7. Ondas atmosféricas - Unidad de Ciencias de la Atmósfera

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011
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7. Ondas atmosféricas
La mejor predicción necesita de una resolución numérica de las ecuaciones. No
obstante, es difícil generalmente interpretar la solución e identificar los procesos que
intervienen. Como la mayor parte de los sistemas meteorológicos puede ser
considerados como fenómenos ondulatorios de longitudes de onda particular excitados
por diferentes fuerzas actuando en la atmósfera en este capítulo estudiaremos los tipos
de onda básicos que pueden existir en la atmósfera.
7.1 El método perturbativo
Para estudiar las ondas usaremos el método perturbativo que permite el análisis
cuantitativo de estos fenómenos. En este método todas las variables se dividen en dos
partes, un estado base que en general se asume independiente del tiempo y de la
longitud, y una parturbación que representa la desviación local del campo total con
respecto al estado base. Por ejemplo, si u denota la velocidad zonal promediada en el
tiempo y en longitud, y u' es la desviación con respecto a ese promedio entonces la
u u  x , t' . En este caso la advección horizontal se
velocidad total es u  x , t = 
escribiría de la forma
Las hipótesis básicas del método perturbativo son (1) que las variables del estado base
deben satisfacer las ecuaciones de movimiento cuando las perturbaciones son nulas, y
(2) las perturbaciones deben ser suficientemente chicas como para poder despreciar los
u∣≪1
términos que son cuadráticos en la perturbación. Esto último implica que ∣u ' / 
de forma que
Al despreciar los productos de las perturbaciones las ecuaciones originales no-lineales
se reducen a ecuaciones diferenciales lineales en las variables de la perturbación y las
variables del estado base se especifican como coeficientes de la misma. Estas
ecuaciones pueden entonces resolverse para determinar las características y estructura
de las perturbaciones en términos del estado base que se asume conocido. Las
soluciones serán del tipo sinusoidal o exponencial, y las ondas estarán caracterizadas
por la velocidad de propagación, estructura vertical, y condiciones para la amplificación
o decaimiento.
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7.2 Propiedades de las ondas
7.2.1 Series de Fourier
Las perturbaciones en la atmósfera no son puramente sinusoidales por lo que en general
se usa el desarrollo en serie de Fourier en la dirección zonal para representarlas (sumado
a la media zonal):
donde k s=2  s / L es el número de onda zonal, L es la distancia alrededor de un
círculo de latitud y s es el número de onda planetaria que denota el número de ondas
que entra en un círculo de latitud. Vale que
y análogamente para el coseno, por lo que los coeficientes de Fourier se calculan como
y
se denomina componente s-simo de Fourier o el harmónico s de la función f(x). A veces
es necesario obtener solamente información cualitativa sobre el comportamiento de las
ondas. En ese caso se puede considerar un harmónico típico de la serie y restringir el
análisis a este harmómico considerando que el campo total se comportará en forma
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similar.
La expresión para un componente de Fourier puede ser escrita como
y
7.2.2. Dispersión y velocidad de grupo
Para oscilaciones lineales la frecuencia ν depende únicamente de las características del
oscilador pero no del movimiento. Para ondas que se propagan ν depende del número de
onda y de las propiedades físicas del medio de propagación.
La velocidad de fase se define como c=ν/k. Aquellas ondas para las cuales c=c(k) se
denominan dispersivas pues los diferentes componentes sinusoidales de la perturbación
original se mueven a diferentes velocidades y por lo tanto tenderán a dispersarse con el
tiempo. La relación ν=ν(k) se denomina relación de dispersión. Las ondas no
dispersivas, como las de sonido, son aquellas cuya velocidad de fase no depende del
número de onda y una perturbación inicial localizada tenderá a moverse manteniendo su
forma.
Cuando las ondas son dispersivas la velocidad del grupo de ondas es generalmente
diferente de la velocidad de fase promedio de las componentes de Fourier individuales.
Por lo tanto, como muestra la figura 7.1, las componentes individuales pueden moverse
mas rápido o mas despacio que el grupo de ondas. Para ondas sinópticas, en general la
velocidad de grupo excede la velocidad de fase.
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Figura 7.1 – Ejemplo de propagación de ondas dispersivas (a) donde la velocidad de
grupo es menor que la velocidad de fase y (b) donde la velocidad de grupo es mayor que
la velocidad de fase. Línea punteada denota velocidad de fase y línea gruesa denota
velodidad de grupo.
La velocidad de grupo es aquella velocidad a la cual se propaga la perturbación
observable y por lo tanto la energía. Para derivarla consideremos dos ondas
propagándose de igual amplitud pero de longitudes de onda y frecuencias un poco
diferentes, de tal forma que la perturbación total puede escribirse como
(asumiendo que solamente la parte real tiene sentido físico). Reescribiéndola como
se nota que la perturbación es el producto de una onda de alta frecuencia de longitud de
onda 2π/k, velocidad de fase ν/k (promedio de las dos ondas) y una envolvente de baja
frecuencia de longitude de onda 2π/δk que viaja a la velocidad δν/δk. En el límite de
δk→0 la velocidad horizontal de la envolvente, o velocidad de grupo es
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7.3 Modelo de aguas someras
Las ondas en fluídos resultan de la acción de fuerzas restauradoras actuando sobre
parcelas de fluído que fueron desplazadas de sus posiciones de equilibrio. Las fuerzas
restauradoras pueden ser debido a efectos de compresibilidad, gravedad, rotación o
electromagnéticos. En esta sección derivaremos el modelo de aguas someras y
estudiaremos los tipos de ondas que ocurren. A pesar de ser un modelo altamente
simplificado pues no tiene la estratificación presente en la atmósfera real los
movimientos que ocurren en él son análogos muy cercanos a los que ocurren en la
atmósfera (y océano).
Consideremos el modelo descrito en la figura 7.2 donde se tiene una capa única de
fluído incompresible de densidad uniforme ρ. El fluído que está por encima de la capa
se considera que no tiene masa y por lo tanto la superficie es libre. En el fondo existe
cierta topografía de altura hB(x,y,t) y la altura media del fluído es H. La perturbación de
la superficie libre se denota como h'=ht-H.
El sistema se dice somero pues H es mucho menor que la escala horizontal del fluído;
esto implica por la ecuación de continuidad que las velocidades verticales son mucho
menores que las horizontales. Bajo estas condiciones es posible asumir balance
hidrostático.
Figura 7.2 – Esquema del modelo de aguas someras
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7.3.1 Balance de momento
Bajo condiciones hidrostáticas es posible escribir
ó
y asumiendo que p=0 en z=ht
En la dirección horizontal el balance de momento es
donde hemos despreciado la fricción y D/dt=d/dt es la derivada total en la dirección
horizontal. Sustituyendo p en la ecuación se obtiene
Como ∇ ht es independiente de z, entonces si vH es inicialmente independiente de z
lo será para cualquier tiempo posterior. Esto es consecuencia de asumir balance
hidrostático, lo cual para un fluído de densidad constante implica que los gradientes
horizontales de presión son independientes de la altura. Notemos que la velocidad
vertical no es nula; esta velocidad es necesaria para producir los desplazamientos de la
superficie libre y que estarán asociados a la convergencia/divergencia del campo de
velocidades horizontal.
7.3.2 Balance de masa
Considere una columna de espesor h=ht-hB. La masa de la columna está dado por
δM=ρhδA. Por continuidad de masa
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por lo tanto
En un ejercicio del práctico demostramos que
por lo que
y la ecuación de conservación de masa en agua someras es
Por lo tanto, como mencionamos mas arriba, cambios en la altura de la superficie libre
están asociados con convergencia/divergencia del campo de velocidades horizontal.
Puesto que el fluído es incompresible vale
Usando las dos ecuaciones recuadradas de conservación de momento y masa es posible
derivar la ecuación de conservación de vorticidad potencial como hicimos en un
capítulo anterior y vale
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7.4 Ondas en aguas someras
En el modelo de aguas someras las ondas se comportan en forma similar a aquellas que
ocurren en la atmósfera/océano pero dado que ocurren en un contexto mucho mas
simple es posible identificar mas fácilmente los procesos involucrados.
Estudiaremos 4 tipos de movimientos ondulatorios: ondas de gravedad, ondas gravitoinerciales (o de Poincare), ondas de Kelvin y ondas de Rossby. Para estudiar las ondas
linearizaremos el modelo de aguas someras utilizando el método perturbativo que se
describió en la sección 7.1, y asumiremos un fondo plano.
7.4.1 Ondas de gravedad en ausencia de rotación
Consideremos un estado base en reposo y movimientos de pequeña amplitud. Entonces
Por lo tanto las ecuaciones linealizadas en ausencia de rotación son
y la de continuidad
Tomando las derivadas espaciales de las ecuaciones de momento y sustituyendo en la
ecuación de continuidad se obtiene
la cual es una ecuación de ondas para la cual es posible obtener una solución de la
forma h ' =h0 e i  kxly− t donde k y l son los números de onda en las direcciones x e y,
respectivamente. Sustituyendo esta expresión en la ecuación de arriba obtenemos la
siguiente relación de dispersión
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=± gH K
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K=  k 2l 2
donde K es el número de onda total. Las ondas que obedecen esta relación de dispersión
se denominan ondas de gravedad someras pues la fuerza restauradora para el
movimiento es la gravedad.
Estas ondas son no dispersivas pues la velocidad de fase es independiente del número de
onda y sólamente depende de la profundidad del fluído. Como todos los componentes
de Fourier viajan a la misma velocidad una perturbación inicial F(x) mantendrá su
forma en el tiempo. Por lo tanto la solución general es
Un ejemplo de estas ondas en la cual la escala horizontal es mucho mayor que la
vertical y donde la rotación no afecta significativamente la dinámica son los tsunamis
(figura 7.3). En la atmósfera las ondas de gravedad son afectadas por la estratificación y
su comportamiento es un poco diferente.
Figura 7.3 – Tiempos de propagación del tsunami que afecto Japon en marzo 2011.
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7.4.2 Ondas gravito-inerciales (de Poincare)
En presencia de rotación considerando f=f0 constante las ecuaciones del modelo de
aguas someras linearizado con respecto a un estado base en reposo son
y pueden ser combinadas para obtener
donde c=√ gH . Nuevamente, esta es una ecuación de ondas planas con soluciones
de la forma h ' =h0 e i  kxly− t . Sustituyendo ese tipo de solución se obtiene
−i −2 c 2  k 2 l 2 f 20=0
que tiene las soluciones
=0
2
2
2
 = f c k l 
2
2
0
La solución ν=0 es el flujo independiente del tiempo que satisface el balance
geostrófico. Las ondas que satisfacen la relación de dispersión se conocen como ondas
de Poincare. Ambos efectos de rotación y gravedad son importanters para estas ondas.
Consideremos el caso 1-D de una onda propagándose en la dirección x; en este caso la
velocidad de fase es
f2

c= = 20 c 2
k
k
y se nota que estas son ondas dispersivas pues ondas largas tienen mayores velocidades
de fase. La velocidad de grupo está dada por

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c gx=
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∂
kc 2
=
∂ k  f 20c 2 k 2
que es siempre <1 y es menor para ondas largas.
Existen dos límites
f 20
– Límite de onda corta: si ( k + l )≫
entonces la relación de dispersión
gH
puede aproximarse por  2=c 2  k 2l 2  y obtenemos las ondas de gravedad en
ausencia de rotación. Notar que este límite es análogo a imponer
≪  gH / f 0 donde =2/  k 2l 2 es la longitud de onda horizontal. Por
lo tanto, si la onda es suficientemente corta no siente el efecto de la rotación y su
dinámica es similar a la de ondas de gravedad en ausencia de rotación.
2
2
2
f
– Límite de onda larga: Si k l ≪ 0 entonces la relación de dispersión
gH
2
2
se reduce a  = f 0 . Los movimientos en este límite se denominan
oscilaciones inerciales pues están dominado por los efectos de la rotación.
2
2
El cociente L D =√ gH / f 0 define la frontera entre los movimientos para los cuales los
efectos de la gravedad dominan y aquellos para los cuales dominan los efectos de la
rotación. Esta cantidad se denomina radio de deformación de Rossby. Si la longitud
horizontal característica L es >> LD la dinámica del movimiento está dominada por la
rotación; si L<<LD la dinámica está dominada por los efectos de la gravedad.
Los límites descritos pueden verse en la figura 7.4 que muestra la relación de dispersión
de las ondas de Poincare (ademas de otras). Para movimientos de gran escala (k
pequeño) la relación de dispersión es tal que ≈ f 0 y para movimientos de pequeña
escala (k grande) la relación de dispersión es tal que ≈  gH k .
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Figura 7.4 – Relaciones de dispersión para las ondas de aguas someras.
7.4.3 Ondas de Kelvin
Las ondas de Kelvin son ondas particulares del modelo de aguas someras en
presencia de rotación y en presencia de una frontera lateral (ó ecuador f=0) sobre la cual
se apoyan.
Consideremos una situación donde se tiene una frontera en y=0. Para las ondas
de Poincare un gradiente de presión en la dirección x inducirá una velocidad en la
dirección y por la fuerza de Coriolis. No obstante, debido a la presencia de la frontera
tenemos una condición de borde que establece que no puede haber flujo a través de ella.
Por lo tanto aparece una dinámica diferente.
La condición de borde impuesta por la frontera es v'=0 en y=0. Por lo tanto es
razonable buscar soluciones que tienen v'=0 en todos lados. Imponiendo v'=0 en las
ecuaciones linearizadas del modelo de aguas someras con rotación se obtiene
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o sea que hay balance geostrófico en la dirección y, mientras que en la dirección x existe
un balance entre la aceleración y la fuerza gradiente de presión. Combinando la primera
y la tercera ecuaciones da
donde c= gH , la cual indica que en la dirección x tenemos una dinámica análoga a
las ondas de gravedad sin rotación. Esta ecuación tiene solución general de la forma
h '= A y [e i  x−ct ei  xct ]
Insertándola en la ecuación de momento según x se puede mostrar que la velocidad de
la perturbación en la dirección x es
A su vez, sustituyendo las expresiones para u' y h' en la ecuación de balance geostrófico
es posible hayar una expresión para A(y). Consideremos los casos de propagación de
onda hacia el oeste y hacia el este separadamente.
– Propagación hacia el oeste:
h '= A y e i  xct  y
1/2
u ' =−
g

H
A y e i xct  lo
cual resolviendo para A(y) resulta en
y se ve que A crece exponencialmente en la dirección y. Esta solución no es
físicamente realizable.
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– Propagación hacia el este:
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h ' = A y e i  x−ct  y
u '=
g 1/ 2
 A y e i  x−ct  lo
H
cual resolviendo para A da
y la solución decrece con y al alejarse de la frontera.
Por lo tanto la solución física con una frontera en y=0 en el H.N. es de la forma
h ' = A0 e− y/ L e i  x−ct
D
Notar que la amplitud decrece en la dirección perpendicular a la frontera con una escala
dada por el radio de deformación de Rossby. Esta es la distancia desde la frontera a la
cual los efectos de la rotación se vuelven tan importantes como los de la gravedad. A
esta distancia hay un balance entre el gradiente de presión en la dirección perpendicular
a la frontera y la fuerza de Coriolis. Estas ondas pertenecen a una clase de ondas de
frontera o atrapadas.
Como regla general las ondas de Kelvin se propagan con la frontera a la derecha en el
H.N. y con la frontera a la izquierda en el H.S (figura 7.5).
Figura 7.5 – Esquema de una onda de Kelvin propagándose hacia el sur con la costa a
la derecha.
Las ondas de Kelvin son particularmente importantes en el océano donde las fronteras
continentales permiten la propagación de estas ondas (ondas en la termoclina, ondas
costeras, mareas). En la atmósfera las ondas de Kelvin ocurren en el ecuador donde f=0.
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Las ecuaciones para las ondas de Kelvin ecuatorial son un poco diferentes pues se debe
aproximar f=βy pero la dinámica es escencialmente la misma.
7.4.4 Ondas de Rossby
Hasta ahora hemos considerado ondas en el modelo de aguas someras
considerando el parámetro de Coriolis f como una constante, es decir consideramos que
la Tierra rota y lo hace en todo punto de la superficie con la misma velocidad (o sea la
Tierra es chata). Como sabemos, el planeta es esférico y el parámetro de Coriolis varía
con la latitud lo cual tiene consecuencias importantes pues introduce otro factor que
puede actuar como fuerza restauradora para los movimientos ondulatorios: el gradiente
meridional de vorticidad panetaria.
Consideremos el plano-β mostrado en la figura 7.6. El plano indicado en la figura es
tangencial a la superficie terrestre y en ese plano se puede expandir el parámetro de
Coriolis de la forma
donde f 0=2 sin  0  y =2  cos 0 /a . Esta aproximación es la mas simple
para tomar en cuenta la esfericidad de la Tierra y su efecto en los movimientos
atmosféricos.
Figura 7.6 - Esquema de la aproximación plano-β.
Para simplifcar el análisis consideraremos como antes el caso de topografía nula (hB=0)
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y además tomaremos la altura del fluído h como constante (H). Esto se conoce como la
aproximación de “rigid lid” y se justifica por la gran estabilidad estática de la
tropopausa que efectivamente actúa como una frontera rígida. Por lo tanto no existen
perturbaciones de la superficie libre (h'=0) y no hay efectos de la gravedad.
De la conservación de la vorticidad potencial tenemos
la cual sustituyendo la aproximación de f en el plano-β da
o sea que la vorticidad relativa puede ser alterada por la advección de vorticidad
planetaria. Ahora, como h no varía el flujo horizontal es no divergente y por lo tanto
puede escribirse usando una función corriente ψ de la forma
Entonces
Para linearizar esta ecuación consideraremos un estado base con un flujo uniforme U en
la dirección zonal, o sea que
y
Como la vorticidad relativa puede escribirse en función de la función corriente de la
perturbación ( 0=0 )
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resulta
Imponiendo una solución de la forma
i  kxly− t 
 '= 0 e
obtenemos la relación de dispersión
k
k l 2
Esta se conoce como la relación de dispersión de las ondas de Rossby para ondas
someras en una flujo zonal uniforme. Son ondas de Rossby barotrópicas pues el
movimiento es constante con la altura.
=Uk−
2
Considerando el caso 1-D con propagación en la dirección x la velocidad de fase vale


c= =U − 2
k
k
o sea que las ondas de Rossby siempre tienen propagación de fase hacia el oeste con
respecto al flujo zonal. En latitudes medias de la atmósfera debido a la presencia de
fuertes vientos del oeste se observa que si bien las ondas se están propagando hacia el
oeste relativo al flujo, con respecto a la superficie de la Tierra se propagan hacia el este.
Como la velocidad de fase depende del número de onda las ondas de Rossby son
dispersivas. Además, debido a la variación de β con la latitud, la velocidad de fase hacia
el oeste es mayor en latitudes bajas.
Notar que existe una solución de onda estacionaria dada por (K2=k2+l2)
Considerando que U ~10 m/s, β ~ 10-11 1/ms da un valor de K2 ~ 10-12 m-2, o sea que la
longitud de onda total es ~2/  K 2~6000 km . Por lo tanto la solución
estacionaria existe solamente en escalas horizontales largas. Las ondas de escalas chicas
no pueden ser estacionarias y siempre se propagan hacia el oeste en relación al flujo
medio.
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La velocidad de grupo está dada por
 k 2−l 2 
∂
=U  2 2 2
∂k
 k l 
de tal forma que puede ser positiva o negativa dependiendo del cociente entre los
números de onda zonal y meridional.
c gx=
Para entender el mecanismo de propagación de las ondas de Rossby consideremos la
situación mostrada en la figura 7.7. En ella se considera un fluído en reposo en un
plano-β de tal forma que la vorticidad potencial está dada por
y vale que los contornos de vorticidad potencial son q1<q2<q3. En cierto instante el
contorno de vorticidad potencial q2 es desplazado como muestra la línea roja. El
contorno consiste inicialmente en elementos de fluído por lo que deben mantener la
misma vorticidad potencial que antes de ser desplazados. En la posición (1) los
elementos de fluído se movieron hacia una latitud mas baja por lo que para conservar su
vortcidad potencial (VP) deben aumentar su vorticidad relativa y como estamos
considerando el H.N. se debe inducir un flujo ciclónico (antihorario). En la posición (2)
ocurre lo opuesto y por lo tanto se induce un flujo anticiclónico. Se observa entonces
que el movimiento resultante tenderá a advectar los elementos materiales de fluído del
contorno desplazado de tal forma que la perturbación se moverá hacia la izquierda
(oeste). (Esto también es válido para el H.S.)
Figura 7.7 – Esquema del mecanismo de propagación de las ondas de Rossby en el
H.N. El contorno de VP q2 es desplazada de su posición de equilibrio (línea roja sólida).
Esto induce una anomalía en la circulación mostrada por las curvas azules. La flechas
derechas azules indican la ubicación de los máximos de las anomalías de velocidad. El
campo de velocidad resultante advecta los contornos de VP de tal forma que la anomalía
viaja hacia la izquierda (línea punteada roja).
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Entonces, un desplazamiento inicial de los contornos de VP induce una anomalía de
vorticidad relativa debido a la variación con la latitud de la vorticidad planetaria. Esta
anomalía de vorticidad relativa está asociada con una circulación que tiende a advectar
el contorno de VP de tal forma que la perturbación inicial se propaga hacia el oeste.
Es bueno recalcar que si bien en el ejemplo que se consideró el gradiente de VP está
dado solamente por la variación del parámetro de Coriolis con la latitud, en la atmósfera
real el gradiente de VP estará también asociado a la estructura del flujo medio.
Asimismo, el gradiente de VP podría estar asociado a un cambio en H debido a la
existencia de topografía. En el H.N. estas ondas de Rossby topográficas causadas por el
flujo sobre las montañas Rocallosas y el Himalaya son muy importantes para explicar la
circulación de latitudes medias. Las ondas topográficas de Rossby son las descritas
cualitativamente en la sección 5.4.2.
Es interesante notar que las velocidades de fase de las ondas en un modelo de aguas
someras con rotación verifican
7.5 Ajuste geostrófico
Como hemos visto la circulación atmosférica en escalas sinóptica y mayores
están en equilibrio geostrófico aproximado. Desviaciones del balance geostrófico dan
lugar a la excitación de ondas gravito-inerciales que actúan para justar las distribuciones
de masa y de momento de tal forma que el flujo tiende nuevamente al balance
geostrófico. La pregunta que plantea esta sección es por que está la atmósfera en
balance geostrófico aproximado y cómo se llega a ese balance.
Para entender los procesos involucrados consideremos una capa somera de fluido que se
encuentra inicialmente en un estado no balanceado, mostrado en la figura 7.8a, donde
un tabique situado en x=0 separa fluído a la izquierda de profundidad h=H+h 0 de otro a
la derecha de profundidad h=H-h0 siendo H la profundidad media. El fluido se encuentra
inicialmente en reposo y examinamos que ocurre si quitamos el tabique. ¿Hacia que
estado tiende el fluido y cómo ocurre el ajuste?
Las condiciones iniciales son
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La altura de la perturbación se asume mucho menor que H de tal forma que las
ecuaciones que gobiernan la evolución de la perturbación son las del modelo de aguas
someras linealizado. Examinaremos los casos con y sin rotación.
7.5.1 Ajuste sin rotación
En la ausencia de rotación las ecuaciones de aguas someras linealizadas son
por lo que la perturbación h' es solución de
En la sección 7.4.1 mostramos que la solución de esta ecuación está formada por un par
de ondas que se propagan en sentidos opuestos a velocidad c=(gH) 1/2 preservando la
forma inicial de la perturbación. A tiempo t la altura de la perturbación h' estará dada
entonces por
de la cual se puede deducir que para ∣x∣ct , h'=-h0sgn(x) y para −ctxct h'=0.
O sea que el fluido se empieza a ajustar mediante la propagación de ondas de gravedad
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con direcciones opuestas. Por donde han pasado las ondas el fluido se equilibró en un
estado de anomalía de altura nula. Las regiones que están lejos y no han experimentado
el efecto del frente de ondas permanecerán sin perturbar en su estado inicial hasta que el
frente los alcance (figura 7.8).
Figura 7.8 – Esquema de la perturbación de la superficie (a) antes del ajuste, (b) a
tiempo t luego de comenzado el ajuste.
El campo de velocidades se obtiene de
y da
Entonces, para lugares donde no ha llegado el frente de onda u'=0, mientras que para
lugares donde sí ha llegado tienen velocidad h 0g/c. En este caso hay una conversión
completa de energía potencial en energía cinética.
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7.5.2 Ajuste con rotación constante f0
Con rotación las ecuaciones linealizadas del modelo de aguas someras son
A diferencia del caso sin rotación ahora es posible tener un estado estacionario que tiene
una altura de la perturbación h' no nula. (En el caso anterior el estado estacionario es tal
que h'=0.) Para encontrar el estado estacionario resolvemos
No obstante es fácil ver que las tres ecuaciones no son independientes: todo h' que
satisface las dos primeras ecuaciones también satisface la tercera ecuación. Este
problema se denomina degeneración geostrófica. El balance geostrófico provee una
relación de diagnóstico entre los campos de altura y de velocidad pero no podemos
usarla para predecir la solución de equilibrio de un sistema que está incialmente fuera
del balance ni examinar la evolución temporal. Para determinar la evolución de los
sistemas es necesario considerar las pequeñas desviaciones con respecto al equilibrio
geostrófico.
En el caso particular del ajuste geostrófico es posible usar la conservación de vorticidad
potencial como información adicional para resolver el problema de la degeneración.
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Consideremos la ecuación de VP linearizada (el término advectivo se desprecia)
La VP inicial es
Entonces la solución estacionaria debe cumplir las siguientes ecuaciones
Como f0 es constante el campo de vientos horizontal es no-divergente y existe una
gh '
−∂
∂
v'=
función corriente  ' =
tal que u ' =
. La ecuación para la VP
f0
∂y
∂x
puede entonces escribirse de la forma
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donde LD =(gH)1/2/f0 es el radio de deformación de Rossby. Las condiciones iniciales son
tales que h' es inicialmente independiente de y, por lo que permanecerá independiente
para todo t. Entonces podemos simplificar el laplaciano y da
Esta ecuación se puede entonces resolver separadamente para x<0 y para x>0 y luego
empalmar la solución y su derivada primera en x=0.
– Para x>0:
La solución general es la solución de
que da
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Una solución particular es
Por lo tanto la solución completa es de la forma
– Para x < 0: análogamente se obtiene
g h0
sgn x para x=±∞ y empalmando las
f0
soluciones y la derivada primera en x=0 se obtiene
Imponiendo la condición de que
' 
f0
 ' podemos graficar la solución estacionaria de la altura de
g
la anomalía en superficie (figura 7.9). En los límites
Recordando que
h'=
En x=0, h'=0 y la variación de la perturbación con x es de la forma de una exponencial
caracterizada por una escala horizontal dada por el radio de deformación de Rossby. A
diferencia del caso sin rotación las anomalías iniciales en la altura de la superficie no se
propagan hacia el infinito. La conservación de la VP y la presencia de rotación
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Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011
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restringen la influencia del ajuste a un radio de deformación de distancia de la
perturbación inicial.
El campo de velocidades se muestra en la figura 7.9c. En el caso con rotación la
velocidad de equilibrio es perpendicular a la pendiente de la superficie libre y está en
balance geostrófico con el gradiente de presión que aparece.
Figura 7.9 – Esquema de ajuste geostrófico. (a) perturbación inicial de la superficie
libre, (b) estado de equilibrio final de la superficie libre, (c) campo de velocidades en la
dirección y equilibrado, (d) la vorticidad potencial antes y despues del proceso de ajuste.
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El proceso a través del cual ocurre el ajuste al equilibrio geostrófico es el siguiente: la
perturbación inicial de la altura de la superficie produce ondas de Poincare que se
alejan. Dada la relación entre la velocidad de grupo y el número de onda para las ondas
de Poincare las ondas mas cortas se propagan mas rápido que las mas largas. Las ondas
largas viajan mas despacio pero aún éstas terminan alejándose de la perturbación inicial
dejando la otra solución (ν=0) a las ecuaciones de aguas someras. Ese es el campo de
velocidades en equilibrio geostrófico con la altura de la perturbación. En escalas
parecidas a LD este proceso de ajuste actúa para suavizar el gradiente de presión original
hasta llegar a la situación de equilibrio.
A diferencia del caso sin rotación en este caso no hay conversión completa de energia
potencial en energía cinética. La presencia de rotación limita la cantidad de energía
potencial que puede convertise en cinética. Podemos calcular la energía que es
dispersada por las ondas gravito-inerciales durante el proceso de ajuste calculando la
diferencia de energía potencial inicial y final. La energía potencial por unidad de área
horizontal es
h'
∫0
 g z dz = g h ' 2 / 2
Por lo tanto la energía potencial convertida en energía cinética por unidad de longitud
en y durante el ajuste es
2
∞  g h ' 2
∞  g h
 g h 20
∫−∞ 2 dx −∫−∞ 2 dx =2∫0 2 0 [1−1−e− x/ L 2 ] dx= 32  g h 20 L D
∞
D
En el caso sin rotación (LD→∞) toda la energía potencial disponible inicialmente se
convierte en energía cinética dejando una superficie horizontal con h'=0. En el caso con
rotación sólo una parte es convertida en energía cinética y de ella solo una parte se
dispersa. El resto permanece en el sistema por la circulación geostrófica. La energía
cinética en el estado estacionario (por unidad de longitud) es
∞
2 ∫0
g h0 2 ∞ −2x / L
v' 2
1
H
dx= H 
 ∫0 e
dx =  g h 20 L D
2
f LD
2
D
o sea que en el caso con rotación solamente 1/3 parte de la energía potencial convertida
en cinética queda en la circulación geostrófica luego del ajuste. Los otros 2/3 se
dispersan en la forma de ondas gravito-interciales.
Entonces, cuando ocurre una perturbación en el campo de altura el resultado es una
inestabilidad que produce ondas gravito-inerciales que se propagan alejándose del lugar
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de la perturbación permitiendo a la atmósfera ajustarse nuevamente al balance
geostrófico. Como estos modos se propagan muy rápidamente, luego de un cierto
tiempo permenecerán únicamente aquellos modos de gran escala que son influenciados
por la rotación y están en balance geostrófico aproximado. Si se deja evolucionar el
flujo final estará en equilibrio geostrófico.
Bibliografía principal
– An Introduction to Dynamic Meteorology, J. Holton
– Curso “Atmospheric Dynamics”
http://www.atmosp.physics.utoronto.ca/~isla/PHY2504HS.html
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