PROBLEMAS RESUELTOS DE ANALISIS DE ESTRUCTURAS POR
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PROBLEMAS RESUELTOS DE ANALISIS DE ESTRUCTURAS POR EL METODO DE LOS NUDOS Problema resuelto Pág. 246 Estática BEDFORD Problema 6.1 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.2 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.4 Estática BEDFORD edic 5 Problema 6.13 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.14 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.1 BEER– Johnston edic 6 Problema 6.2 BEER– Johnston edic 6 Problema 6.3 BEER– Johnston edic 6 Problema 6.4 BEER– Johnston edic 6 Problema 6.1 Estática Hibbeler edic 10 Problema 6.2 Estática Hibbeler edic 10 Problema 6.3 Estática Hibbeler edic 10 Problema 6.4 Estática Hibbeler edic 10 Problema c-34 estática Hibbeler edic 10 Problema C-35 estática Hibbeler edic 10 Problema 6.8 estática Hibbeler edic 10 Problema resuelto Pag. 145 Estática Meriam Problema 4.1 Estática Meriam edición tres Problema 4.1 Estática Meriam edición cinco Problema 4.3 Estática Meriam edición tres Problema 4.3 Estática Meriam edición cinco Problema 4.4 Estática Meriam edición tres Problema 4.4 Estática Meriam edición cinco Problema 4.5 Estática Meriam edición tres Problema 4.7 Estática Meriam edición tres Erving Quintero Gil Tecnólogo electromecánico - UTS Ing. Electromecánico - UAN Especialista en Ingeniería del gas - UIS Bucaramanga – Colombia 2011 Para cualquier inquietud o consulta escribir a: [email protected] [email protected] [email protected] 1 Método de las juntas o nudos (PROBLEMA RESUELTO PAG. 246 ESTATICA BEDFORD) El método de las juntas implica dibujar diagramas de cuerpo libre de las juntas de una armadura, una por una, y usar las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas axiales en las barras. Por lo general, antes debemos dibujar un diagrama de toda la armadura (es decir, tratar la armadura como un solo cuerpo) y calcular las reacciones en sus soportes. Por ejemplo, la armadura WARREN de la figura 6.6(a) tiene barras de 2 metros de longitud y soporta cargas en B y D. En la figura 6.6(b) dibujamos su diagrama de cuerpo libre. De las ecuaciones de equilibrio. 400 N D B C E A 2m 2m Fig. 6. 6(a) Armadura WARREN soportando dos cargas 400 N 800 N D B 3m C A AX 1m AY 1m 2m 400 N E 1m 1m 2m B EY TAB 800 N TBD TBD TBC TDC D TDE TAB TBC A TAC TAC TDE C TEC TEC E AY Fig. 6. 6(b) Diagrama de cuerpo libre de la armadura 2 Σ MA = 0 - 400 (1) - 800 (1 +1+1) + EY (1+1+1+1) = 0 + ∑ FX = 0 AX = 0 - 400 - 800 (3) + EY (4) = 0 ∑ FY = 0 - 400 - 2400 + 4 EY = 0 AY + EY – 400 - 800 = 0 - 2800 + 4 EY = 0 4 EY = 2800 EY = 2800 = 700 N 4 EY = 700 N Σ ME = 0 - AY (1+1+1+1) + 400 (1+1+1) + 800 (1) = 0 + - AY (4) + 400 (3) + 800 = 0 - 4 AY + 1200 + 800 = 0 4 AY = 2000 AY = 2000 = 500 N 4 AY = 500 N NUDO A El siguiente paso es elegir una junta y dibujar su diagrama de cuerpo libre. En la figura 6.7(a) aislamos la junta A cortando las barras AB y AC. Los términos TAB y TAC son las fuerzas axiales en las barras AB y AC respectivamente. Aunque las direcciones de las flechas que representan las fuerzas axiales desconocidas se pueden escoger arbitrariamente, observe que las hemos elegido de manera que una barra estará a tensión, si obtenemos un valor positivo para la fuerza axial. Pensamos que escoger consistentemente las direcciones de esta manera ayudara a evitar errores. 400 N B TAB 2 A TAB TAB 3 1 AY TAC AY TAB TAC A C TAC TAC AY Figura 6.7(a) Obtención del diagrama de cuerpo libre de la junta A. 3 Las ecuaciones de equilibrio para la junta A son: TAB TAC A Y = = 2 1 3 Hallar TAC Hallar TAB TAB TAC = 2 1 TAB A Y = 2 3 T TAC = AB 2 AY = 500 N TAB = 577,35 Newton TAB 500 = = 288,67 2 3 TAB = 2 (288,67 ) = 577,35 N TAC = 577,35 = 288,67 N 2 TAC = 288,67 Newton (Tension) TAB = 577,35 Newton(compresión) NUDO B Luego obtenemos un diagrama de la junta B cortando las barras AB, BC y BD (Fig. 6.8 a). De las ecuaciones de equilibrio para la junta B. 400 N 400 N TBD B B 400 N TBD TBD TAB TAB 800 N TBD D 0 60 TBC TAB (Y) TBC TAB TAC TAC TBC TBC (Y) TAB TBC (X) TAB (X) TBC A 600 C AY Figura 6.8(a) Obtención del diagrama de cuerpo libre de la junta B. sen 60 = TAB(Y ) TAB TAB (Y) = TAB sen 60 ⎛ 3⎞ ⎟ TAB(Y ) = TAB ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ Para abreviar los cálculos sen 60 = 3 2 cos 60 = 1 2 4 ⎛ 3⎞ ⎟ TAB TAB(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ cos 60 = TAB = 577,35 Newton ⎛ 3⎞ ⎟ (577,35) = 500 N TAB(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ TAB (X) = TAB cos 60 TAB (Y) = 500 N sen 60 = TBC(Y ) TBC cos 60 = TBC (Y) = TBC sen 60 TBC(X ) TBC TBC (X) = TBC cos 60 ⎛ 3⎞ ⎟ TBC(Y ) = TBC ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ TBC TBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ TAB(X ) TAB ⎛1⎞ TBC(X ) = TBC ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ TBC(X ) = ⎜ ⎟ TBC ⎝ 2⎠ ⎛1⎞ TAB(X ) = TAB ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ TAB(X ) = ⎜ ⎟ TAB ⎝2⎠ TAB = 577,35 Newton TAB(X ) = 1 (577,35) = 288,67 N 2 TAB (X) = 288,67 N ⎛ 3⎞ ⎟ TBC TBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ∑ FY = 0 100 = TBC (Y) - 400 + TAB (Y) - TBC (Y) = 0 ⎛ 3⎞ ⎟ TBC 100 = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 200 ⎛ 2 ⎞ TBC = ⎜ = 115,47 N ⎟ 100 = 3 ⎝ 3⎠ TAB (Y) = 500 N - 400 + 500 - TBC (Y) = 0 100 - TBC (Y) = 0 TBC = 115,47 N 100 = TBC (Y) (compresión) Se halla TBC (X) ∑ FX = 0 - TBD + TAB (X) + TBC (X) = 0 ⎛1⎞ TBC(X ) = ⎜ ⎟ TBC ⎝ 2⎠ TAB (X) = 288,67 N TBC = 115,47 N ⎛1⎞ TBC(X ) = ⎜ ⎟ (115,47 ) = 57,73 N ⎝2⎠ TBC (X) = 57,73 Newton - TBD + 288,67 + 57,73 = 0 TBC (X) = 57,73 Newton - TBD + 346,4 = 0 TBD = 346,4 Newton (compresión) 5 NUDO D Luego obtenemos un diagrama de la junta D cortando las barras BD, DC y DE . De las ecuaciones de equilibrio para la junta D. 800 N 800 N 800 N D TBD TBD TBD D 600 TDE TDC TDC (Y) TDE TDE C TEC E TEC EY TDC(Y ) TDC cos 60 = TDC (Y) = TDC sen 60 ⎛ 3⎞ ⎟ TDC(Y ) = TDC ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ TDC TDC (Y ) = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ sen 60 = TDE TDE (Y) TDC TDE (X) TDC (X) TDC sen 60 = 600 Para abreviar los cálculos sen 60 = 3 2 cos 60 = 1 2 TDC(X ) TDC TDC (X) = TDC cos 60 ⎛1⎞ TDC(X ) = TDC ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ TDC TDC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ TDE(Y ) TDE cos 60 = TDE (Y) = TDE sen 60 TDE(X ) TDE TDE (X) = TDE cos 60 ⎛ 3⎞ ⎟ TDE (Y ) = TDE ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ TDE TDE(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛1⎞ TDE (X ) = TDE ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ TDE (X ) = ⎜ ⎟ TDE ⎝ 2⎠ ∑ FX = 0 TBD - TDE (X) + TDC (X) = 0 TBD = 346,4 Newton (compresión) 6 346,4 - TDE (X) + TDC (X) = 0 TDE (X) - TDC (X) = 346,4 ecuación 1 Pero: ∑ FY = 0 ⎛1⎞ TDE (X ) = ⎜ ⎟ TDE ⎝ 2⎠ ⎛1⎞ TDC(X ) = TDC ⎜ ⎟ ⎝2⎠ - 800 + TDE (Y) + TDC (Y) = 0 TDE (Y) + TDC (Y) = 800 ecuación 2 Pero: Reemplazando en la ecuación 1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ TDE ⎝ 2⎠ ⎛1⎞ - ⎜ ⎟ TDC = 346,4 ecuación 3 ⎝2⎠ ⎛ TDE(Y ) = ⎜⎜ ⎝ ⎛ TDC(Y ) = ⎜⎜ ⎝ 3⎞ ⎟ TDE 2 ⎟⎠ 3⎞ ⎟ TDC 2 ⎟⎠ Reemplazando en la ecuación 2 ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎟ TDE + ⎜ ⎜ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ecuación 4 ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ resolver ecuación 3 y ecuación 4 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ TDE - ⎜ ⎟ TDC = 346,4 multiplicar por ⎝ 2⎠ ⎝2⎠ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎟ TDE + ⎜ ⎜ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ TDC = 346,4 - ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ ⎟ TDE + ⎜ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 2 ⎟⎠ ⎠ ⎝ 3⎞ ⎟ TDE 2 ⎟⎠ [ 3] [ 3 ]= 600 ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎟ TDE + ⎜ ⎜ ⎜ 2 ⎟ TDE = 600 + 800 = 1400 ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ TDE = 1400 2 ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 3 TDE = 1400 TDE = 1400 = 808,29 N 3 7 TDE = 808,29 Newton (compresión) Reemplazando en la ecuación 4, se halla TDC ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎟ TDE + ⎜ ⎜ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ecuación 4 ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎟ (808,29 ) + ⎜ ⎜ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ TDC = 800 700 + ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 - 700 = 100 ⎠ ⎝ ⎛ 2 ⎞ 200 TDC = 100 ⎜ = 115,47 N ⎟= 3 ⎝ 3⎠ TDC = 115,47 Newton (Tensión) Problema 6.1 ESTATICA BEDFORD edic 4 Determine the axial forces in the members of the truss and indicate whether they are in tension (T) or compression (C) A A A 10 KN 10 KN 2m 2m C B BX Σ MC = 0 BY (1) – 10 (2) = 0 BY (1) = 10 (2) BY = 20 KN 2m B 1m B BX C BY 1m + 10 KN C BY CY ∑ FX = 0 ∑ FY = 0 10 – BX = 0 CY – BY = 0 BX = 10 KN CY = BY 1m CY Pero: BY = 20 KN CY = 20 KN 8 NUDO B FBA BX B ∑FY = 0 ∑FX = 0 FBC BY FBC – BX = 0 FBA – BY = 0 FBA = BY FBC = BX pero: BY = 20 KN pero: BX = 10 KN FBA = 20 KN (tensión) FBC = 10 KN (tensión) NUDO A A 10 KN FBA FBA 5 2 1 FAC FAC FBA 10 FAC = = 2 1 5 10 KN Hallamos FAC 10 FAC = 1 5 ( ) FAC = 10 5 = 22,36 KN FAC = 22,36 KN (compresión) 9 Problema 6.2 ESTATICA BEDFORD edic 4 La armadura mostrada soporta una carga de 10 kN en C. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura y determine las reacciones en sus soportes b) Determine las fuerzas axiales en las barras. Indique si se encuentran a tensión (T) o a compresión (C) . BY BX B FCB FAB =0 FAB =0 3m Σ MB = 0 + AX AX (3) - 10 (4) = 0 AX = 40 = 13,33KN 3 AX = 13,33 KN A FCA FCA AX (3) = 10 (4) 3 AX = 40 FCB 4m C 10 KN ∑ FY = 0 BY - 10 = 0 BY = 10 KN Σ MA = 0 + BX (3) - 10 (4) = 0 BX (3) = 10 (4) 3 BX = 40 BX = 40 = 13,33KN 3 BX = 13,33 KN 10 NUDO C FCB 3 10 KN FCA C 10 KN 5 4 FCB FCA FCB FCA 10 = = 5 4 3 Hallar FCA Hallar FCB FCA 10 = 4 3 FCB 10 = 5 3 (5)10 = 16,66 KN FCB = 3 FCA = (4)10 = 13,33 KN 3 FCA = 13,33 kN (compresión) FCB = 16,66 kN (Tensión) NUDO A ∑ FY = 0 AX = 13,33 KN FAB = 0 ∑ FX = 0 AX - FCA = 0 AX = FCA Pero: FCA = 13,33 kN AX = FCA =13,33 kN FAB AX =0 A FCA BY = 10 KN BX = 13,33 KN FCB = 16,66 kN (Tensión) FCA = 13,33 kN (compresión) FAB = 0 11 Problema 6.4 ESTATICA BEDFORD edic 5 The members of the truss are all of lenght L. Determine the axial forces in the members and indicate whether they are in tension (T) or compression (C) F D B F FBD B D FBA C FBC FBA FBC A A AX = 0 L FBD FCD C FCD FAC FAC CY AY L NUDO D F F F D FBD FBD B FBD FBD D FDC 600 FCD FDC (Y) FDC Σ MC = 0 + AX = 0 AY (L) – F (L/2) = 0 C A FDC (X) L AY CY FDC L/2 AY (L) = F (L/2) AY = ½ F Σ MA = 0 + CY (L) – F ( L + L/2) = 0 CY (L) - F ( 3/2 L) = 0 CY (L) = F ( 3/2 L) CY = F ( 3/2) CY = 3/2 F sen 60 = cos 60 = FDC(X ) FDC FDC (X) = FDC cos 60 ⎛1⎞ FDC(X ) = FDC ⎜ ⎟ ⎝2⎠ Para abreviar los cálculos sen 60 = 3 2 cos 60 = 1 2 FDC(Y ) FDC 12 FDC (Y) = FDC sen 60 ⎛ 3⎞ ⎟ FDC(Y ) = FDC ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ FDC FDC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ∑ FY = 0 - F + FDC (Y) = 0 F = FDC (Y) Pero: FDC (Y) = FDC sen 60 F = FDC sen 60 DESPEJANDO FDC FDC = 1 (F) = 1,154 F sen 60 FDC = 1,154 F (Compresion) ∑ FX = 0 AX = 0 ∑ FX = 0 ∑ FY = 0 - FBD + FDC (X) = 0 AY + EY – 400 - 800 = 0 FBD = FDC (X) Pero: FDC (X) = FDC cos 60 FBD = FDC cos 60 Pero: FDC = 1,154 F F FBD = (1,154 F) cos 60 FBD = 0,577 F (tensión) NUDO B FBA FBC FBC FBC FBA FBA FBD FBC A AX = 0 FBD D FBA FBD B FBD B C L AY CY 13 sen 60 = FBA(Y ) TAB FBA (Y) = TBA sen 60 ⎛ 3⎞ ⎟ FBA(Y ) = FBA ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ FBA FBA(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ sen 60 = FBC(Y ) FBC cos 60 = FBA(X ) FBA FBD 0 60 FBA (X) = FBA cos 60 ⎛1⎞ FBA(X ) = FBA ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ FBA(X ) = ⎜ ⎟ FBA ⎝ 2⎠ FBA (Y) 600 FBC FBA FBC (Y) FBC (X) FBA (X) FBC (Y) = TBC sen 60 ⎛ 3⎞ ⎟ FBC(Y ) = FBC ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FBC FBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ∑ FX = 0 cos 60 = FBC(x ) FBC FBC (X) = FBC cos 60 ⎛1⎞ FBC (X ) = FBC ⎜ ⎟ ⎝2⎠ FBD - FBC (X) - FBA (X) = 0 FBD - FBC(X ) - FBA (X ) = 0 FBC(X ) + FBA (X ) = FBD Para abreviar los cálculos sen 60 = 3 2 cos 60 = 1 2 PERO: FBD = 0,577 F FBC(X ) + FBA (X ) = 0,577 F ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ FBC + ⎜ ⎟FBA = 0,577 F (ECUACIÓN 1) ⎝ 2⎠ ⎝2⎠ ∑ FY = 0 FBC (Y) - FBA (Y) = 0 ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ FBC − ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟FBA = 0 (ECUACIÓN 2) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ resolver ecuación 1 y ecuación 2 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ FBC + ⎜ ⎟ FBA = 0,577 F multiplicar por ⎝ 2⎠ ⎝2⎠ [ 3] 14 ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ FBC - ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ FBC + ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = 3 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ FBC - ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = 0 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ( ) (0,577 F) ⎛ 3⎞ ⎟ FBC = F 2 ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 3 FBC = F ⎛ 1 ⎞ FBC = ⎜ ⎟F ⎝ 3⎠ FBC = 0,577 F (compresión) Reemplazando en la ecuación 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ FBC − ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟FBA = 0 (ECUACIÓN 2) 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ (0,577 F ) − ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = 0 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ (0,577 F ) = ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA 2 ⎠ ⎝ ⎠ Cancelando terminos semejantes F (0,577 F) = FBA FBD B FBA = 0,577 F (tensión) L FBD D FBA FBC FCD NUDO A FBA FBA L A FBA L/2 AY L/2 C FCD FAC FAC AY FAC AY FBC A L CY FAC 15 FBA FAC = L L2 FBA 2 FAC = L L AY = ½ F CY = 3/2 F Cancelando términos semejantes FBA = 2 FAC FDC = 1,154 F (Compresion) Pero: FBA = 0,577 F FBD = 0,577 F (tensión) 0,577 F = 2 FAC FAC = 0,577 F 2 FBC = 0,577 F (compresión) FAC = 0,288 F (Compresión) FBA = 0,577 F (tensión) Problema 6.13 bedford edic 4 La armadura recibe cargas en C y E. Si F = 3 KN, cuales son las fuerzas axiales BC y BE? AX=0 AY 1m A FAB FCA B FAB 1m FEB D FDB FGD FDE FCB 1m FCA 1m FDB FCB FEC C 3 kN FEB FGD FDE G FEC E FGE FGE GY 6 kN Σ MG = 0 + 6 (1) + 3 (1 +1) - AY (1+1+1) = 0 16 6 (1) + 3 (2) - AY (3) = 0 6 + 6 – 3 AY = 0 6 + 6 = 3 AY ∑ FX = 0 AX = 0 12 = 3 AY AY = 12 = 4 KN 3 AY = 4 KN Σ MA = 0 - 3 (1) - 6 (1 +1) + GY (1+1+1) = 0 + - 3 - 6 (2) + GY (3) = 0 - 3 - 12 + 3 GY = 0 - 15 + 3 GY = 0 3 GY = 15 GY = 15 = 5 KN 3 AX AY 1m A B 1m 1m D GY = 5 KN FGD NUDO G 1m FGD FGD G G FGE GY E C FGE 3 kN 1 FGE FGE GY 6 kN FGD 2 1 GY = 5 KN Las ecuaciones de equilibrio para la junta G son: FGD FGE 5 = = 1 1 2 Hallar FGD Hallar FGE FGE 5 = 1 1 FGE = 5 KN (Tensión) FGD =5 2 17 FGD = 2 (5) FGD = 7,071 KN (compresión) NUDO D D FDB AX AY 1m A 1m B 1m D FDB FDB FDE FGD FDE FGD 1m FDB FGD FDE 1 FGD 2 G 1 FGE E C FDE 3 kN FGE GY 6 kN Las ecuaciones de equilibrio para la junta D son: Hallar FDB FGD FDE FDB = = 1 1 2 5 = FDB PERO: FGD = 7,071 KN FDB = 5 KN (compresion) F F = DE = DB 1 1 2 5 = FDE = FDB 7,071 Hallar FDE 5 = FDE AX AY 1m A B FDE = 5 KN (TENSION) 1m 1m FDB FEB D FDB FGD FDE FDE NUDO E 1m FEB FEB FGD FDE FEC FEC C E FGE 3 kN G FEC E FGE FGE GY 6 kN 6 kN 18 sen 45 = FEB(Y ) FEB FEB (Y) = FEB sen 45 ⎛ 2⎞ ⎟ FEB(Y ) = FEB ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎟ FEB FEB(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ cos 45 = FEB(X ) FEB FEB (X) = FEB cos 45 ⎛ 2⎞ ⎟ FEB(X ) = FEB ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎟ FEB FEB(X ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ∑ FY = 0 FEB(X) FEB(Y) FDE = 5 KN FEB 450 FEC FGE = 5 KN 6 kN FDE - 6 + FEB(Y) = 0 PERO: FDE = 5 kN 5 - 6 + FEB(Y) = 0 - 1 + FEB(Y) = 0 FEB(Y) = 1 KN FEB = FEB(Y ) 1 = = 1,414 kN sen45 sen 45 FEB = 1,414 KN (tension) FEB (X) = FEB cos 45 FEB (X) = (1,414) cos 45 FEB (X) = 1 KN ∑ FX = 0 FGE - FEC - FEB (X) = 0 PERO: FGE = 5 kN FEB (X) = 1 KN FGE - FEC - FEB (X) = 0 5 - FEC - 1 = 0 4 - FEC = 0 FEC = 4 KN (tension) 19 NUDO C FCB AX=0 FCA AY 1m A FCA FEC 1m B FEB FCA D FDB FCB FEC 3 kN FEB FGD FDE G FEC FGE E C FCA(Y ) sen 45 = FCA FGD FDE FCB 1m C 1m FDB 3 kN FGE GY 6 kN FCA (Y) = FCA sen 45 ⎛ 2⎞ ⎟ FCA (Y ) = FCA ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎟ FCA FCA (Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ∑ FX = 0 cos 45 = FCA(X ) FCA FCA(X) FCA (X) = FCA cos 45 FEC - FAC (X) = 0 FEC = FAC (X) PERO: FEC = 4 kN ⎛ 2⎞ ⎟ FCA (X ) = FCA ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎟ FCA FCA (X ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ FCA(Y) FCB FCA 450 FEC = 4 KN 3 kN FAC (X) = 4 kN FCA (X) = FCA cos 45 ∑ FY = 0 FCA = - FCB - 3 + FCA(Y) = 0 FCA (X ) 4 = = 5,656kN cos 45 0,7071 FCA = 5,656 KN (tension) ⎛ FCA (Y ) = ⎜⎜ ⎝ ⎛ FCA (Y ) = ⎜⎜ ⎝ 2⎞ ⎟ FCA 2 ⎟⎠ 2⎞ ⎟ 5,656 = 4 KN 2 ⎟⎠ PERO: FCA (Y) = 4 kN - FCB - 3 + 4 = 0 - FCB + 1 = 0 FCB = 1 KN (compresión) FCA (Y) = 4 kN 20 NUDO A AX=0 AY 1m A AY = 4 KN AX=0 A 1m D FDB FGD FDE FCB 1m FCA 1m FDB FEB FCA FAB B FAB FAB FEB FCB G FEC FEC FCA FGD FDE E C Las ecuaciones de equilibrio para la junta A son: 3 kN FCA FAB A Y = = 1 1 2 FGE FGE GY 6 kN FAB 1 FCA PERO: AY = 4 KN 2 FAB A Y = 1 1 1 AY = 4 KN FAB = 4 KN (compresión) Problema 6.14 bedford edic 4 If you don't want the members of the truss to be subjected to an axial load (tension or compression) greater than 20 kn, what is the largest acceptable magnitude of the downward force F? A β 12 m δ 12 m F Ө B α 4m β C D 13 m 3m tg θ = 5 = 0,4166 12 5m 4m β Ө = arc tg (0,4166) Ө = 22,610 3m 21 tg β = 4 = 1,3333 3 β + δ = 900 β = arc tg (1,3333) δ + Ө + α = 900 0 δ = 90 - β β = 53,120 0 δ = 90 - 53,12 pero: δ = 36,870 Ө = 22,610 0 δ = 36,870 δ + Ө + α = 900 NUDO A 36,87 + 22,61 + α = 900 FAB(X) δ = 36,870 α = 900 - 36,87 - 22,61 F FAB(Y) FAB α α = 30,520 FAC(Y) FAC FAC(X) sen 36,87 = FAB(Y ) FAB FAB (Y) = FAB sen 36,87 FAB(Y ) = (0,6 ) FAB FAC(X ) FAC FAC(X ) sen 30,52 = FAC sen α = FAC (X) = FAC sen 30,52 cos 36,87 = FAB(X ) FAB FAB (X) = FAB cos 36,87 FAB(X ) = (0,8) FAB cos 30,52 = FAC(Y ) FAC FAC (Y) = FAC cos 30,52 FAC(Y ) = (0,8614 ) FAC FAC(X ) = (0,507 ) FAC ∑ FX = 0 FAC(X) - FAB (X) = 0 0,507 FAC - 0,8 FAB = 0 ECUACION 1 ∑ FY = 0 FAC (Y) - F - FAB (Y) = 0 22 0,8614 FAC - F - 0,6 FAB = 0 ECUACION 2 NUDO C FCB FAC(X) FCB(X) FAC FAC(Y) FCD C FCB (Y) FCB α FAC β β = 53,120 sen 53,12 = FCD FCB(Y ) FCB cos 53,12 = FCB (Y) = FCB sen 53,12 FCB(X ) FCB FAC(X ) = (0,507 ) FAC FAC(Y ) = (0,8614 ) FAC FCB (X) = FCB cos 53,12 FCB(Y ) = (0,7998 ) FCB FCB(X ) = (0,6 ) FCB ∑ FX = 0 FCD - FAC(X) - FCB (X) = 0 FCD – 0,507FAC - 0,6 FCB = 0 ECUACION 3 ∑ FY = 0 FCB (Y) - FAC (Y) = 0 0,7998 FCB - 0,8614 FAC = 0 ECUACION 4 NUDO D DX A FCD 12 m ∑ FX = 0 DX - FCD = 0 ECUACION 5 0,507 FAC - 0,8 FAB = 0 ECUACION 1 0,8614 FAC - F - 0,6 FAB = 0 ECUACION 2 FCD – 0,507FAC - 0,6 FCB = 0 ECUACION 3 0,7998 FCB - 0,8614 FAC = 0 ECUACION 4 DX - FCD = 0 ECUACION 5 DESPEJAMOS F en la ecuación 2 0,8614 FAC - F - 0,6 FAB = 0 ECUACION 2 F BY FAC B BX FCB FDB 4m FDB DX FAC FCB D FCD FCD C 3m 0,8614 FAC - 0,6 FAB = F ECUACION 6 23 Resolver la ecuación 1 0,507 FAC - 0,8 FAB = 0 0,507 FAC = 0,8 FAB Despejando FAC 0,8 FAC = FAB = 1,577 FAB 0,507 FAC = 1,577 FAB Reemplazar FAC en la ecuación 6 0,8614 FAC - 0,6 FAB = F ECUACION 6 0,8614 (1,577 FAB ) - 0,6 FAB = F 1,3592 FAB - 0,6 FAB = F 0,7592 FAB = F Despejando FAB 1 F = 1,317 F 0,7592 FAB = 1,317 F FAB = Reemplazar FAB en la ecuación 6 0,8614 FAC - 0,6 FAB = F ECUACION 6 0,8614 FAC - 0,6 (1,317 F) = F 0,8614 FAC - 0,79 F = F 0,8614 FAC = F + 0,79 F 0,8614 FAC = 1,79 F 1,79 F = 2,078 F 0,8614 FAC = 2,078 F FAC = Reemplazar FAC en la ecuación 4 0,7998 FCB - 0,8614 FAC = 0 ECUACION 4 0,7998 FCB - 0,8614 (2,078 F) = 0 0,7998 FCB - 1,79 F = 0 0,7998 FCB = 1,79 F FCB = 1,79 F = 2,238 F 0,7998 FCB = 2,238 F FAB = 1,317 F FAC = 2,078 F FCB = 2,238 F FCD = 2,395 F FDB = 0 Reemplazar FAC y FCB en la ecuación 3 24 FCD – 0,507FAC - 0,6 FCB = 0 ECUACION 3 FCD – 0,507 (2,078 F ) - 0,6 (2,238 F) = 0 FCD – 1,053 F - 1,342 F = 0 FCD = 1,053 F + 1,342 F FCD = 2,395 F LA ESTRUCTURA MAS CRITICA ES FCD 2,395 F = 20 F= 20 = 8,35 KN 2,395 F = 8,35 KN Problema 6.1 beer edic 6 Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión. A A 4m 1,92 N 1,92 N B C B BY 3m A la reacción en B? Σ FY = 0 1,92 N BY – 1,92 - CY = 0 1,92 ( 3) - CY (4,5) = 0 5,76 - CY (4,5 ) = 0 CY (4,5 ) = 5,76 5,76 CY = = 1,28 N 4,5 CY = 1,28 N CY 4,5 m Σ MB = 0 + C 4m C B BY 3m CY BY – 1,92 – 1,28 = 0 BY = 3,2 Newton 4,5 m 25 Nudo B FAB FAB B FBC BY 5 B 3 BY FBC B FAB FBC 3,2 = = 5 3 4 Hallar FBC FBC 3,2 = 3 4 (3) 3,2 = 9,6 = 2,4 N FBC = 4 4 Hallar FAB FAB 3,2 = 4 5 FAB = 4 BY = 3,2 N (5) 3,2 = 16 = 4 N FBc = 2,4 Newton (compresión) 4 4 FAB = 4 Newton(compresión) FCA (Y) Nudo C FCA C 8,5 α CY 4 8,5 4 7,5 7,5 C FCA (X) x FCA FBC C CY 7,5 cos α = 8,5 FCA (X) = cos α (FCA) FCA (X ) = 7,5 FCA 8,5 sen α = ∑ FX = 0 4 8,5 FBC – FCA (X) = 0 FCA (Y) = sen α (FCA) FCA (Y ) = 4 FCA 8,5 FBC - 7,5 FCA = 0 8,5 7,5 FCA 8,5 7,5 2,4 = FCA 8,5 (2,4) 8,5 = 20,4 = 2,72 Newton FCA = 7,5 7,5 FCA = 2,72 Newton (tracción) FBC = 26 Problema 6.1 Beer edic 8 Utilice el método de los nodos para determinar la fuerza presente en cada elemento de las armaduras. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión. B A 800 lb AY AX FAC 4 pies 4 pies C 7,5 pies tensión A B FCB compresión FCB C ∑Fx= 0 4 CX - 6000 = 0 CX – AX = 0 4 CX = 6000 CX = FAB tensión CX CX ( 4) - 800 (7,5) = 0 + FAB FAC Σ MA = 0 800 lb 7,5 pies CX = AX 6000 = 1500 lb 4 AX = 1500 lb. CX = 1500 lb. Nudo B AY FBA B AX 800 lb FBA B A FBA 800 lb FBC 4 pies FBC FBA CX C FBC 7,5 pies FBA 800 FBC = = 8,5 7,5 4 F FBA = 200 = BC 8,5 7,5 7,5 4 FBC 8,5 Hallar FBC Hallar FBA F 200 = BC 8,5 FBA = 200 7,5 FBC = 8,5 (200) FBA = 1500 N (tensión) 800 lb FBC = 1700 N (compresión) 27 NUDO C AY FCA FBA B A FBA 800 lb AX FCA FBC CX 4 pies CX C FCA 7,5 4 FBC CX FBC FCA C FBC 7,5 pies 8,5 FCA CX FBC = = 8,5 7,5 4 Pero: FBC = 1700 N (compresión) FBC = 1700 N (compresión) FBA = 1500 N (tensión) FCA = 200 (4) = 800 N (tensión) FCA CX 1700 = = 7,5 8,5 4 FCA CX = = 200 7,5 4 Hallar FcA FCA = 200 4 FCA = 200 (4) = 800 N (tensión) 28 Problema 6.2 beer edic 6 Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión. A 0,75 m 0,4 m B 1,4 m 2,8 KN 0,75 m AY AX FAC C FAB tensión A FAB Σ MA = 0 + CX ( 1,4) = 2,8 (0,75) 1,4 CX = 2,1 2,1 CX = = 1,5 N 1,4 CX = 1,5 KNewton B FCB CX ( 1,4) - 2,8 (0,75) = 0 0,4 m tensión 1,4 m 2,8 KN compresión FAC CX ∑FY= 0 AY – 2,8 = 0 FCB C AY = 2,8 KNewton Σ MC = 0 + - AX ( 1,4) - 2,8 (0,75) = 0 -1,4 AX = 2,1 2,1 AX = = - 1,5 N 1,4 AX = - 1,5 KNewton (significa que la fuerza AX esta direccionada hacia la izquierda) 0,75 m AY - AX ( 1,4) = 2,8 (0,75) AX A B 1,4 m 2,8 N Σ MC = 0 + 0,4 m AX ( 1,4) - 2,8 (0,75) = 0 AX ( 1,4) = 2,8 (0,75) CX C 1,4 AX = 2,1 2,1 AX = = 1,5 N 1,4 29 AX = 1,5 KNewton Nudo A AY AY A AX AX A A FAB 0,85 0,4 FAB (Y) 0,75 0,75 FAC FAB FAB α FAB (X) FAC 0,75 cos α = 0,85 FAB (X) = cos α (FAB) FAB (X ) = 0,85 0,4 AY A sen α = FAB AX FAC 0,75 FAB 0,85 0,4 0,85 FAB (Y) = sen α (FAB) FAB (Y ) = ∑ FX = 0 - AX + FAB (X) = 0 0,75 - AX + FAB = 0 0,85 0,75 AX = FAB 0,85 AX FAC 0,85 AX 0,75 0,85 (1,5) FAB = 0,75 FAB = 1,7 KNewton (tracción) FAB = 0,4 FAB 0,85 ∑FY= 0 AY FAB AY – FAC – FAB (Y) = 0 0,4 A Y - FAC − FAB = 0 0,85 0,4 (1,7 ) = 0 2,8 - FAC − 0,85 2,8 − 0,8 = FAC FAC = 2 KNewton (Tracción) Nudo C FAC sen α = FCB CX CX C FAC FCB 1 1,25 cos α = 0,75 1,25 FCB (Y) = sen α (FCB) FCB (X) = sen α (FCB) ⎛ 1 ⎞ FCB (Y ) = ⎜ ⎟ FCB ⎝ 1,25 ⎠ F ⎛ 0,75 ⎞ CB(X ) = ⎜⎜ ⎟⎟ FCB ⎝ 1,25 ⎠ 1,25 FCB 0,75 1 FCB (Y) α FCB (X) C 30 ∑ FX = 0 0,75 m AY CX - FCB (X) = 0 AX A 0,4 m CX = FCB (X) B 0,75 FCB 1,25 FAC 1,25 FCB FCB = CX 0,75 C CX CX = 1,5 KNewton 1,25 (1,5) = 2,5 KN FCB = 0,75 FCB = 2,5 KNewton (compresión) CX = 1,4 m 0,75 1m 2,8 N 1 FAC FCB C CX Problema 6.2 beer edic 8 Utilice el método de los nodos para determinar la fuerza presente en cada elemento de las armaduras. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión. 4,2 KN 4,2 KN B B FBC FBC FBA 1,5 m 1,5 m C 4m C 4m FBA CY 3m A A AX 4m Σ MA = 0 + CY ( 4 + 2) - 4,2 (4) = 0 CY ( 6) - 16,8 = 0 6 CY = 16,8 CY = 16,8 = 2.8 KN 6 CY = 2,8 KN BY 4m 2m 2m ∑ FY = 0 BY + CY – 4,2 = 0 Pero: CY = 2,8 KN BY + 2,8 – 4,2 = 0 BY – 1,4 = 0 BY = 1,4 kN 31 Nudo B 4,2 KN B FBC 1,5 m FBC FBA 4,2 KN FBA CY FBC B C 4m 4,2 KN 3m FBC FBA A FBA AX 4m BY 2m cos α = 2 = 0,8 2,5 sen α = cos α = FBC(X ) FBC sen α = 1,5 = 0,6 2,5 FBC(Y ) FBC FBC (X) = cos α (FBC) FBC (Y) = sen α (FBC) FBC (X ) = (0,8) FBC FBC (Y ) = (0,6 ) FBC cos θ = cos θ = 4 = 0,7079 5,65 FBA(X ) FBA FBC(X) FBC(Y) 1,5 2,5 α 2 FBC α Ө 4 sen θ = = 0,7079 5,65 FBA(Y ) sen θ = FBA FBA (X) = cos Ө (FBA) FBA (Y) = sen Ө (FBA) FBA (X ) = (0,7079 ) FBA FBA (Y ) = (0,7079 ) FBA ∑ FY = 0 FBC(Y) + FBA (Y) – 4,2 = 0 FBC(Y) + FBA (Y) = 4,2 0,6 FBC + 0,7079 FBA = 4,2 (Ecuación 2) FBA FBA(Y) 5,65 Ө 4 Ө 4,2 KN 4 FBA(X) ∑ FX = 0 FBA(X) – FBC (X) = 0 0,7079 FBA - (0,8) FBC = 0 (Ecuación 1) Resolver las ecuaciones 32 0,7079 FBA - 0,8 FBC = 0 (-1) Reemplazando en la ecuación 1 0,6 FBC + 0,7079 FBA = 4,2 0,7079 FBA - 0,8 FBC = 0 - 0,7079 FBA + 0,8 FBC = 0 Pero: FBC = 3 KN 0,6 FBC + 0,7079 FBA = 4,2 0,7079 FBA - 0,8 (3) = 0 0,8 FBC + 0,6 FBC = 4,2 0,7079 FBA – 2,4 = 0 1,4 FBC = 4,2 FBC = 0,7079 FBA = 2,4 4,2 = 3 KN 1,4 FBA = FBC = 3 KN (compresión) 2,4 = 3,39 KN 0,7079 FBC = 3,39 KN (compresión) NUDO C FBC 4,2 KN B FBC FBC FBA FBC(X) C 1,5 m FCA CY FBC(Y) 1,5 C 4m FCA FBA A CY 3m FCA(Y) FCA FCA 2,5 α 2 6,7 FBC α β β AX FCA(X) BY cos α = 4m 2 = 0,8 2,5 2m cos α = FBC(X ) FBC sen α = sen α = 1,5 = 0,6 2,5 FBC(Y ) 3 6 CY FBC FBC (X) = cos α (FBC) FBC (Y) = sen α (FBC) FBC (X ) = (0,8) FBC FBC (Y ) = (0,6 ) FBC 33 6 = 0,8955 6,7 cos β = cos α = FCA(X ) FCA sen β = FCA (X) = cos β (FCA) sen β = FCA (X ) = (0,8955) FCA 3 = 0,4477 6,7 FCA(Y ) FCA FCA (Y) = sen β (FCA) FCA (Y ) = (0,4477 ) FCA ∑ FX = 0 FBC(X) – FCA (X) = 0 (0,8) FBC - (0,8955) FCA = 0 (Ecuación 1) PERO: FBC = 3 KN (compresión) (0,8) FBC - (0,8955) FCA = 0 (0,8)(3) - (0,8955) FCA = 0 2,4 - (0,8955) FCA = 0 FBC = 3,39 KN (compresión) 0,8955 FCA = 2,4 FBC = 3 KN (compresión) 2,4 = 2,68 KN 0,8955 FCA = 3 KN (tension) FCA = 3 KN (tension) FCA = Problema 6.3 beer edic 6 Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión. 945 lb ∑ FX = 0 BX = 0 Σ MB = 0 + A CY ( 12 + 3,75) - 945 (12) = 0 9 pies CY (15,75) - 945 (12) = 0 CY (15,75) = 945 (12) B C 15,75 CY = 11340 12 pies 11340 CY = = 720 lb 15,75 3,75 pies 34 CY = 720 lb Σ MC = 0 + 945 lb 945 (3,75) - BY ( 12+ 3,75) = 0 A FBA 945 (3,75) = BY ( 15,75) FCA 945 lb 3543,75 = 15,75 BY 3543,75 BY = = 225 lb 15,75 BY = 225 lb. B BX A FCA FBA C FBC FBC 9 pies CY BY B BX BY C CY 12 pies 3,75 pies NUDO B sen α = 9 15 cos α = 12 15 FBA FBA (X) = sen α (FBA) FBA (Y) = sen α (FBA) F ⎛9⎞ BA(X ) = ⎜ ⎟ FBA ⎝ 15 ⎠ F ⎛ 12 ⎞ BA(Y ) = ⎜ ⎟ FBA ⎝ 15 ⎠ FBA FBC B Y = = 15 12 9 FBA FBC 225 = = 15 12 9 Hallar FBA FBA 225 = 15 9 (15) 225 = 375 lb. FBA = 9 FBA = 375 lb. (compresión) BY FBA BX B FBC FBC BX BY Hallar FBC FBC 225 = 12 9 FBC = (12) 225 = 300 lb. 9 FBC = 300 lb. (tracción) 35 Nudo C FCA (X) FCA FBC 3,75 9,75 C FCA FBC CY 9 FCA (Y) FCA FCA CY FBC C CY FCA FBC C Y = = 9,75 3,75 9 FCA FBC = 9,75 3,75 CY = 720 lb Hallar FCA (9,75)300 = 780 lb FCA = 3,75 FBC = 300 lb. (tracción) BY = 225 lb. FBA = 375 lb. (compresión) FCA = 780 lb. (compresión) FCA = 780 lb. (compresión) Problema 6.3 Beer edic 8 Utilice el método de los nodos para determinar la fuerza presente en cada elemento de las armaduras. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión. B A 450 lb AX AY A 10 pies 450 lb FBA FBA FCA tensión FBC compresión C 7,5 pie B FCA 24 pies FBC compresión 10 pies C CY 7,5 pie 24 pies Σ MA = 0 + CY ( 7,5) - 450 (7,5 + 24) = 0 7,5 CY - 450 (31,5 ) = 0 7,5 CY - 14175 = 0 7,5 CY = 14175 CY = 14175 = 1890 lb 7.5 CY = 1890 lb. 36 NUDO B AX A A AY FBA FBA B 450 lb FBC 26 FBC 10 pies β FBC C 10 450 lb 24 FBA CY FBC 450 FBA = = 26 10 24 24 pies 7,5 pie Hallar FBA Cancelando términos semejantes F 90 = BA 12 FBA = 90 (12) = 1080 lb (tensión) FBC 450 FBA = = 13 5 12 FBC F = 90 = BA 13 12 AY Hallar FBC AX FBC = 90 13 FBC = 90 (13) = 1170 lb (compresión) FCA B 450 lb FBC FCA 10 pies FBC C FCA NUDO C FBA FBA A CY C FBC 24 pies 7,5 pie CY cos α = cos α = 7,5 = 0,6 12,5 FCA (X ) FCA FCA (X) = cos α (FCA) FCA (X ) = (0,6) FCA sen α = sen α = 10 = 0,8 12,5 FCA (Y ) FCA(X) FCA FCA (Y) = sen α (FCA) FCA (Y ) = (0,8) FCA 10 12,5 FCA(Y) 7,5 FCA α FBC(X) FBC β 26 10 FBC(Y) 24 CY 37 24 = 0,923 26 FBC(X ) cos α = FBC cos β = sen β = 10 = 0,3846 26 FBC(Y ) FBC FBC (X) = cos α (FBC) sen β = FBC (X ) = (0,923) FBC FBC (Y) = sen β (FBC) FBC (Y ) = (0,3846 ) FBC ∑ FY = 0 CY - FCA(Y) - FBC (Y) = 0 ∑ FX = 0 Pero: CY = 1890 lb. 1890 - FCA(Y) - FBC (Y) = 0 FCA(Y) + FBC (Y) = 1890 FCA (X) - FBC(X) = 0 (0,6) FCA - (0,923) FBC = 0 (Ecuación 1) 0,8 FCA + 0,3846 FBC = 1890 (Ecuación 2) Resolver las ecuaciones 0,6 FCA - 0,923 FBC = 0 (0,3846) 0,8 FCA + 0,3846 FBC = 1890 (0,923) FBA = 90 (12) = 1080 lb (tensión) 0,23 FCA - 0,354 FBC = 0 FBC = 90 (13) = 1170 lb (compresión) 0,7384 FCA + 0,354 FBC = 1744,47 FCA = 1801,39 KN (compresión) 0,23 FCA + 0,7384 FCA = 1744,47 0,9684 FCA = 1744,47 FCA = 1744,47 = 1801,39 KN 0,9684 FCA = 1801,39 KN (compresión) 38 Problema 6.4 beer edic 6 Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión. 10,8 Kips 35 pies 22,5 pies A 10,8 Kips C B 12 pies D ∑ FX = 0 AX = 0 Σ MA = 0 + D (22,5) - 10,8 (22,5) -10,8 (22,5 + 35) = 0 D (22,5) - 10,8 (22,5) -10,8 (57,5) = 0 B A FAB 22,5 D - 243 - 621 = 0 22,5 D = 864 10,8 Kips FAB FAD 10,8 Kips FBC FBC C FBD AY 864 = 38,4 Kips 22,5 D = 38,4 Kips D= D D Σ MC = 0 + AY (22,5 + 35) + 10,8 (35) – D (35) = 0 AY (57,5) + 10,8 (35) – (38,4) (35) = 0 57,5 AY + 378 – 1344 = 0 57,5 AY = 966 966 AY = = 16,8 Kips 57,5 AY = 16,8 Kips 10,8 Kips 35 pies 22,5 pies A 10,8 Kips C B AX AY 12 pies D D 39 Nudo A A FAB AY FAD FAD(Y) FAD FAB A Y = = 25,5 22,5 12 12 AY 25,5 AY = 16,8 Kips FAD FAB 16,8 = = 25,5 22,5 12 25,5 22,5 FAD 22,5 12 FAD FAD(X) FAB A FAB FAD Hallar FAB FAB 16,8 = 22,5 12 (22,5)16,8 = 31,5 Kips FAB = 12 AY Hallar FAD FAD 16,8 = 25,5 12 (25,5)16,8 = 35,7 Kips FAD = 12 FAB = 35,7 Kips (tensión) FAD = 35,7 Kips (compresión) Nudo B FAB 10,8 Kips FAB B 10,8 Kips FBC B FBD 10,8 Kips FAB FBC FBD FBC FBD ∑ FX = 0 ∑ FY = 0 FBC – FAB = 0 FBD – 10,8 = 0 FAB = 35,7 Kips FBD = 10,8 Kips (compresión) FBC = FAB FBC = 35,7 Kips (tensión) 40 Nudo C 10,8 Kips 10,8 Kips FBC C FCD 37 35 12 FBC 10,8 Kips FCD FBC FCD FCD FBC 10,8 = = 37 35 12 C AX = 0 D = 38,4 Kips AY = 16,8 Kips Hallar FCD FCD 10,8 = 37 12 (37 )10,8 = 33,3 Kips FCD = 12 FCD = 33,3 Kips (compresión) FAB = 35,7 Kips (tensión) FAD = 35,7 Kips (compresión) FBC = 35,7 Kips (tensión) FBD = 10,8 Kips (compresión) FCD = 33,3 Kips (compresión) Problema 6.1 Estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere P1 = 800 lb. y P2 = 400 lb. AY 6 pies 8 pies A TCA AX TCA TBC TBA tensión tensión TBA P2 = 400 lb - 400 (8) - 800 (6) + CY (6 + 8) = 0 - 400 (8) - 800 (6) + CY (14) = 0 - 3200 - 4800 + CY (14) = 0 CY 8 pies TBC B P1 = 800 lb Σ MA = 0 + C ∑ FX = 0 AX – 400 = 0 AX = 400 lb. 41 - 8000 + CY (14) = 0 CY (14) = 8000 CY = 8000 = 571,42 lb 14 CY = 571,42 lb Σ MC = 0 - AY (6 + 8) - 400 (8) + 800 (8) = 0 + - AY (14) - 400 (8) + 800 (8) = 0 - 14 AY - 3200 = 0 14 AY = 3200 AY = 3200 = 228,57 lb 14 AY = 228,57 lb NUDO B TBC TBA (X) TBC TBA TBA P2 = 400 lb β B P2 = 400 lb TBA (Y) 8 10 T 6 BA α P2 = 400 lb TBC 8 2 8 8 β TBC (Y) TBC (X) P1 = 800 lb P1 = 800 lb sen α = 8 4 = 10 5 sen β = cos α = 6 3 = 10 5 cos β = sen α = 8 8 2 8 8 2 = 2 2 = 2 2 P1 = 800 lb TBA(Y ) ⇒ TBA(Y )= senα (TBA ) TBA ⎛4⎞ TBA(Y )= ⎜ ⎟ (TBA ) ⎝5⎠ 42 cos α = TBA(X ) ⇒ TBA(X )= cosα (TBA ) TBA ⎛ 3⎞ TBA(X )= ⎜ ⎟ (TBA ) ⎝5⎠ ∑ FX = 0 - 400 + TBC (X) - TBA (X) = 0 TBC (X) - TBA (X) = 400 2 (TBC ) - 3 TBA = 400 (Ecuación 1) 2 5 sen β = TBC(Y ) ⇒ TBC(Y )= senβ (TBC ) TBC ⎛ 2⎞ ⎟ (TBC ) TBC(Y )= ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ TBC(X ) cos β = ⇒ TBC(X )= cosβ (TBC ) TBC ⎛ 2⎞ ⎟ (TBC ) TBC(X )= ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ∑ FY = 0 - 800 + TBC (Y) + TBA (Y) = 0 TBC (Y) + TBA (Y) = 800 2 (TBC ) + 4 TBA = 800 (Ecuación 2) 2 5 resolver ecuación 1 y ecuación 2 2 (TBC ) - 3 TBA = 400 ( -1) 2 5 2 (TBC ) + 4 TBA = 800 2 5 - 2 (TBC ) + 3 TBA = - 400 5 2 2 (TBC ) + 4 TBA = 800 5 2 7 TBA = 400 5 (400)5 TBA = 7 TBA = 285,71 lb. (Tensión) Reemplazando en la ecuación 1 2 (TBC ) - 3 TBA = 400 (Ecuación 1) 2 5 2 (TBC ) - 3 (285,71) = 400 2 5 2 (TBC ) - 171,42 = 400 2 2 (TBC ) = 571,42 2 ⎛ 2 ⎞ TBC = ⎜ ⎟571,42 ⎝ 2⎠ TBC = 808,12 lb. (Tensión) 43 NUDO C TCA C TBC 8 2 TBC CY β 8 8 CY TCA Las ecuaciones de equilibrio para el nudo C son: TCA TBC C Y = = 8 8 8 2 Hallar TCA TCA TBC = 8 8 2 Pero: TBC = 808,12 lb. TCA 808,12 = 8 8 2 TCA = 808,12 = 571,42 lb 2 TCA = 571,42 lb (Compresión) Problema 6.2 Estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere P1 = 500 lb. y P2 = 100 lb. AY 6 pies 8 pies A TCA AX TCA TBC TBA tensión tensión TBA P2 = 100 lb Σ MA = 0 C CY 8 pies TBC B P1 = 500 lb 44 - 100 (8) - 500 (6) + CY (6 + 8) = 0 + - 100 (8) - 500 (6) + CY (14) = 0 ∑ FX = 0 - 800 - 3000 + CY (14) = 0 AX – 400 = 0 - 3800 + CY (14) = 0 AX = 400 lb. CY (14) = 3800 CY = 3800 = 271,42 lb 14 CY = 271,42 lb Σ MC = 0 - AY (6 + 8) - 100 (8) + 500 (8) = 0 + - AY (14) - 100 (8) + 500 (8) = 0 - AY (14) - 800 + 4000 = 0 - 14 AY + 3200 = 0 14 AY = 3200 AY = 3200 = 228,57 lb 14 TBA (X) AY = 228,57 lb NUDO B TBA (Y) TBC TBC TBA 8 10 T 6 BA α TBC 8 2 8 8 β TBC (Y) TBC (X) P2 = 400 100 lb TBA P2 = 100 lb β B P1 = 800 500 lb P2 = 100 lb P1 = 500 lb P1 = 500 lb 8 4 sen α = = 10 5 cos α = 6 3 = 10 5 sen β = cos β = 8 8 2 8 8 2 = 2 2 = 2 2 45 sen α = TBA(Y ) ⇒ TBA(Y )= senα (TBA ) TBA ⎛4⎞ TBA(Y )= ⎜ ⎟ (TBA ) ⎝5⎠ cos α = TBA(X ) ⇒ TBA(X )= cosα (TBA ) TBA ⎛3⎞ TBA(X )= ⎜ ⎟ (TBA ) ⎝5⎠ ∑ FX = 0 - 100 + TBC (X) - TBA (X) = 0 sen β = ⎛ 2⎞ ⎟ (TBC ) TBC(Y )= ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ TBC (X) - TBA (X) = 100 2 (TBC ) - 3 TBA = 100 (Ecuación 1) 2 5 ∑ FY = 0 TBC(Y ) ⇒ TBC(Y )= senβ (TBC ) TBC cos β = TBC(X ) ⇒ TBC(X )= cosβ (TBC ) TBC ⎛ 2⎞ ⎟ (TBC ) TBC(X )= ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ - 500 + TBC (Y) + TBA (Y) = 0 TBC (Y) + TBA (Y) = 500 2 (TBC ) + 4 TBA = 500 (Ecuación 2) 2 5 resolver ecuación 1 y ecuación 2 2 (TBC ) - 3 TBA = 100 ( -1) 2 5 2 (TBC ) + 4 TBA = 500 2 5 - 2 (TBC ) + 3 TBA = - 100 5 2 2 (TBC ) + 4 TBA = 500 5 2 7 TBA = 400 5 Reemplazando en la ecuación 1 2 (TBC ) - 3 TBA = 100 (Ecuación 1) 2 5 2 (TBC ) - 3 (285,71) = 100 2 5 2 (TBC ) - 171,42 = 100 2 2 (TBC ) = 271,42 2 ⎛ 2 ⎞ TBC = ⎜ ⎟271,42 ⎝ 2⎠ TBC = 383,84 lb. (Tensión) 46 (400)5 TBA = 7 TBA = 285,71 lb. (Tensión) NUDO C Las ecuaciones de equilibrio para el nudo C son: C TCA TCA TBC C Y = = 8 8 8 2 TBC 8 2 TBC Hallar TCA CY 8 8 β CY TCA TCA TBC = 8 8 2 Pero: TBC = 383,84 lb. TBA = 285,71 lb. (Tensión) TCA 383,84 = 8 8 2 TBC = 383,84 lb. (Tensión) TCA = 271,42 lb (Compresión) TCA = 383,84 = 271,42 lb 2 TCA = 271,42 lb (Compresión) Problema 6.3 Estática Hibbeler edic 10 La armadura, usada para soportar un balcón, esta sometida a la carga mostrada. Aproxime cada nudo como un pasador y determine la fuerza en cada miembro. Establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere P1 = 600 lb P2 = 400 lb. P2 = 400 lb P1 = 600 lb A B FBC FAB FAD FBC C CY CX FAB FDC FBD 4 pies FBD FAD FDC D FED 4 pies E FED EX EY = 0 4 pies Σ MC = 0 + P1 (4 + 4) + P2 (4) – EX (4) = 0 47 600 (4 + 4) + 400 (4) – EX (4) = 0 P2 = 400 lb P1 = 600 lb 600 (8) + 400 (4) – 4 EX = 0 4800 + 1600 – 4 EX = 0 B FBC FAB A 6400 – 4 EX = 0 FAD 4 EX = 6400 C CY CX FAB FBD FDC 4 pies FBD 6400 EX = = 1600 lb 4 FDC FAD EX = 1600 lb D FED 4 pies NUDO A FBC E FED EX EY = 0 4 pies P1 = 600 lb A FAB FAB 4 FAD 4 2 Las ecuaciones de equilibrio para el nudo A son: 4 P1 = 600 lb FAD FAB FAD 600 = = 4 4 4 2 Cancelar términos semejantes F FAB = AD = 600 2 Hallar FAB FAB = 600 lb Hallar FAD FAD = 600 2 FAD = ( 2 ) 600 = 848,52 lb FAD = 848,52 lb (compresión) FAB = 600 lb (Tension) 48 NUDO E FED Σ FX = 0 FED - EX = 0 P2 = 400 lb P1 = 600 lb E EX A EY = 0 B FBC FAB C CY CX FAB FAD FED = EX FBC FDC FBD 4 pies FBD PERO: EX = 1600 lb FED = 1600 lb (compresión) E FDC FAD D FED Σ FY = 0 EY = 0 FED 4 pies 4 pies P1 = 600 lb P2 = 400 lb EX EY = 0 NUDO B P2 = 400 lb FAB B FBC P2 = 400 lb FAB FBD Σ FX = 0 FBC - FAB = 0 FBD A FBC B FBC FAB FAD FBC C CY CX FAB FDC FBD 4 pies FBD FBC = FAB FAD FDC D FED PERO: FAB = 600 lb (Tensión) 4 pies E FED EX EY = 0 4 pies FBC = 600 lb (Tensión) Σ FY = 0 FBD - 400 = 0 FBD = 400 lb (compresión) Σ FY = 0 CY - 600 - 400 = 0 Σ FX = 0 CX - EX = 0 CX = EX PERO: EX = 1600 lb CX = 1600 lb CY - 1000 = 0 CY = 1000 lb. 49 NUDO C P2 = 400 lb P1 = 600 lb Σ FY = 0 C CY FBC CY – FDC(Y) = 0 A CX CY = FDC(Y) B FBC FAB FAD FDC sen α = 4 2 = CX FAB FBD D FED 1 = 0,7071 2 FDC = FDC(Y ) senα FDC = 1000 = 1414,22 lb 0,7071 FDC = 1414,22 lb (tensión) E FDC FAD FDC(Y ) FDC FDC FBD FDC(Y) = 1000 lb 4 C CY 4 pies PERO: CY = 1000 lb. sen α = FBC 4 pies FED EX EY = 0 4 pies FDC 4 2 4 FDC (Y) 4 FDC (X) FBC FDC FDC (Y) CY CX FBD = 400 lb (compresión) FBC = 600 lb (Tensión) EX = 1600 lb FAB = 600 lb (Tensión) EY = 0 FED = 1600 lb (compresión) CX = 1600 lb FAD = 848,52 lb (compresión) CY = 1000 lb. FDC = 1414,22 lb (tensión) 50 Problema 6.4 Estática Hibbeler edic 10 La armadura, usada para soportar un balcón, esta sometida a la carga mostrada. Aproxime cada nudo como un pasador y determine la fuerza en cada miembro. Establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere P1 = 800 lb P2 = 0 lb. FUERZA CERO P1 = 800 lb B FBC FAB A FAD C CY FBC CX FAB FDC FBD = 0 4 pies FBD = 0 FAD E FDC D FED 4 pies Σ MC = 0 FED EX EY = 0 4 pies P1 (4 + 4) – EX (4) = 0 + 800 (4 + 4) – EX (4) = 0 800 (8) – 4 EX = 0 6400 – 4 EX = 0 4 EX = 6400 EX = 6400 = 1600 lb 4 EX = 1600 lb P1 = 800 lb NUDO A A FAB P1 = 800 lb A 4 FAB 4 2 4 B FBC FAB FAD C CY CX FAB FBD = 0 P1 = 800 lb FAD FBC 4 pies FDC FBD = 0 FAD FAD Las ecuaciones de equilibrio para el nudo A son: FAB FAD 800 = = 4 4 4 2 FDC D FED 4 pies E FED EX EY = 0 4 pies Cancelar términos semejantes 51 F FAB = AD = 800 2 Hallar FAD FAD = 800 2 FAD = 2 800 = 1131,37 lb Hallar FAB ( ) FAB = 800 lb FAB = 800 lb (Tensión) FAD = 1131,37 lb (compresión) NUDO E Σ FX = 0 FED - EX = 0 FED = EX P1 = 800 lb E FED A EX C CY FBC CX FAB FAD EY = 0 PERO: EX = 1600 lb B FBC FAB FDC FBD = 0 4 pies FBD = 0 FED = 1600 lb (compresión) Σ FY = 0 EY = 0 E FDC FAD D FED 4 pies FED EX EY = 0 4 pies NUDO B FUERZA CERO Si tres miembros forman un nudo de armadura en el cual dos de los miembros son colineales, el tercer miembro es un miembro de fuerza cero siempre que ninguna fuerza exterior o reacción de soporte este aplicada al nudo. Σ FX = 0 FBC - FAB = 0 B FBC FAB FBC = FAB Pero: FAB = 800 lb (Tensión) FBD FUERZA CERO P1 = 800 lb A B FBC FAB FAD C CY CX FAB FBD = 0 4 pies FDC FBD = 0 FBC = 800 lb (Tensión) FAD Σ FY = 0 FBD = 0 FBC FDC D FED 4 pies E FED EX EY = 0 4 pies 52 Σ FY = 0 Σ FX = 0 CY - 800 = 0 CX = EX CY = 800 lb. PERO: EX = 1600 lb CX - EX = 0 FDC CX = 1600 lb NUDO C FDC Σ FY = 0 CY – FDC(Y) = 0 CX FDC PERO: CY = 800 lb. 4 = A B FBC FAB 1 = 0,7071 2 FDC FBD = 0 FDC 4 pies 800 = 1131,38 lb 0,7071 E FED EX EY = 0 4 pies FBD = 0 lb FDC = 1131,38 lb (tensión) CX = 1600 lb FBD = 0 D FED FDC = C CY CX FAD FDC(Y ) senα FBC FAB 4 pies 4 2 FDC(Y ) sen α = FDC EX = 1600 lb FDC (X) CY P1 = 800 lb FAD FDC = FDC (Y) 4 CX FDC(Y) = 800 lb sen α = FDC (Y) 4 C CY FBC CY = FDC(Y) 4 2 FBC EY = 0 FBC = 800 lb (Tensión) FAB = 800 lb (Tensión) FED = 1600 lb (compresión) FAD = 1131,37 lb (compresión) FDC = 1131,38 lb (tensión) CY = 800 lb. 53 Problema c-34 estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en cada miembro de la armadura. Establezca si los miembros están en tensión o en compresión. BY FUERZA CERO FCB B BX FAB FCB 3 pies C FDC FCA FCA FDC D FAB FDA A AX FDA 2 pies 2 pies 300 lb FDC NUDO D FDC 5 FDC 300 FDA = = 5 3 4 FDC F = 100 = DA 5 4 D FDA 300 lb 3 4 FDA 300 lb Hallar FDA FDA = 100 4 Hallar FCD FDC = 100 5 FDA = (4) 100 = 400 lb (compresión) FDC = (5) 100 = 500 lb (Tensión) FUERZA CERO Si tres miembros forman un nudo de armadura en el cual dos de los miembros son colineales, el tercer miembro es un miembro de fuerza cero siempre que ninguna fuerza exterior o reacción de soporte este aplicada al nudo. FUERZA CERO FCA = 0 FCB FDC = FCB Pero: FDC = 500 lb C FDC FCA = 0 FCB = 500 lb (Tensión) 54 NUDO A FCA = 0 FAB = 0 FCA = 0 FAB = 0 BY FDA A AX ∑ FX = 0 FDA - AX = 0 FCB AX FDA FCA = 0 B BX FCB 3 pies C FAB = 0 ∑ FY = 0 FCB = 500 lb (Tensión) FAB = 0 FDA = (4) 100 = 400 lb FDC FDC D (compresión) FDA A AX FDA 2 pies 2 pies FDC = (5) 100 = 500 lb 300 lb (Tensión) Problema C-35 estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en los miembros AE y DC. Establezca si los miembros están en tensión o en compresión. E D F FAB =0 FAE FCD 3 pies FAF = 0 A AX = 0 AY FAE FCB = 0 FAB FAB B FCB = 0 4 pies 4 pies 800 lb FCD C CY ∑ FY = 0 AY – 800 + CY = 0 Pero: CY = 400 lb AY – 800 + 400 = 0 AY – 400 = 0 AY = 400 lb 55 Σ MA = 0 - 800 (4 ) + CY (4 + 4) = 0 + - 3200 + CY (8) = 0 CY (8) = 3200 CY = 3200 = 400 lb 8 CY = 400 lb ∑ FX = 0 AX = 0 NUDO C ∑ FY = 0 FCB = 0 FCD C CY – FCD = 0 CY Pero: CY = 400 lb CY = FCD FCD = 400 lb (compresión) ∑ FX = 0 E D F FAB FCB = 0 =0 FAE FCD 3 pies FAF = 0 A AX = 0 AY FAE FCB = 0 FAB FAB B FCB = 0 4 pies 4 pies FCD C CY 800 lb 56 NUDO A FAF = 0 A AX = 0 FAE 5 FAE 4 FAB FAB AY FAE 400 FAB = = 5 3 4 E D F FAE A Y FAB = = 5 3 4 Pero: AY = 400 lb AY 3 FAB =0 FAE FCD 3 pies FAF = 0 A AX = 0 FAE FCD FCB = 0 FAB 4 pies AY C B FCB = 0 FAB CY 4 pies 800 lb Hallar FAE FAE 400 = 5 3 400(5) F AE = 3 Hallar FCD FAB 400 = 4 3 FAB = 533,33 lb (Tensión) FAE = 666,66 lb (compresión) Problema 6.8 estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están a tensión o en compresión. Considere P1 = 2 KN y P2 = 1,5 kN. AY A AX FBA FBA Y = 3,464 B FCB FBE FDB FBE FDB E EX CY FDE FDE YF1DB= 1,732 D 3m FCD FCB 0 30 C FCD 3m 2 KN 1,5 KN 57 Σ ME = 0 - 2 (3) – 1,5 (3 + 3) + AX (3,464) = 0 + - 6 – 1,5 (6) + 3,464 AX = 0 - 6 – 9 + 3,464 AX = 0 - 15 + 3,464 AX = 0 3,464 AX = 15 AX = tg 30 = Y 6 Y = 6 tg 30 = 6 (0,5773) = 3,464 m 15 = 4,33 kN 3,464 AX = 500 N Y tg 30 = 1 3 NUDO C Y1 = 3 tg 30 = 3 (0,5773) = 1,732 m AY FCB 300 C FCD A AX 1,5 KN B FCB FCB FDB 1,5 KN 3,464 Y1 = 1,732 3m FCD EX CY FCB FDB E FDE D FDE 300 FCD 2 KN Las ecuaciones de equilibrio para la junta C son: FCB F 1,5 = = CD 3,464 1,732 3 Hallar FCB FCB 1,5 = 3,464 1,732 1,5 (3,464) FCB = = 3 kN 1,732 C FCD 1,5 KN Hallar FCD F 1,5 = CD 1,732 3 FCD = 1,5 (3) = 2,598 kN 1,732 FCD = 2,598 kN (compresión) FCB = 3 kN (tensión) 58 NUDO D FDB FDE AY ∑ FX = 0 FDE FDB 2 KN A ∑ FY = 0 FCD D 2 KN FCD AX FDB - 2 = 0 FDE - FCD = 0 FDB = 2 kN (tensión) B FDE = FCD FCB FDB Pero: FCD = 2,598 kN (compresión) FDE = 2,598 kN (compresión) EX CY FDE D FDE NUDO B FCD C FCD AY FBA(X) FCB A FBA FBA(Y) FDB FBA AX 300 300 FBA FBE(Y) B CY FDE D 2 KN FBA(Y ) FBA FCB(Y) FCB(X) FDB FCB FDB FDE FCB FBE FDB E 300 FBE(X) FCB FBE FBE 1,5 KN B FBE sen 30 = 300 2 KN FBA EX FCB FDB E 0 30 FCD C FCD 1,5 KN Para abreviar los cálculos sen 30 = 3 2 sen 60 = 1 2 FBA (Y) = FBA sen 30 ⎛1⎞ FBA(Y ) = FBA ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 59 sen 30 = FBE(Y ) FBE cos 30 = FBA(X ) FBA FBE (Y) = FBE sen 30 FBA (X) = FBA cos 30 ⎛1⎞ FBE(Y ) = FBE ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FBA(X ) = FBA ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ sen 30 = FCB(Y ) FCB cos 30 = FCB (Y) = FCB sen 30 cos 30 = FCB(X ) FCB FCB (X) = FCB cos 30 ⎛ 3⎞ ⎟ FCB(X ) = FCB ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ FBE(X ) FBE FBE (X) = FBE cos 30 ⎛1⎞ FCB(Y ) = FCB ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FBE(X ) = FBE ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ∑ FY = 0 FBA (Y) + FBE (Y) - FCB (Y) - FDB = 0 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ FBA + ⎜ ⎟ FBE - ⎜ ⎟ FCB - FDB = 0 ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ Pero: FDB = 2 kN (tensión) FCB = 3 kN (tensión) ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟FBA + ⎜ ⎟ FBE ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟FBA + ⎜ ⎟FBE ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟FBA + ⎜ ⎟FBE ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎛1⎞ - ⎜ ⎟ (3) - 2 = 0 ⎝2⎠ ⎛1⎞ = ⎜ ⎟ (3) + 2 ⎝2⎠ = 1,5 + 2 = 3,5 0,5 FBA + 0,5 FBE = 3,5 dividiendo por 0,5 (para simplificar) FBA + FBE = 7 (Ecuación 1) ∑ FX = 0 - FBA (X) + FBE (X) + FCB (X) = 0 ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎟FBA + ⎜ ⎟FBE + ⎜ ⎟ - ⎜⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ FCB = 0 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ - FBA + FBE + FCB = 0 60 Pero: FCB = 3 kN (tensión) - FBA + FBE + 3 = 0 - FBA + FBE = - 3 (- 1) FBA - FBE = 3 (Ecuación 2) Resolver la ecuación 1 y 2 FBA + FBE = 7 (Ecuación 1) FBA - FBE = 3 (Ecuación 2) 2 FBA = 10 FBA = 10 = 5 kN 2 FBA = 5 kN (tensión) Reemplazando en la ecuación 1 FBA + FBE = 7 (Ecuación 1) Pero: FBA = 5 kN (tensión) AX = 500 N FCB = 3 kN (tensión) FCD = 2,598 kN (compresión) FDE = 2,598 kN (compresión) FDB = 2 kN (tensión) FBA = 5 kN (tensión) FBE = 2 kN (compresión) 5 + FBE = 7 FBE = 7 - 5 FBE = 2 kN (compresión) 61 PROBLEMA RESUELTO ESTATICA MERIAM Edic 3. Calcular, por el método de los nudos, la fuerza en los miembros del entramado en voladizo B 5m FBD FBD 5m FAB FBC FAB A D 5m FCD FBC FAC FAC C 5m 30 kN FCE E 5m 20 kN B TX D 5m 600 0 60 T TY 300 5m 600 EX A C 5m 30 kN E 5m EY 20 kN Σ ME = 0 + - T (5) + 30 (5 + 5) + 20 (5) = 0 - 5 T + 30 (10) + 20 (5) = 0 - 5 T + 300 + 100 = 0 - 5 T + 400 = 0 5 T = 400 62 T= 400 = 80 N 5 T = 80 N T sen 30 = Y T T cos 30 = X T TX = T cos 30 TY = T sen 30 Pero: T = 80 N Pero: T = 80 N TX = 80 (0,866) TY = 80 (0,5) TX = 69,28 N TY = 40 N ∑FY = 0 ∑FX = 0 TY + EY - 30 - 20 = 0 TX - EX = 0 TY + EY - 50 = 0 Pero: TX = 69,28 N Pero: TY = 40 N TX = EX 40 + EY - 50 = 0 EX = 69,28 N EY - 10 = 0 EY = 10 KN A continuación, dibujamos los diagramas de sólido libre que muestren las fuerzas actuantes en cada nudo. La exactitud de los sentidos asignados a las fuerzas se comprueba al considerar cada nudo en el orden asignado. No debe haber dudas acerca de la exactitud del sentido asignado a las fuerzas actuantes en el nudo A. El equilibrio exige NUDO A FAB 30 FAC = = 5 4,33 2,5 FAB A Hallar FAB FAB 30 = 5 4,33 FAB = FAB FAC 5 4,33 2,5 30 kN (30) 5 = 34,64 KN 4,33 FAB = 34,64 kN (tensión) FAC 30 kN Se halla FAC 30 FAC = 4,33 2,5 (30) 2,5 = 17,32 KN FAC = 4,33 FAC = 17,32 kN (compresion) 63 NUDO B B FBD FBD FBC FAB FBC FBC (Y) FAB (Y) FAB FBC(Y ) sen 60 = FBC FBC(Y) = FBC sen 60 ⎛ 3⎞ ⎟ FBC(Y ) = FBC ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FBC FBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ sen 60 = FAB(Y ) FAB FAB(Y) = FAB sen 60 Para abreviar los cálculos sen 60 = cos 60 = 3 1 cos 60 = 2 2 FAB(X ) FAB FAB(X) = FAB cos 60 ⎛1⎞ FAB(x ) = FAB ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ FAB(x ) = ⎜ ⎟ FAB ⎝ 2⎠ 600 FBC (X) cos 60 = 600 FAB (X) FBC(X ) FBC FBC(X) = FBC cos 60 ⎛1⎞ FBC(x ) = FBC ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ FBC(x ) = ⎜ ⎟ FBC ⎝2⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FAB(Y ) = FAB ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ FAB FAB(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ∑FY = 0 FBC(Y) - FAB(Y) = 0 FBC(Y) = FAB(Y) ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ FBC = ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ FAB ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ FBC = FAB PERO: FAB = 34,64 kN FBC = 34,64 kN (compresión) ⎛1⎞ FAB(x ) = ⎜ ⎟ FAB ⎝2⎠ 64 PERO: FAB = 34,64 kN ⎛1⎞ FAB(x ) = ⎜ ⎟ (34,64) = 17,32 KN ⎝2⎠ FAB(x) = 17,32 KN ⎛ 3⎞ ⎟ FBC FBC(x ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ PERO: FBC = 34,64 kN ⎛1⎞ FBC(x ) = ⎜ ⎟ (34,64) = 17,32 KN ⎝2⎠ FBC(x) = 17,32 KN ∑FX = 0 - FAB(x) - FBC(x) + FBD = 0 PERO: FAB(x) = 17,32 KN FBC(x) = 17,32 KN - FAB(x) - FBC(x) + FBD = 0 -17,32 – 17,32 + FBD = 0 - 34,64 + FBD = 0 B FBD = 34,64 KN (tensión) 5m 5m FCD FBC FAC C FAB FBC FAB T FED 5m FBD FBD NUDO C D FCD FCD FBC FED EX FCE A FAC FAC FCE C 5m FCE E 5m EY 20 kN 30 kN 20 kN FCD (X) FBC (X) PERO: FAC = 17,32 kN (compresion) FBC = 34,64 kN (compresión) FBC(x) = 17,32 KN ⎛ 3⎞ ⎟ FBC FBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ (34,64) = 30 KN FBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ FBC(Y) = 30 KN FBC FCD FBC (Y) FCD(Y) 600 600 FAC FCE 20 kN 65 cos 60 = FCD(X ) FCD FCD(X) = FCD cos 60 ⎛1⎞ FCD(x ) = ⎜ ⎟ FCD ⎝2⎠ ∑FX = 0 FCD(x) + FBC(x) + FAC – FCE = 0 sen 60 = FCD(Y ) FCD FCD(Y) = FCD sen 60 ⎛ 3⎞ ⎟ FCD(Y ) = FCD ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FCD FCD(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ PERO: FAC = 17,32 kN (compresión) FBC(x) = 17,32 KN FCD(x) + 17,32 + 17,32 – FCE = 0 FCD(x) + 34,64 – FCE = 0 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ FCD - FCE = - 34,64 (Ecuación 1) ⎝2⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FCD FCD(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ FCD = ⎜⎜ ⎟⎟ FCD(Y ) ⎝ 3⎠ PERO: FCD(Y) = 50 KN ⎛ 2 ⎞ FCD = ⎜⎜ ⎟⎟ 50 = 57,73 KN ⎝ 3⎠ FCD = 57,73 kN (Tensión) ∑FY = 0 - FBC(Y) + FCD(Y) – 20 = 0 PERO: FBC(Y) = 30 KN - 30 + FCD(Y) – 20 = 0 - 50 + FCD(Y) = 0 FCD(Y) = 50 KN Reemplazar en la ecuación 1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ FCD - FCE = - 34,64 (Ecuación 1) ⎝2⎠ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ 57,73 - FCE = - 34,64 ⎝2⎠ 28,86 – FCE = - 34,64 – FCE = - 34,64 - 28,86 – FCE = - 63,5 (-1) FCE = 63,5 KN (compresión) 66 NUDO E B FED E 5m FBC FAB D T FED 5m FBD FBD EX FCE 5m FCD EY FAB FCD FBC FED ∑FY = 0 EX EY - FED (Y) = 0 A FAC FAC C FCE 5m FED (Y) = EY PERO: FCE E 5m EY 20 kN 30 kN EY = 10 KN FED (Y) = 10 KN FED (X) FED(Y ) sen 60 = FED FED FED (Y) = FED sen 60 FED = FED (Y) FED(Y ) 10 = = 11,54 kN sen 60 0,866 600 EX FCE FED = 11,54 KN (compresión) EY T = 80 N EX = 69,28 N EY = 10 KN FAB = 34,64 kN (tensión) FAC = 17,32 kN (compresión) FBC = 34,64 kN (compresión) FBD = 34,64 KN (tensión) FCD = 57,73 kN (Tensión) FCE = 63,5 KN (compresión) FED = 11,54 KN (compresión) 67 Problema 4.1 Estática Meriam edición tres Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada B B 600N 600N 1,25 m 1,25 m A A C AX C AY B 3m 3m CY 600N FBA FBC Σ MA = 0 CY (3) – 600 (1,25) = 0 + 3 CY – 750 = 0 3 CY = 750 CY = FBA A AX FCA FBC C FCA CY AY 750 = 250 N 3 CY = 250 N Σ MC = 0 AY (3) – 600 (1,25) = 0 + Σ FX = 0 3 AY – 750 = 0 600 – AX = 0 3 AY = 750 600 = AX 750 AY = = 250 N 3 B AX = 600 Newton AY = 250 N Nudo B B B 600N FBC FBA FBC FBA 600 = = 3,25 1,25 3 FBC FBA = = 200 3,25 1,25 FBA FBC FBA A AX FCA AY FBC 1,25 600N FBA 3,25 3 600N FBC FCA C CY Hallar FBC FBC = 200 3,25 FBC = 200 (3,25) FBC = 650 Newton (compresión) 68 Hallar FAB FBA = 200 1,25 FAB = 200 (1,25) FAB = 250 Newton (tracción) Nudo C FBC B C FCA FBC CY = 250 N CY 1,25 FBC 3,25 3 FBC C Y FCA = = 3,25 1,25 3 600N FBA FCA C FBA A AX FCA FBC FCA AY C CY FBC = 650 Newton (compresión) 650 C Y FCA = = 3,25 1,25 3 Hallar FCA 650 FCA = 3,25 3 (650) 3 FCA = 3,25 FCA = 600 Newton (tracción) CY = 250 N AX = 600 Newton AY = 250 N FAB = 250 Newton (tracción) FBC = 650 Newton (compresión) FCA = 600 Newton (tracción) 69 Problema 4.1 Estática Meriam edición cinco; Problema 4.2 Estática Meriam edición tres Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura simple equilátera AY AX A 1,732 m 2m 2m B C CX (2) - 735,75 ( 1,732) = 0 W=mxg ⎛ m ⎞⎟ w = 75 kg ⎜ 9,81 = 735,75 Newton ⎜ 2⎟ seg ⎝ ⎠ W = 735,75 Newton CX (2) = 1274,31 CX = 735,75 N CX Σ MA = 0 + 2m 1274,31 = 637,15 N 2 CX = 637,15 Newton ∑FX = 0 ∑FY = 0 CX - AX = 0 AY – 735,75 = 0 CX = AX AY = 735,75 Newton AX = 637,15 Newton Nudo B FBA 367,87 = 2 1 FBA B D 1 0 30 367,87 N FBC 735,75 N 2 1,732 FBA 735,75 N 367,87 N 1,732 1 FBC 2 FBA = 2 X 367,87 FBA = 735,75 Newton FBC 367,87 = 2 1 FBC = 2 X 367,87 FBC = 735,75 Newton 70 Nudo C FBC FCA C X = = 2 1 1,732 FBC = 735,75 Newton (compresión) 735,75 FCA = 2 1 735,75 FCA = 2 CX FBC FCA 300 CX FCA FBC 1,732 C 1 FCA = 367,87 Newton (tensión) 2 Problema 4.3 Estática Meriam edición tres Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada. Explicar por que no hace falta saber las longitudes de los miembros. A 2,4 kN 2,4 kN B B 600 300 A C 600 300 C AX CY AY Nudo B 2,4 kN 2,4 kN FBA B 300 2,4 kN FBA FBC FBA (Y) 600 FBA FBC FBC (Y) FBA (X) FBA(Y ) sen 30 = FBA FBC FBA(Y) = FBA sen 30 ⎛1⎞ FBA(Y ) = FBA ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ FBA(Y ) = ⎜ ⎟ FBA ⎝2⎠ FBC (X) Para abreviar los cálculos sen 30 = 1 2 sen 60 = 3 2 cos 60 = 1 2 cos 30 = 3 2 71 sen 60 = FBC(Y ) FBC cos 30 = FBC(Y) = FBC sen 60 ⎛ 3⎞ ⎟ FBC(Y ) = FBC ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FBC FBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ cos 60 = FBC(X ) FBC FBC(X) = FBC cos 60 ⎛1⎞ FBc(x ) = FBC ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎛1⎞ FBc(x ) = ⎜ ⎟ FBC ⎝ 2⎠ ∑ FX = 0 FBA(X ) FBA FBA(X) = FBA cos 30 ⎛ 3⎞ ⎟ FBA(x ) = FBA ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FBA FBA(x ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ FBA(X) - FBC(X) = 0 ⎛ 3⎞ 1 ⎜ ⎟ FBA - ⎛⎜ ⎞⎟ FBC = 0 (ECUACIÓN 1) ⎜ 2 ⎟ ⎝2⎠ ⎠ ⎝ ∑ FY = 0 FBA(Y) + FBC(Y) - 2,4 = 0 Resolver las ecuaciones ⎛ 3⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA - ⎜⎝ 2 ⎟⎠ FBC = 0 3 ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎛1⎞ ⎟ FBC = 2,4 ⎜ ⎟ FBA + ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠ ⎝ ⎠ ( ) ⎛ 3⎞ ⎛1⎞ ⎟ FBC = 2,4 (ECUACIÓN 2) ⎜ ⎟ FBA + ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FBC = 0 - ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3⎞ ⎛1⎞ ⎟ FBC = 2,4 ⎜ ⎟ FBA + ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠ ⎝ ⎠ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ FBA ⎝2⎠ ⎛3⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ FBA + ⎜ ⎟ FBA = 2,4 ⎝ 2⎠ ⎝2⎠ 2 FBA = 2,4 FBA = 2,4 = 1,2 kN 2 FBA = 1,2 kN (compresión) 72 ⎛ 3⎞ 1 ⎟ FBA - ⎛⎜ ⎞⎟ FBC = 0 (ECUACIÓN 1) ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ 1 ⎜ ⎟ FBA = ⎛⎜ ⎞⎟ FBC ⎜ 2 ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠ 3 FBA = FBC FBA = 1,2 kN 3 (1,2 ) = FBC FBC = 2,078 kN (compresión) FBC Nudo C FCA(X ) cos 60 = FCA FBC 0 60 C 600 FCA FCA (X) = (cos 60) FCA CY FCA FCA (X) CY 600 FCA ∑ FX = 0 FCA (Y) FCA (X) - FBC = 0 (cos 60) FCA - FBC = 0 (cos 60) FCA = FBC FCA = FBC 2,078 = = 1,039 kN cos 60 0,5 FBA = 1,039 kN (tracción) 73 Problema 4.3 Estática Meriam edición cinco Determine the force in each member of the truss. Note the presence of any zero-force members. 5 kN AY Ax 3m FAB A FBC Σ MA = 0 1m FCA FCA FCD Dx DX - 15 = 0 B FBC FBC DX (1) - 5 (3) = 0 + FAB FCD D FBC C 2m DX = 15 KN Σ FX = 0 DX – AX = 0 5 kN AY Ax b=3m A DX = AX FBC Ө 1m δ = 26,560 B β c= 5 FBC a=2 2 D Dx 2m C ley de cosenos PERO: DX = 15 KN a2 = b2 + c2 – 2 b c sen δ AX = 15 KN a 2 = (3)2 + Σ FY = 0 AY – 5 = 0 AY = 5 KN tg θ = 2 1 Ө = arc tg (2) Ө = 63,430 ( 5 )2 - 2 (3) ( 5 )sen 26,56 a2 = 9 + 5- 6 ( 5 )(0,4471) a 2 = 14 - 2,68 ( 5) a 2 = 14 - 6 a 2 = 8 a= 8 =2 2 74 Ө + δ = 900 δ = 900 - Ө δ = 900 – 63,43 δ = 26,560 FAB NUDO B FBC(X) 5 kN FBC FAB B 5 kN β = 450 FBC(Y) FBC FBC ley de cosenos c2 = a2 + b2 – 2 a b sen β ( 5 )2 = (2 2 )2 + (3)2 - 2 (2 2 )(3) sen β 5 = 8 + 9 - 12 ( 2 ) sen β β = arc tg 0,7071 β = 450 cos β = cos 45 = 0,7071 sen β = sen 45 = 0,7071 5 = 8 + 9 - 16,97 sen β 5 = 17 - 16,97 sen β 16,97 sen β = 17 - 5 = 12 12 sen β = = 0,7071 16,97 FBC(X) = FBC cos 45 Pero: FBC = 7,071 KN FBC(X) = FBC cos 45 75 FBC(X) = FBC cos 45 FBC(X ) cos 45 = FBC FBC(X) = FBC cos 45 Pero: FBC = 7,071 KN FBC(X) = FBC cos 45 Σ FY = 0 FBC(Y) – 5 = 0 FBC(X) = (7,071) (0,7071) FBC(Y) = 5 kN FBC(X) = 5 kN FBC(Y ) 5 = = 7,071 kN sen 45 0,7071 FBC = 7,071 KN Σ FX = 0 FBC(X) – FAB = 0 FBC = FAB = FBC(X) FAB = 5 kN NUDO C 5 kN FCA FCD AY FBC C Ax 3m FAB A FBC 1m FCA(X ) cos 26,56 = FCA FCA(X) = FCA cos 26,56 FAB β = 450 FCA FBC FBC FCA FCD Dx B FCD D FBC C 2m FCA(X) = 0,8944 FCA FBC(X) Σ FY = 0 FCA(Y) – FBC(Y) = 0 FCA(Y) = FBC(Y) FBC(Y) FBC β = 450 FCD 0 Pero: FBC (Y) = 5 kN δ = 26,56 FCA FCA(Y) = 5 kN sen 26,56 = FCA(Y ) FCA FCA(Y) FCA(X) 76 FCA = FCA(Y ) 5 = = 11,18 kN sen 26,56 0,4471 FCA = 11,18 kN (tensión) Σ FX = 0 - FBC(X) + FCD – FCA(X) = 0 Reemplazando la ecuación 1 FCD – 0,8944 FCA = 5 (Ecuación 1) Pero: FBC(X) = 5 kN Pero: FCA = 11,18 kN - 5 + FCD – FCA(X) = 0 FCD – 0,8944 (11,18) = 5 FCD – FCA(X) = 5 FCD – 10 = 5 FCA(X) = 0,8944 FCA FCD = 5 + 10 = 15 kN FCD – 0,8944 FCA = 5 (Ecuación 1) FCD = 15 Kn (compresión) 5 kN AY NUDO D Ax FAB A Σ FX = 0 DX - FCD = 0 DX = FCD 3m FBC 1m Σ Fy = 0 FBC FBC FCA FCD Dx B β = 450 FCA Pero: FCD = 15 Kn FAB FCD D FBC C 2m FBC = 0 77 Problema 4.4 Estática Meriam edición tres; Problema 4.6 Estática Meriam edición cinco; Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada E 3m FED FAE D FED 2 kN FBD FEB FCD FCD FEB Σ MC = 0 FAE - AY (6) + 2 (3) = 0 + A 6 AY = 2 (3) AY = 1 kN FAB AY FAB FBC C FBC 6m CX CY Σ FX = 0 Σ MA = 0 CX – 2 = 0 2 (3) - CY (6) = 0 + FBD B CX = 2 kN 2 (3) = CY (6) CY = 1 kN Nudo A FAE 4,24 FAE A 3 CY 3 FAB AY FAB C Y FAB FAE = = 4,24 3 3 Se halla FAB CY = 1 kN 1 FAB = 3 3 1 FAB FAE = = 4,24 3 3 FAB = 1 kN (tension) Se halla FAE 1 FAE = 3 4,24 FAE = 4,24 = 1,41kN 3 FAE = 1,413 Kn (compresión) 78 Nudo E E 4,24 FED FAE 3 FEB 3 FAE FED FEB FEB FED FAE = = 4,24 3 3 FAE = 1,413 kN FEB FED 1,413 = = 3 3 4,24 Se halla FEB Se halla FED FEB = 0,3332 3 FED = 0,3332 3 FEB = 3 (0,3332) = 1 kN (tensión) FED = 3 (0,3332) = 1 kN (compresión) FEB FED = = 0,3332 3 3 Nudo B FEB FBC FBD 4,24 B FAB FBD FBC α 3 3 FBD (Y) FEB = 1 kn α FBD α FAB = 1 kN FBD (X) 3 tg α = = 1 3 α = arc tg (1) α = 450 ∑FY = 0 FEB - FBD(Y) = 0 FBD(Y ) sen α = FBD FBD(Y ) sen 45 = FBD 1 = FBD(Y) FBD (sen 45) = FBD(Y) 1 = FBD (sen 45) FBD(X ) cos α = FBD FBD(X ) cos 45 = FBD FBD = FEB = FBD(Y) FEB = 3 (0,3332) = 1 kN 1 1 = = 1,414 kN sen 45 0,7071 FBD = 1,414 kN 79 FBD (X) = FBD (cos 45) ∑FX = 0 FBD = 1,414 kN FBC - FBD (X) – FAB = 0 FBD (X) = 1,414 (cos 45) FBC = FBD (X) + FAB Pero: FAB = 1 kN Pero: FBD (X) = 1 kN FBC = 1 + 1 FBD (X) = 1,414 (0,7071) FBC = 2 kN FBD (X) = 1 kN Nudo C FCD CX FCD C FCD - CY = 0 CX - FBC = 0 CX FBC CY ∑FY = 0 ∑FX = 0 CY FBC FCD = CY CX = FBC CY = 1 kN FBC = 2 kN (tracción) FCD = CY = 1 kN (tracción) CX = FBC = 2 kN Problema 4.4 Estática Meriam edición cinco Calculate the forces in members BE and BD of the loaded truss. 8 pulg. 8 pulg. B FBC FBC Cx FEB FEB FAB A Σ MC = 0 + FAE FAE 2 C FBD FAB E FED 2 CY 8 pulg. FBD FED D Dx DY 1000 lb 1000 (8 + 8) - DX (8) = 0 1000 (16) - 8 DX = 0 16000 - 8 DX = 0 80 8 DX = 16000 DX = 16000 = 2000 lb. 8 ∑ FX = 0 CX - DX = 0 DX = 2000 lb. C C 2 2 CY CX = DX CY PERO: DX = 2000 lb. 2 2 CX = 2000 lb. Cx Cx Las ecuaciones de equilibrio para la fuerza C son: CY CX = 2 2 Cancelando términos semejantes CY = CX PERO: CX = 2000 lb. CY = 2000 lb. 8 pulg. NUDO A 8 pulg. B 2 CY 2 C Cx FAB FAB FAB A FAE 8 2 8 8 pulg. 1000 lb FAB 8 1000 lb A FAE FAE E FAE Las ecuaciones de equilibrio son: FAB 1000 FAE = = 8 8 8 2 Cancelando términos semejantes FAB = 1000 = FAE 2 D Dx DY 1000 lb Hallar FAE 1000 = FAE FAE = 1000 lb. (Compresión) 81 Hallar FAB FAB = 1000 2 FAB = 1000 ( 2) FAB = 1414,21libras (tensión) 8 pulg. NUDO E 8 pulg. B FBC 2 CY FBC 2 C FEB Cx FBD FAB FEB FED FAE 8 pulg. FEB FBD FAB E Σ FY = 0 FEB = 0 A FAE FAE FED FED E Dx D DY 1000 lb ∑ FX = 0 FAE - FED = 0 FAE = FED FBD(X) PERO: FAE = 1000 lb. FBD(Y) FED = 1000 lb. (Compresión) NUDO B B 8 FAB(X) 8 2 8 2 FBD 8 FAB 8 8 FAB(Y) FBC FBC FBC FAB FBD FBD FEB =0 Las ecuaciones de equilibrio para la junta B son: FAB FAB(Y ) FAB(X ) = = 8 8 8 2 FAB Hallar FAB(X) FAB = FAB(X ) 2 1414,2 2 = FAB(X ) FAB(X) = 1000 lb. Cancelando términos semejantes FAB = FAB(Y ) = FAB(X ) 2 82 PERO: FAB = 1414,21libras Hallar FAB(Y) FAB = FAB(Y ) 2 1414,2 2 = FAB(Y ) FAB(Y) = 1000 lb. Σ FY = 0 FBD (Y) – FAB (Y) = 0 ∑ FX = 0 FBC - FBD(X) - FAB(X) = 0 PERO: FAB(X) = 1000 lb. FBC - FBD(X) = FAB(X) FBC - FBD(X) = 1000 ECUACION 1 FBD (Y) = FAB (Y) Pero: FAB (Y) = 1000 lb. FBD (Y) = 1000 lb. Las ecuaciones de equilibrio para la junta B son: FBD FBD(Y ) FBD(X ) = = 8 8 8 2 Cancelando términos semejantes FBD = FBD(Y ) = FBD(X ) 2 Pero: FBD (Y) = 1000 lb. FBD(Y ) = FBD(X ) FBD (X) = 1000 lb. FBD = FBD(Y ) 2 Pero: FBD (Y) = 1000 lb. ( 2 ) FBD(Y ) FBD = ( 2 )1000 FBD = Hallar FBC FBC - FBD(X) = 1000 ECUACION 1 PERO: FBD (X) = 1000 lb. FBC - 1000 = 1000 FBC = 1000 + 1000 FBC = 2000 lb. (tracción) DX = 2000 lb. FAB = 1414,21libras (tensión) FAE = 1000 lb. (Compresión) FED = 1000 lb. (Compresión) FEB = 0 FBC = 2000 lb. (tracción) FBD = 1414,2 libras (compresión) 83 Problema 4.5 Estática Meriam edición tres; Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada. Influye la carga de 6 kN en los resultados. 3 4 A 10 kN B 4m BX = 6 kN 6 kN C 4m 3 5 Ө 10 kN 4 BY =8 kN Ө 4m D 4m E BX = 6 kN AY 10 kN A BY =8 kN B 4m AX FAB FAE 4m F AE + C FCB FCD CY FBE E BX = 6 KN FED Hallar BY D 4m BY =2 4 - 8 (4) + CY (8) - 6 (8) = 0 ΣFX = 0 - 4 + CY - 6 = 0 BX - AX = 0 = 6 KN CY = 10 KN BX = 3 (2) = 6 KN FCD - BY (4) + CY (4 + 4) - 6 (4 + 4) = 0 CY - 10 = 0 Hallar BX BX =2 3 FCB FBD FED Σ MA = 0 6 kN 4m FAB FBE B X 10 B Y = = 5 4 3 BY = 4 (2) = 6 KN PERO: BX BY = 8 KN BX = AX AX = 6 KN 84 Σ MC = 0 + - AY (4 + 4) + BY (4) = 0 PERO: BY = 8 KN - AY (8) + 8 (4) = 0 - AY + 4 = 0 AY = 4 kN AY NUDO A sen θ = FAE(Y ) FAE sen θ = 2 3 3 = 4 2 FAE(Y) = sen Ө FAE Ө AX AY 2 4 2m A FAE(X) FAB FAE A 2 3 FAE(Y) AX FAB 1 FAE(X ) = FAE 2 B FAB FBE 4m F AE FAE FAE E 3 FAE(Y ) = FAE 2 FAE(X ) cos θ = FAE 2 1 cos θ = = 4 2 FAE(X) = cos Ө FAE 2m ΣFX = 0 FAE(X) – AX + FAB = 0 PERO: AX = 6 KN FAE(Y) = sen Ө FAE FAE(Y ) = 3 FAE 2 2 FAE(Y ) ΣFY = 0 AY – FAE (Y) = 0 FAE(X) + FAB = AX FAE = FAE(X) + FAB = 6 PERO: AY = 4 kN 1 FAE + FAB = 6 (ECUACION 1) 2 PERO: FAE (Y) = 4 Kn FAE (Y) = AY FAE = 3 2 3 (4) = 4,618 kN FAE = 4,618 KN (tensión) FAE (Y) = 4 kN 1 FAE + FAB = 6 (ECUACION 1) 2 PERO: FAE = 4,618 KN 85 1 FAE 2 1 FAB = 6 - (4,618) = 6 - 2,309 = 3,691 kN 2 FAB = 3,691 KN (tensión) FAB = 6 - BX = 6 kN NUDO C AY 6 kN A FCB FCD B 4m AX C BY =8 kN 10 kN FAB FAE FAB FCB FBD FBE 4m F AE FCD FED 4m E FCB CY FBD FBE FED PERO: CY = 10 kN C 4m CY ΣFY = 0 CY – 6 - FCD (Y) = 0 6 kN FCD D 10 – 6 - FCD (Y) = 0 FCD(Y ) FCD FCD (Y) = FCD sen 60 FCD(Y ) 4 FCD = = = 4,618 kN sen 60 0,866 sen 60 = 4 - FCD (Y) = 0 FCD (Y) = 4 KN 6 kN FCB ΣFX = 0 FCB - FCD(X) = 0 600 FCD (Y) FCB = FCD(X) FCB = 2,309 kN (compresión) FCD FCD (X) FCD = 4,618 KN (tensión) CY = 10 KN cos 60 = FCD(x ) FCD FCD (X) = FCD cos 60 PERO: FCD = 4,618 KN (tensión) FCD (X) = 4,618 (0,5) = 2,309 kN 86 NUDO B ΣFX = 0 6 - FAB - FCB + FBE(X) – FBD(X) = 0 PERO: FAB = 3,691 KN FCB = 2,309 kN BX = 6 kN B 6 - 3,691 - 2,309 + FBE(X) – FBD(X) = 0 BY = 8 kN FAB FBE(X) – FBD(X) = 0 FBE cos 60 - FBD cos 60 = 0 BX = 6 kN BY =8 kN 10 kN FAB FCB 600 600 FBD FBE FCB FBE (Y) FBE FBD FBD (Y) 0,5 FBE – 0,5 FBD = 0 (ECUACION 1) FBE (X) FBE(Y ) sen 60 = FBE FBE(Y) = FBE sen 60 ΣFY = 0 FBE (Y) + FBD (Y) - 8 = 0 FBE (Y) + FBD (Y) = 8 FBE sen 60 + FBD sen 60 = 8 FBD(Y ) FBD FBD(Y) = FBD sen 60 sen 60 = FBE(x ) FBE FBE(X) = FBE cos 60 cos 60 = 0,866 FBE + 0,866 FBD = 8 (ECUACION 2) FBD (X) FBD(x ) FBD FBD(X) = FBD cos 60 cos 60 = Resolver las ecuaciones 1 y 2 0,5 FBE – 0,5 FBD = 0 (0,866) 0,866 FBE + 0,866 FBD = 8 (0,5) BX = 6 kN 0,433 FBE – 0,433 FBD = 0 0,433 FBE + 0,433 FBD = 4 0,866 FBE = 4 4 FBE = 4,618 KN 0,866 FBE = 4,618 kN (compresion) NUDO E AY 10 kN A AX E FAB FAE FAB C 4m FBD FCB FCD CY FBD FBE FED E 6 kN FCB FBE 4m F AE FED B 4m FBE FAE BY =8 kN FED 4m FCD D 87 FED FAE(Y ) FAE FAE(Y) = FAE sen 60 FBE(Y ) FBE FBE(Y) = FBE sen 60 FAE(x ) FAE FAE(X) = FAE cos 60 FBE(x ) FBE FBE(X) = FBE cos 60 sen 60 = FAE FAE (Y) 600 FAE (X) FBE FBE (Y) 600 FBE (X) ΣFX = 0 cos 60 = sen 60 = cos 60 = FED - FAE (X) – FBE (X) = 0 FED - FAE cos 60 – FBE cos 60 = 0 PERO: FBE = 4,618 kN FAE = 4,618 KN FED = FAE cos 60 + FBE cos 60 FED = 4,618 (0,5) + 4,618 (0,5) FED = 2,309 + 2,309 = 4,618 KN (Tension) FED = 4,618 KN (Tension) CY = 10 KN AY = 4 kN AX = 6 KN FAE = 4,618 KN (tensión) FAB = 3,691 KN (tensión) FCD = 4,618 KN (tensión) FCB = 2,309 kN (compresion) FBE = 4,618 kN (compresion) FED = 4,618 KN (Tension) Problema 4.7 Estática Meriam edición tres; Problema 4.12 Estática Meriam edición cinco Calcular las fuerzas en los miembros CG y CF de la armadura representada Σ ME = 0 + 4 (2 + 2 + 2) + 2 (2 + 2) – DX (3) = 0 4 (6) + 2 (4) – DX (3) = 0 Σ FX = 0 DX – EX = 0 EX = DX EX =10,666 KN 24 + 8 – 3 DX = 0 32 – 3 DX = 0 88 3 DX = 32 DX = 32 = 10,666 KN 3 NUDO A FAB A A FAB FAG 2 KN 2m 2m DX = 10,666 KN FAG B FBC FBC C FCD FBG FAG 6 6,7 FAB FAB 3 FAG 4 KN 4 KN 4 KN FGF Las ecuaciones de equilibrio para la junta A son: FAB FAG 4 = = 6 6,7 3 FGC FGF FCD D Dx FCF FCF FGC G DY 2m 3m F Hallar FAB CY FAB FAG 4 = = 6 6,7 3 FAG 4 = 6,7 3 (6,7 ) 4 = 8,94 KN FAG = 3 FAB 4 = 3 6 ( 4) 6 FAB = = 8 KN 3 FAB = 8 KN (tensión) Ex E Hallar FAG FAG = 8,94 KN (compresion) NUDO B 2 KN FAB B 2 KN 2m 2m FBC A FAB FAB B FBC FBC C FBG DY D Dx FBG FAG 4 KN 2m FAG 3m G F ∑ FX = 0 FBC - FAB = 0 ∑ FY = 0 E FBG - 2 = 0 CY Ex FBC = FAB PERO: FAB = 8 KN (tensión) FBG = 2 KN (compresión) FBC = 8 KN (tensión) 89 NUDO G 2 KN 2m 2m FBG FGC A FAG FAB FAB B FBC FBC C 4 KN FGF FAG FGF 3 tg θ = = 0,5 6 Ө = 26,56 FAG(X) 0 FAG(Y) FGF(Y ) sen 26,56 = FGF FGF(Y) = FGF sen 26,56 sen 26,56 = FGC(Y ) FGC FGC FAG F E FGC(Y) Ex CY 0 0 26.56 26.560 26.56 FGF FBG FGF(Y) FGF(X) FGC(Y) = FGC sen 26,56 sen 26,56 = FGF 3m FGC(X) Ө = arc tg (0,5) D FGC FGC G DY Dx FBG FAG G 2m FAG(Y ) FAG FAG(Y) = FAG sen 26,56 ∑ FX = 0 FGF(X ) FGF = FGF cos 26,56 cos 26,56 = FGF (X) FGC(X ) FGC = FGC cos 26,56 cos 26,56 = FGC (X) FGC (X) + FAG (X) - FGF (X) = 0 PERO: FGC (X) = FGC cos 26,56 FGF (X) = FGF cos 26,56 FAG(X ) FAG = FAG cos 26,56 cos 26,56 = FAG (X) FAG (X) = FAG cos 26,56 FAG = 8,94 KN (compresion) FAG (X) = FAG cos 26,56 FAG (X) = (8,94) cos 26,56 FGC (X) + FAG (X) - FGF (X) = 0 FGC cos 26,56 + (8,94) cos 26,56 - FGF cos 26,56 = 0 90 FGC + 8,94 - FGF = 0 FGC - FGF = - 8,94 (Ecuación 1) Resolver las ecuaciones ∑ FY = 0 FGC - FGF = - 8,94 (-0,4471) 0,4471 FGC + 0,4471 FGF = 6 FGC (Y) + FGF (Y) - FAG (Y) - FBG = 0 -0,4471 FGC + 0,4471 FGF = 4 0,4471 FGC + 0,4471 FGF = 6 PERO: FGC(Y) = FGC sen 26,56 FGF(Y) = FGF sen 26,56 FBG = 2 KN (compresión) 0,4471 FGF + 0,4471 FGF = 4 + 6 FAG(Y) = FAG sen 26,56 FAG = 8,94 KN (compresion) FAG (Y) = (8,94) sen 26,56 FAG (Y) = (8,94) (0,4471) FAG (Y) = 4 KN 0,8942 FGF = 10 FGF = 10 = 11,18 KN 0,8942 FGF = 11,18 KN (compresion) FGC (Y) + FGF (Y) FGC (Y) + FGF (Y) FGC (Y) + FGF (Y) FGC (Y) + FGF (Y) Reemplazar la ecuación 1 FGC - FGF = - 8,94 (Ecuación 1) 0,4471 FGC + 0,4471 FGF = 6 (Ecuación 2) Pero: FGF = 11,18 KN FGC – 11,18 = - 8,94 FGC = 11,18 - 8,94 FGC(Y) 26.560 FGC FGC(X) NUDO C FBC FCD FBC FGC = 2,24 KN (tensión) C FCD FCF PERO: FBC = 8 KN FGC = 2,24 KN FGC(X ) FGC = FGC cos 26,56 = (2,24) cos 26,56 = (2,24) 0,8944 FCF 2 KN 2m 2m A FGC - FAG (Y) - FBG = 0 -4 -2=0 -6=0 =6 FAB FAB B FBC FBC C FCD FBG FAG 4 KN 2m FAG FGC G FGF FGF FCD D Dx FCF FCF FGC DY 3m F cos 26,56 = E FGC (X) FGC (X) FGC (X) CY Ex 91 FGC (X) = 2 KN ∑ FX = 0 sen 26,56 = FCD - FBC - FGC (X) = 0 FGC (Y) FGC (Y) FGC (Y) FGC (Y) PERO: FBC = 8 KN FGC (X) = 2 KN FGC(Y ) FGC ∑ FY = 0 = FGC sen 26,56 = (2,24) sen 26,56 = (2,24) 0,4471 = 1 KN FCF - FGC (Y) = 0 FCF = FGC (Y) PERO: FGC (Y) = 1 KN FCD - FBC - FGC (X) = 0 FCD - 8 - 2 = 0 FCD - 10 = 0 FCD = 10 kN (tensión) FCF = 1 KN (compresión) Determinar la fuerza que soporta el elemento KN de la armadura. 1m 0,7 m 0,7 m E 0,7 m 0,7 m H K N Q G J M P F I L O 700 N 700 N 1200 N 0,5 m 0,5 m C D 700 N 2,5 m A B 92 NUDO Q 1200 N FQN 0,7 m 0,7 m N K ∑ FX = 0 Q FQN FQP FQN 1200 N FQP 0,5 m FQP 1200 - FQN = 0 M P L O 700 N 700 N 0,5 m FQN = 1200 N (tension) ∑ FY = 0 I FQP = 0 700 N NUDO O 0,7 m 0,7 m N K FOP Q FQN FQN 0,5 m ∑ FX = 0 FOL M 700 N P FOP 0,5 m FOP ∑ FY = 0 L I FOP - 700 = 0 FOP = 700 FQP FQP =0 FOL = 0 1200 N N (tensión) FOL FOL 700 N 700 N O 700 N NUDO P 0,7 m 0,7 m FPN(X) 0,86 FPN(Y) 0,5 FPL(Y) 0,5 sen α = = 0,581 0,86 cos α = 0,7 = 0,813 0,86 cos α = FPN(X ) = 0,813 FPN FQP FPN 0,7 α =0 FPN 0,5 m FPL(X) = 700 N I 700 N L FOL 700 N FOP FOP FPL FOP FQP P FPL 0,5 m 1200 N FQP FPN M α 0,5 0,7 Q FQN α α 0,86 FPL N FQN K FOL O 700 N 93 FPN(X) = 0,813 FPN FPN(Y ) = 0,581 FPN = 0,581 FPN sen α = FPN(Y) ∑ FX = 0 FPL(X) - FPN(X) = 0 FPL(X) 0,813 FPL - 0,813 FPN = 0 FPL(Y ) = 0,581 FPL = 0,581 FPL sen α = cancelando términos semejantes FPL - FPN = 0 (ECUACION 1) FPL(X ) = 0,813 FPL = 0,813 FPL cos α = FPL(Y) ∑ FY = 0 FQP + FPN(Y) + FPL(Y) - FOP = 0 PERO: FQP = 0 KN FOP = 700 KN FPN(Y) - FPL(Y) - 700 = 0 FPN(Y) - FPL(Y) = 700 0,581 FPN + 0,581 FPL = 700 (ECUACION 2) Resolver las ecuaciones FPL - FPN = 0 (ECUACION 1) 0,581 FPN + 0,581 FPL = 700 (ECUACION 2) FPL - FPN = 0 (0,581) 0,581 FPN + 0,581 FPL = 700 0,581 FPL – 0,581 FPN = 0 0,581 FPN + 0,581 FPL = 700 (2) 0,581 FPL = 700 1,162 FPL = 700 FPL = 700 = 602,4 N 1,162 94 FPL = 602,4 N (compresión) FPL = FPN (ECUACION 1) FPN = 602,4 N (tensión) 0,7 m 0,7 m K NUDO N Pero: FPN = 602,4 N (tensión) FNK N FQN FNK FPN FQN FNM 0,5 m FNM 0,5 sen α = = 0,581 0,86 M cos α = FPN(X) FPN(X) = 0,813 (602,4) FPN(X) = 489,75 N sen α = FPN(X) FPN(Y) 0,5 700 N L FOL 700 N FOP FOP FPL I FQP P FPL 0,7 cos α = = 0,813 0,86 1200 N FQP FPN 0,5 m FPN (X ) = 0,813 FPN = 0,813 FPN Q FOL O 700 N 0,86 FPN 0,7 α FQN = 1200 N FNK FPN (Y ) = 0,581 FPN ∑ FY = 0 FNM FPN(Y) = 0,581 FPN FPN(Y) = 0,581 (602,4) FNM - FPN(Y) = 0 PERO: FPN(Y) = 350 N FPN(Y) = 350 N FNM = FPN(Y) ∑ FX = 0 FQN + FPN(X) – FNK = 0 FNM = 350 N (compresión) Pero: FQN = 1200 N FPN(X) = 489,75 N FQN = 1200 N (tensión) FQP = 0 FQN + FPN(X) – FNK = 0 FOP = 700 FOL = 0 1200 + 489,75 - FNK = 0 FPL = 602,4 N (compresión) 1689,75 - FNK = 0 FNK = 1689,75 N (tensión) FNM = 350 N (compresión) N (tensión) FPN = 602,4 N (tensión) FNK = 1689,75 N (tensión) 95
