Tema 2. Geometría en el espacio

Matemáticas I
Tema 2. Geometría en el espacio
La geometría espacial o geometría en el espacio es la rama de la geometría que se ocupa de las
propiedades y medidas de las figuras geométricas en el espacio tridimensional o espacio euclídeo. Entre
estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera,
el prisma, los poliedros regulares (los sólidos platónicos, convexos, y los sólidos de Kepler-Poinsot, no
convexos) y otros poliedros.
La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base
fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y
otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias
naturales.
Llamamos cuerpos geométricos a las figuras que se han de representar en el espacio tridimensional. Los
cuerpos geométricos ocupan siempre un espacio. Asimismo, los cuerpos que están huecos pueden
albergar en su interior otros cuerpos en una cantidad que recibe el nombre de capacidad. Existe una
relación directa entre la capacidad de un cuerpo y el volumen que éste ocupa.
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Clasificación de cuerpos geométricos (prismas, pirámides, cuerpos
redondos, poliédros platónicos y arquimedianos)
Los cuerpos geométricos son figuras idealizadas de objetos de la vida real. Estos cuerpos físicos reales
nos permiten construir el espacio geométrico. Los cuerpos geométricos no tienen existencia en el
espacio físico, existen en nuestra mente, son entes abstractos.
Cuando en la escuela nos presentan la caja de cuerpos geométricos, en realidad son objetos reales que
nos ayudan a construir las figuras idealizadas en nuestra mente.
En la siguiente imagen puedes ver cómo es posible idealizar un objeto tan común como la lata.
Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano
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Los cuerpos geométricos se pueden clasificar en poliedros o redondos
Poliedros. Los poliedros o cuerpos planos, son cuerpos geométricos compuestos exclusivamente por
figuras geométricas planas; como por ejemplo el cubo.
Hay 4 clases de poliedros:
1.
2.
3.
4.
Cubo
Pirámide
Prisma
Paralelepípedo
Todos ellos están limitados por polígonos y se llaman poliedros. Los prismas y las pirámides son
poliedros, pero hay además otros cuerpos geométricos. Poliedro es una porción de espacio limitada por
polígonos.
Como ya vimos un poliedro es una porción de espacio limitada por
polígonos. La siguiente figura es un poliedro que está formado por dos
caras que son pentágonos y cinco caras laterales que son
paralelogramos. Este poliedro se llama prisma de base pentagonal.
Elementos de un poliedro:
En éste y en todos los poliedros puedes observar los siguientes elementos:



Las caras de un poliedro, que son los polígonos que lo limitan.
Las aristas de un poliedro, que son los lados de las caras.
Los vértices de un poliedro, que son los puntos donde se juntan tres o más aristas.
Redondos. Son cuerpos geométricos compuestos total o parcialmente por figuras geométricas curvas;
como por ejemplo, el cilindro, la esfera o el cono.
Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos, una de sus caras o superficies de forma curva.
También se denominan cuerpos de revolución porque pueden obtenerse a partir de una figura que gira
alrededor de un eje.
Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano
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Construcción de cuerpos geométricos (prismas, pirámides, cuerpos
redondos, poliédros platónicos)
Para construir un Cuerpo Geométrico primero hay que elaborar la plantilla correspondiente, es
importante que estas tengan sus respectivas pestañas para así poder pegar sus caras. A continuación se
expondrán 3 ejemplos.
Cubo:
1. Se trazan cuatro (4) cuadrados iguales, uno seguido del otro.
2. Luego se dibujan dos (2) cuadrados más a cada lado de uno de los que hiciste anteriormente.
3. Recuerda que se deben trazar sus respectivas pestañas para así lograr pegar todo el cuerpo
geométrico y formar la figura.
Nota: La longitud de los cuadrados debe ser de igual medida en todos los cuadrados.
Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano
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Cono:
1. Se traza un círculo que será la base.
2. Luego se dibuja un triángulo cuya
base debe ser en forma de arco.
3. Las pestañas debes hacerlas en la
base del triángulo.
Pirámide Triangular:
1.
Se trazan tres (3) triángulos iguales,
uno a continuación del otro.
2. Luego se dibuja otro triángulo más
pequeño, que servirá como base
debajo de alguno de los trazados
anteriormente.
3. Recuerda dibujar las pestañas.
Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano
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Áreas y volúmenes. Problemas
A continuación se exponen algunas fórmulas para obtener áreas y volúmenes de cuerpos geométricos.
Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano
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Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano
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Nota. Los problemas y ejercicios referentes a este tema serán vistos y tratados en clase.
Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano
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