ENLACE QUIMICO Y ESTRUCTURA DE LA MATERIA PRIMERO DE INGENIERIA QUIMICA Relación de problemas II 1.- ¿Cuáles son las longitudes de onda de: a) un fotón; b) un electrón, teniendo cada uno de ellos 1 eV de energía (total el fotón y cinética el electrón) ? Sol.: a) λ =1,24·10-6 m ; b) λ =12,26 Å 2.- Calcular la longitud de onda asociada a: a) un electrón que se desplaza a una velocidad de 700 km/s; b) un coche de 1000 kg que se desplaza a una velocidad de 200 km/h. (me=9,1·10-31 kg) Sol.: a) λ =1,04·10-9 m ; b) λ =1,19·10-38 m 3.- La frecuencia fotoeléctrica umbral (ν0) del volframio corresponde a una radiación de longitud de onda de 230 nm. Determine la longitud de onda de la onda asociada a los electrones fotoemitidos por una superficie de volframio sometida a una luz ultravioleta de longitud de onda de 180 nm. Sol.: λasoc. =10 Å 4.- Si un electrón pasa a través de una diferencia de potencial de un voltio, adquiere una energía de un electronvoltio (eV). a) Para que un electrón tenga una longitud de onda asociada de 1Å, ¿a través de qué diferencia de potencial debe pasar?. b) ¿Cuál es la velocidad de este electrón?. c) ¿A través de qué diferencia de potencial debe pasar un protón para tener una longitud de onda asociada de 1Å? Sol.: a) ∆V =150,4 V ; b) v =7,27·106 m/s ; c) ∆V =0,0819 V 5.- Un electrón se mueve con una velocidad de 106 m·s-1. Si se determina su posición con una precisión de 10-12 m, calcular la indeterminación de la medida simultánea de su cantidad de movimiento. Comparar la indeterminación de la medida con la magnitud de su propia cantidad de movimiento. Sol.: ∆(mv)≥5,27·10-23 Kg·m·s-1 ; mv=9,1·10-25 Kg·m·s-1 , ∆(mv)>>mv. 6.- Un proyectil de 200g de masa se mueve rectilíneamente a una velocidad de 100 km·h-1. Si su posición puede determinarse fotográficamente con una precisión de 5·10-7 m, calcular la indeterminación de la medida simultánea de su cantidad de movimiento. Comparar la indeterminación de la medida con la magnitud de su propia cantidad de movimiento. Sol.: ∆(mv)≥1,05·10-28 Kg·m·s-1 ; mv=5,56 Kg·m·s-1 , ∆(mv)<<mv. 7.- a) Calcular la longitud de onda asociada a un átomo de helio a 27 ºC. Suponga que se puede medir la posición del átomo de helio con una precisión de 10-11 m, compare la incertidumbre en la cantidad de movimiento del átomo de helio con su cantidad de movimiento real. b) Repetir los cálculos del apartado anterior para un átomo de xenón a 27 ºC. DATOS : Ecinética=3kT/2 (k :constante de Boltzmann= 1,3807·10-23 J·K-1 ; T :temperatura absoluta= 273,15+tª(ºC)). Pesos atómicos del He y del Xe: 4,0026 y131,30 respectivamente. Sol.: a) λHe=0,73Å ; ∆p≥5,27·10-24 kg·m·s-1 ; p=9,09·10-24 kg·m·s-1 ; ∆p/p=58% . b) λXe=0,13Å ; ∆p≥5,27·10-24 kg·m·s-1 ; p=5,21·10-23 kg·m·s-1 ; ∆p/p=10,1% . 8.- Indicar cuáles de las siguientes funciones son funciones propias del operador d 2 dx 2 , indicando en su caso el valor propio correspondiente: a) sen(3x) ; b) 6cos(4x) ; c) 5x3 ; d) 1/x ; e) 3e-5x ; f) ln(2x). Sol.: Funciones propias: a (-9) ; b (-16) ; e (25). 9.- Una partícula de masa m se mueve en una dimensión entre x=a y x=b, en cuya región una solución de la ecuación de Schrödinger es ψ= A/x , en donde A es una constante de normalización. a) Calcular el valor de A. b) Demostrar que el valor esperado para el observable posición es: x = a·b ·ln (b ) b−a Sol.: a) A = ± a·b b−a 1 2 a·b ó ± i b−a 1 2 a 10.- a) Obtenga una fórmula para la diferencia entre los niveles de energía permitidos a una pelota de cesta punta que pesa 100 g y se mueve en un frontón de 30 m de largo. b) ¿A qué velocidades deben corresponder dichos niveles de energía? c) ¿En qué nivel de energía se encuentra la pelota cuando su velocidad es de 10 m/s? Sol.: a) ∆E( J ) = E n 2 − E n1 = 6 ,10·10 −70 n22 − n12 ; b) vn(m/s)=1,1·10-34·n ; c) n=9,09·1034 ( ) 11.- Para una partícula en una caja monodimensional en su estado fundamental calcule: a) la probabilidad de que la partícula se encuentre en la mitad derecha de la caja; b) la probabilidad de que la partícula se encuentre en el tercio central de la caja. Repita los mismos cálculos para el segundo nivel excitado. Sol.: a) 0,5 ; b) 0,609 . c) 0,5 ; d) 0,333. 12.- Para un electrón en una determinada caja unidimensional, la transición observada de menor frecuencia es 2,0·1014 s-1. a) Calcular la longitud de la caja. b) Determinar la longitud de onda asociada al electrón en cada uno de los niveles energéticos entre los que se produce la transición. Sol.: a)1,2 nm ; b) para n=2→ λe=1,2 nm ; para n=1→ λe=2,4 nm 13.- a) Calcule la energía (en kJ/mol) del nivel fundamental y del primer nivel excitado para un electrón en un foso de potencial de barreras infinitas de 0,5 nm de anchura. b) Si el electrón salta de n=2 a n=3 ¿cuál es la longitud de onda de la radiación absorbida? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el electrón se encuentre entre 0,25005 nm y 0,24995 nm para los niveles de energía correspondientes al nivel fundamental y a los dos primeros niveles excitados? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el electrón se encuentre entre 0,16662 nm y 0,16672 nm para los niveles del apartado anterior? Sol.: a) E1=145,22 kJ/mol, E2=580,88 kJ/mol; b) λ=165 nm ; c) 4·10-4 , 0 , 4·10-4 ; d) 3·10-4 , 3·10-4 , 0. 14.- a) Calcular la diferencia entre las velocidades permitidas, en dos niveles energéticos consecutivos, de un electrón confinado en una caja monodimensional de longitud 1 radio de Bohr; y de una bola de billar de 0,2 kg moviéndose a lo largo de una mesa de billar de 2 m perpendicularmente a las dos bandas opuestas más alejadas. Si la bola de billar se mueve a 2 m/s, b) ¿cuál es el número cuántico que representa su estado?; c) ¿Cuántos máximos presenta el cuadrado de la función de onda correspondiente?; d) ¿Cuál será la distancia entre dos máximos consecutivos? Sol.: a) ∆v=vn+1 – vn=h/2lm ; para electrón ∆v=6,88·106 m/s , para bola ∆v=8,28·10-34 m/s . b) n=2,415·1033 . c) n=2,415·1033 . d) 8,3·10-34 m. 15.- Un modelo simple para explicar las moléculas con dobles enlaces conjugados supone que los electrones del doble enlace se pueden mover libremente a lo largo de la cadena. Para el butadieno la longitud de la cadena es de 560 pm y en su estado fundamental los cuatro electrones del doble enlace se sitúan en n=1 y n=2 (dos en cada nivel). a) Calcule el número de ondas y la longitud de onda de la radiación absorbida cuando un electrón salta de n=2 a n=3. b) Explique porqué en moléculas conjugadas más largas el espectro de absorción aparece a longitudes de onda mayores. Sol.: a) ν = 4,84·106 m-1 , λ=206,7 nm ; b) A mayor l, menor ∆E y por tanto, mayor λ. 16.- Para una partícula de masa m en una caja cúbica de lado a: a) ¿Cuántos estados tienen una energía dentro del intervalo 0 a 16h2/8ma2? b) Indicar cuántos niveles de energía caen en este intervalo y qué grado de degeneración tiene cada uno. Sol.: a) 17 estados ; b) 6 niveles: (1,1,1) degeneración 1; (2,1,1) degeneración 3 ; (2,2,1) degeneración 3 ; (3,1,1) degeneración 3 ; (2,2,2) degeneración 1 ; (3,2,1) degeneración6. 17.- ¿Cuál es la diferencia de energías entre los dos primeros niveles energéticos (entre el estado fundamental y el primer estado excitado) de un electrón confinado en una caja cúbica de 1 radio de Bohr (a0) de arista? ¿Cuál es la frecuencia de la radiación capaz de excitar a este electrón desde el estado fundamental al primer estado excitado? Sol.: ∆E=6,45·10-17 J ; ν=9,74·1016 s-1.