421 EL SURGIMIENTO DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
EL SURGIMIENTO DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Marta García Secades
Departamento de Métodos Cuantitativos
Universidad San Pablo CEU
Resumen: La moderna teoría de la Probabilidad es el resultado de la unión de muchos
esfuerzos materializados en continuos trabajos de cientos de autores a lo largo de los
siglos.
Objetivo: El eje fundamental de la comunicación será realizar un paseo histórico
deteniéndonos en los principales hitos y autores que contribuyeron al nacimiento y
posterior conceptualización de la Probabilidad. Algunos de los autores que estudiaremos
en nuestro deambular por la historia son: Luca Pacioli, Gerolamo Cardano, Galileo
Galilei, Pascal, Fermat, C. Huygens, J. Caramuel, J. Bernouilli, J. Locke, D. Hume, A.
Moivre, T. Bayes, Condorcet, P.S Laplace, S.D Poisson, A.A Cournot, A. Quetelet
...etc.
Justificación: Resulta imprescindible para los científicos en general y, para los
estadísticos en particular, estudiar los orígenes de su Ciencia; en nuestro caso, el
nacimiento de la Teoría de la Probabilidad.
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1.-INTRODUCCIÓN
Toda ciencia se desarrolla como respuesta a problemas que le llegan del exterior
o como respuesta a problemas que ella misma crea a medida que va progresando.
En relación con los problemas que provienen del exterior, la Estadística ha de
dar respuesta, entre otros, a los planteados por las necesidades económicas que emanan
de los medios de producción y de organización del Estado.
Se suele argumentar que fueron los juegos de azar los que animaron a
importantes pensadores a estudiar este tipo de sucesos; omitiéndose que la auténtica
motivación que consolidó el Cálculo de Probabilidades fue el sustrato de aleatoriedad
que encontraron en las observaciones económicas y en los problemas relativos a los
seguros, pensiones anuales y, estadísticas de la población.
Diferenciamos dos aspectos de la Estadística: el nacimiento de la Estadística con
la elaboración de estadísticas por los Estados, diseño de los modelos aleatorios y,
génesis de la probabilidad.
2.-LAS ESTADÍSTICAS
La Estadística nace con la finalidad de precisar cuantitativamente las cosas del
Estado. El motivo por el que las primeras autoridades políticas de la historia estuvieron
interesadas en obtener estadísticas: cifras, promedios, gráficos...etc, es porque sólo así
podían ejercer el poder en su territorio si conocían el número de familias, cabezas de
ganado, hombres aptos para la guerra y, demás información que sirviera para recaudar
impuestos.
La primera referencia histórica de elaboración de estadísticas está situada en
China, y alude al censo general de población del Imperio que mandó realizar el
emperador Yao en el 2238 antes de Cristo.
También los egipcios obtenían censos de población, ganado, oro...etc.
fundamentalmente para poder recaudar impuestos y contribuciones. Las civilizaciones
existentes en la misma época que la egipcia y cercanas geográficamente, disponían de
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procedimientos estadísticos análogos. Prueba de ello está en los libros Números y
Crónicas de la Biblia.
Los griegos y los romanos utilizaban también censos de población. Destacando
los censos y empadronamientos en la época romana, debido al gran interés mostrado en
conocer con detalle lo que ocurría dentro de sus fronteras.
En la Edad Media, la influencia del Cristianismo lleva a condenar todo lo
relacionado con el azar negando su existencia (todos los acontecimientos vienen de
Dios).
Durante los siglos XIII y XIV con el florecimiento de las ciudades-estado, se
recobra el interés por los registros numéricos, especialmente en la más poderosas como
Florencia, Génova y Venecia, debido al incremento de intercambios comerciales con
Oriente Próximo y Norte de África.
En el Renacimiento se impone el argumento de que sólo en el caso de poseer
abundante información cuantitativa sobre el Estado es posible ejercer un buen gobierno.
Así, se generaliza en Europa la obtención de registros estadísticos. Destacar en este
sentido el especial desarrollo conseguido en España debido a las consecuencias
económicas que se derivaron del descubrimiento, y posterior colonización de América.
Durante el siglo XVII se consigue a partir de censos predecir valores futuros:
John Graunt ( 1620 – 1674 ), que basándose en los registros de los nacimientos y
defunciones en Londres consigue establecer una estimación del número de habitantes y
su distribución según sexo y edad; efectúa predicciones respecto del porcentaje de niños
menores de seis años que podían morir en las sucesivas plagas que asolaban Londres,
elaborando tasas de mortalidad y constatando que pese a las plagas, Londres seguía
creciendo. Destacar también el primer intento de aplicar métodos actuariales en la
obtención de precios justos para las anualidades, presentados por John de Witt , a los
Estados Generales de Holanda y de Fresia Occidental. Las anualidades y las rentas eran
vitales pues era la forma más frecuente de financiar los déficits del Estado.
3.-PROBABILIDAD
Los historiadores no se ponen de acuerdo en determinar el momento a partir del
cual surge la Moderna Teoría de la Probabilidad. Algunos consideran que el
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descubrimiento de la Probabilidad se debe a los italianos Luca Pacioli ( 1445 – 1509 ),
Tartaglia ( alrededor de 1500 – 1557 ), Gerolamo Cardano ( 1501 – 1576 ) y, Galileo
Galilei ( 1564 – 1642 );porque escriben pequeños opúsculos en los que exponen y
resuelven diversos problemas planteados por los participantes de juegos de azar, sobre
todo de juegos con dados. Pero estos intentos iniciales pretendían obtener la solución de
problemas concretos, no una definición formal o una Teoría de la Probabilidad.
Así, es una idea comúnmente aceptada por la mayoría de los historiadores, que
la Teoría Moderna de la Probabilidad fue definitivamente creada en la segunda mitad
del siglo XVII ( 1654 ) por Pascal ( 1623 – 1662 ) y Fermat ( 1601 – 1655 ) en la
correspondencia relativa a la resolución de ciertos problemas sobre juegos de azar
planteados por el Caballero de Meré a Pascal. La importancia de esta correspondencia
de gran belleza literaria radica en la construcción de criterios analíticos sistemáticos que
permitiesen medir con validez universal el concepto de probabilidad.
El primer tratado publicado sobre el cálculo de probabilidades fue escrito por el
científico holandés C. Huygens ( 1629 – 1695 ) con el título de “Ratiociniis in ludo
alae” ( sobre el cálculo en los juegos de dados), en donde realiza también por primera
vez una explicitación de la noción de esperanza.
Después de la publicación del libro de Huygens y antes del libro de Bernoulli,
sólo existe la publicación de un trabajo sobre esta materia cuyo autor fue J. Caramuel
( 1606 – 1682 ) comprendido dentro de su obra “ Mathesis biceps”. Donde se estudian
distintos juegos, como el problema de los dados y el de la división de las apuestas.
La publicación de la obra “Ars Conjectandi” ( 1713 ) del genial
J. Bernoulli
( 1654 – 1705 ) supuso tal y como en un tono algo afectado Gouraud sentencia “ un
grito unánime en el mundo de la Ciencia y el anuncio a la posteridad que el análisis del
azar iba a entrar en una nueva era y comenzaba así definitivamente su fortuna”. La obra
suponía un gran avance de nuevos resultados y perspectivas, así como una
sistematización y enriquecimiento de lo ya conocido.
El tratado está dividido en cuatro partes. La primera reproduce los trabajos de
Huygens con la incorporación de algunos comentarios propios, define y obtiene la
función de cuantía para un esquema dictómico con “r” repeticiones ( Distribución
Binomial ). En la segunda, explica conceptos de combinatoria e insiste en su aplicación
al cálculo de probabilidades. En la tercera, estudia el problema de la duración de los
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juegos de azar, en el que incluye 24 problemas resueltos. Y, finalmente en la cuarta, la
más brillante, formula y demuestra el teorema que hoy lleva su nombre, además de
intentar aplicar el concepto de probabilidad al análisis de fenómenos políticos,
económicos y morales.
La contribución del filósofo J. Locke ( 1632 – 1704 ) en el campo de la
probabilidad se recoge en su conocida obra “Ensayo sobre el entendimiento humano”
( finalizada en 1666 y publicada en 1690 ). La probabilidad, para este pensador era una
categoría del conocimiento, siendo el conocimiento de lo probable algo relativo a
distintos grados de creencia sin llegar a la certeza absoluta.
Fue el filósofo escocés sucesor de J. Locke, D Hume ( 1711 – 1776 ) quien llevó
a su más alto nivel el empirismo inglés. Afirmando que el principio en el que se basa la
probabilidad es el pasado; es decir, la sucesión de hechos que la experiencia pasada nos
proporciona.
Otros trabajos que contribuyeron a que se desarrollara la probabilidad son los del
matemático inglés T. Simpson ( 1710 – 1761 ). Aunque Simpson es conocido por sus
aportaciones al análisis matemático, escribió un tratado sobre cálculo diferencial y es el
primero en investigar las distribuciones de probabilidad continuas en sus trabajos “ The
nature and laws of chance (1740) y, “The doctrine of annuities and reversion” ( 1742).
Moivre ( 1667 – 1754 ) edita en 1718 “ The Doctrine of Chances: or a Method of
Calculating the Probabilities of Evens in Play "“donde a lo largo de las diferentes
ediciones ( 1718 -1738 – 1756) introduce la idea de independencia estadística,
especifica el concepto de función generadora de probabilidades y, realiza la
aproximación de la distribución binomial a la normal, considerando el primer teorema
Central del Límite.
El matemático inglés T. Bayes ( 1702 –1761 ) expone sus teorías sobre la
probabilidad en las memorias publicadas en 1763 en “ Philosophical Transaction of the
Royal Society” con el título” An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of
chances”. Este ensayo está dividido en dos secciones, en la primera incorpora
definiciones, teoremas y corolarios sobre la probabilidad, mientras que en la segunda
descubre un modelo que le permite expresar y demostrar el teorema que hoy
denominamos de Bayes. Además se considera el fundador de la probabilidad inversa,
según la cual, a partir de cierta información muestral es posible conocer lo mucho o
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poco probable que la probabilidad de un suceso desconocido esté comprendido entre
ciertos límites.Se puede decir que con Bayes comienza la inferencia estadística.
El filósofo matemático y economista francés Condorcet ( 1743 – 1794 ) publica
en 1785 su “Essai sur l´ application de l´analyse á la probabilité des décisions rendues á
la pluralité des voix” ensayo que representa el primer intento serio desde la aparición
del “Ars Conjectandi” de aplicar a la realidad social los resultados teóricos del Cálculo
de Probabilidades.
A. Legendre ( 1752 – 1833 ) en su obra “ Nouvelles méthods pour la
détermination des orbites des comèntes “ ( 1805 ) plantea el modelo de regresión lineal
y la estimación de los coeficientes desconocidos mediante el método de los mínimos
cuadrados.
C. F Gauss ( 1777 – 1855 ) en sus obras “ Theoria motus corpurum coelestium “
( 1809), “Disquistio palladis ( 1810) y “Theoria combinationis observationum erroribus
minimus obnoxide”( 1820 ),tiene un planteamiento similar a Legendre pero incorpora la
probabilidad con más intensidad que él, lo que le lleva a relacionar los errores de la
observación con la ley normal, descubriendo la más importante distribución de
probabilidad de carácter continuo.
Fue P.S Laplace ( 1749 –1827 ) quien a pesar de que sus aportaciones originales
no fueron muchas, elaboró la primera gran sistematización y ordenación definitiva del
conocimiento que se tenía hasta ese momento en su obra “Essai philosophique sur les
probabilités” ( 1814 ).Consiguiendo una exposición más sencilla de los problemas del
reparto de apuestas y de la teoría bayesiana, demuestra el teorema Central del Límite,
como método de los mínimos cuadrados.Emplea como estimador la mediana muestral
en vez de la media. Plantea el problema de la regresión múltiple, utilizando como
criterio de estimación el minimizar las desviaciones absolutas. Y, analiza la distribución
conjunta de los estimadores.
El matemático francés discípulo de Laplace, S.D Poisson ( 1781- 1840 )en sus
múltiples comunicaciones principalmente a la Academia de Ciencias de París y en su
libro “Recherches sur la Probabilité des Jugements en Matière Criminelle et en Matière
Civile, précedées des Règles Générales du Calcul des Probabilités” fue quien
contribuyó a enriquecer el campo de aplicación de la Teoría de la Probabilidad conocida
hasta ese momento, con su generalización del teorema de Bernoulli, cuya extensión de
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denomina “Ley de los grandes números” y, con la originalidad de utilizar datos
estadísticos como medio para justificar el resultado de sus investigaciones.
La principal contribución del economista, filósofo y matemático francés A.A
Cournot ( 1801- 1877 ) fue realizar un continuo esfuerzo por aprehender en un sistema
unificado el concepto de probabilidad, en el que participan no sólo aspectos físicos,
naturales, relativos a juegos de azar...etc, sino también filosóficos, morales,
sociales...etc.
El matemático y sociólogo belga A. Quetelet ( 1796 – 1874 ) fue el primero en
incorporar la probabilidad en el campo de la Estadística. Interesándose por la Teoría de
la Probabilidad como elemento analítico principal en el estudio de las distintas
realidades sociales.
El proceso de integración entre las ideas de las teorías de la probabilidad y los
estudios de los datos estadísticos comienza en 1889 con la publicación de “Natural
Inheritance” de F. Galton ( 1822 – 1911). Este autor pensaba que la Estadística debía
utilizar la Teoría de la Probabilidad para ir más allá de la simple comparación de
medias. Utilizó la curva de Gauss en los trabajos sobre la distribución de la población y
es el fundador de la Escuela biométrica de investigación estadística ( relaciona la
herencia con los conceptos de varianza y regresión).
El economista de origen irlando-español F.Y Edgeworth ( 1845 – 1926) escribió
sobre los métodos cuantitativos aplicado a la economía, como temas relacionados con
probabilidad, medidas de dispersión y situación ...etc.
W. Lexis ( 1837- 1914 ) y su discípulo L. Bortkiewicz ( 1868 –1931 )
investigaron los diferentes tipos de dispersión de las frecuencias alrededor de su valor
medio, llegando a seleccionar uno que denominamos desviación típica.
Los estadísticos de la Escuela Rusa de San Petersburgo son los que consiguieron
los avances más significativos en el cálculo de probabilidades a finales del S XIX y, en
sus posibilidades de aplicación a los problemas de carácter económico, destacando los
nombres de V.Y Buniakouskii ( 1804- 1889 ) y M.V Ostrogradskii ( 1801 – 1862 ).
Destacar también que Buniakouskii en su “Fundations of the mathematical theorie of
probabilities” expone con gran claridad los fundamentos de la teoría de la probabilidad
y sus aplicaciones usando una terminología que, casi sin cambios, es la que empleamos
hoy día.
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Los estadísticos de la escuela rusa que abordaron los problemas centrales de la
Teoría de la Probabilidad fueron Chebychev ( 1821 – 1894 ) y sus discípulos A.A
Markov ( 1856 – 1922) y A.M Liapunov ( 1857- 1918 ). Chebychev diseñó en 1867
unas desigualdades respecto de la probabilidad de los valores que puede tomar una
variable, que sólo requiere conocer el valor de la esperanza y varianza de la variable.
A.N Kolmogorov ( 1903 – 1987 ), matemático ruso al que se le atribuye la
sistematización definitiva de la teoría axiomática de la probabilidad establecida en 1933
en la monografía titulada “Fundamentos de la Teoría de la Probabilidad”.
El matemático inglés K. Pearson ( 1857 – 1936 ) fue quien construyó el
coeficiente de correlación que lleva su nombre, relacionó analíticamente el método de la
correlación y regresión y descubrió en 1900 el test de la chi-cuadrado.
W.S. Gosset ( 1876 – 1937 ) de seudónimo Student, demostró que cuando las
poblaciones se distribuyen según la normal están correlacionadas la media y varianza
muestral. Obtiene la distribución t-student. Sus descubrimientos consiguen dar un
impulso a la Inferencia Estadística, sobre todo en estimación por intervalos y
contrastación de hipótesis.
R.A Fisher ( 1890 – 1962 ), discípulos de Pearson fue quien sistematiza una
teoría de estimación que incorpora conceptos tan importantes como los de estimador y
eficiencia de la estimación. Además de proponer el criterio de la máxima verosimilitud
para obtener estimaciones e introduce el concepto de estadístico suficiente.
4.-CONCLUSIÓN
Espero que con esta breve pero intensa aportación, haya conseguido que ahora
ya sí podamos contestar algunas de las preguntas planteadas en el título de la
exposición. En este corto pero exhausto recorrido por la historia de la probabilidad soy
consciente que nos hemos dejado en el camino las aportaciones de otros autores, que si
bien es verdad, no los considero tan relevantes como los mencionados, no por ello
debemos hacer de menos sus trabajos. Puesto que, si alguna conclusión debemos extraer
de esta exposición es que la Moderna Teoría de la Probabilidad, es el resultado de la
unión de muchos y continuos esfuerzos materializados en pequeños y grandes trabajos
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de cientos de autores y sólo así se ha conseguido que sea la Estadística el cuerpo de
conocimiento que mejor estructura el tratamiento de los fenómenos de azar.
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