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05 – Funciones de densidad de
probabilidad
Diego Andrés Alvarez Marín
Profesor Asistente
Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales
1
Contenido
●
FDP uniforme
FDP lognormal
●
FDP beta
FDP gamma
●
FDP exponencial
FDP Weibull
●
FDP normal
FDP Rayleigh
FDP Maxwell
2
Sobre la selección de las
FMPs/FDPs
La elección de una FMP/FDP para representar un
fenómeno de interés práctico debe estar motivada
tanto por la compresión de la naturaleza del
fenómeno en sí, como por la posible verificación
de la FMP/FDP seleccionada a través de la
evidencia empírica.
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FDP Uniforme ~U(a,b)
La variable aleatoria toma valores sobre un
intervalo de manera que la medida de probabilidad
se encuentra uniformemente distribuída sobre ese
intervalo. Esto es, la probabilidad que la variable
aleatoria tome un valor en cada subintervalo de
igual longitud es la misma.
4
FDP Uniforme ~U(a,b)
Momentos de la FDP:
Ejemplo: redondeo del peso de una persona:
67 kg significa un peso entre 66.5 kg y 67.5 kg
El error de redondeo se encuentra distribuído
uniformemente en el rango [-0.5kg, 0.5 kg]
5
FDP Uniforme
~U(a,b)
6
Principio de indiferencia de Laplace
http://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_indifference
El principio de indiferencia (también llamado el
principio de razón insuficiente) es una regla para
asignar probabilidades epistémicas. Suponga por
ejemplo que existen n>1 eventos mutuamente
exclusivos y exhaustivos. El principio establece que
si no se puede distingir estos n eventos, entonces a
cada evento se le debe asignar una probabilidad
igual a 1/n.
Ejemplo: La dirección según la cual las ondas
producidas por un terremoto pueden aproximarse a
una estructura pueden considerarse en ausencia de
información en contra, que se distribuye
uniformemente en el intervalo [0○, 360○).
7
FDP Uniforme con MATLAB
●
y = unifpdf(x,a,b);
= fX(x;a,b)
●
p = unifcdf(x,a,b);
= FX(x;a,b)
●
x = unifinv(p,a,b);
(-1)
●
[m,v] = unifstat(a,b) ; = media y varianza
= FX (p;a,b)
8
Ejemplo FDP Uniforme
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FDP Beta ~ B(α,β)
La FDP Beta se utiliza para representar variables
físicas cuyos valores se encuentran restringidos a
un intervalo de longitud finita ej: distribución de
artículos defectuosos sobre un intervalo de
tiempo.
Como es una FDP muy flexible, generalmente se
utiliza para la descripción empírica de datos
10
FDP Beta ~B(α,β)
11
12
13
La FDA Beta ~B(α,β)
14
La FDP Beta de cuatro parámetros
~B(α,β,a,b)
15
FDP Beta con MATLAB
●
y = betapdf(x,α,β);
= fX(x;α,β)
●
p = betacdf(x,α,β);
= FX(x;α,β)
●
x = betainv(p,α,β);
(-1)
= FX (p;α,β)
●
[m,v] = betastat(α,β);
= media y varianza
16
FDP Beta de 4 parámetros con
MATLAB
●
y = betapdf((x-a)/(b-a),α,β)/(b-a); = fX(x;α,β)
●
p = betacdf((x-a)/(b-a),α,β);
●
x = a+betainv(p,α,β)*(b-a);
= FX(x;α,β)
(-1)
= FX (p;α,β,a,b)
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FDP Beta con EXCEL
●
●
p = DISTR.BETA(x;α;β;a;b)
x = DISTR.BETA.INV(p;α;β;a;b)
= FX(x;α,β,a,b)
(-1)
= FX (p;α,β,a,b)
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Ejemplo: FDP beta
Para planear las direcciones de las pistas de los
aeropuertos, se debe estudiar las dispersiones de
contaminantes de aire procedentes de los
alrededores. Aquí la dirección predominante y la
variación de estas son críticas.
En el siguiente programa simulamos tales
direcciones del viento. ¿Qué opina usted del
modelo de la FDP beta para representar las
direcciones del viento?
19
Ejemplo FDP Beta
Resultado de la ejecución:
20
Observe que en este caso la FDP beta no es
satisfactoria ya que existe una discontinuidad en
la representación del viento que viene del este.
21
FDP exponencial
Con la FDP exponencial se modela el lapso de
tiempo entre dos eventos consecutivos de
Poisson que ocurren de manera independiente y
a una frecuencia constante.
Ejemplo: intervalo de tiempo entre los arribos de
vehículos a un punto
En forma más general se usa para modelar
tiempos entre los arribos en líneas de espera en
un proceso de Poisson homogéneo.
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FDP exponencial
La FDP exponencial se puede entender como la
contraparte continua de la FMP geométrica, la
cual describe el número de ensayos de Bernoulli
requeridos para que un proceso discreto cambie
de estado. La FMP exponencial describe el
tiempo para que un proceso continuo cambie de
estado.
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Ejemplos FDP exponencial
●
Distancia entre grietas
●
Distancia entre animalitos pisados en una carretera.
●
Distancia entre las mutaciones en una cadena de ADN
●
Vida útil de equipamiento electrónico
●
●
●
●
●
Tiempo hasta qie una partícula radioactiva decae o el
tiempo entre los ruidos de un contador geiger
Dinero que las personas tienen en sus bolsillos
Cantidad de tiempo (empezando ahora) hasta que el
siguiente terremoto ocurra
Tiempo que se debe esperar (desde ahora) antes de la
siguiente llamada telefónica (entre las 2:30 y las 3:00 pm)
Duración de una conversación telefónica
24
FDP exponencial ~ Exp(λ)
●
La FDP es:
●
La FDA es:
25
Parametrización alternativa de la
FDP exponencial
●
La FDP es:
●
La FDA es:
Es decir
26
Interpretación del parámetro λ
●
θ=1/λ → Tiempo medio de falla (mean time to
failure - MTTF): es el periodo o lapso promedio
entre dos eventos independientes de Poisson.
Ejemplo: tiempo promedio entre fallas/arribos:
5 segundos/vehículo.
●
λ=1/θ → es la frecuencia de falla o promedio
de sucesos por unidad de tiempo
Ejemplo: frecuencia de fallas/arribos:
0.2 vehículos/segundo.
27
Interpretación del parámetro λ
●
In real-world scenarios, the assumption of a
constant rate (or probability per unit time) is
rarely satisfied. For example, the rate of
incoming phone calls differs according to the
time of day. But if we focus on a time interval
during which the rate is roughly constant, such
as from 2 to 4 p.m. during work days, the
exponential distribution can be used as a good
approximate model for the time until the next
phone call arrives
28
FDP exponencial ~ Exp(λ)
29
Algunas fórmulas FDP exponencial
●
Función cuartil:
●
Media:
Si usted recibe en promedio dos llamadas
telefónicas por hora, se espera que usted tenga
que esperar media hora por cada llamada
●
Varianza:
30
FDP exponencial con MATLAB
●
y = exppdf(x,1/λ);
= fX(x;λ)
●
p = expcdf(x,1/λ);
= FX(x;λ)
(-1)
●
x = expinv(p,1/λ);
= FX (p;λ)
●
[m,v] = expstat(1/λ) ;
= media y varianza
31
FDP exponencial con EXCEL
●
y = DISTR.EXP(x;λ;FALSO)
= fX(x;λ)
●
p = DISTR.EXP(x;λ;VERDADERO)
= FX(x;λ)
●
x = DISTR.GAMMA.INV(p;1;1/λ)
(-1)
= FX (p;λ)
32
Ejemplo 1: FDP exponencial
Se sabe que la cantidad de tiempo que un
empleado postal gasta con su cliente sigue una
FDP exponencial, con un tiempo promedio de 4
minutos por cliente
Cual es la probabilidad que un empleado postal
emplee entre 4 y 5 minutos con un cliente
seleccionado al azar?
33
Ejemplo 1: FDP exponencial
Cual es la probabilidad que un empleado postal
emplee entre 4 y 5 minutos con un cliente
seleccionado al azar?
34
Ejemplo 1: FDP exponencial
El 75% de los clientes son atendidos en cuanto
tiempo?
35
Ejemplo 2: FDP exponencial
En promedio, un circuito de un computador dura
10 años.
El tiempo que los componentes electrónicos
duran siguen una distribución exponencial. ¿Cuál
es la probabilidad que ese tipo de circuitos duren
más de 7 años?
36
Ejemplo 2: FDP exponencial
En promedio, un circuito de un computador dura
10 años.
¿Cuánto es el tiempo de duración de 80% de los
circuitos?
37
Ejemplo 2: FDP exponencial
¿Cuál es la probabilidad que una parte de
computador dure entre 9 y 11 años?
38
Ejemplo 3: FDP exponencial
Suponga que la longitud de una llamada
telefónica se modela como una variable aleatoria
que sigue una distribución exponencial. Suponga
que el tiempo promedio de una llamada telefónica
es 6 minutos. Si una persona llega al teléfono
público justo antes que usted, más o menos
cuánto tiempo le tocará esperar? ¿Cuál es la
probabilidad que le toque esperar más de seis
minutos?
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Deducción de la FDP exponencial
40
Notas FDP exponencial
Debido a la propiedad de estacionaridad y de
independencia del suceso de Poisson, la PDF
exponencial denota la probabilidad que no ocurra
ningún suceso en un intervalo cualquiera de
longitud t, comience o no en el tiempo 0. En
resumen, los tiempos de interarribos de un
proceso de Poisson son independientes y se
distribuyen exponencialmente.
41
Propiedad de la falta de memoria
Cuando una variable aleatoria es exponencial,
entonces la FDP obedece:
42
Propiedad de la falta de memoria
43
Ejemplo
44
FDP normal o gausiana X~N(μ,σ)
●
●
Es la más importante y la más abusada de
las FDPs
Las FDPs de muchas estadísticas muestrales
tienden hacia la FDP normal conforme crece el
tamaño de la muestra.
45
FDP normal o gausiana X~N(μ,σ)
La FDP normal fue
descubierta
por
Abraham de Moivre en
1733 tomando un límite
de la FMP binomial, sin
embargo comúnmente
se conoce como FDP
gausiana ya que Karl
Friedrich Gauss la citó
en un artículo en 1809.
Abraham de Moivre (1667 – 1754),
matemático francés descubridor de la
distribución normal
46
FDP normal o gausiana X~N(μ,σ)
●
La FDP:
●
La FDA:
debe integrarse numéricamente, ya que no tiene solución analítica
47
FDP normal o gausiana X~N(μ,σ)
●
Media:
●
Varianza:
48
49
Ejemplos de aplicación
●
La resistencia a la compresión del concreto
●
Coeficiente de inteligencia ~N(μ=100,σ=15)
50
Propiedades de la FDP gausiana
●
●
fX(x) es simétrica alrededor de x=μ, la cual es al
mismo tiempo la media, mediana y moda de la
distribución, de hecho:
Los puntos de inflección de fX(x) ocurren en
x=μ+σ y x=μ-σ
51
Dominio de la FDP normal
●
●
Teóricamente el dominio de la FDP normal fX(x)
es (-∞,∞).
En la práctica puede ser útil suponer que cierta
variable, tal como la carga, el peso o el tiempo
se limitan físicamente a valores no negativos.
Por lo tanto, es importante observar las colas
para entender mejor como manejar el dominio
teórico (-∞,∞).
52
La FDA normal estándar
Cambio de variables:
donde,
FDP normal
estándar: observe
que es equivalente a
FX(x;0,1)
53
Transformación a la FDA normal
estándar
es una variable aleatoria
normalmente distribuída ~N(μ=0,σ=1)
por lo tanto,
54
Formulación alternativa de la FDA
normal estándar
La FDA normal estándar se puede escribir como:
donde la función erf está dada por:
NOTA: esta función ya está
programada en MATLAB (erf)y en
MS EXCEL (=ERF)
55
Probabilidades bajo la FDP normal
56
FDP normal con MS EXCEL
●
p = DISTR.NORMAL(x;μ;σ;FALSO)
= fX(x;μ;σ)
●
p = DISTR.NORMAL(x;μ;σ;VERDADERO)
= FX(x;μ;σ)
(-1)
●
x = DISTR.NORMAL.INV(p;μ;σ)
= FX (x;μ;σ)
●
p = DISTR.NORMAL.ESTAND(z)
= FX(p;0,1)
●
z = DISTR.NORMAL.ESTAND.INV(p)
= FX(-1)(p;0,1)
●
z = NORMALIZACION(x;μ;σ)
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FDP normal con MATLAB
●
y = normpdf(x,μ,σ);
= fX(x;μ,σ)
●
p = normcdf(x,μ,σ);
= FX(x;μ,σ)
●
x = norminv(p,μ,σ);
(-1)
= FX (p;μ,σ)
●
[m,v] = normstat(μ,σ);
= media y varianza
58
Dibujando la FDP normal con MATLAB
dentro de los límites especificados
●
p = normspec(specs,mu,sigma)
59
Ejemplo: FDP normal
Una fábrica de tornillos debe producir un tornillo con
especificación del diámetro igual a 2cm±0.1cm. Si el
diámetro de los tornillos se distribuyen según
~N(2.02cm, 0.06cm), ¿cuál es la probabilidad de que
un tornillo en la etapa de control de calidad sea
desechado?
60
Dibujo de probabilidad normal en
MATLAB con normplot
http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_probability_plot
Este es un test visual de normalidad.
61
Ejemplo 1: FDP normal
La resistencia de un cilindro de concreto se
distribuye según una FDP normal con media 220
2
2
kgf/cm y una desviación estándar de 20 kgf/cm .
Encuentre:
●
La probabilidad que f'c sea menor que 200kgf/cm2
62
63
Ejemplo 1: FDP normal
La resistencia de un cilindro de concreto se
distribuye según una FDP normal con media 220
2
2
kgf/cm y una desviación estándar de 20 kgf/cm .
Encuentre:
●
La probabilidad que f'c sea a lo más 250kgf/cm2
64
Ejemplo 1: FDP normal
La probabilidad que f'c esté entre 210 y 240kgf/cm
2:
65
Ejemplo 2: FDP normal
●
●
La demanda mensual de un producto sigue una
FDP N(μ=200 unidades,σ=40 unidades).
¿Qué tan grande debe ser el inventario
disponible a principios de un mes de modo que
la probabilidad de existencia de un producto
sea de al menos 95%?
66
Ejemplo 2: FDP normal
67
Teorema del límite central
68
Convergencia en distribución
69
Teorema del límite central
●
●
Este teorema será válido incluso si los
sumandos de Xi no son i.i.d., aunque algunas
restricciones con respecto a los grados de
dependencia y la tasa de crecimiento de los
momentos deben ser aún impuestas.
Por ejemplo, puede que las variables aleatorias
Xi no sean idénticamente distribuídas, siempre
y cuando cada variable individual tenga poco
efecto sobre la suma.
70
Teorema del límite central
●
Puesto que la variable aleatoria en muchos
fenómenos se origina a partir de variaciones
aditivas, no es sorprendente que los
histogramas que aproximan la FDP normal se
observen frecuentemente en la naturaleza y
que esta FDP se adopte a menudo como
modelo en la práctica.
71
Ejemplo del teorema del límite central
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Ejemplos: el teorema del límite
central en la vida práctica
●
●
●
La prueba del ICFES (como suma de puntos).
Las cargas muertas y vivas de una estructura
(se consideran como la suma de muchas
fuerzas relativamente pequeñas, suponiendo
que ninguna de ellas domina al total).
La longitud total es la suma de las diferentes
partes individuales: la longitud total de una
distancia, el tiempo total gastado repitiendo
varias operaciones idénticas en un programa
de construcción suponiendo que los tiempos
son independientes.
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La combinación lineal de variables
aleatorias normales también es normal
Ejemplo:
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Deducción de la FDP normal
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