1 Considere el siguiente juego en forma extensiva: (i) Defina

Considere el siguiente juego en forma extensiva:
x
(3, 6)
L
a
y
2
x
1
b
M
I
(2, 5)
(1, 3)
(3, 2)
y
a
2
1
(4, 3)
(8, 4)
L
b
D
1
a
(5, 7)
(3, 4)
M
b
(6, 5)a
(i)
Defina estrategia. Represente el juego en forma normal o estratégica.
(ii)
Defina estrategia (estrictamente) dominada. ¿Qué combinaciones de
estrategias sobreviven a la Eliminación Iterativa de Estrategias Estrictamente
Dominadas (EIEED)?
(iii)
Defina equilibrio de Nash. Obtenga los equilibrios de Nash.
(iv)
Defina equilibrio perfecto en subjuegos. Obtenga los equilibrios perfectos en
subjuegos.
(i) Definición de Estrategia.
“Una estrategia de un jugador es una descripción completa de lo que haría en caso de
ser llamado a jugar en cada uno de sus nodos de decisión. Hay que especificarlo incluso
en aquellos nodos que no fueran alcanzables para él dado el comportamiento actual del
otro o de los otros jugadores”. Es un plan de comportamiento o plan de conducta.” (Es
una función en la que cada jugador asigna una acción a cada nodo que le corresponde.
1
Una estrategia de un jugador tiene tantas componentes como conjuntos de información
tenga el jugador.)
Juego en forma normal.
2
Lx
Ly
Mx
My
Iaa
(3, 6)
(3, 6)
(2, 5)
(1, 3)
Iab
(3, 6)
(3, 6)
(2, 5)
(1, 3)
Iba
(3, 6)
(3, 6)
(3, 2)
(8, 4)
Ibb
(3, 6)
(3, 6)
(3, 2)
(8, 4)
Daa
(4, 3)
(4, 3)
(3, 4)
(3, 4)
Dab (5, 7)
(5, 7)
(6, 5)
(6, 5)
Dba (4, 3)
(4, 3)
(3, 4)
(3, 4)
Dbb (5, 7)
(5, 7)
(6, 5)
(6, 5)
1
(ii) Definición: Estrategia (estrictamente) dominada
“Decimos que una estrategia está estrictamente dominada para un jugador si existe otra
estrategia que conduce a mejores resultados cualesquiera que sean las estrategias
seguidas por los demás jugadores”.
“ sidd está estrictamente dominada si ∃sid tal que Π i ( sid , s− i ) > Π i ( sidd , s− i ), ∀s− i ∈ S − i ”.
Estrategias estrictamente dominadas:
Iaa (por Dab y Dbb); Iab (por Dab y Dbb); Daa (por Dab y Dbb) y Dba (por Dab y
Dbb).
2
Eliminación Iterativa de Estrategias Estrictamente Dominadas (EIEED)
2
Lx
Ly
Mx
My
Iaa
(3, 6)
(3, 6)
(2, 5)
(1, 3)
Iab
(3, 6)
(3, 6)
(2, 5)
(1, 3)
Iba
(3, 6)
(3, 6)
(3, 2)
(8, 4)
Ibb
(3, 6)
(3, 6)
(3, 2)
(8, 4)
Daa
(4, 3)
(4, 3)
(3, 4)
(3, 4)
Dab (5, 7)
(5, 7)
(6, 5)
(6, 5)
Dba (4, 3)
(4, 3)
(3, 4)
(3, 4)
Dbb (5, 7)
(5, 7)
(6, 5)
(6, 5)
1
1ª Etapa: Iaa, Iab, Daa y Dba son estrategias estrictamente dominadas. Las eliminamos
y computamos el juego reducido.
2ª Etapa: Mx y My son estrategias estrictamente dominadas (por Lx y Ly) del juego
reducido. Las eliminamos y computamos el juego reducido.
3ª Etapa: Iba e Ibb son estrategias estrictamente dominadas (por Dab y Dbb) del juego
reducido. Las eliminamos y computamos el juego reducido.
Estrategias que sobreviven a la EIEED: (Dab, Lx), (Dab, Ly), (Dbb, Lx) y (Dbb,
Ly)
3
(iii) Definición de equilibrio de Nash.
“Una combinación de estrategias s ≡ (s1 , ...,s n ) constituye un equilibrio de Nash si
*
*
*
la estrategia de cada jugador es la mejor respuesta (o al menos una de ellas) ante las
estrategias seguidas por los otros jugadores.” Es decir, s ≡ (s1 , ...,s n ) es un equilibrio
*
*
*
de Nash si: s *i ∈ MRi (s−i
)∀i,i = 1,...,n
{
*
}
donde MRi (s*−i ) = s'i ∈ Si : Πi (si' ,s *−i ) ≥ Π i (si ,s *−i ), ∀si ∈ Si ,si ≠ s'i .
Equilibrios de Nash
(Dab, Lx), (Dab, Ly), (Dbb, Lx) y (Dbb, Ly)
(iv) Definición de equilibrio perfecto en subjuegos.
“Una jugada o combinación de estrategias s ≡ (s1 , ...,s n ) , que sea equilibrio de Nash,
*
*
*
constituye un equilibrio perfecto en subjuegos si las partes relevantes de las estrategias
de equilibrio de cada uno de los jugadores son también de equilibrio para cada uno de
los subjuegos.”
x
(3, 6)
L
a
y
2
x
1
b
M
I
(2, 5)
(1, 3)
(3, 2)
y
a
2
1
(4, 3)
(8, 4)
L
b
D
1
a
(5, 7)
(3, 4)
M
b
(6, 5)a
En el juego sólo hay dos subjuegos: el que comienza en el nodo superior del jugador 1 y
el que coincide con el propio juego. Consideramos el primero de ellos y exigimos que
4
las partes relevantes de las estrategias de equilibrio sean también de equilibrio en este
subjuego.
(2, 5)
x
a
y
(1, 3)
2
1
x
(3, 2)
b
y
(8, 4)
En este subjuego la combinación de estrategias (b, y) es el único equilibrio de Nash.
Computamos el juego reducido en el que hemos eliminado todos aquellos
comportamientos que no son de equilibrio en el subjuego superior y vamos al anterior
subjuego que coincide con el propio juego y que comienza en el nodo inicial del jugador
1.
(3, 6)
L
b
y
2
1
M
I
a
2
1
(4, 3)
L
b
D
1
a
(5, 7)
(3, 4)
M
s1
MR2
s2
MR1
Iba
Ly
Ly
Dbb
Ibb
Ly
My
Iba, Ibb
Dba
My
Dbb
Ly
b
(6, 5)a
5
(8, 4)
En el juego reducido la combinación de estrategias (Dbb, Ly) es el único equilibrio de
Nash. Por tanto, (Dbb, Ly) es el único EPS.
No EPS: (Dab, Lx), (Dab, Ly) y (Dbb, Lx) ya que las partes relevantes de las
estrategias no son de equilibrio en el subjuego superior.
6