Centro de masa. Centro de gravedad. Centroides.

Centro de masa. Centro de gravedad. Centroides.

MOMENTOS

Hasta ahora se han
calculado
momentos
de fuerzas. Sin embargo,
en muchos problemas
de ingeniería aparecen
momentos de masas,
fuerzas,
volúmenes,
superficies
o
líneas
respecto a ejes o planos.
Ejemplo: Momento de
una
superficie
A
(contenida en el plano
xy) respecto al eje y.
y
0
xi
dAi
x
La
superficie
puede
considerarse compuesta por
elementos de superficie muy
pequeños de área dA. Así, el
momento de un elemento
respecto al eje será:
dM i  xi dAi

Y el momento total de la
superficie A respecto del eje y
será:
n
M y   xi dAi
i 1

o M y   xi dAi
A
El momento de una masa,
fuerza, volumen, superficie o
línea respecto a un eje, plano o
línea se definen de manera
análoga.
CENTRO DE GRAVEDAD

De acuerdo con la noción de Centro de Gravedad
proporcionada en el vídeo, explique la razón de que se
mantenga el sistema en equilibrio. Use términos como: peso,
centro de gravedad, punto de apoyo.
CENTRO DE GRAVEDAD
•
El peso de un cuerpo es la
resultante
de
las
fuerzas
distribuidas que la Tierra ejerce
sobre los puntos materiales que
constituyen el cuerpo.
•
Se considera que el peso está
dirigido
verticalmente
a
la
superficie terrestre.

r3 ( x 3 , y 3 , z 3 )
•
El centro de gravedad se halla
dividiendo la suma de los productos
de las coordenadas con sus pesos
parciales correspondientes por el
peso total del sistema.
y CG

r2 ( x 2 , y 2 , z 2 )
z CG

r1( x1, y1, z1 )

r4 ( x 4 , y 4 , z 4 )
1
x i Wi

W
1

y i Wi

W
1

zi Wi

W
x CG 
W  mg
CDG DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE PESO

Un elemento de peso en una distribución continua es
dW   dV

donde γ es el peso específico del material (peso por unidad
de volumen) y dV es el volumen del elemento. El peso total
del cuerpo será:
W    dV
V

y según la definición de CDG:
x CG


V
x (  dV )

V

 dV
Análogamente,
y CG


V
y (  dV )

V
 dV
y
z CG


V
z (  dV )

V
 dV
CG DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE PESO
Centro de gravedad
CENTRO DE MASA (CDM)
El centro de masa de un sistema discreto o
continuo es el punto geométrico que
dinámicamente se comporta como si en él
estuviera aplicada la resultante de las fuerzas
externas al sistema.
 Se
puede decir que el sistema formado por toda la
masa concentrada en el centro de masas es un
sistema equivalente al original.
 Normalmente
como c.m.
se abrevia
 Podemos
decir que el centro de la masa o el centro
de gravedad es el punto de aplicación del peso
corporal (peso = masa x aceleración de la gravedad).
¿CENTRO DE MASA O CENTRO DE GRAVEDAD?
Caso 1
Caso 2
 La
definición física del centro de masa es una colección
de partículas (m 1, m 2, m 3), cuyas posiciones pueden
ser representados por vectores de posición (r 1, r 2, r 3),
respectivamente, en comparación con un sistema
inercial (posiciones con respecto a un observador que es
él mismo una partícula libre o sistema).
 En
un tratamiento de sistemas de masas puntuales el
centro de masas es el punto donde, a efectos
inerciales, se supone concentrada toda la masa del
sistema.
 El
concepto se utiliza para análisis físicos en los que no
es indispensable considerar la distribución de masa. Por
ejemplo, en las órbitas de los planetas.
OTROS CONCEPTOS QUE SE RELACIONAN
 En
la Física, el centroide, el centro de gravedad y el
centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias,
coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los
términos de manera intercambiable, aunque
designan conceptos diferentes.

El centroide es un concepto
puramente
geométrico
que
depende de la forma del sistema.

El centro de masas coincide con el
centroide. Cuando la densidad es
uniforme o cuando la distribución de
materia en el sistema que tiene
ciertas propiedades, tales como
simetría.
CENTROIDE

El centro de masas depende de la distribución de materia,
mientras que el centro de gravedad depende también del
campo gravitatorio.

El centro de masas coincide con el centro de gravedad,
cuando el sistema se encuentra en un campo gravitatorio
uniforme (el módulo y la dirección de la fuerza de
gravedad son constantes).
CENTRO DE GRAVEDAD
CÁLCULO DE UN C.M.
 Distribución
discreta de materia.
Para un sistema de masas discreto, formado por un
conjunto de masas puntuales, el centro de masas
se puede calcular como:
 mi:
 ri:
masa de la partícula i-ésima
vector de posición de la masa i-ésima respecto al
sistema de referencia asumido.
 Distribución
cuasidiscreta de materia
En el caso de un sistema de cuerpos
cuasipuntuales, o cuerpos que distan entre sí
mucho más que las dimensiones de cada uno de
los cuerpos, el cálculo anterior resulta bastante
aproximado.
 Distribución
continua de materia
Para sistemas de masas continuos o distribuciones
continuas de materia debemos recurrir al Cálculo
Infinitesimal e Integral, de modo que la expresión anterior
se escribe en la forma:
 Distribución
de masa Homogénea
Si la masa está distribuida homogéneamente, la
densidad será constante por lo que se puede sacar fuera
de la integral haciendo uso de la relación siguiente:
Siendo V el Volumen total
 Para
cuerpos
bidimensionales
monodimensionales
(líneas)
se
densidades
superficiales
y
respectivamente.
 Para
(superficies)
o
trabajará
con
longitudinales
el caso de cuerpos con densidad uniforme, el
c.m. coincidirá con el centroide del cuerpo.
 Distribución
de masa No homogénea
Los centros de masas en cuerpos de densidad
variable pueden calcularse si se conoce la función
de densidad . En este caso se calcula el centro de
masas de la siguiente forma.
Obviamente, para calcular la integral hay que
conocer la función de densidad.
 Para
el cálculo de sólidos de revolución resulta muy
útil el Teorema de Pappus-Guldin.
CÁLCULO DE CENTRO DE MASA
 El
área A, de una superficie de revolución generada
mediante la rotación de una curva plana C alrededor
de un eje externo a C sobre el mismo plano, es igual a
la longitud de C, s, multiplicada por la distancia, d,
recorrida por su centroide en una rotación completa
alrededor de dicho eje.
A=sd
TEOREMA DE PAPPUS-GULDIN
CENTRO DE MASA
El centro de masa de un sistema discreto o
continuo es el punto geométrico que
dinámicamente se comporta como si en él
estuviera aplicada la resultante de las fuerzas
fexternas al sistema.
Se puede
decir que:
El sistema formado
por toda la masa
concentrada en el
centro de masas
es un sistema
equivalente al
original.
Se abrevia
Se abrevia
como c.m.
Definición
fisica
Centro de masa es
una colección de
partículas (m 1, m 2,
m 3), cuyas
posiciones pueden
ser representados
por vectores de
posición (r 1, r 2, r 3),
respectivamente, en
comparación con
un sistema inercial
Conceptos
relacionados
En la Física, el
Centroide, el
centro de
gravedad y el
centro de masas
pueden, bajo
ciertas
circunstancias,
coincidir entre sí.