Relación de problemas 2

ENLACE QUIMICO Y ESTRUCTURA DE LA MATERIA
PRIMERO DE INGENIERIA QUIMICA
Relación de problemas II
1.- ¿Cuáles son las longitudes de onda de: a) un fotón; b) un electrón, teniendo cada uno de ellos 1 eV
de energía (total el fotón y cinética el electrón) ?
Sol.: a) λ =1,24·10-6 m ; b) λ =12,26 Å
2.- Calcular la longitud de onda asociada a: a) un electrón que se desplaza a una velocidad de 700 km/s;
b) un coche de 1000 kg que se desplaza a una velocidad de 200 km/h. (me=9,1·10-31 kg)
Sol.: a) λ =1,04·10-9 m ; b) λ =1,19·10-38 m
3.- La frecuencia fotoeléctrica umbral (ν0) del volframio corresponde a una radiación de longitud de
onda de 230 nm. Determine la longitud de onda de la onda asociada a los electrones fotoemitidos por
una superficie de volframio sometida a una luz ultravioleta de longitud de onda de 180 nm.
Sol.: λasoc. =10 Å
4.- Si un electrón pasa a través de una diferencia de potencial de un voltio, adquiere una energía de un
electronvoltio (eV). a) Para que un electrón tenga una longitud de onda asociada de 1Å, ¿a través de
qué diferencia de potencial debe pasar?. b) ¿Cuál es la velocidad de este electrón?. c) ¿A través de qué
diferencia de potencial debe pasar un protón para tener una longitud de onda asociada de 1Å?
Sol.: a) ∆V =150,4 V ; b) v =7,27·106 m/s ; c) ∆V =0,0819 V
5.- Un electrón se mueve con una velocidad de 106 m·s-1. Si se determina su posición con una precisión
de 10-12 m, calcular la indeterminación de la medida simultánea de su cantidad de movimiento.
Comparar la indeterminación de la medida con la magnitud de su propia cantidad de movimiento.
Sol.: ∆(mv)≥5,27·10-23 Kg·m·s-1 ; mv=9,1·10-25 Kg·m·s-1 , ∆(mv)>>mv.
6.- Un proyectil de 200g de masa se mueve rectilíneamente a una velocidad de 100 km·h-1. Si su
posición puede determinarse fotográficamente con una precisión de 5·10-7 m, calcular la
indeterminación de la medida simultánea de su cantidad de movimiento. Comparar la indeterminación
de la medida con la magnitud de su propia cantidad de movimiento.
Sol.: ∆(mv)≥1,05·10-28 Kg·m·s-1 ; mv=5,56 Kg·m·s-1 , ∆(mv)<<mv.
7.- a) Calcular la longitud de onda asociada a un átomo de helio a 27 ºC. Suponga que se puede medir
la posición del átomo de helio con una precisión de 10-11 m, compare la incertidumbre en la cantidad de
movimiento del átomo de helio con su cantidad de movimiento real. b) Repetir los cálculos del
apartado anterior para un átomo de xenón a 27 ºC.
DATOS : Ecinética=3kT/2 (k :constante de Boltzmann= 1,3807·10-23 J·K-1 ; T :temperatura absoluta=
273,15+tª(ºC)). Pesos atómicos del He y del Xe: 4,0026 y131,30 respectivamente.
Sol.: a) λHe=0,73Å ; ∆p≥5,27·10-24 kg·m·s-1 ; p=9,09·10-24 kg·m·s-1 ; ∆p/p=58% . b) λXe=0,13Å ;
∆p≥5,27·10-24 kg·m·s-1 ; p=5,21·10-23 kg·m·s-1 ; ∆p/p=10,1% .
8.- Indicar cuáles de las siguientes funciones son funciones propias del operador d 2 dx 2 , indicando en
su caso el valor propio correspondiente: a) sen(3x) ; b) 6cos(4x) ; c) 5x3 ; d) 1/x ; e) 3e-5x ; f) ln(2x).
Sol.: Funciones propias: a (-9) ; b (-16) ; e (25).
9.- Una partícula de masa m se mueve en una dimensión entre x=a y x=b, en cuya región una solución
de la ecuación de Schrödinger es ψ= A/x , en donde A es una constante de normalización. a) Calcular el
valor de A. b) Demostrar que el valor esperado para el observable posición es: x = a·b ·ln (b )
b−a
Sol.: a) A = ± 
a·b 

b−a
1
2
 a·b 
ó ± i

b−a
1
2
a
10.- a) Obtenga una fórmula para la diferencia entre los niveles de energía permitidos a una pelota de
cesta punta que pesa 100 g y se mueve en un frontón de 30 m de largo. b) ¿A qué velocidades deben
corresponder dichos niveles de energía? c) ¿En qué nivel de energía se encuentra la pelota cuando su
velocidad es de 10 m/s?
Sol.: a) ∆E( J ) = E n 2 − E n1 = 6 ,10·10 −70 n22 − n12 ; b) vn(m/s)=1,1·10-34·n ; c) n=9,09·1034
(
)
11.- Para una partícula en una caja monodimensional en su estado fundamental calcule: a) la
probabilidad de que la partícula se encuentre en la mitad derecha de la caja; b) la probabilidad de que la
partícula se encuentre en el tercio central de la caja. Repita los mismos cálculos para el segundo nivel
excitado.
Sol.: a) 0,5 ; b) 0,609 . c) 0,5 ; d) 0,333.
12.- Para un electrón en una determinada caja unidimensional, la transición observada de menor
frecuencia es 2,0·1014 s-1. a) Calcular la longitud de la caja. b) Determinar la longitud de onda asociada
al electrón en cada uno de los niveles energéticos entre los que se produce la transición.
Sol.: a)1,2 nm ; b) para n=2→ λe=1,2 nm ; para n=1→ λe=2,4 nm
13.- a) Calcule la energía (en kJ/mol) del nivel fundamental y del primer nivel excitado para un electrón
en un foso de potencial de barreras infinitas de 0,5 nm de anchura. b) Si el electrón salta de n=2 a n=3
¿cuál es la longitud de onda de la radiación absorbida? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el electrón se
encuentre entre 0,25005 nm y 0,24995 nm para los niveles de energía correspondientes al nivel
fundamental y a los dos primeros niveles excitados? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el electrón se
encuentre entre 0,16662 nm y 0,16672 nm para los niveles del apartado anterior?
Sol.: a) E1=145,22 kJ/mol, E2=580,88 kJ/mol; b) λ=165 nm ; c) 4·10-4 , 0 , 4·10-4 ; d) 3·10-4 , 3·10-4 , 0.
14.- a) Calcular la diferencia entre las velocidades permitidas, en dos niveles energéticos consecutivos,
de un electrón confinado en una caja monodimensional de longitud 1 radio de Bohr; y de una bola de
billar de 0,2 kg moviéndose a lo largo de una mesa de billar de 2 m perpendicularmente a las dos
bandas opuestas más alejadas. Si la bola de billar se mueve a 2 m/s, b) ¿cuál es el número cuántico que
representa su estado?; c) ¿Cuántos máximos presenta el cuadrado de la función de onda
correspondiente?; d) ¿Cuál será la distancia entre dos máximos consecutivos?
Sol.: a) ∆v=vn+1 – vn=h/2lm ; para electrón ∆v=6,88·106 m/s , para bola ∆v=8,28·10-34 m/s . b)
n=2,415·1033 . c) n=2,415·1033 . d) 8,3·10-34 m.
15.- Un modelo simple para explicar las moléculas con dobles enlaces conjugados supone que los
electrones del doble enlace se pueden mover libremente a lo largo de la cadena. Para el butadieno la
longitud de la cadena es de 560 pm y en su estado fundamental los cuatro electrones del doble enlace se
sitúan en n=1 y n=2 (dos en cada nivel). a) Calcule el número de ondas y la longitud de onda de la
radiación absorbida cuando un electrón salta de n=2 a n=3. b) Explique porqué en moléculas
conjugadas más largas el espectro de absorción aparece a longitudes de onda mayores.
Sol.: a) ν = 4,84·106 m-1 , λ=206,7 nm ; b) A mayor l, menor ∆E y por tanto, mayor λ.
16.- Para una partícula de masa m en una caja cúbica de lado a: a) ¿Cuántos estados tienen una energía
dentro del intervalo 0 a 16h2/8ma2? b) Indicar cuántos niveles de energía caen en este intervalo y qué
grado de degeneración tiene cada uno.
Sol.: a) 17 estados ; b) 6 niveles: (1,1,1) degeneración 1; (2,1,1) degeneración 3 ; (2,2,1) degeneración
3 ; (3,1,1) degeneración 3 ; (2,2,2) degeneración 1 ; (3,2,1) degeneración6.
17.- ¿Cuál es la diferencia de energías entre los dos primeros niveles energéticos (entre el estado
fundamental y el primer estado excitado) de un electrón confinado en una caja cúbica de 1 radio de
Bohr (a0) de arista? ¿Cuál es la frecuencia de la radiación capaz de excitar a este electrón desde el
estado fundamental al primer estado excitado?
Sol.: ∆E=6,45·10-17 J ; ν=9,74·1016 s-1.