Examen resuelto en pdf.

Prueba de acceso a la Universidad Bachillerato
Logse
(Junio 2005)
Prueba de Física
1
Cuestiones
C1.
Se quiere medir g a partir del período de oscilación de un péndulo formado
por una esfera de cierta masa suspendida de un hilo. La esfera tiene una carga q
positiva y el péndulo se encuentra en una región con un campo eléctrico dirigido
hacia abajo; sin embargo, el experimentador no conoce estos hechos y no los
tiene en cuenta. Responda, justicando su respuesta, si el valor de la gravedad
que obtiene es mayor o menor que el real. (1 punto).
Aplicamos la segunda Ley de Newton
X
~t = m ~at ⇒ −mg sin φ − Fe sin φ = mat
F
donde Fe es la interacción eléctrica y at la aceleración tangencial. Como la amplitud
ha de ser pequeña, entonces sin φ ' φ, y la ecuación de movimiento resulta
ml
d2 φ
+ (mg + Fe )φ = 0
dt2
Si comparamos con la ecuación característica de un M.A.S.
d2 ξ
+ ω2 ξ = 0
dt2
deducimos que
ω2 =
como
mg + qE
mg + Fe
=
ml
ml
4π 2
T2
donde T , es el período de oscilación; deducimos
ω2 =
4π 2
mg + qE
=
T2
ml
r
⇒ T = 2π
El período que medirá el experimentador será
T 02 = 4π 2
l
g0
Si comparamos ambos períodos deducimos que
g0 =
q
E + g
m
Por lo que el valor de g 0 será mayor que el real g .
C2.
2
mg + qE
ml
n
f
t
P
F
Figura 1: Dinámica para este péndulo inmerso en un campo eléctrico.
Al iluminar cierto metal, cuya frecuencia de trabajo es 4.5 eV, con una
fuente de 10 W de potencia que emite luz de 101 5 Hz, no se produce el efecto
fotoeléctrico. Conteste y razone si se producirá el efecto fotoeléctrico. Conteste y
razone si se producirá el efecto si se duplica la potencia de la fuente. (1 punto).
El hecho de aumentar la intensidad no implica variar la frecuencia. Es por lo que
llegarán más fotones pero no con la suciente energía para producir la ionización. No
se produce el efecto fotoeléctrico.
D1.
Sea ve la velocidad de escape de un cuerpo situado en la supercie de la
Tierra. ¾Cuánto valdrá, en función de ve , la velocidad de escape del cuerpo si
éste se situa inicialmente a una altura, medida desde la supercie, igual a tres
radios terrestres? (1 punto)
Supongamos que el punto en el que el cuerpo escapa del campo gravitatorio terrestre, es el punto B indicado en la gura (2). En este caso, la energía para este punto
ha de ser nula.
Se lanza desde la supercie de la Tierra -(punto A)- un objeto, y por el principio
de conservación de la energía, la energía que ha de llevar en B es igual a la energía
producida en A; es decir
EA = EB
⇒
mM
1
m v2 − G
= EB
2
R
como la energía en B ha de ser nula, entonces
1
mM
m ve2 = G
2
R
3
B
A
3R
R
Figura 2: Relación entre las velocidades de escape.
siendo M , la masa de la Tierra, m la masa del objeto, y la velocidad de lanzamiento
v , es ahora la velocidad que llamamos de escape, ve . Por tanto dicha velocidad es
r
ve =
2
GM
R
Si el objeto se lanzase desde la otra posición, a una distancia 4R del centro de la
Tierra, la velocidad de escape en este caso resulta
EA =
1
mM
m v2 − G
= EB
2
4R
como ha de escapar del campo, la energía en B ha de ser nula. Por tanto
1
mM
m ve02 = G
2
4R
de donde la nueva velocidad de escape resulta
ve02 = 2
GM
1
= ve2
4R
4
siendo pues la relación entre ambas velocidades
ve0 =
1
ve
2
D2.
¾Qué campo magnético es mayor en módulo: el que existe en un punto situado a una distancia R de una corriente rectilínea de intensidad I , o el que hay
en un punto auna distancia 2R de otra corriente rectilínea de intensidad 2I ?
Justique la respuesta. (1 punto)
4
2I
I
R
B
2R
1
B2
Figura 3: Relación entre campos magnéticos.
El campo magnético producido por una corriente I que circula por un hilo recto e
indenido, lo determinamos aplicando la ley de Ampere
I
~ = Ic µ o
~ · dl
B
donde Ic es la corriente que corta el circuito.
~
El camino de integración es la línea que se indica en la gura 3. En cada punto, dl
es paralelo al campo magnético. Por tanto
I
I
~ =
~ · dl
B
I
Bdl = B
dl = B2πR
De forma que
I c µo
2πR
Si consideramos una intensidad doble y un punto para medir el campo magnético
producido, a una distancia del cable también doble. Dicho campo tendrá un valor
B2πR = Ic µo
B2 =
⇒ B1 =
2Ic µ0
I c µo
=
= B1
2π2R
2πR
Decimos por tanto que los campos magnéticos son iguales.
5
p
rp
ra
a
Figura 4: Saturno y la nave en órbita.
Problemas
P1.
La nave espacial Cassini-Huygens se encuentra orbitando alrededor de Saturno en una missión para estudiar este planeta y su entorno. La misión llegó a Saturno en el verano de 2004 y concluirá en 2008 después de que la nave complete
un total de 74 órbitas de formas diferentes. La masa de Saturno es de 5684,61023
kg y la masa de la nave es de 6000 kg (Dato: G = 6,6710−11 m3 kg −1 s−2 )
① Si la nave se encuentra en una órbita elíptica cuyo periastro (punto de la
órbita más cercano al astro) está a 498970 km de Saturno y cuyo apoastro
(punto más alejado) está a 9081 700 Si la nave se encuentra en una órbita
elíptica cuyo periastro (punto de la órbita más cercano al astro) está a 498
970 km de Saturno y cuyo apoastro (punto más alejado) está a 9 081 700
km, calcule la velocidad orbital de la nave cuando pasa por el apoastro.
(Utilice el principio de conservación de la energía y la 2o ley de Kepler.)
(1 punto)
② Calcule la energía que hay que proporcionar a la nave para que salte de
una órbita circular de 4,5 millones de km de radio a otra órbita circular
de 5 millones de km de radio. (1 punto)
③ Cuando la nave pasa a 1 270 km de la supercie de Titán (la luna más
grande de Saturno, con un radio de 2 575 km y 1 3451020 kg de masa), se
libera de ella la sonda Huygens. Calcule la aceleración a que se ve sometida
la sonda en el punto en que se desprende de la nave y empieza a caer hacia
Titán. (Considere sólo la inuencia gravitatoria de Titán.) (1 punto)
➀ La energía mecánica en los puntos a y p, tal y como se muestra en la gura
(4), ha de ser la misma, por el principio de conservación. Es decir
Mm
1
Mm
1
mva2 − G
= mvp2 − G
2
ra
2
rp
donde M es la masa de Saturno y m la masa de la nave.
6
A
B
rA
rb
Figura 5: Salto de órbita.
Por otro lado, aplicamos la conservación del momento angular
~a = L
~p
L
Resolvemos el sistema
va =
⇒
La = Lp
r
GM
⇒ rp mvp = ra mvp
2rp
= 20854 ms−1
ra (ra + rp )
➁ La energía que hay que suministrar es la diferencia de energía que lleva la
nave en las orbitas, es decir
EB − EA
donde los puntos A y B corresponden a tales orbitas, tal y como apreciamos
en la gura (5). La energía mecánica en dichos puntos es
1
Mm
2
m vA
− G
2
ra
EA =
1
Mm
2
m vB
− G
2
rb
Por otro lado, la interacción que experimenta la nave con el planeta en
ambas posiciones es
EB =
m
2
vA
mM
= G
ra
ra
2
⇒ vA
= G
M
ra
2
vB
mM
M
2
= G
⇒ vB
= G
rb
rb
rb
Introduciendo estas velocidades en las energías correspondientes, obtenemos
M
Mm
1 Mm
1
− G
= − G
EA = m G
2
ra
ra
2
ra
m
7
sonda
m
d
Titán
M
R
Figura 6: Sonda en Titán.
1 Mm
G
2
rb
POr tanto, la energía sumistrada es la difrencia de energías
EB = −
EB − EA = −
1 Mm
1 Mm
1 M m(rb − ra )
G
+ G
= G
= 2,53109 J
2
rb
2
ra
2
ra rb
➂ La sonda está sometida a la interacción de Titán, como apreciamos en la
gura 6
mM
ma = G
(d + R)2
donde a, es la aceleración de la sonda; m, la masa de la sonda; M , la masa
de Titán; d, la distancia de la supercie de Titán a la sonda, y R, es el
radio de Titán.
La aceleración resulta
a = G
M
= 0,607m s−2
(d + R)2
P2.
Puliendo por frotamiento una de las caras de un cubito de hielo puede construirse una lente convergente plano convexa. El índice de refracción del hielo es
1,31.
① Calcule el radio de curvatura que debería darse a la cara pulida de la lente
de hielo para que pudiera ser utilizada para leer, en una urgencia, por una
persona que necesita gafas de 5 dioptrías. (1 punto)
8
② La lente puede también emplearse para encender fuego por concentración
de los rayos solares. Determine la separación que debe existir entre un
papel y la lente para intentar quemar el papel haciendo que los rayos se
enfoquen sobre el mismo. (Considere nulo el espesor de la lente.) (1 punto)
③ Otra aplicación de esta lente podría ser en un faro casero. Con la lente
podemos enviar la luz de una fuente luminosa (una vela, por ejemplo) a
distancias lejanas si producimos un haz de rayos paralelos. Calcule cuántas
veces mayor es la intensidad luminosa, sobre un área a 1 km de distancia
de la vela, cuando se utiliza la lente para enviar un haz de rayos paralelos,
que la intensidad que habría únicamente con la vela sin utilizar la lente.
(1 punto)
➀ Consideramos que hemos formado con el cubito una lente delgada, cuya potencia
viene expresada por
1
1
ϕ = (n − 1) (
−
)
r1
r2
como la lente es plano convexa, el valor de r1 = ∞. Como conocemos la potencia
así como el índice del medio, el valor del radio de curvatura será
r2 =
1−n
= −0,2 cm
ϕ
➁ La separación entre el papel y la lente es precisamente la distancia focal, es decir
f =
1
1
=
= 0,2 m = 20 cm
ϕ
5
Colocamos la vela en el foco para producir un frente plano. En este caso la
intensidad, que es proporcional a la distancia al cuadrado, resulta
Il ∝
1
f2
Si no tenemos lente, la intensidad I , resulta a una distancia de un kilómetro de
la vela
1
I ∝ 2
d
La relación entre ambas intensidades
Il
=
I
µ ¶2
d
f
= 25 106
Por tanto la intensidad utilizando la lente Il , es 25 millones de veces superior.
P3.
Un electrón y un positrón (partícula de masa igual a la del electrón y con una
carga de igual valor pero de signo positivo) se encuentran separados inicialmente
9
d/2
P
x
d
Figura 7: Interacción entre electrones.
una distancia de 10−6 m; el positrón está en el origen de coordenadas y el
electrón a su derecha. (Datos: |e| = 1, 610−19 C,me = 9, 110−31 kg, 1/4π²0 =
9109 N m2 C−2 .) Calcule:
➀ El campo eléctrico en el punto medio entre ambas partículas, antes de que
empiecen a moverse atraídas entre sí. (1 punto)
➁ El módulo de la aceleración inicial del electrón (o del positrón) en el momento en que empieza a moverse hacia la otra partícula. (1 punto)
➂ La energía potencial eléctrica del conjunto de las dos partículas, cuando
se han aproximado hasta una distancia de 10−7 m. (1 punto)
➀ Determinamos el campo eléctrico en el punto medio P , para ello aplicamos
el principio de superposición, de forma que en el punto P , y debido a que el
positrón es un manantial, el sentido del campo será según el unitario ı̂. Debido
al electrón, el sentido es también ı̂. Es decir
~ =
E
1
e
1
e
2 e
ı̂ +
ı̂ =
ı̂ = 11520 ı̂ N/C
4π²0 (d/2)2
4π²0 (d/2)2
π²0 d2
➁ La aceleración inicial del electrón es
~
e2
~ = m ~a ⇒ ~a = F = − 1
F
ı̂ = − 2,53 1014 ı̂ m/s2
m
4π²0 md2
Su módulo es a = 2,531014 m/s2
➂ La energía potencial eléctrica del conjunto a la distancia d1 = 10−7 cm es
Ep = −
1 e2
= −2,3 10−21 J
4π²0 d1
10