ACTIVIDAD 1 ... Suspensión de una rueda de ... remolque.

ACTIVIDAD 1
UNIDAD 10
Suspensión de una rueda de automóvil o de enganche de
remolque.
Esta actividad es un poco más larga y requiere una inmersión en matemáticas. No obstante,
con un poco de esfuerzo y la ayuda de tu profesor puedes comprender la ventaja de reducir a
analogías matemáticas los ejemplos físicos.
La figura muestra un sistema consistente en un muelle y un amortiguador unidos a una masa
sobre la que actúa una fuerza dependiente del tiempo. El objetivo es conseguir que el sistema
sea "estable" para evitar oscilaciones que lo pongan fuera de control.
x
k.x
m.a
F(t)
b.v
m
(b)
Los datos del sistema muelle amortiguador son:
k, constante elástica del muelle [N/m].
b, coeficiente de amortiguamiento viscoso [N.s/m]. (Puedes comparar esta expresión con la ley
de Newton de la viscosidad vista en el capítulo anterior y observarás que son equivalentes).
m, masa [kg].
f(t), fuerza dependiente del tiempo, que consideramos periódica de la forma f(t)=f0sen , donde
f0, es la fuerza máxima [N].
2
, pulsación [rad/s].  
 2 . , con

, periodo o tiempo en una oscilación [s].
, frecuencia o número de oscilaciones en la unidad de tiempo [s
ó hertz].
La variable independiente es el tiempo, t [s], y la dependiente es el espacio, x [m], que es
donde se desplaza la masa o sufre elongación; el resto de elementos son parámetros
constantes del sistema; x es una función del tiempo x=x(t). Como variables derivadas tenemos
la velocidad, v [m/s], que adquiere la masa, y la aceleración, a [m/s2].
v
d
x , que se lee: variación de la posición x con respecto al tiempo (derivada del espacio
dt
respecto al tiempo).
a
d
d d
d2
v
x  2 x , que se lee: variación de la velocidad v con respecto al tiempo
dt
dt dt
dt
(derivada de la velocidad respecto al tiempo o derivada segunda del espacio respecto al
tiempo).
Las fuerzas que aparecen son:
Fuerza recuperadora del muelle de módulo k.x (proporcional a la deformación).
Fuerza de fricción viscosa (amortiguación, proporcional a la velocidad) de módulo b.v  b.
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d
x.
dt
Actividades  Tecnología Industrial II. Bachillerato  1 de 3
Fuerza que da el producto m..a  m
d2
x (proporcional a la aceleración).
dt 2
Fuerza excitadora f(t)=f0sen t
Las condiciones iniciales del sistema son:
Para t=0, x=0, f(t)=0, v=0, a=0.
La aplicación de la ecuación de equilibrio de la mecánica
f
 m.a , teniendo en cuenta el
diagrama del sólido libre de la figura, es:
f (t )  k.x  b.
d
d2
x  m. 2 x ,
dt
dt
que, para más comodidad, vamos a colocar así:
m.
d2
d
x  b. x  k .x  f (t )
2
dt
dt
Es decir, en este sistema mecánico, la función de entrada es la fuerza f(t) que ejercen las
irregularidades de la carretera y que provoca el desplazamiento o la fuerza del remolque sobre
el coche tras un frenazo o acelerón, siendo la función de salida el desplazamiento x=x(t) que no
conocemos. Un tipo de ecuación como que hemos obtenido se conoce como ecuación
diferencial (conocemos la relación entre la variación de la variable dependiente respecto de la
independiente y debemos calcular la función). Hay diversas teorías sobre la forma de
resolverlo. Por ahora, solamente ten en cuenta que es preciso conocer las condiciones iniciales
de t=0, aunque para nosotros en principio son siempre nulas.
En el sistema de circuito RLC, la entrada es la tensión producida por un generador E(t), y la
función que vamos a utilizar como salida es la carga almacenada en el circuito. Estos circuitos
pueden entrar en resonancia tanto como en instalaciones industriales, en las que se trata de
mejorar el factor de potencia con la colocación de condensadores. Se pueden producir
sobreintensidades no deseadas ("inestabilidad").
L
R
C
E(t)
Los parámetros y datos del circuito son:
R, resistencia en ohmios. La caída de tensión en la resistencia es VR=R.i
L, coeficiente de autoinducción en henrys. La caída de tensión es VL 
C, capacidad en faradios. La caída de tensión es VC 
d
i
dt
q 1

i.dt
C C

q, carga en culombios.
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Actividades  Tecnología Industrial II. Bachillerato  2 de 3
i(t), intensidad en amperios. Debemos recordar que la intensidad es la variación de la carga
con respecto al tiempo i 
d
q o bien q   i.dt .
dt
e(t), fuerza electromotriz en voltios.
La ley de Kirchhof para las tensiones nos dice que la caída de tensión en los elementos del
circuito es igual a la fuerza electromotriz.
VL  VR  VC  e(t )
L
d2
d
1
q  R i  q  e(t )
dt2
dt C
Ahora observamos como esta ecuación es en todo semejante a la del sistema muelle
amortiguador sin más que realizar las equivalencias:
Sistema mecánico
Sistema eléctrico
m, masa
L, autoinducción
b,
coeficiente R, resistencia
amortiguación
k, constante elástica
del muelle
1
, inversa
C
de la
capacidad
x, desplazamiento
q, carga
v, velocidad
i, intensidad
F, fuerza aplicada
E,
fuerza
electromotriz
aplicada
Tabla Analogías mecánicas y eléctricas.
¿Serías capaz de encontrar la función de transferencia de ambos sistemas utilizando la
ecuaciones en forma de Laplace?
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Actividades  Tecnología Industrial II. Bachillerato  3 de 3