Solución 4 - Universidad Autónoma de Madrid

Universidad Autónoma de Madrid
Probabilidad y Estadı́stica
Propuesta de Problemas 4 (Soluciones)
1.
a) La estrategia consiste en elegir el número de dados que vamos a lanzar. Llamemos
en a la estrategia de lanzar n dados. Debemos calcular la esperanza de la variable
ganancia para cada estrategia y ver para cual es máxima.
e1 : La variable ganancia tiene como función de masa p(−1.25) = 3/6 = 1/2,
p(1) = 3/6 = 1/2. Por tanto
µ = −1.25 ∗
1
1
+ 1 ∗ = −0.25/2 = −0.125.
2
2
e2 : En este caso, p(−1.25) = (1/2)2 , p(1) = 2 ∗ (1/2)2 , p(0) = 1/4. Luego
µ = −1.25 ∗
1
2 0.75
+1∗ =
= 0.1875.
4
4
4
e3 : p(−1.25) = (1/2)3 , p(1) = 3 ∗ (1/2)3 , luego
µ = −1.25 ∗
3 1.75
1
+1∗ =
= 0.21875.
8
8
8
e4 : p(−1.25) = (1/2)4 , p(1) = 4 ∗ (1/2)4 , luego
4
2.75
1
+1∗
=
≈ 0.17.
16
16
16
en : p(−1.25) = (1/2)n , p(1) = n ∗ (1/2)n , luego
µ = −1.25 ∗
1
n n − 1.25
+1∗ n =
.
n
2
2
2n
Parece que la esperanza máxima ocurre par e3 y luego va decreciendo. Para comprobar que efectivamente decrece, deberı́amos ver que
µ = −1.25 ∗
(n + 1) − 1.25 n − 1.25
<
.
2n+1
2n
Si simplificamos esa desigualdad, vemos que equivale a n > 2.25, luego efectivamente
es cierto que la esperanza va bajando a partir de n = 3, y por tanto la estrategia
óptima es e3 .
b) Por las propiedades de la esperanza µY = 100 ∗ 1.75/8 = 21.875. Además, como la
varianza de la ganancia en una partida es
1
4
3
+ (0 − µ)2 ∗ + (1 − µ)2 ∗ ≈ 0.5225,
8
8
8
√
tenemos que Var(Y ) = 100 ∗ 0.5225 ≈ 52.25, luego σY = 52.25 ≈ 7.23. Ası́, la
estimación para el resultado de Y es
(−1.25 − µ)2 ∗
21.875 ± 7.23.
1 de 5
Universidad Autónoma de Madrid
Probabilidad y Estadı́stica
c) Como ya sabemos la media µY y la DT σY de Y , aproximamos las probabilidades
que nos piden usando un variable normal N con media µY y DT σY . Yo lo he hecho
con R para terminar antes. Queda
x
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
P(x < N ≤ x + 5)
9.52/100000
1.14/1000
8.54/1000
4.04 %
12.06 %
22.69 %
26.96 %
20.23 %
9.58 %
2.86 %
5.39/1000
6.39/10000
d ) En general, los resultados de las simulaciones se parecen mucho a los obtenidos
con la aproximación; esto tiene sentido ya que Y es una suma de muchas variables
independientes (100 variables). Sin embargo, la aproximación no es buena en los
intervalos de los extremos; esto también tiene sentido, ya que sabemos que las simulaciones aproximan muy mal la probabilidad real si esta es pequeña. También
podrı́a ser porque la aproximación normal funciona peor en los extremos, en términos relativos.
2.
a) Como en el√apartado 1.b), tenemos que µY = 7 ∗ 0.21875 ≈ 1.53 y σY2 = 7 ∗ 0.5225,
luego σY = 7 ∗ 0.5225 ≈ 1.53. Por tanto, la aproximación para Y es
1.53 ± 1.91.
b) Hacemos como en el apartado 1.c), pero usando la media y DT del apartado 2.a).
Ası́, obtenemos la siguiente tabla:
2 de 5
Universidad Autónoma de Madrid
Probabilidad y Estadı́stica
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
P(x < N ≤ x + 1)
3.70/100000
2.78/10000
1.59/1000
7.00/1000
2.35 %
6.04 %
11.88 %
17.89 %
20.62 %
18.19 %
12.29 %
6.35 %
2.51
7.61/1000
c) Sabemos que la variable ganancia en una partida corresponde a sacar un boleto al
azar de la caja
-1.25
1
1
1
0
0
0
0
.
Por tanto, la variable Y corresponde a la suma de 7 boletos sacados con reposición
de dicha caja. Como debemos hacer bastantes cálculos, vamos a elegir un lenguaje
sencillo de expresión: vamos a clasificar los sucesos por el número de boletos de cada
clase que aparecen. Por ejemplo, 24 serı́a el suceso de que aparezcan en las 7 sacadas
2-1.25, 4 1 y el resto boletos con 0 (pudiendo aparecer en cualquier orden).
Ası́, el suceso 24 darı́a Y = 2 ∗ (−1.25) + 4 ∗ 1 + (7 − 2 − 4) ∗ 0 = 1.5. Por otra parte,
teniendo en cuenta las reordenaciones,
P(24) =
7!
1
3
4
( )2 ( )4 ( )7−2−4 ≈ 1.62 %.
2!4!(7 − 4 − 2)! 8
8
8
De la misma forma, podemos hacer el cálculo para cualquier suceso ab con 0 ≤
a + b ≤ 7. Ası́, conseguimos la siguiente tabla (con dos decimales de aproximación).
Yo he realizado los cálculos con R para ahorrar tiempo (y vosotros también podrı́ais
haberlo hecho).
3 de 5
Universidad Autónoma de Madrid
Probabilidad y Estadı́stica
ab
70
60
61
50
51
52
40
41
42
43
30
31
32
33
34
20
21
22
Y
-8.75
-7.50
-6.50
-6.25
-5.25
-4.25
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-3.75
-2.75
-1.75
-0.75
0.25
-2.50
-1.50
-0.50
P
4.77/107
1.34/105
1.00/105
1.60/104
2.40/104
9.01/105
1.07/1000
2.40/1000
1.80/1000
4.51/104
4.27/1000
1.28 %
1.44 %
7.21/1000
1.35/104
1.03 %
3.85 %
5.77 %
ab
23
24
25
10
11
12
13
14
15
16
00
01
02
03
04
05
06
07
Y
0.50
1.50
2.50
-1.25
-0.25
0.75
1.75
2.75
3.75
4.75
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
P
4.33 %
1.62 %
2.43/1000
1.37 %
6.15 %
11.54 %
11.54 %
6.49 %
1.95 %
2.43/1000
7.81/1000
4.10 %
9.22 %
11.54 %
8.65 %
3.89 %
9.73/1000
1.04/1000
Como no aparece ninguna Y repetida, esta tabla nos da directamente la función de
masa de Y (aunque desordenada). Por ejemplo p(1.50) ≈ 1.62 %.
d ) Simplemente tenemos que sumar las probabilidades correspondientes a cada intervalo. Por ejemplo
P(0 < Y ≤ 1) = p(0.25) + p(0.50) + p(0.75) + p(1.00) ≈ 20.10 %.
Por otra parte, como por el apartado 2.b) sabemos que la aproximación normal
es P(0 < N ≤ 1) ≈ 17.89 %, tenemos que el error relativo cometido al usar dicha
aproximación es
20.10 % − 17.89 %
≈ 10.97 %.
20.10 %
Repitiendo estos pasos con cada intervalo, podemos construir la siguiente tabla:
4 de 5
Universidad Autónoma de Madrid
Probabilidad y Estadı́stica
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
P(x < Y ≤ x + 1)
1.70/10000
1.31/1000
2.49/1000
6.07/1000
2.35 %
6.65 %
13.42 %
20.10 %
22.39 %
18.27 %
10.60 %
4.14 %
9.73/1000
1.04/1000
P(x < N ≤ x + 1)
3.70/100000
2.78/10000
1.59/1000
7.00/1000
2.35 %
6.04 %
11.88 %
17.89 %
20.62 %
18.19 %
12.29 %
6.35 %
2.51 %
7.61/1000
Error Relativo
78.28 %
78.79 %
36.10 %
15.16 %
8.96/10000
9.22 %
11.46 %
10.97 %
7.88 %
4.00/1000
15.94 % %
53.54 %
158.14 %
629.33 %
Vemos que la aproximación normal en este caso no es buena; esto era de esperar
porque Y es una suma de pocas variables (sólo 7). Vemos que las zonas donde la
aproximación es peor son los intervalos de los extremos (donde la probabilidad real
es más pequeña), y mejor en los intervalos centrales.
5 de 5