Tema 4: Variable aleatoria. Métodos Estadísticos Tema 4: VARIABLE ALEATORIA. Definición de v.a. Definición: Una variable aleatoria (v.a.) es un número real asociado al resultado de un experimento aleatorio, es decir, una función real en el espacio muestral, X:Ω→ℜ Los valores de la variable aleatoria se notarán con letras minúsculas x en este caso. Tema 4: VARIABLE ALEATORIA. Ejemplos de v.a. Ejemplos: Supongamos un experimento aleatorio consistente en lanzar dos dados al aire. Bajo este experimento lo siguiente serían v.a: 1. Sea X la v.a. suma de los valores de los dados donde X puede tomar valores x=2,3,4,…,12. 2. Sea Y la v.a número de pares en los dados donde Y puede tomar los valores y=0,1,2. 3. Sea Z la v.a número de impares en los dados donde Z puede tomar los valores z=0,1,2. Tema 4: VARIABLE ALEATORIA. Variable aleatoria discreta Definición: Se dice que una v.a. es discreta si el conjunto de todos los valores que puede tomar es un conjunto numerable. Ejemplos: – – Número de caras al lanzar dos dados. Número de cifras acertadas en un sorteo de la lotería. Tema 4: VARIABLE ALEATORIA. Variable aleatoria discreta Definición: Dada una v.a. discreta, X, se define la función masa de probabilidad como: f(x)=P[X=x], para cada x∈ℜ. Proposición: Sea X v.a. discreta y f(x) su función masa de probabilidad. Entonces: 1. 2. 3. f(x)≥ ≥0 para todo x∈ℜ Σ x∈ℜ ∈ℜ f(x)=1 En general, para cualquier conjunto B, P[X∈ ∈B]=Σ Σ x∈∈B f(x), donde x son los posibles valores de B Tema 4: VARIABLE ALEATORIA. Variable aleatoria discreta Definición: Se define la función de distribución probabilidad una v.a. discreta, X, como: para cada x∈ℜ. de F(x)=P[X≤ ≤x]= Σ xi ≤x f(x), Proposición: Sea X v.a. discreta y f(x) su función masa de probabilidad y F(x) su función de distribución. Entonces: 1. 2. 3. 4. limx→ →-∞ ∞ F(x)=0 limx→∞ →∞ F(x)=1 F es creciente F es continua a la derecha Tema 4: VARIABLE ALEATORIA. Variable aleatoria discreta Además: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. P[X≤ ≤a]=F(a)=Σ Σ x ≤a f(x) P[X<a]=F(a-)=Σ Σ x <a f(x) P[X≥ ≥a]=1- F(a-)= Σ x≥≥a f(x) P[X>a]=1- F(a)= Σ x>a f(x) P[a < X<b]=F(b-)-F(a) P[a ≤ X<b]= F(b-)-F(a-) P[a < X ≤ b]=F(b)-F(a) P[a ≤ X ≤ b]=F(b)- F(a-) Tema 4: VARIABLE ALEATORIA. Variable aleatoria discreta Ejemplo 1: Sea el experimento lanzar tres monedas, y sea X v.a. número de caras. Calcular su función masa de probabilidad y su función de distribución. Ejemplo 2: Sea el experimento sacar 2 bolas de una urna que contiene 2 bolas blancas y 3 bolas rojas, y sea Y v.a. número de bolas rojas. Calcular su función masa de probabilidad y su función de distribución. Tema 4: VARIABLE ALEATORIA. Variable aleatoria continua Definición: Se dice que una v.a. es continua si el conjunto de todos los valores que puede tomar no es numerable. Ejemplos: – – Duración de una llamada a un servicio de atención al cliente. Tiempo que un médico tarda en atender un paciente Tema 4: VARIABLE ALEATORIA. Variable aleatoria continua Definición: Dada una v.a. continua, X, se define la función de densidad de probabilidad de X, f(x) como aquella función tal que para cualquier a,b ∈ℜ , o a,b=± ∞, b P[a<X<b]= ∫ af(x) dx, Proposición: Sea X v.a. continua y f(x) su función de densidad de probabilidad. Entonces: 1. f(x)≥ ≥0 para todo x∈ℜ 2. ∫ℜf(x)=1 3. En general, para cualquier conjunto de números reales B, P[X∈ ∈B]=∫∫x∈∈B f(x) Tema 4: VARIABLE ALEATORIA. Variable aleatoria continua Definición: Se define la función de distribución de probabilidad una v.a. continua, X, como: F(x)=P[X≤ ≤x]= ∫ -∞∞ f(t) dt, x para cada x∈ℜ. Proposición: Sea X v.a. discreta y f(x) su función masa de probabilidad y F(x) su función de distribución. Entonces: Tema 4: VARIABLE ALEATORIA. Variable aleatoria continua Ejemplo: Sea f(x)=ex-2 si x < 2 y f(x)=0 en otro caso, calcular su función de distribución. Ejemplo: Sea el experimento lanzar una pelota en una habitación rectangular 2x4 y la puerta se encuentra en la pared de lado 2. Sea Y la v.a continua distancia a la pared de la puerta. Calcular su función de distribución y su función de densidad. Tema 4: VARIABLE ALEATORIA. Momentos de una v.a Definición: Dada una v.a. X, y sea Y=g(X) un función suya, es decir una transformación de la variable. Entonces, se define la media de la función g(X) como, E[g(X)]= ∫ℜ g(x)f(x) dx, si X es continua E[g(X)]= ∑ℜ g(x)f(x), si X es discreta Tema 4: VARIABLE ALEATORIA. Esperanza matemática de una v.a Definición: Dada una v.a. X, se define la media o esperanza matemática como, EX = ∫ℜ x f(x) dx, si X es continua EX= ∑ℜ x f(x), si X es discreta Tema 4: VARIABLE ALEATORIA. Transformación de una v.a. Definición: Dada una v.a. X, a1,..., an constantes y g1(X),...,gn(X) funciones de la variable. Entonces, E[a1 g1(X)+...+ an gn(X)] = a1 E[g1(X)]+...+ an E[gn(X)] Tema 4: VARIABLE ALEATORIA. Varianza de una v.a. Definición: Dada una v.a. X. Se define su varianza como, Var[X] = E[(X-EX)2] = E [X2] – (EX)2 Proposición: Dada una v.a. X, y sean a,b∈ℜ. Entonces, E[aX+b] = a E[X] + b Var[aX+b] = a2Var[X] Tema 4: VARIABLE ALEATORIA FIN