Movimiento de cohetes

Trabajo Práctico
de
Mecánica Clásica
Movimiento
de cohete
en 2 etapas
David Margarit
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Introducción histórica:
En cualquier objeto ó serie de objetos, las fuerzas que solo involucran a esos objetos y a
nada más ("fuerzas internas") no pueden mover al centro de gravedad.Un astronauta
flotando en el traje espacial no puede cambiar su posición sin involucrar a algo más, por
ejemplo apoyándose contra su nave. Dándole una botella de oxígeno comprimido, se
consigue el mismo resultado al expulsar un chorro de gas
Un cohete hace lo mismo, excepto que se sustituye el gas frío por un chorro de gas
reluciente, mucho más rápido, producido por la combustión del combustible apropiado.
Los miles de toneladas desde la rampa de lanzamiento, dependen del mismo principio,
el centro de gravedad combinado del cohete y sus gases de escape permanecerán
siempre donde comenzaron, en el punto de lanzamiento.
Los primeros cohetes fueron inventados por los chinos, como consecuencia de su
invención de la pólvora, alrededor del año 1000, quizás antes.
Los británicos los conocieron cuando las tropas indias, bajo el Sultán Tipoo, las
emplearon contra ellos. William Congreve, un oficial británico, desarrolló un cohete
militar y en 1806 impulsó su uso contra Napoleón, el blanco de esos cohetes era muy
inexacto, y su uso declinó como mejora de la artillería.
En 1915, el estadounidense, Robert Hutchins Goddard (1882-1945) compró algunos
cohetes comerciales y midió su empuje usando un péndulo balístico.
Entre la I y la II Guerras Mundiales, especialmente en los años 30, hubo activos clubes
de entusiastas de los cohetes en Alemania, Estados Unidos, Rusia y otros países. Se
diseñaron cohetes experimentales, se probaron, y algunas veces los hicieron volar.
Algunos de los experimentos usaban combustible líquido, aunque también se
desarrollaron cohetes de combustible sólido. En estos últimos, el combustible se
quemaba gradualmente (como en los antiguos cohetes de pólvora), y el contenedor de
combustible estaba presurizado, proporcionando el gas caliente directamente.
Los vuelos tripulados actuales se fundamentan el la lanzadera espacial, un cohete
reutilizable con alas cortas, que le permiten aterrizar en una pista como un aeroplano.
Los cohetes de la lanzadera utilizan unas 700 toneladas de hidrógeno y oxígeno
líquidos, un combustible más eficaz; adicionalmente lleva dos cohetes de combustible
adosados, con un peso de 600 toneladas cada uno
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Qué es un cohete y como es su funcionamiento:
Un cohete es esencialmente una máquina calorífica, un aparato para convertir la energía
calorífica (obtenida de la energía química del combustible) en energía mecánica, siendo
aquí la energía cinética mv2/2 de su chorro.
Los cohetes tenían un solo motor, con el que ascendían hasta que se quedaban sin
combustible. Sin embargo, una forma mejor de alcanzar gran velocidad es colocar un
cohete pequeño en la parte superior de un mayor y encenderlo después de que se ha
apagado el primero.
Hoy en día la mayoría de los cohetes espaciales usan varias etapas, que dejan caer las
etapas apagadas y continúan con y continúan con impulsores más pequeños y ligeros. El
Explorer 1, el primer satélite artificial de los EE.UU., que fue lanzado en enero de 1958,
usaba un cohete de 4 etapas. La lanzadera espacial utiliza dos impulsores de
combustible sólido, que se dejan caer cuando se han apagado.
Se puede mostrar, por las leyes de Newton, que el momento total de un sistema libre de
fuerzas exteriores se conserva; esta es realmente otra formulación de la conservación del
centro de gravedad, mencionada en la discusión sobre la propulsión del cohete.
El combustible para los motores propios de la lanzadera, hidrógeno y oxígeno líquidos,
proviene de un enorme tanque desprendible. Cuando se va usando el combustible, la
masa impulsada disminuye y, por a la 2ª ley de Newton, la aceleración aumenta
constantemente (es difícil disminuir el empuje de los motores, pero la lanzadera lo
puede hacer de forma limitada). Para reducir la aceleración y salvar a los astronautas y
al vehículo de una fatiga excesiva, en un punto elegido del vuelo se apagan 2 ó 3
motores. Aún así, cuando se quema el último combustible del tanque, la aceleración
alcanza unas 6g, empujando a cada astronauta hacia abajo con una fuerza añadida de 6
veces el peso de su cuerpo.
Los vuelos hacia la Luna solo fueron posibles con una tecnología en la que el
combustible constituyese una mayor fracción de la masa. De la masa del misil Atlas,
construido en los años 1950 y que fue usado por los primeros astronautas, el 97% de la
misma, aproximadamente, era combustible. Esos cohetes fueron denominados como
balones de acero inoxidable, conservando su forma con la ayuda del gas presurizado de
su interior, usándolo también para empujar el combustible. Ese fue el vehículo con el
que, el 20 de febrero de 1962, John Gleen se convirtió en el primer norteamericano en
orbitar la Tierra. Debido a que el tanque de combustible era tan ligero, el Atlas solo
dejaba caer dos de sus motores al final de la primera etapa de su vuelo y, como la
lanzadera, continuaba con el tercero.
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Fundamentos físicos para cohete en una etapa:
Consideremos un cohete que en el
instante t, tiene una masa m que lleva una
velocidad v respecto a un Sistema de
Referencia Inercial (por ejemplo, la
Tierra).
En el instante t+Δt, una masa Δμ de
combustible se expulsa con una
velocidad constante –u relativa al cohete,
como consecuencia la velocidad de la
masa restante (m-Δμ) del cohete se
incrementa en v+Δv.
En el instante t, el cohete de masa m lleva una velocidad v. El momento lineal es
p(t)=mv
En el instante t+Δt


El cohete tiene una masa m-Δμ, su velocidad es v+Δv.
La masa expulsada Δμ lleva una velocidad –u respecto del cohete o una
velocidad –u+ v, respecto de Tierra
El momento lineal en este instante es
p(t+Δt)=(m-Δμ)(v+Δv)+ Δμ(–u+ v+Δv)
Por otra parte, la masa M del sistema formado por el cohete m y el combustible
expulsado μ es constante M=μ+m, por lo que dμ+dm=0. La masa del cohete disminuye
en dm y aumenta la masa del combustible expulsado en la misma cantidad.
La ecuación del movimiento del cohete se escribe
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Suponemos que la cantidad de combustible quemado
en la unidad de tiempo, D, es constante, D=-dm/dt. La
masa m del cohete en el instante t valdrá m=m0-D·t.
Donde m0 es la suma de la carga útil más el
combustible inicial, y D·t es el combustible quemado al
cabo de un cierto tiempo t.
Un cohete puede considerarse una partícula de masa
variable m sometida a dos fuerzas de la misma
dirección pero de sentidos contrarios: el empuje de los
gases uD y el peso mg.
Como caso particular, mencionaremos que en el espacio exterior el peso mg vale cero, y
sobre el cohete actuaría únicamente la fuerza de empuje que le proporciona la expulsión
de los gases al quemarse el combustible.
La ecuación anterior la podemos escribir
Que se puede integrar de forma inmediata
obteniéndose la expresión de la velocidad en función del tiempo
Volviendo a integrar
Se obtiene la posición x del móvil en cualquier instante t.
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Fundamentos físicos del movimiento de un cohete en 2 etapas:
La masa inicial m0 es la suma de la carga útil, más el combustible y más la masa de los
recipientes que contienen el combustible. Para calcular esta última cantidad, se ha
supuesto que los recipientes metálicos tiene una masa que es el factor r multiplicado por
la masa de combustible. Donde r es del orden del 5% ó 0.05.
masa inicial m0 =carga útil+(1+r) · combustible total.
La cantidad de combustible en la primera fase c0 es igual al producto del combustible
total, por el tanto por ciento, y dividido por cien.
combustible en la primera fase c0 =combustible total · tanto por ciento/100;
Una vez que ha transcurrido un tiempo t0 igual al cociente entre el combustible en la
primera fase c0 y la cantidad D que se quema por segundo.
t0=c0/D
se alcanza una velocidad máxima v1
El cohete se desprende de la primera fase disminuyendo la masa inicial del cohete m0 en
una cantidad igual a la suma de la masa del combustible quemado c0, y la masa del
recipiente que lo contiene
masa inicial al encenderse la segunda fase m1=m0 -(1+r) · c0
o bien
masa inicial al encenderse la segunda fase m1=carga útil+(1+r) · c1
Siendo c1 la masa de combustible de la segunda fase, que es igual a la masa del
combustible total menos la masa de combustible de la primera fase c0 ya quemado.
combustible en la segunda fase c1 =combustible total - combustible en la primera fase
c0
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En el instante t1 se agota el combustible de la segunda fase, y es igual al cociente entre
la masa de combustible total y la cantidad D que se quema por segundo
t1=combustible total/D.
Cuando se agota el combustible, el cohete alcanza la velocidad máxima v2, continuando
con la misma velocidad ya que no actúan fuerzas sobre el mismo.
Vemos aquí como la masa disminuye a medida que transcurre el tiempo al pasar las
etapas, además podemos observar como la pendiente en la 2ª etapa es mayor, ya que al
haber menos combustible que al inicio, el restante tardara menos tiempo en quemarse,
dado que el inicio obviamente hay mas combustible que al principio.
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Gráfico de 1/m en función de m, el área sombreada nos da una idea relativa de la
ganancia de velocidad resultante de un cambio de masa dado
Este gráfico representa la velocidad en función del tiempo, podemos observar que crece
logaritmicamente hasta que finaliza la 1ª y 2ª etapa, es decir cuando alcanza su
velocidad máxima, recordemos que:
(Donde
y
son las velocidades máximas de la 2ª y 1ª etapa respectivamente)
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Aquí podemos observar como se incremente la velocidad a medida que se desprende
masa del cohete (en combustible y en contenedores de ellos) hasta que alcanza
velocidad constante una vez eliminado todo el combustible y adquiriendo su velocidad
máx. ( decimos que se mantiene cte. dado que interpretamos que esto ya ocurre en el
espacio exterior donde no hay acción de fuerzas externas que provoquen alguna
aceleración)
Conclusión:
Podemos decir que existe una diferencia sustancial entre el cohete de una etapa y el de
dos etapas, de modo que encontramos en este último una mayor velocidad final, debido
a que al finalizar la 1ª etapa el cohete se desprende de su masa utilizada como
combustible y de la del contenedor del mismo, en la 2ª vuelve a acelerar debido a que
contiene una reserva especial de combustible para esta etapa, pero recordando que ya no
tiene gran parte de la masa inicial adquiere un mayor velocidad final, que esta va a ser la
suma de la velocidad de la primer etapa mas la velocidad de la segunda etapa.
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