DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES GUIA DE TRABAJO DE

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CORPORACIÒN IBEROAMERICANA DE ESTUDIOS
DEPARTAMENTO DE
PUBLICACIONES
GUIA DE TRABAJO DE
FÍSICA II
TERCERA SESION
Elaborada por
JEAN YECID PEÑA
BOGOTA D.C
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CORPORACIÒN IBEROAMERICANA DE ESTUDIOS
DATOS DEL ESTUDIANTE
NOMBRE DEL ESTUDIANTE
: ________________________
_________________________
CARRERA
: ________________________
JORNADA
: MARTES Y MIERCOLES
JUEVES Y VIERNES
SABADOS
DOMINGOS
NOMBRE DEL PROFESOR
: ________________________
FECHA
: DEL __________ AL _______
CALIFICACION
: ________________________
(
(
(
(
)
)
)
)
_____________________
FIRMA DEL PROFESOR
_________________________________________________________________
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CORPORACIÒN IBEROAMERICANA DE ESTUDIOS
CIRCUITOS CON CORRIENTE CONTINÚA
Si dos cuerpos de carga igual y opuesta se conectan por medio de un conductor
metálico, por ejemplo un cable, las cargas se neutralizan mutuamente. Esta
neutralización se lleva a cabo mediante un flujo de electrones a través del
conductor, desde el cuerpo cargado negativamente al cargado positivamente. En
cualquier sistema continuo de conductores, los electrones fluyen desde el punto
de menor potencial hasta el punto de mayor potencial. Un sistema de esa clase se
denomina circuito eléctrico. La corriente que circula por un circuito se denomina
corriente continua (CC) si fluye siempre en el mismo sentido y corriente alterna
(CA) si fluye alternativamente en uno u otro sentido. Un circuito eléctrico es el
trayecto o ruta de una corriente eléctrica. El término se utiliza principalmente para
definir un trayecto continuo compuesto por conductores y dispositivos
conductores, que incluyen una fuente de fuerza electromotriz que transporta la
corriente por el circuito.
Circuitos eléctricos y sus componentes.
Un circuito eléctrico es el trayecto o ruta de una corriente eléctrica. El término se
utiliza principalmente para definir un trayecto continuo compuesto por conductores
y dispositivos conductores, que incluye una fuente de fuerza electromotriz que
transporta la corriente por el circuito. Un circuito de este tipo se denomina circuito
cerrado, y aquéllos en los que el trayecto no es continuo se denominan abiertos.
Un cortocircuito es un circuito en el que se efectúa una conexión directa, sin
resistencia, inductancia ni capacitancia apreciables, entre los terminales de la
fuente de fuerza electromotriz.
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La fuerza electromotriz (FEM)
Es toda causa capaz de mantener una diferencia de potencial entre dos puntos de
un circuito abierto o de producir una corriente eléctrica en un circuito cerrado. Es
una característica de cada generador eléctrico. Con carácter general puede
explicarse por la existencia de un campo electromotor  cuya circulación,    ds ,
define la fuerza electromotriz del generador.
Se define como el trabajo que el generador realiza para pasar por su interior la
unidad de carga positiva del polo negativo al positivo, dividido por el valor en
Culombios de dicha carga. Esto se justifica en el hecho de que cuando circula esta
unidad de carga por el circuito exterior al generador, desde el polo positivo al
negativo, es necesario realizar un trabajo o consumo de energía (mecánica,
química, etcétera) para transportarla por el interior desde un punto de menor
potencial (el polo negativo al cual llega) a otro de mayor potencial (el polo positivo
por el cual sale). La FEM se mide en voltios, al igual que el potencial eléctrico.
Se relaciona con la diferencia de potencial V entre los bornes y la resistencia
interna del generador mediante la fórmula V    Ir (el producto es la caída de
potencial que se produce en el interior del generador a causa de la resistencia
óhmica que ofrece al paso de la corriente). La FEM de un generador coincide con
la diferencia de potencial en circuito abierto. Esta manera al tomar la ley de Ohm
V  IR y combinándola con la FEM vemos que:
  IR  Ir
Y la solución para la corriente es:
I

Rr
Esta ecuación demuestra que la corriente en este circuito simple depende tanto de
la resistencia R externa a la batería como de la resistencia interna r. si R es mucho
mayor que r, entonces podemos ignorar esta ultima. Al multiplicar la expresión
para FEM por la corriente I, obtenemos:
I  I 2 R  I 2 r
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En esta ecuación nos dice que, debido a la potencia P  IV la salida de potencia
total de la FEM del dispositivo, I se convierte en la potencia disipada como calor
jolue en la resistencia de la carga, I 2 R más la potencia disipada en la resistencia
interna, I 2 r .
Ejemplo
Una batería tiene una fem de 12.0 V y una resistencia interna de 0.05 . Sus
terminales están conectadas a una resistencia de carga de 3.00  . A) encuentre la
corriente del circuito y el voltaje de sus terminales de la batería.
Solución
Utilizando la ecuación de fem, tenemos:
I

Rr

12.0V
 3.93 A
3.05
V    Ir  12.0V  3.93A0.05  11.8V
Para comprobar este resultado podemos calcular la caída de voltaje a través de la
resistencia de carga R.
V  IR  3.93A3.00  11.8V
b) calcule la potencia disipada en el resistor de carga, la potencia disipada por la
resistencia interna de la batería y la potencia entregada por la batería.
La potencia disipada por el resistor de carga es:
PR  I 2 R  3.93A 3.00  46.3W
2
La potencia disipada por la resistencia interna es:
Pr  I 2 r  3.93A 0.05  0.722W
2
Por lo tanto, la potencia entregada por la batería es la suma de estas cantidades,
o 47.1W. Este valor puede verificarse usando la ecuación P  I .
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Resistores en serie y en paralelo
Resistencias en serie
Cuando dos o más resistores se conectan juntos de manera que solo tenga un
punto común por par, se dicen que esta en serie. En la figura muestra dos
resistores conectados en serie, advierta que la corriente es la misma a través de
cada resistor debido a que cualquier carga fluye por R1 debe también fluir por R2 .
Puesto que la caída de potencial de a a b en la
figura es igual a IR , y la caída de b a c es igual a IR2 , la caída de potencial de a a
c es:
V  IR1  IR2  I R1  R2 
Por lo tanto, podemos sustituir los dos resistores en serie por una sola resistencia
equivalente Req cuyo valor es la suma de las resistencias individuales.
Req  R1  R2
En este caso hay una diferencia de potencial igual en los extremos de cada
resistor. Si hay más de dos resistencias podemos generalizar:
Req  R1  R2  R3  R4  .....
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Resistencias en paralelo
A diferencia del circuito serie, en este caso la corriente en cada resistor no es la
misma. Cuando la corriente I es la misma llega a un punto a, conocido como una
unión, se divide en dos partes, I 1 que va a través de R1 e I 2 que circula por R2 . Si
R1 es mayor que R2 , entonces I 1 será menor que I 2 . Es decir, la carga en
movimiento tiende a tomar la trayectoria de menor resistencia. Puesto que la carga
debe conservarse, es claro, que la corriente I que entra al punto a debe ser igual a
la corriente que sale de ese punto:
I  I1  I 2
Puesto que la caída de potencial en cada resistor debe ser la misma, la ley de
Ohm produce:
I  I1  I 2 
 1
V V
1  V
 

 V  
R1 R2
 R1 R2  Req
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A partir de este resultado vemos que la resistencia equivalente de dos resistores
en paralelo es:
1
1
1


Req R1 R2
Req 
R1 R2
R1  R2
Una extensión de este análisis a tres o más resistores en paralelo produce:
1
1
1
1



 ...
Req R1 R2 R3
En esta expresión puede verse que una resistencia equivalente de dos o más
resistores conectados en paralelo siempre es menor que la resistencia más
pequeña en el grupo.
Ejemplo
Tres resistores en paralelo
En la figura se muestra tres resistores conectados en paralelo. Una diferencia de
potencial de 18V se mantiene entre los dos puntos a y b. a) encuentre la corriente
en cada resistor.
Solución
Los resistores están en
paralelo y la diferencia
V

IR
de potencial a través de ellos es de 18V. Al aplicar
a cada resistor se
obtiene:
I1 
V
18v

 6.0 A
R1 3.0
I2 
V
18v

 3.0 A
R2 6.0
I3 
V
18v

 2.0 A
R3 9.0
b) calcule la potencia disipada por cada resistor y potencia disipada por los tres
resistores.
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La aplicación de P  I 2 R en cada resistor de como resultado:
P1  I 2 R1  6.0 A 3.0  110W
2
P2  I 2 R2  3.0 A 6.0  54W
2
P3  I 2 R3  2.0 A 9.0  36W
2
Esto demuestra que el resistor más pequeño disipa la mayor potencia puesto que
2
conduce la corriente más alta. (Advierta que es posible emplear también P  V
R
para determinar la potencia disipada por cada resistor). La suma de las tres
cantidades brinda una potencia total de 200W.
c) calcule la resistencia equivalente de los tres resistores.
1
1
1
1



 1.6
Req 3.0 6.0 9.0
Reglas de Kirchhoff
Con mucha frecuencia, sin embargo, no es posible reducir un circuito a un solo
lazo. El procedimiento para analizar circuitos más complejos se simplifica mucho
mediante el uso de dos sencillas reglas conocidas como las reglas de Kirchhoff.

La suma de las corrientes que entran a cualquier unión debe ser igual a la
suma de las corrientes que salen de esa unión.

La suma algebraica de los cambios de potencial a través de todos los
elementos alrededor de cualquier lazo de circuito cerrado debe ser cero.
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La primera regla es un enunciado a la conservación de la carga. Toda la corriente
que entra a un punto dado en un circuito debe salir de ese punto debido a que la
carga no se puede acumularse en un punto. Si aplicamos esta regla a la unión que
se muestra a continuación obtenemos:
I1  I1  I 2
Representa la analogía mecánica a esta situación, en
la cual fluye agua a través de un tubo ramificado sin
fugas. La tasa de flujo dentro del tubo es igual a la
tasa de flujo de las dos ramas.
La segunda regla surge de la conservación de la energía. Una carga que se
mueve por cualquier lazo cerrado en un circuito, debe ganar tanta energía como la
que pierde si se define un potencial para cada punto en el circuito.
Como una ayuda en la aplicación de la segunda regla, deben observarse las
siguientes reglas:

Si se recorre un resistor en la dirección de la corriente, el cambio de
potencial a través del resistor es –IR.
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
Si se recorre un resistor en la dirección opuesta de la corriente, el cambio
de potencial a través del resistor es IR.

Si una fem se atraviesa en la dirección de la fem (de – a + en las
terminales) el cambio de de potencial es  

Si una fem se atraviesa en la dirección opuesta de la fem (de + a – en las
terminales), el cambio de
potencial es  
Ejemplo 1
Aplicación de las reglas de Kirchhoff
Determine I 1 , I 2 e I 3 en el circuito mostrado en la figura.
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Elegimos las direcciones de las corrientes como se muestra en la figura. La
aplicación de la primera regla de Kirchhoff a la unión c produce:
1
I1  I 2  I 3
Hay tres lazos en el circuito, abcda, befcb y aefda (el lazo exterior). Por lo tanto,
necesitamos dos ecuaciones de lazo para determinar las corrientes desconocidas.
La tercera ecuación de lazo no brindaría nueva información. Con la aplicación de
la segunda regla de Kirchhoff a los lazos abcda y befcb y con el recorrido de estos
lazos en las direcciones de las manecillas del reloj, obtenemos las expresiones:
Lazo abcda
10V  6I1  2I 3  0
Lazo befcb
 14V  10V  6I1  4I 2  0
2
3
Adviértase que el lazo befcb se obtiene un signo positivo cuando se recorre el
resistor de 6  debido a que la dirección de la trayectoria es opuesta a la
dirección de I 1 . Una tercera ecuación de lazo para aefda da  14  2I 3  4I 2 , lo
cual es justamente la suma de (2) y (3).
Solución
Las expresiones (1), (2) y (3) representan tres ecuaciones independientes con tres
incógnitas. Podemos resolver el problema como sigue: sustituyendo (1) en (2) se
obtiene:
10  6I1  2I1  I 2   0
10  8I1  2I 2
4
Al dividir cada término (3) por 2 y rearreglando la ecuación, obtenemos:
 12  3I1  2I 2
Al sustraer (5) de (4) se elimina I 2 , resulta
22  11I 1
I1  2 A
Con este valor de I 1 en (5) se obtiene un valor de I 2 :
2I 2  3I1  12  32  12  6
I 2  3 A
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Por ultimo, I 3  I1  I 2  1A Por lo tanto, las corrientes tienen dirección incorrecta
para estas corrientes. Sin embargo, los valores numéricos son correctos.
Ejercicio: Encuentre la diferencia de potencial entre los puntos b y c.
Respuesta: Vb  Va  2V
Ejemplo 2
Un circuito de lazos múltiples
En condiciones de estado estable, determine las corrientes desconocidas en el
circuito de lazos múltiples mostrado en la figura.
Razonamiento
Advierta primero que el capacitor representa un circuito y que, por lo tanto, no hay
corriente a lo largo de la trayectoria ghab en condiciones de estado estable. En
consecuencia, I gf  I1 . Marcando las corrientes como se indica en la figura y
aplicando la primera regla de Kirchhoff a la unión c, obtenemos:
I1  I 2  I 3
1
La segunda regla aplica para los lazos defcd y cfgbc produce:
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Lazo defcd
4.00V  3.00I 2  5.00I 3  0
2
Lazo cfgbc
8.00V  5.00I1  3.00I 2  0
3
Solución
En (1) vemos que I1  I 3  I 2 la cual cuando se sustituye en (2) da:
8.00V  5.00I  8.00I 2  0
4
Restando (4) de (2), eliminamos I 3 y encontramos:
I2  
4
A  0.364 A
11
Puesto que I 2 es negativa, concluimos que I 2 circula de c a f a través del resistor
de 3.00  . Usando este valor de I 2 en (3) y (1), se obtienen los siguientes valores
para I 1 e I 3 .
I1  1.38A
I 3  1.02A
En condiciones de estado estable, el capacitor representa un circuito abierto, por
lo que no hay corriente en la rama ghab.
¿Cuál es la carga del capacitor?
Podemos utilizar la segunda regla de Kirchhoff al lazo abgha (o cualquier otro lazo
que contenga al capacitor) para determinar la diferencia de potencial V, a través
del capacitor:
 8.00V  Vc  3.00V  0
Vc  11.0V
Puesto que Q  CVc la carga del capacitor es Q  6.00F 11.0V   66.0C
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Circuitos rc
Hasta el momento hemos ocupado de circuitos con corrientes constantes, o con
los llamados circuitos de estado estable. Consideremos ahora circuitos que
contienen capacitores, en los cuales las corrientes pueden variar en el tiempo.
Carga de un capacitor
Considere el circuito en serie de la figura. Supongamos que el capacitor
inicialmente esta descargado. No hay corriente cuando el interruptor S esta
abierto. Si el interruptor S se cierra en t  0 , empiezan a fluir cargas,
estableciendo una corriente en el circuito, y el capacitor empieza a cargarse. El
valor de la carga máximo depende del voltaje de la batería. Una vez alcanzada la
carga máxima, la corriente en el circuito es cero.
Para poner este análisis sobre una base cuantitativa, apliquemos la segunda regla
de Kirchhoff al circuito después de que se cierra el interruptor. Al hacerlo así se
q
obtiene   IR   0 . Donde IR es la caída de potencial en el resistor y q es la
C
C
caída de potencial en el capacitor. Obsérvese que q e I son valores instantáneos
de la carga y la corriente, respectivamente, cuando el capacitor se esta cargando.
En el instante en que se cierra el interruptor t  0 , la carga del capacitor es cero, y
según la ecuación anterior encontramos que la corriente inicial en el circuito I 0 es

un máximo e igual a I 0  .
R
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En este tiempo, la caída de potencial es completa a través del resistor. Después,
cuando el capacitor se carga hasta su valor máximo Q las cargas dejan de fluir, la
corriente en el circuito es cero y la caída de potencial es completa a través del
q
capacitor. Al sustituir I  0 en la ecuación   IR   0 , se obtiene:
C
Q  C
(Máxima carga)
Para determinar expresiones analíticas relativas a la dependencia en el tiempo de
q
la carga y corriente, debemos resolver la ecuación   IR   0 , una sola
C
dq
ecuación que contiene dos variables, q e I . Para hacerlo, sustituyamos I 
y
dt
rearreglamos la ecuación:
dq 
q
 
dt R RC
Una expresión para q puede encontrarse de la siguiente manera. Se rearregla la
ecuación poniendo los términos que contienen q en el lado izquierdo, y en el lado
derecho los que incluyan a t. después se integran a ambos lados:
dq
1

dt
q  C  RC
q

0
dq
1

q  C  RC
t

0
dt
t
 q  C 
ln

RC
  C 
A partir de la definición del logaritmo natural, podemos escribir esta ecuación
como:
q t   C 1  e

t
RC
  Q 1  e  t RC  Donde e es la base del logaritmo natural.



Puede determinarse una expresión para la corriente de carga diferenciando la
ecuación anterior respecto al tiempo. Utilizando I  dq , encontramos:
dt
I t  

R
e
t
RC
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El trabajo hecho por la batería durante el proceso de carga es Q  C 2 . Después
de que el capacitor se ha cargado completamente, la energía almacenada en él es
1
1
Q  C 2 ; lo cual es la mitad del trabajo hecho de la batería. Se deja como un
2
2
problema demostrar que la mitad restante de la energía suministrada por la batería
se transforma en calor joule en el resistor.
En la grafica (a) se muestra la carga de un capacitor contra el tiempo para el
circuito mostrado al comienzo de ésta sección, después de una constante de
tiempo  , la carga es 63.2% del valor máximo de C  . La carga se aproxima a su
valor máximo a medida que t tienda a infinito; (b) grafica de la corriente contra el
tiempo para el circuito rc mostrado para el circuito mostrado al comienzo de ésta
sección. La corriente tiene su valor máximo I 0   en t  0 y decae a cero
R
exponencialmente conforme t tiende a infinito. Después de una constante de
tiempo  , la corriente disminuye hasta 36.8% de su valor inicial.
Descarga de un capacitor
Considérese el circuito de la siguiente figura
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Consta de un capacitor con una carga inicial Q, una resistencia y un interruptor.
Cuando el interruptor está abierto (parte a), existe una diferencia de potencial Q
C
a través del capacitor y una diferencia de potencial cero a través de la resistencia
ya que I  0 . Si el interruptor se cierra al tiempo t  0 , el capacitor comienza a
descargarse a través de la reasistencia. En cierto tiempo durante la descarga, la
corriente en el circuito es I y la carga del capacitor es q (parte b).
De la segunda Ley de Kirchhoff, se ve que la caída de potencial a través de la
resistencia, IR , debe ser igual a la diferencia de potencial a través del capacitor,
Q :
C
q
IR 
C
Sin embargo, la corriente en el circuito debe ser igual a la rapidez de
decrecimiento de la carga en el capacitor. Es decir, I   dq , por lo que la
dt
q
ecuación IR 
se vuelve:
C
R
dq q

dt c
dq
1

dt
q
RC
Integrando esta expresión y utilizando el hecho de que q= Q para t = 0 se obtiene:
q

Q
dq
1

q
RC
t

dt
0
q
t
ln   
RC
Q
q t   Qe
t
RC
Diferenciando la última ecuación con respecto al tiempo se tiene la corriente como
función del tiempo:
I t   
t
dq
 I 0 e RC
dt
Donde la corriente inicial I 0  Q
. Por lo tanto, se ve que la carga del capacitor
RC
y la corriente decaen exponencialmente a una rapidez caracterizada por la
constante de tiempo   RC .
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Ejemplo
Descarga de un capacitor en un circuito RC
Considere un capacitor C que se esta cargando a través de un resistor R como se
ve en la figura. A) ¿después de cuantas constantes de tiempo la carga de un
capacitor es un cuarto de su valor inicial?
Solución:
t
De acuerdo a la ecuación qt   Qe RC la carga en el capacitor varia con el tiempo.
Para determinar el tiempo que tarda la carga q en disminuir a un cuarto de su
valor inicial, sustituimos qt   Q , en esta expresión y despejamos t.
4
t
1
Q  Qe RC
4
t
1
 e RC
4
Tomando logaritmo natural en ambos lados, encontramos:
 ln 4  
t
RC
t  RC ln 4  1.39 RC
b) la energía almacenada en el capacitor disminuye con el tiempo a medida que se
descarga. ¿Después de cuantas constantes de tiempo esta energía almacenada
es un cuarto de su valor inicial?
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Podemos expresar la energía almacenada en un capacitor en un tiempo t dado:
U
 2t
q 2 Q 2  2t RC

e
 U 0 e RC
2C 2C
Donde U 0 es la energía almacenada en el capacitor. Como en el inciso (A),
hacemos U  U 0 y despejamos t:
4
 2t
1
U  U 0 e RC
4
 2t
1
 e RC
4
Tomando nuevamente logaritmo en ambos lados y despejando t resulta:
t
1
RC ln 4  0.693 RC
2
Actividades
1. Se dispone de cuatro resistencias: 4 Ω, 6 Ω, 8 Ω y 10 Ω, calcular la
resistencia total si:
a - En serie.
b - En paralelo.
Al aplicarse entre sus extremos una diferencia de potencial de 40 V, ¿cuál
es la intensidad de la corriente para cada una en cada caso?
2. Sabiendo que R1 = 60 Ω, R2 = 40 Ω, R3 = 30 Ω e I = 5 A, calcular V AB según
el gráfico.
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3. Utilizando el gráfico anterior, y sabiendo que: R2 = 15 Ω, R3 = 12 Ω, V AB =
220 V e I = 10 A, calcular R1.
4. Sabiendo que R2 = 40 Ω, R3 = 25 Ω, I2 = 5 A y V AB = 50 V, calcular R1
según el gráfico.
5. Encuentre la resistencia equivalente entre los puntos a y b de la siguiente
figura, si tiene una diferencia de potencial de 34.0V y es aplicado entre los
puntos ay
b. calcule la corriente
que
circula por cada resistor.
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CORPORACIÒN IBEROAMERICANA DE ESTUDIOS
6. Calcule la potencia disipada en cada resistor del circuito:
7. determine la corriente de cada rama de la siguiente figura:
8. calcule la potencia disipada en cada resistor de la figura:
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9. encuentre la corriente en cada resistor y el voltaje a través del resistor de
200 
10. calcule la potencia disipada para cada resistor mostrada en la figura:
Circuitos rc
11. en t  0 , un capacitor descargado de capacitancia C se conecta mediante
una resistencia R a una batería de fem constante. ¿Cuánto tarda el
capacitor en: A) alcanzar la mitad de su carga final, y B) cargarse
completamente.
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12. Considere un circuito serie RC para una resistencia R  1.00 M ,
C  5.00F , y   30 .0V . Encuentre A) le tiempo constante del circuito  , B)
la máxima carga del capacitor después que es cerrado el switch y C)
encuentre la corriente en el resistor 10.0 segundos después de cerrar el
switch.
13. Investigar en que consiste el alambrado domestico y seguridad eléctrica.
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