q 2
Teorema (BGHKNNPR)
Sean C una categoría de fusión modular íntegra y p y q primos
distintos.Entonces:
Si FPdim(C) = pq 4 entonces C es de tipo grupo.
Si FPdim(C) = p2 q 2 es impar entonces C es de tipo grupo.
Si C no es de tipo grupo y FPdim(C) = 4q 2 entonces C es
conocida: es equivalente a una categoría proveniente del
centro de una Tambara-Yamagami o de grupos cuánticos.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
FPdim(C) = pq 4 o p2 q 2
Teorema (BGHKNNPR)
Sean C una categoría de fusión modular íntegra y p y q primos
distintos.Entonces:
Si FPdim(C) = pq 4 entonces C es de tipo grupo.
Si FPdim(C) = p2 q 2 es impar entonces C es de tipo grupo.
Si C no es de tipo grupo y FPdim(C) = 4q 2 entonces C es
conocida: es equivalente a una categoría proveniente del
centro de una Tambara-Yamagami o de grupos cuánticos.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
FPdim(C) = pq 4 o p2 q 2
Teorema (BGHKNNPR)
Sean C una categoría de fusión modular íntegra y p y q primos
distintos.Entonces:
Si FPdim(C) = pq 4 entonces C es de tipo grupo.
Si FPdim(C) = p2 q 2 es impar entonces C es de tipo grupo.
Si C no es de tipo grupo y FPdim(C) = 4q 2 entonces C es
conocida: es equivalente a una categoría proveniente del
centro de una Tambara-Yamagami o de grupos cuánticos.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
FPdim(C) = pq 4 o p2 q 2
Teorema (BGHKNNPR)
Sean C una categoría de fusión modular íntegra y p y q primos
distintos.Entonces:
Si FPdim(C) = pq 4 entonces C es de tipo grupo.
Si FPdim(C) = p2 q 2 es impar entonces C es de tipo grupo.
Si C no es de tipo grupo y FPdim(C) = 4q 2 entonces C es
conocida: es equivalente a una categoría proveniente del
centro de una Tambara-Yamagami o de grupos cuánticos.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
G-graduación
Una G-graduación deL
una categoría de fusión C es una
descomposición C = g∈G Cg t.q.:
cada Cg es una subcategoría abeliana plena, y
⊗ : C × C → C manda Cg × Ch en Cgh .
La graduación es fiel si Cg 6= 0, ∀g ∈ G. En este caso:
FPdim(C) =| G | FPdim(Ce ) y FPdim(Ce ) = FPdim(Cg ), ∀g ∈ G.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
G-graduación
Una G-graduación deL
una categoría de fusión C es una
descomposición C = g∈G Cg t.q.:
cada Cg es una subcategoría abeliana plena, y
⊗ : C × C → C manda Cg × Ch en Cgh .
La graduación es fiel si Cg 6= 0, ∀g ∈ G. En este caso:
FPdim(C) =| G | FPdim(Ce ) y FPdim(Ce ) = FPdim(Cg ), ∀g ∈ G.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
G-graduación
Una G-graduación deL
una categoría de fusión C es una
descomposición C = g∈G Cg t.q.:
cada Cg es una subcategoría abeliana plena, y
⊗ : C × C → C manda Cg × Ch en Cgh .
La graduación es fiel si Cg 6= 0, ∀g ∈ G. En este caso:
FPdim(C) =| G | FPdim(Ce ) y FPdim(Ce ) = FPdim(Cg ), ∀g ∈ G.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
G-graduación
Una G-graduación deL
una categoría de fusión C es una
descomposición C = g∈G Cg t.q.:
cada Cg es una subcategoría abeliana plena, y
⊗ : C × C → C manda Cg × Ch en Cgh .
La graduación es fiel si Cg 6= 0, ∀g ∈ G. En este caso:
FPdim(C) =| G | FPdim(Ce ) y FPdim(Ce ) = FPdim(Cg ), ∀g ∈ G.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
G-graduación
Una G-graduación deL
una categoría de fusión C es una
descomposición C = g∈G Cg t.q.:
cada Cg es una subcategoría abeliana plena, y
⊗ : C × C → C manda Cg × Ch en Cgh .
La graduación es fiel si Cg 6= 0, ∀g ∈ G. En este caso:
FPdim(C) =| G | FPdim(Ce ) y FPdim(Ce ) = FPdim(Cg ), ∀g ∈ G.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Graduación universal de C
La subcategoría adjunta Cad de C es la subcategoría de fusión
generada por X ⊗ X ∗ , con X simple en C.
Gelaki y Nikshych mostraron que para toda categoría de fusión
C existe una graduación fiel canónica:
M
C=
Cg ,
g∈U(C)
llamada la graduación universal de C y satisface que Ce = Cad .
Teorema (GN)
Sea C una categoría modular. Entonces su grupo de
graduación universal U(C) es isomorfo al grupo de caracteres
[
de G(C), i.e., U(C) ' G(C).
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Graduación universal de C
La subcategoría adjunta Cad de C es la subcategoría de fusión
generada por X ⊗ X ∗ , con X simple en C.
Gelaki y Nikshych mostraron que para toda categoría de fusión
C existe una graduación fiel canónica:
M
C=
Cg ,
g∈U(C)
llamada la graduación universal de C y satisface que Ce = Cad .
Teorema (GN)
Sea C una categoría modular. Entonces su grupo de
graduación universal U(C) es isomorfo al grupo de caracteres
[
de G(C), i.e., U(C) ' G(C).
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Graduación universal de C
La subcategoría adjunta Cad de C es la subcategoría de fusión
generada por X ⊗ X ∗ , con X simple en C.
Gelaki y Nikshych mostraron que para toda categoría de fusión
C existe una graduación fiel canónica:
M
C=
Cg ,
g∈U(C)
llamada la graduación universal de C y satisface que Ce = Cad .
Teorema (GN)
Sea C una categoría modular. Entonces su grupo de
graduación universal U(C) es isomorfo al grupo de caracteres
[
de G(C), i.e., U(C) ' G(C).
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Graduación universal de C
La subcategoría adjunta Cad de C es la subcategoría de fusión
generada por X ⊗ X ∗ , con X simple en C.
Gelaki y Nikshych mostraron que para toda categoría de fusión
C existe una graduación fiel canónica:
M
C=
Cg ,
g∈U(C)
llamada la graduación universal de C y satisface que Ce = Cad .
Teorema (GN)
Sea C una categoría modular. Entonces su grupo de
graduación universal U(C) es isomorfo al grupo de caracteres
[
de G(C), i.e., U(C) ' G(C).
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Algunas ideas de la prueba
Si C es una categoría modular íntegra con FPdim(C) = pq 4
entonces C es de tipo grupo.
Idea de la prueba:
Sea X ∈ Irr(C). Como FPdim(X )2 divide a
FPdim(C) = pq 4 ⇒ FPdim(X ) = 1, q o q 2 .
Entonces pq 4 = FPdim(C) = a + bq 2 + cq 4 . Luego
q 2 |a = FPdim(Cpt ).
Además, FPdim(Cpt ) divide a pq 4 = FPdim(C).
Así, FPdim(Cpt ) ∈ {q 2 , q 3 , q 4 , pq 2 , pq 3 , pq 4 }.
Caso FPdim(Cpt ) = q 3 : la graduación universal por U(C)
tiene q 3 componentes Cg y cada una tiene dimensión pq.
Luego, pq = FPdim(Cg ) = ag + bg q 2 + cg q 4 . Entonces
ag 6= 0, ∀g ∈ U(C). Como P
q divide a ag ⇒ ag ≥ q,
∀g ∈ U(C). Así, q 3 = a = g∈U(C) ag ≥ q 3 q. Absurdo.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Algunas ideas de la prueba
Si C es una categoría modular íntegra con FPdim(C) = pq 4
entonces C es de tipo grupo.
Idea de la prueba:
Sea X ∈ Irr(C). Como FPdim(X )2 divide a
FPdim(C) = pq 4 ⇒ FPdim(X ) = 1, q o q 2 .
Entonces pq 4 = FPdim(C) = a + bq 2 + cq 4 . Luego
q 2 |a = FPdim(Cpt ).
Además, FPdim(Cpt ) divide a pq 4 = FPdim(C).
Así, FPdim(Cpt ) ∈ {q 2 , q 3 , q 4 , pq 2 , pq 3 , pq 4 }.
Caso FPdim(Cpt ) = q 3 : la graduación universal por U(C)
tiene q 3 componentes Cg y cada una tiene dimensión pq.
Luego, pq = FPdim(Cg ) = ag + bg q 2 + cg q 4 . Entonces
ag 6= 0, ∀g ∈ U(C). Como P
q divide a ag ⇒ ag ≥ q,
∀g ∈ U(C). Así, q 3 = a = g∈U(C) ag ≥ q 3 q. Absurdo.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Algunas ideas de la prueba
Si C es una categoría modular íntegra con FPdim(C) = pq 4
entonces C es de tipo grupo.
Idea de la prueba:
Sea X ∈ Irr(C). Como FPdim(X )2 divide a
FPdim(C) = pq 4 ⇒ FPdim(X ) = 1, q o q 2 .
Entonces pq 4 = FPdim(C) = a + bq 2 + cq 4 . Luego
q 2 |a = FPdim(Cpt ).
Además, FPdim(Cpt ) divide a pq 4 = FPdim(C).
Así, FPdim(Cpt ) ∈ {q 2 , q 3 , q 4 , pq 2 , pq 3 , pq 4 }.
Caso FPdim(Cpt ) = q 3 : la graduación universal por U(C)
tiene q 3 componentes Cg y cada una tiene dimensión pq.
Luego, pq = FPdim(Cg ) = ag + bg q 2 + cg q 4 . Entonces
ag 6= 0, ∀g ∈ U(C). Como P
q divide a ag ⇒ ag ≥ q,
∀g ∈ U(C). Así, q 3 = a = g∈U(C) ag ≥ q 3 q. Absurdo.
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Algunas ideas de la prueba
Si C es una categoría modular íntegra con FPdim(C) = pq 4
entonces C es de tipo grupo.
Idea de la prueba:
Sea X ∈ Irr(C). Como FPdim(X )2 divide a
FPdim(C) = pq 4 ⇒ FPdim(X ) = 1, q o q 2 .
Entonces pq 4 = FPdim(C) = a + bq 2 + cq 4 . Luego
q 2 |a = FPdim(Cpt ).
Además, FPdim(Cpt ) divide a pq 4 = FPdim(C).
Así, FPdim(Cpt ) ∈ {q 2 , q 3 , q 4 , pq 2 , pq 3 , pq 4 }.
Caso FPdim(Cpt ) = q 3 : la graduación universal por U(C)
tiene q 3 componentes Cg y cada una tiene dimensión pq.
Luego, pq = FPdim(Cg ) = ag + bg q 2 + cg q 4 . Entonces
ag 6= 0, ∀g ∈ U(C). Como P
q divide a ag ⇒ ag ≥ q,
∀g ∈ U(C). Así, q 3 = a = g∈U(C) ag ≥ q 3 q. Absurdo.
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Si C es una categoría modular íntegra con FPdim(C) = pq 4
entonces C es de tipo grupo.
Idea de la prueba:
Sea X ∈ Irr(C). Como FPdim(X )2 divide a
FPdim(C) = pq 4 ⇒ FPdim(X ) = 1, q o q 2 .
Entonces pq 4 = FPdim(C) = a + bq 2 + cq 4 . Luego
q 2 |a = FPdim(Cpt ).
Además, FPdim(Cpt ) divide a pq 4 = FPdim(C).
Así, FPdim(Cpt ) ∈ {q 2 , q 3 , q 4 , pq 2 , pq 3 , pq 4 }.
Caso FPdim(Cpt ) = q 3 : la graduación universal por U(C)
tiene q 3 componentes Cg y cada una tiene dimensión pq.
Luego, pq = FPdim(Cg ) = ag + bg q 2 + cg q 4 . Entonces
ag 6= 0, ∀g ∈ U(C). Como P
q divide a ag ⇒ ag ≥ q,
∀g ∈ U(C). Así, q 3 = a = g∈U(C) ag ≥ q 3 q. Absurdo.
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Si C es una categoría modular íntegra con FPdim(C) = pq 4
entonces C es de tipo grupo.
Idea de la prueba:
Sea X ∈ Irr(C). Como FPdim(X )2 divide a
FPdim(C) = pq 4 ⇒ FPdim(X ) = 1, q o q 2 .
Entonces pq 4 = FPdim(C) = a + bq 2 + cq 4 . Luego
q 2 |a = FPdim(Cpt ).
Además, FPdim(Cpt ) divide a pq 4 = FPdim(C).
Así, FPdim(Cpt ) ∈ {q 2 , q 3 , q 4 , pq 2 , pq 3 , pq 4 }.
Caso FPdim(Cpt ) = q 3 : la graduación universal por U(C)
tiene q 3 componentes Cg y cada una tiene dimensión pq.
Luego, pq = FPdim(Cg ) = ag + bg q 2 + cg q 4 . Entonces
ag 6= 0, ∀g ∈ U(C). Como P
q divide a ag ⇒ ag ≥ q,
∀g ∈ U(C). Así, q 3 = a = g∈U(C) ag ≥ q 3 q. Absurdo.
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Si C es una categoría modular íntegra con FPdim(C) = pq 4
entonces C es de tipo grupo.
Idea de la prueba:
Sea X ∈ Irr(C). Como FPdim(X )2 divide a
FPdim(C) = pq 4 ⇒ FPdim(X ) = 1, q o q 2 .
Entonces pq 4 = FPdim(C) = a + bq 2 + cq 4 . Luego
q 2 |a = FPdim(Cpt ).
Además, FPdim(Cpt ) divide a pq 4 = FPdim(C).
Así, FPdim(Cpt ) ∈ {q 2 , q 3 , q 4 , pq 2 , pq 3 , pq 4 }.
Caso FPdim(Cpt ) = q 3 : la graduación universal por U(C)
tiene q 3 componentes Cg y cada una tiene dimensión pq.
Luego, pq = FPdim(Cg ) = ag + bg q 2 + cg q 4 . Entonces
ag 6= 0, ∀g ∈ U(C). Como P
q divide a ag ⇒ ag ≥ q,
∀g ∈ U(C). Así, q 3 = a = g∈U(C) ag ≥ q 3 q. Absurdo.
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Algunas ideas de la prueba
Si C es una categoría modular íntegra con FPdim(C) = pq 4
entonces C es de tipo grupo.
Idea de la prueba:
Sea X ∈ Irr(C). Como FPdim(X )2 divide a
FPdim(C) = pq 4 ⇒ FPdim(X ) = 1, q o q 2 .
Entonces pq 4 = FPdim(C) = a + bq 2 + cq 4 . Luego
q 2 |a = FPdim(Cpt ).
Además, FPdim(Cpt ) divide a pq 4 = FPdim(C).
Así, FPdim(Cpt ) ∈ {q 2 , q 3 , q 4 , pq 2 , pq 3 , pq 4 }.
Caso FPdim(Cpt ) = q 3 : la graduación universal por U(C)
tiene q 3 componentes Cg y cada una tiene dimensión pq.
Luego, pq = FPdim(Cg ) = ag + bg q 2 + cg q 4 . Entonces
ag 6= 0, ∀g ∈ U(C). Como P
q divide a ag ⇒ ag ≥ q,
∀g ∈ U(C). Así, q 3 = a = g∈U(C) ag ≥ q 3 q. Absurdo.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Algunas ideas de la prueba
Si C es una categoría modular íntegra con FPdim(C) = pq 4
entonces C es de tipo grupo.
Idea de la prueba:
Sea X ∈ Irr(C). Como FPdim(X )2 divide a
FPdim(C) = pq 4 ⇒ FPdim(X ) = 1, q o q 2 .
Entonces pq 4 = FPdim(C) = a + bq 2 + cq 4 . Luego
q 2 |a = FPdim(Cpt ).
Además, FPdim(Cpt ) divide a pq 4 = FPdim(C).
Así, FPdim(Cpt ) ∈ {q 2 , q 3 , q 4 , pq 2 , pq 3 , pq 4 }.
Caso FPdim(Cpt ) = q 3 : la graduación universal por U(C)
tiene q 3 componentes Cg y cada una tiene dimensión pq.
Luego, pq = FPdim(Cg ) = ag + bg q 2 + cg q 4 . Entonces
ag 6= 0, ∀g ∈ U(C). Como P
q divide a ag ⇒ ag ≥ q,
∀g ∈ U(C). Así, q 3 = a = g∈U(C) ag ≥ q 3 q. Absurdo.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Algunas ideas de la prueba
Si C es una categoría modular íntegra con FPdim(C) = pq 4
entonces C es de tipo grupo.
Idea de la prueba:
Sea X ∈ Irr(C). Como FPdim(X )2 divide a
FPdim(C) = pq 4 ⇒ FPdim(X ) = 1, q o q 2 .
Entonces pq 4 = FPdim(C) = a + bq 2 + cq 4 . Luego
q 2 |a = FPdim(Cpt ).
Además, FPdim(Cpt ) divide a pq 4 = FPdim(C).
Así, FPdim(Cpt ) ∈ {q 2 , q 3 , q 4 , pq 2 , pq 3 , pq 4 }.
Caso FPdim(Cpt ) = q 3 : la graduación universal por U(C)
tiene q 3 componentes Cg y cada una tiene dimensión pq.
Luego, pq = FPdim(Cg ) = ag + bg q 2 + cg q 4 . Entonces
q divide a ag ⇒ ag ≥ q,
ag 6= 0, ∀g ∈ U(C). Como P
∀g ∈ U(C). Así, q 3 = a = g∈U(C) ag ≥ q 3 q. Absurdo.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Algunas ideas de la prueba
Si C es una categoría modular íntegra con FPdim(C) = pq 4
entonces C es de tipo grupo.
Idea de la prueba:
Sea X ∈ Irr(C). Como FPdim(X )2 divide a
FPdim(C) = pq 4 ⇒ FPdim(X ) = 1, q o q 2 .
Entonces pq 4 = FPdim(C) = a + bq 2 + cq 4 . Luego
q 2 |a = FPdim(Cpt ).
Además, FPdim(Cpt ) divide a pq 4 = FPdim(C).
Así, FPdim(Cpt ) ∈ {q 2 , q 3 , q 4 , pq 2 , pq 3 , pq 4 }.
Caso FPdim(Cpt ) = q 3 : la graduación universal por U(C)
tiene q 3 componentes Cg y cada una tiene dimensión pq.
Luego, pq = FPdim(Cg ) = ag + bg q 2 + cg q 4 . Entonces
q divide a ag ⇒ ag ≥ q,
ag 6= 0, ∀g ∈ U(C). Como P
∀g ∈ U(C). Así, q 3 = a = g∈U(C) ag ≥ q 3 q. Absurdo.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Algunas ideas de la prueba
Si C es una categoría modular íntegra con FPdim(C) = pq 4
entonces C es de tipo grupo.
Idea de la prueba:
Sea X ∈ Irr(C). Como FPdim(X )2 divide a
FPdim(C) = pq 4 ⇒ FPdim(X ) = 1, q o q 2 .
Entonces pq 4 = FPdim(C) = a + bq 2 + cq 4 . Luego
q 2 |a = FPdim(Cpt ).
Además, FPdim(Cpt ) divide a pq 4 = FPdim(C).
Así, FPdim(Cpt ) ∈ {q 2 , q 3 , q 4 , pq 2 , pq 3 , pq 4 }.
Caso FPdim(Cpt ) = q 3 : la graduación universal por U(C)
tiene q 3 componentes Cg y cada una tiene dimensión pq.
Luego, pq = FPdim(Cg ) = ag + bg q 2 + cg q 4 . Entonces
q divide a ag ⇒ ag ≥ q,
ag 6= 0, ∀g ∈ U(C). Como P
∀g ∈ U(C). Así, q 3 = a = g∈U(C) ag ≥ q 3 q. Absurdo.
Sobre la clasificación de ciertas categorías modulares íntegras
Algunas ideas de la prueba
Si C es una categoría modular íntegra con FPdim(C) = pq 4
entonces C es de tipo grupo.
Idea de la prueba:
Sea X ∈ Irr(C). Como FPdim(X )2 divide a
FPdim(C) = pq 4 ⇒ FPdim(X ) = 1, q o q 2 .
Entonces pq 4 = FPdim(C) = a + bq 2 + cq 4 . Luego
q 2 |a = FPdim(Cpt ).
Además, FPdim(Cpt ) divide a pq 4 = FPdim(C).
Así, FPdim(Cpt ) ∈ {q 2 , q 3 , q 4 , pq 2 , pq 3 , pq 4 }.
Caso FPdim(Cpt ) = q 3 : la graduación universal por U(C)
tiene q 3 componentes Cg y cada una tiene dimensión pq.
Luego, pq = FPdim(Cg ) = ag + bg q 2 + cg q 4 . Entonces
q divide a ag ⇒ ag ≥ q,
ag 6= 0, ∀g ∈ U(C). Como P
∀g ∈ U(C). Así, q 3 = a = g∈U(C) ag ≥ q 3 q. Absurdo.
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References I
V. Drinfeld, S. Gelaki, D. Nikshych, V. Ostrik.
Group-theoretical properties of nilpotent modular
categories.
Preprint arXiv:0704.0195, 2007.
P. Etingof, S. Gelaki, V. Ostrik.
Classification of fusion categories of dimension pq.
Int. Math. Res. Not., 57:3041–3056, 2004.
P. Etingof, D. Nikshych, V. Ostrik.
On fusion categories.
Annals of Math., 162:581–642, 2005.
P. Etingof, D. Nikshych, V. Ostrik.
Weakly group-theoretical and solvable fusion categories.
Adv. Math., 226:176–205, 2011.
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S. Gelaki, D. Nikshych.
Nilpotent fusion categories.
Adv. Math., 217:1053-1071, 2008.
S. Gelaki, D. Naidu, D. Nikshych.
Centers of graded fusion categories.
Algebra Number Theory, 3: 959-990, 2009.
D. Naidu, E. Rowell.
A finiteness property for braided fusion categories.
Algebr. Represent. Theory, 14, No. 5: 837–855, 2011.
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P. Bruillard, C. Galindo, S.-M. Hong, Y. Kashina, D. Naidu,
S. Natale, J. Plavnik, E. Rowell.
Classification of integral modular categories of
Frobenius-Perron dimension pq 4 and p2 q 2 .
To appear in Can. Math. Bull.. Preprint arXiv:1303.4748,
2013.
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