Presentación de PowerPoint - MSc. Ing. Julio Rito Vargas Avilés

Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua
UNAN-Managua
Curso de Investigación de Operaciones
Profesor:
MSc. Julio Rito
Vargas Avilés.
IVUnidad
UnidadIV
Dualidad
y Análisis de ySensibilidad
Análisis
de Sensibilidad
Dualidad
Estudiantes:
FAREM-Carazo
Año
Académico:
II Semestre 2010
Objetivos:
Los participantes al finalizar la unidad serán capaces de:
 Analizar la importancia del problema Dual y su relación con el
Primal.
Comprender el principio de solución del Método Simplex Dual.
Resolver problemas de Programación Lineal mediante el Simplex
Dual.
Efectuar Análisis de Sensibilidad a una solución dada de un PPL.
 Hacer valoraciones cuando los recursos de un PPL cambian, ya
Dualidad y análisis de sensibilidad
Introducción.
• La asignación de probabilidades a los eventos es una tarea
difícil que muchos gerentes pueden mostrarse difícil a hacer,
por lo menos con cierto grado de exactitud. En algunos casos
prefieren decir “creo que la probabilidad de que este evento
ocurra está entre 0.5 y 0.7”.
• Bajo estas circunstancias, como en cualquier aspecto de
decisión gerencial, es útil realizar un análisis de sensibilidad
para determinar cómo afecta a la decisión la asignación de
probabilidades.
Dualidad y análisis de sensibilidad
Introducción.
• El análisis de sensibilidad concierne al estudio de
posibles cambios en la solución óptima disponible
como resultado de hacer cambios en el modelo
original.
Variaciones que podemos realizar en el modelo general:
Mediante el análisis de sensibilidad pueden existir diferentes
tipos de cambios en el modelo original como:
1. Cambios en los coeficientes de la función objetivo, Cij
2. Cambios en los recursos, bi
3. Cambios en los coeficientes tecnológicos, aij
4. Adición de una nueva variable y Xi
5. Adición de una nueva restricción. aij >= bi
WinQSB
Dualidad y análisis de sensibilidad
Teoría de dualidad:
• La teoría de dualidad parte de que asociado a todo
problema de PL, existe otro problema lineal llamado Dual.
• Las relaciones entre el problema dual y el problema
original o (primal) son en extremos útiles en una gran
variedad de situaciones.
• Uno de los aspectos más importantes de la teoría de
dualidad es la interpretación y realización del análisis de
sensibilidad.
Dualidad y análisis de sensibilidad
Esencia de la teoría de dualidad:
Dada la forma estándar para el problema primal (izquierda), su
problema dual tiene la forma que se muestra a la derecha.
Max
n
Z  cjxj
j 1
sujeto
n
a
j 1
ij
a:
x j  bi
xj  0
Min W  m b y
 i i
i 1
sujeto
n
a
j 1
ij
a:
yi  c j
yi  0
El problema dual usa exactamente los mismos parámetros que el
problema primal, pero en diferentes lugares.
Dualidad y análisis de sensibilidad
Esencia de la teoría de dualidad:
Dada la forma matricial del problema primal (izquierda), y
del problema dual.
Max
Z  cx
sujeto
Ax  b
x0
Min W  yb
a:
sujeto
yA  c
a:
y0
Donde C y Y son vectores fila y b y x son vectores columna.
Dualidad y análisis de sensibilidad
Dualidad y análisis de sensibilidad
La Wyndor lass Co. Produce artículos de vidrio de alta
calidad, entre ellos ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres.
Plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la
planta 1, los de madera en la planta 2; la planta 3 produce el
vidrio y ensambla los productos.
Debido a una reducción de las ganancias, la alta gerencia ha
decidido reorganizar la línea de producción de la compañía.
Se descontinuarán varios productos no rentables y se dejará
libre una parte de la capacidad de producción para
emprender la fabricación de dos productos nuevos que tienen
ventas potenciales grandes:
Dualidad y análisis de sensibilidad
Producto 1: una puerta de vidrio de 8 pies con marco de
aluminio.
Producto 2: una ventana corrediza con marco de madera de 4
pies x 6.
El producto 1 requiere capacidad de producción en las plantas
1 y 3 y nada en la planta 2. El producto 2, solo necesita trabaja
en las plantas 2 y 3. La división de comercialización ha
concluido que la compañía pede vender todos los productos
que se puedan fabricar en las plantas. Sin embargo, como
ambos productos competirán por la misma capacidad de
producción en la planta 3, no se está claro cual es la mezcla de
productos que sería mas rentable.
Dualidad y análisis de sensibilidad
Se conoce que el número de horas disponible en la
semana para las plantas 1,2 y 3, para los nuevos
productos son las siguientes:
Planta 1: 4 horas; planta 2: 12 horas y planta 3: 18
horas.
Cada producto se fabricará en lotes de 20 unidades
totales.
En la tabla siguiente se detalla el tiempo requerido en
horas en cada planta para producir un lote de cada
producto.
Dualidad y análisis de sensibilidad
Tiempo de producción
por lote en hrs
Tiempo
disponible
semanal
Planta
Producto 1
Producto 2
(horas)
1
1
0
4
2
0
2
12
3
3
2
18
Ganancia x lote
$3000
$5000
Dualidad y análisis de sensibilidad
X1: número de lotes del producto 1 ( puertas de vidrios)
X2: número de lotes del producto 2 (ventas corredizas)
Z= ganancia semanal total (miles de dólares) al producir
puertas y ventas de vidrio.
Es un problema típico de mezcla de programación lineal
de maximización.
Problema primal y dual para el ejemplo Wyndor Glass Co.
Max
Z  3 x1  5 x2
sujeta
x1  4
a:
Min
W  4 y1  12 y 2  18 y3
sujeta
a:
y1  3 y3  3
2 x2  12
2 y 2  2 y3  5
3 x1  2 x2  18
y1  0
x1  0
y2  0
x2  0
y3  0
A la izquierda se muestra el problema primal en forma algebraica
y a la derecha el problema dual en forma algebraica.
Problema primal y dual para el ejemplo Wyndor Glass Co.
Max
Z  3
sujeta
1
0


3
 x1 
5

 x2 
a:
0
 4 
x


1
12
2



 x


2 


2

18

 x1 
0 

x 
0 
 
 2
Min
W   y1
sujeta
 y1
y2
 y1
y2
y2
4

y3 
12
 

18

a:
1
y3 
0

3
y3   0
0
2
  3
2

0
5
0
A la izquierda se muestra el problema primal en forma matricial y
a la derecha el problema dual en forma matricial.
Solución del P. dual, para el ejemplo Wyndor Glass Co.
La solución óptima es: Y1=0 , Y2=1.5, Y3=1 para z= 36
Solución del primal, para el ejemplo Wyndor Glass Co.
Precio
sombra
La solución óptima es: x1=2 y x2=6 para z= 36
Esto es, se debe producir 40 puertas(dos lotes) y 120( 6 lotes)
ventanas para una utilidad máxima de U$36,000 .
Solución del primal, para el ejemplo Wyndor Glass Co.
El costo reducido identifica el costo que genera incrementar una
unidad para cada variable no básica.
La columna Déficit o Superávit muestra los valores de las
variables de holgura.
La columna precio sombra: esto es, cuanto se estaría dispuesto a
pagar por una hora extra para producir mas puertas y/o ventanas.
Problema
primal
Problema
Dual
Interpretación económica del Dual
Dualidad y análisis de sensibilidad
Ejemplo 2:
La empresa KZ se dedica a la fabricación de
tres producto; A, B y C. El procedimiento de
producción
involucra
tres
operaciones:
formación,
acabado
e
inspección.
El
departamento de ingeniería industrial, ha
establecido los siguientes estándares de
producción en cada operación.
Datos de producción para la
compañía (minutos por producto)
El departamento de contabilidad por su parte,
pronostica los siguientes costos e ingresos para la
compañía.
Datos de costo e ingreso para la compañía
Se desea saber el número de cada tipo de producto
que deberán producirse de tal manera que se
optimice el beneficio por las 8 horas de trabajo del
día. Considerando la información, se planteó el
modelo de programación lineal:
Z  20 x1  35 x2  45 x 3
sujeto
a:
2 x1  6 x2  2 x3  480 f ormación
3 x1  2 x2  2 x3  480inspección
2 x1  2 x2  4 x3  480acabado
Dual del Problema
Min W= 480Y1 + 480Y2 + 480y3
Sujeto a:
2y1 + 3y2 + 2y3 ≥ 20
6y1 + 2y2 + 2y3 ≥ 35
2y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 45
y1 ≥ 0
y2 ≥ 0
y3 ≥0
Ejemplo
1. Determine los rangos de variación de las variables básicas en
donde la base actual permanece
2. ¿Cuál es el rango de los recursos en donde la base actual
permanece?
3. ¿En cuáles de las operaciones recomendaría usted contratar
tiempo extra y por que?
4. ¿Que pasaría si se programaran 20 minutos extras en el
departamento de inspección, cambiaría la función objetivo?
5. ¿En cuánto se incrementaría la utilidad óptima actual si se
programan 50 minutos en el departamento de formado?
6. ¿Qué pasaría con la solución óptima actual si se programaran
30 minutos de mantenimiento en el departamento de
Dualidad y análisis de sensibilidad
6.
Si se logran reducir los costos de producción en el producto B en un
25%, ¿cómo se afecta la base actual y el objetivo?
7.
Si los trabajadores ofrecen trabajar minutos extras a razón de
$5/minuto, ¿recomendaría usted tiempo extra?, si lo recomienda, en
que departamento y cuanto tiempo extra puede programarse sin
cambiar la mezcla actual?
8.
¿Que pasearía si se programara la producción de 10 unidades del
producto A ?
9.
¿Qué pasaría si por cambios en maquinaría y procesos el producto A
cambiara sus tiempos de fabricación en
10. a.
a1= (2,3,2)
11. b.
a1 = (1,2,2)T
12. Por políticas de la empresa es necesario producir un nuevo producto
con las siguientes características C4=60, a4 = (2,1,3)T, ¿Qué
recomendaría?
Solución Inicial del modelo (winqsb)
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
3. Ken & Larry Inc. surte su helado a los expendios en
cuatro sabores: chocolate, vainilla, chicle y banano. Debido
al calor extremo y la alta demanda, la compañía tiene un
déficit en el abastecimiento de los ingredientes: leche,
azúcar y crema .
Esto no le permite satisfacer todas las órdenes recibidas
de sus expendios. Por estas circunstancias, la compañía a
decidido seleccionar la cantidad que debe producir de cada
sabor para maximizar la ganancia total, dadas las
restricciones en las cantidades de ingredientes básicos.
29
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Sujeto a:
• La compañía tiene solo 220 galones de leche, 170
libras de azúcar y 70 galones de crema. (por mes)
• Un galón de helado de chocolate consume: 0.45 galón
de leche, 0.5 libra de azúcar y 0.10 galón de crema.
• Un galón de helado de Vainilla consume: 0.5 galón
de leche, 0.4 libra de azúcar y 0.15 galón de crema.
• Un galón de helado de banano consume: 0.4 galón de
leche, 0.4 libra de azúcar y 0.2 galón de crema.
• Un galón de helado de chicle consume: 0.4 galón de
leche, 0.4 libra de azúcar y 0.3 galón de crema.
30
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Sujeto a:
• La compañía para mantener su mercado cautivo de
sabores a decidido también producir al menos 30
galones de helados de cada uno de los cuatro sabores.
• Los sabores de chocolate, vainilla, banano y chicle
generan ganancias respectivas de $1.10, $1.0, $0.9,
y $.95 por galón.
220 gls
170 lbs
70 gls
31
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Variables de decisión
X1 = Números de Galones de helados de chocolate
X2 = Números de Galones de helados de vainilla
X3 = Números de Galones de helados de plátano
X4= Números de Galones de helados de chicle
32
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Función objetivo
Max. Z = 1.1 X1 + 1.0 X2 + 0.90X3 + 0.95X4
$ = ($/galón de chocolate) x (Número galones chocolate)
+ ($/galón de vainilla) x (Número galones vainilla)
+ ($/galón de plátano) x (Número galones plátano)
+ ($/galón de chicle) x (Número galones chicle)
33
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Restricción de producción(leche)
0.45X1 es el total de galones de leche que se requieren para
producir X1 galones de chocolates
0.5X2 es el total de galones de leche que se requieren para
producir X2 galones de vainilla
0.4X3es el total de galones de leche que se requieren para
producir X3 galones de banano
0.4X4 es el total de galones de leche que se requieren para
producir X4 galones de chicle
0.45X1 + 0.5X2 + 0.4X3 + 0.4X4  220
34
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Restricción de producción(azúcar)
0.5X1 es el total de libras de azúcar que se requieren para
producir X1 galones de chocolates
0.4X2 es el total de libras de azúcar que se requieren para
producir X2 galones de vainilla
0.4X3es el total de libras de azúcar que se requieren para
producir X3 galones de banano
0.4X4 es el total de libras de azúcar que se requieren para
producir X4 galones de chicle
0.5X1 + 0.4X2 + 0.4X3 + 0.4X4  170
35
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Restricción de producción(crema)
0.1X1 es el total de galones de crema que se requieren para
producir X1 galones de chocolates
0.15X2 es el total de galones de crema que se requieren para
producir X2 galones de vainilla
0.2X3es el total de galones de crema que se requieren para
producir X3 galones de banano
0.3X4 es el total de galones de crema que se requieren para
producir X4 galones de chicle
0.1X1 + 0.15X2 + 0.2X3 + 0.3X4  70
36
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Compromisos de demanda
X1 galones de chocolate  30 galones
X2 galones de vainilla  30 galones
X3 galones de Banano  30 galones
X4 galones de chicles  30 galones
37
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Max. Z = 1.1 X1 + 1.0 X2 + 0.90X3 + 0.95X4
Sujeto a:
0.45X1 + 0.5X2 + 0.4X3 + 0.4X4  220
0.5X1 + 0.4X2 + 0.4X3 + 0.4X4  170
0.1X1 + 0.15X2 + 0.2X3 + 0.3X4  70
X1
 30
X2
 30
X3
 30
X4
 30
No se necesitan las condiciones de no negatividad puesto que existen restricciones de
38
demanda mayores que cero para todas las variables de decisión.
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Coeficientes del modelo matemático
SIGUE
39
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Solución
SIGUE
40
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
PREGUNTAS ADICIONALES
• Suponga que la ganancia por galón de banano
es $1.00 ¿cambia la solución óptima y que se
puede decir de la ganancia total?
-Cambia la ganancia
total
Cambia la solución
óptima.
41
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
PREGUNTAS ADICIONALES
• Suponga que la ganancia por galón de banano
es $0.92 ¿cambia la solución óptima y que se
puede decir de la ganancia total? -Cambia levemente la
ganancia total
No cambia la solución
óptima
Se podría decir que no
hay cambios relevantes
42
en la optimización.
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
PREGUNTAS ADICIONALES
• Suponga que descubren tres galones de crema
agrio que tienen que tirarse ¿cambia la solución
óptima y que se puede decir de la ganancia total?
Se podría decir que no hay
cambios en la optimización
ni en la ganancia, eran
sobrantes.
43
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
PREGUNTAS ADICIONALES
• Suponga que tienen la oportunidad de comprar
15 libras adicionales de azúcar por un costo total
de $15.00¿Deben comprarlas ? explique
Con 15 libras de azúcar adicionales
44
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
4. Constructora. ¿Qué cantidad de grava enviar
de cada distribuidor(tres) a cada proyecto(tres)
con el objeto de minimizar
los costos totales?
Sujeto a:
• No enviar más de; 150 tons. del distribuidor 1;
175 tons. del distribuidor 2 y 275 tons. del
distribuidor 3.
• Enviar 200 tons. al proyecto 1; 100 tons. al
proyecto 2 y 300 tons. al proyecto 3.
45
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
• Los costos de envío del distribuidor i al proyecto j
son los siguientes:
• Costo del distribuidor 1 al proyecto 1, C11=$6
• Costo del distribuidor 1 al proyecto 2, C12=$8
• Costo del distribuidor 1 al proyecto 3, C13=$10
• Costo del distribuidor 2 al proyecto 1, C21 =$7
• Costo del distribuidor 2 al proyecto 2, C22=$11
• Costo del distribuidor 2 al proyecto 3, C23=$11
• Costo del distribuidor 3 al proyecto 1, C31 =$4
• Costo del distribuidor 3 al proyecto 2, C32=$5
• Costo del distribuidor 3 al proyecto 3, C33=$12
46
Costos de Envío
Costos de Envío (por tonelada)
Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
Distribuidor 1
6
8
10
Distribuidor 2
7
11
11
Distribuidor 3
4
5
12
Cuánto enviar a cada proyecto?
Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
Distribuidor 1
X11
X12
X13
Distribuidor 2
X21
X22
X23
Distribuidor 3
X31
X32
X33
47
Formulación de la Función Objetivo
Variables de decisión
XIJ = Número de toneladas a enviar del
distribuidor “I” al proyecto “J”.
X11 = Número de toneladas a enviar del
distribuidor “1” al proyecto “1”.
Función objetivo
Min. Z = 6X11 + 8X12 + 10X13 + 7X21 + 11X22
+ 11X23 + 4X31 + 5X32 + 12X33
48
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Restricciones de disponibilidad
X11 + X12 + X13  150
X21 + X22 + X23  175
X31 + X32 + X33  275
Restricciones de requerimientos
X11 + X21 + X31 = 200
X12 + X22 + X32 = 100
X13 + X23 + X33 = 300
49
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Min. Z = 6X11 + 8X12 + 10X13 + 7X21 + 11X22
+ 11X23 + 4X31 + 5X32 + 12X33
Sujeto a: X11 + X12 + X13  150
X21 + X22 + X23  175
X31 + X32 + X33  275
X11 + X21 + X31 = 200
X12 + X22 + X32 = 100
X13 + X23 + X33 = 300
X11, X12, X13 .... X33  0
50
INGRESO DE LOS COEFICIENTES DEL MODELO
MATEMATICO EN EL WINDQSB
51
Solución
52
Solución
53
Red de Distribución
54
Cuánto se envió a cada proyecto y
de que distribuidor?
Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
Oferta
Distribuidor 1
0
0
150
150
Distribuidor 2
25
0
150
175
Distribuidor 3
175
100
0
275
Demanda
200
100
300
600
Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
Distribuidor 1
6
8
10
Distribuidor 2
7
11
11
Distribuidor 3
4
5
12
55
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
5. Mezcla de minerales. ¿Qué porcentaje de la
composición del nuevo producto provendrá de
cada una de las cuatro minas con
el objeto de minimizar su costo.
Sujeto a:
• El contenido del elemento básico “A” en el nuevo
producto no sea menor de 5 lb’s/ton.
• El contenido del elemento básico “B” en el nuevo
producto no sea menor de 100 lb’s/ton.
• El contenido del elemento básico “C” en el nuevo
56
producto no sea menor de 30 lb’s/ton.
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Variables de decisión
X1 = porcentaje que provendrá de la mina 1
X2 = porcentaje que provendrá de la mina 2
X3 = porcentaje que provendrá de la mina 3
X4 = porcentaje que provendrá de la mina 4
57
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Función objetivo
Min. Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3 + C4 X4
$ = ($/ton. mina 1) x (% de la mina 1)
+ ($/ton. mina 2) x (% de la mina 2)
+ ($/ton. mina 3) x (% de la mina 3)
+ ($/ton. mina 4) x (% de la mina 4)
Min. Z = 800X1 + 400X2 + 600X3 + 500X4
58
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Restricción de elemento básico A
10X1 + 3X2 + 8X3 + 2X4  5
Restricción de elemento básico B
90X1 + 150X2 + 75X3 + 175X4  100
Restricción de elemento básico C
45X1 + 25X2 + 20X3 + 37X4  30
59
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Min. Z = 800X1 + 400X2 + 600X3 + 500X4
Sujeto a: 10X1 + 3X2 + 8X3 + 2X4  5
90X1 + 150X2 + 75X3 + 175X4  100
45X1 + 25X2 + 20X3 + 37X4  30
X1 +
X 2 + X3 +
X4 =
1
X1, X2, X3, X4  0
60
INGRESO DE COEFICIENTES EN WINQSB
61
SOLUCIÓN DEL MODELO LINEAL (EN WINQSB)
62
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
6. Orsini. Fabrica tres tipos de zapatos.
¿Qué cantidad de cada estilo debe fabricar
durante el mes con el objeto de
maximizar las utilidades?
Sujeto a:
• No deben asignarse más de 1,200 horas de
tiempo de producción.
• Todos los costos de producción, de materiales
y costos fijos deben cubrirse con el efectivo
disponible durante el mes que es de $16,560.
• Satisfacer ciertos compromisos de demanda:
63
30 estilo 1, 55 estilo 2 y 32 estilo 3.
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Variables de decisión
X1 = Número de pares de zapatos estilo 1 que deben
fabricarse durante el mes.
X2 = Número de pares de zapatos estilo 2 que deben
fabricarse durante el mes.
X3 = Número de pares de zapatos estilo 3 que deben
fabricarse durante el mes.
64
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Función objetivo
Max. Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3
$ = ($/par de zap. estilo 1) x (pares de zap. estilo 1)
+ ($/par de zap. estilo 2) x (pares de zap. estilo 2)
+ ($/par de zap. estilo 3) x (pares de zap. estilo 3)
Cálculo de C1
(3.5 horas/par) x ($10/hora) = $35/par
(3.25 U. piel/par) x ($4/U. piel) = $13/par
$48/par
65
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
C1 = $60/par - $48/par = $12/par de zap. estilo 1
de forma similar,
C2 = $64/par - $43/par = $21/par de zap. estilo 2
C3 = $50/par - $28/par = $22/par de zap. estilo 3
Max. Z = 12X1 + 21X2 +22X3
66
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Restricción de producción
3.5X1 es el total de horas que se requieren para
fabricar el estilo 1
2.5X2 es el total de horas que se requieren para
fabricar el estilo 2
2.0X3 es el total de horas que se requieren para
fabricar el estilo 3
3.5X1 + 2.5X2 + 2.0X3  1,200
67
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Restricción de efectivo
Costo fijo = $3,000
Existen disponibles $16,560 - $3,000 = $13,560
para cubrir los costos variables.
48X1 + 43X2 + 28X3  13,560
Compromisos de demanda
X1 pares de zap. estilo 1  30 pares de zap. estilo 1
X2 pares de zap. estilo 2  55 pares de zap. estilo 2
68
X3 pares de zap. estilo 3  32 pares de zap. estilo
3
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Max. Z = 12X1 + 21X2 +22X3
Sujeto a:
3.5X1 + 2.5X2 + 2.0X3
48X1 + 43X2 + 28X3
X1
X2
X3





1,200
13,560
30
55
32
No se necesitan las condiciones de no negatividad
puesto que existen restricciones de demanda
para todas las variables.
69
Solución
70
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
7. CSL es una cadena de tiendas de servicios para computadoras.
La cantidad de horas de tiempo de reparación calificada que CSL
requiere durante los cincos meses siguientes es como sigue:
Mes 1 (enero) : 6,000 horas
Mes 2 (febrero) : 7,000 horas
Mes 3 (marzo) : 8,000 horas
Mes 4 (abril) : 9,500 horas
Mes 5 (mayo) : 11,000 horas
A principios de enero 50 técnicos calificados trabajan para CSL.
Cada técnico calificado puede trabajar hasta 160 horas por mes.
Para cumplir con las demandas en el futuro, es necesario capacitar
a nuevos técnicos. Toma un mes capacitar un nuevo técnico.
71
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Durante el mes de capacitación, un técnico experimentado debe
supervisar al aprendiz durante 50 horas. Cada técnico
experimentado gana U$2,000 al mes (incluso si no trabaja las 160
horas completas). Además durante el mes de entretenimiento, el
aprendiz recibe U$1,000. Al final de cada mes, 5% de los técnicos
experimentados de CSL abandonan el trabajo para unirse a otra
empresa de la competencia. Formule un PL con cuya solución
CSL minimiza el costo de mano de obra en el que incurre para
cumplir con el servicio de reparación en los cinco meses
siguientes:
72
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Solución:
-CSL debe determinar la cantidad de técnicos durante el mes t.
(t=1,2,3,4,5). Por tanto se define.
Xt : cantidad de técnicos capacitados durante un mes t (t=1,2,3,4,5)
CSL desea minimizar el costo total de la mano de obra durante los cinco
meses siguientes. Obsérvese que:
Costo total de mano de obra=costo por pagar a los aprendices + costo
por pagar a los técnicos experimentados.
Para expresar el costo por pagar a los técnicos experimentados es
necesario definir para t=1,2,3,4,5.
Yt : cantidad de técnicos experimentados al inicio del mes t
73
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Solución: Entonces
Costo total de mano de obra=(1000x1 +1000x2 +1000x3 +1000x4
+ 1000x5 ) + (2000y1 + 2000y2 + 2000y3 + 2000y4 + 2000y5 )
Por tanto la función objetivo de CSL es:
Min z= 1000x1 +1000x2 +1000x3 +1000x4 + 1000x5 + 2000y1 + 2000y2 +
2000y3 + 2000y4 + 2000y5
Cuales son las restricciones de CSL?
Nótese que y1 =50, y que para t=1,2,3,4,5 CSL debe tener la
certeza de que.
Número de horas-técnicos disponibles durante el mes t ≥ 160y1 - 50x1
Entonces:
160y1 - 50x1 ≥6000
160y2 - 50x2 ≥7000
74
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
160y3 - 50x3 ≥8000
160y4 - 50x4 ≥9500
160y5 - 50x5 ≥11000
Técnicos experimentados al principio del mes t: recordemos que
el 5% de los técnicos experimentados al final de mes abandonan
la empresa.
y1 =50
y2
y3
y4
y5
= y1 + x1 - 0.05 y1=0.95 y1+x1
= =0.95 y2+x2
= 0.95 y3+x3
= 0.95 y4+x4
75
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Min z= 1000x1 +1000x2 +1000x3 +1000x4 + 1000x5 + 2000y1 +
2000y2 + 2000y3 + 2000y4 + 2000y5
s.a:
160y1 - 50x1 ≥6000
160y2 - 50x2 ≥7000
160y3 - 50x3 ≥8000
160y4 - 50x4 ≥9500
160y5 - 50x5 ≥11000
y1 =50
y2 = y1 + x1 - 0.05 y1=0.95 y1+x1
y3 = =0.95 y2+x2
y4 = 0.95 y3+x3
76
y5 = 0.95 y4+x4 ; xi ≥0; yi≥0; i=1,2,3,4,5
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Solución:
77
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
8. Una compañía fabrica escritorios, mesas y sillas. Para la
manufactura de cada tipo de muebles se requiere madera y dos
tipos de mano de obra calificada: acabado y carpintería. La
cantidad de recursos necesarios para elaborar cada tipo de
muebles se proporciona en la siguiente tabla.
Recurso
Escritorio
Mesa
Silla
Madera(pie tablón)
8
6
1
Horas de acabado
4
2
1.5
Horas de carpintería
2
1.5
0.
78
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Se cuenta en la actualidad con 48 pie de tablón de madera, 20
horas de acabado y 8 horas de carpintería. La cantidad de recursos
necesarios. Un escritorio se vende a U$60, una mesa en U$30 y
una silla en U$20. La compañía sabe que la demanda de
escritorios y silla es ilimitada, pero cuando mucho se pueden
vender 5 mesas. Puesto que los recursos disponibles ya se
compraron, la compañía quiere maximizar el ingreso total. Si se
definen las variables de decisión como:
X1: cantidad de escritorios fabricados
X2: cantidad de mesas fabricados
X3: cantidad de sillas fabricados
79
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Ahora formulamos el modelo matemático del PPL
Max z=60x1 + 30x2 + 20x3
S.a:
8x1 + 6x2 + x3 ≤ 48
4x1 + 2x2 + 1.5x3 ≤ 20
2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 ≤ 8
x2
≤5
x1 ,x2 , x3 ≥ 0
80
Solución
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
81