Conjuntos difusos intervalo-valorados: estado del arte

Conjuntos difusos intervalo-valorados:
estado del arte
González del Campo, Ramón, e-mail:[email protected], DSIC, UCM
Garmendia, Luis, e-mail:[email protected], DISIA, UCM
RESUMEN
Los conjuntos difusos intervalo-valorados han sido ampliamente utilizados. En
este artı́culo mostramos su semántica, su estructura matemática, sus relaciones
con otras extensiones de los conjuntos difusos y las conectivas. También mostramos
medidas de la entropı́a y de la especificidad de los conjuntos difusos intervalovalorados. Para finalizar indicamos las aplicaciones donde los conjuntos intervalovalorados han tenido más éxito.
Palabras claves:
Conjuntos difusos intervalo-valorados; negación intervalo-valorada; t-norma
intervalo-valorada, t-conorma intervalo-valorada; medida de entropı́a intervalovalorada; especificidad intervalo-valorada.
1. INTRODUCCIÓN
Los conjuntos difusos (fuzzy sets, FSs) que fueron introducidos por Zadeh
en 1.965 [24] constituyeron una asombrosa herramienta para representar el
conocimiento humano. Sin embargo, pronto, en 1.973, se vieron sus limitaciones
en algunos problemas de toma de decisiones [25]. Con el propósito de superar
estas limitaciones surgieron las generalizaciones de los conjuntos difusos.
La eficacia de conjuntos difusos depende de lo representativo que sea el valor
de
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la función de pertenencia. En muchas ocasiones la elección de este valor es problemática. En estos casos puede ser apropiado representar el valor de pertenencia
de un elemento a un conjunto mediante un intervalo de valores en lugar de un solo valor. A partir de estas ideas surgen los conjuntos difusos intervalo-valorados
(interval-valued fuzzy sets, IVFSs). IVFSs asignan un subintervalo del intervalo [0,1] a cada elemento del universo. IVFSs permiten modelar tanto la
vaguedad, carencia de nitidez de los lı́mites de un conjunto, como la imprecisión
debida a la incertidumbre, carencia de información. En muchas aplicaciones
IVFSs ofreciendo resultados menos especı́ficos pero más realistas que FSs [16].
En la década de 1.970 aparecieron las primeras publicaciones sobre IVFSs.
Sambuc presentó el concepto de IVFSs con el nombre de F-fuzzy set [18] y Jahn
empezó a estudiarlos [14]. Grattan-Guinness definió la función de pertenencia
intervalo-valorada [11]. A lo largo de la decada de 1.980 a través de los trabajos
de Gorzalczany y Turksen [9, 21] la importancia de IVFSs fue definitivamente
establecida.
2. DEFINICIONES PREVIAS
Definition 1 [7] LI = (L, ≤L ) es un retı́culo que satisface:
1. L = {[x1 , x2 ] ∈ [0, 1]2 with x1 ≤ x2 }.
2. [x1 , x2 ] ≤L [y1 , y2 ] if and only if x1 ≤ y1 and x2 ≤ y2
Además, de forma trivial tenemos:
[x1 , x2 ] <L [y1 , y2 ] ⇔ x1 < y1 , x2 ≤ y2 or x1 ≤ y1 , x2 < y2
[x1 , x2 ] =L [y1 , y2 ] ⇔ x1 = y1 , x2 = y2 .
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0L =L [0, 0] and 1L =L [1, 1] son el menor y el mayor elemento de L respectivamente. LI es un retı́culo completo.
Definition 2 [6] Sea {[vi , wi ]} un conjunto de intervalos en L. El supremo y el
ı́nfimo son definidos de la siguiente forma:
1. InfL {[vi , wi ]} ≡ [inf imun{vi }, inf imun{wi }]
2. SupL {[vi , wi ]} ≡ [supremun{vi }, supremun{wi }]
Definition 3 [7] Un conjunto intervalo-valorado difusto A en un universo X
es una función:
A = {(a, [x1 , x2 ]) | a ∈ X, [x1 , x2 ] ∈ L}
Definition 4 [7] Sea X un universo A y B dos conjuntos intervalo-valorados.
La iqualdad entre A y B se define: A =L B if and only if A(a) =L B(a) ∀a ∈ X.
Definition 5 [7] Sea X un universo y A y B dos conjuntos intervalo-valorados
difusos. La inclusión de A en B se define: A ⊆L B si y solo si A(a) ≤L B(a)
∀a ∈ X.
3. RELACIONES CON OTRAS EXTENSIONES
El concepto de conjunto difuso de tipo 2 (type 2 fuzzy set) fue introducido
por Zadeh en 1.975 [26] como una generalización de los conjuntos difusos.
Dado un conjunto X, un conjunto difuso de tipo 2 A se define de la siguiente
forma:
A = {(a, x, µa (x) | a ∈ A, x ∈ [0, 1])}
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La función µa (x) representa en grado en el que el valor x es el valor de pertenencia de a a A.
Sea µa (x) una función de pertenencia de un conjunto de tipo 2. Sea µ(a) una
función de pertenencia de un conjunto intervalo-valorado. Un conjunto intervalovalorado es un caso particular de conjunto difuso de tipo 2 que verifica:

 cte, si x ≤ x ≤ x ;
1
2
µa (x) =
 0,
en caso contrario.
si µ(a) = [x1 , x2 ]
Los conjuntos intuicionistas (Intuitionistic Fuzzy Sets IFSs) son una generalización de los conjuntos difusos muy utilizada. Fueron introducidos en 1.983
por Atanassov [1]. Un conjunto intuicionista A es una función que asigna a cada
elemento a de X un grado de pertenencia y un grado de no pertenencia:
A = {(a, µ(a), ν(a)) | a ∈ X, µ(a), ν(a) ∈ [0, 1]}
donde µ + ν ≤ 1. El valor π = 1 − µ − ν se interpreta como una medida de la
incertidumbre.
Dado un conjunto difuso intervalo-valorado podemos obtener fácilmente un
conjunto intuicionista mediante la función:
Ψ : IVFSs → IFSs
µ(a) = [µ(a), µ(a)] → [µ(a), 1 − µ(a)]
En [8] se demuestra que Ψ es un isomorfismo. Por lo tanto, muchas resultados en IVFSs tienen una expresión equivalente en IFSs, y viceversa, aunque
su semántica sea completamente distinta
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4. CONECTIVAS
Definition 6 [7] En conjuntos intervalo-valorados una función negación N es
una función decreciente, N : L → L, que satisface:
1. N (0L ) =L 1L
2. N (1L ) =L 0L
Si se cumple N (N ([x1 , x2 ])) =L [x1 , x2 ] para todo [x1 , x2 ] en L entonces N se
denomina negación involutiva.
Definition 7 Una función negación para conjuntos intervalo-valorados N es
una función involutiva, N : L → L, que satisface:
1. N (0L ) =L 1L
2. N (1L ) =L 0L
Example 1 Sea N la función involutiva definida por la función:
N :L→L
N ([x1 , x2 ]) =L [1 − x2 , 1 − x1 ]
Entonces N es un operador de negación para conjuntos intervalo-valorados. Es
trivial probar que se cumple: N (0L ) =L 1L , N (1L ) =L 0L and N (N ([x1 , x2 ])) =L
[x1 , x2 ].
De forma similar definimos las T-normas generalizadas en el retı́culo LI .
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Definition 8 [7] Una t-norma generalizada T es una función estrictamente
creciente, simétrica y asociativa, T : L2 → L, que verifica: T (1L , [x1 , x2 ]) =L
[x1 , x2 ] for all [x1 , x2 ] in L.
Es fácil probar:
T (SupL {[vi , wi ]}, [y1 , y2 ]) ≥L SupL {T ([vi , wi ], [y1 , y2 ])}
T (InfL {[vi , wi ]}, [y1 , y2 ]) ≤L InfL {T ([vi , wi ], [y1 , y2 ])}
Debido a la asociatividad T la conjunción de tres o mas intervalos puede ser
inductivamente definida como:
T (a, T (b, c)) =L T (T (a, b), c) =L a 4 b 4 c where 4 =L T .
donde a =L [a1 , a2 ], b =L [b1 , b2 ] y c =L [c1 , c2 ].
T ([x1 , x2 ], [y1 , y2 ]) y T ([x1 , x2 ], [y1 , y2 ]) representan el menor y mayor valor
respectivamente de T ([x1 , x2 ], [y1 , y2 ]).
Definition 9 [2] Sea {xi } in [0, 1]. Una t-norma generalizada T en ([0, 1], ≤)
es continua por la izquierda si satisface:
T (Sup xi , y) = Sup T (xi , y)
La continuidad por la derecha puede ser definida de forma similar. Esta propiedad
también es conocida como sup-preservancia.
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Definition 10 [7] Una t-norma generalizada T es t-representable en LI si existen dos t-normas: T1 y T2 (T1 , T2 , en ([0,1],≤)) que verifica:
T ([x1 , x2 ], [y1 , y2 ]) =L [T1 (x1 , y1 ), T2 (x2 , y2 )]
donde T1 (v, w) ≤ T2 (v, w) ∀v, w ∈ [0, 1].
Sea x =L [x1 , x2 ] y y =L [y1 , y2 ] dos intervalos en L:
Example 2 T =L [min(x1 , y1 ), min(x2 , y2 )] es t-representable en ([0,1],≤).
Hay que resaltar que min es la mayor t-norm.
Example 3 La siguiente t-norma generalizada T es t-representable:
T ([x1 , x2 ], [y1 , y2 ]) =L [x1 ∗ y1 , x2 ∗ y2 ]
Example 4 Existen dos generalizaciones de la t-norma de Lukasiewicz [6]:
Tw ([x1 , x2 ], [y1 , y2 ]) =L
[max(0, x1 + y1 − 1), max(0, x2 + y2 − 1)]
TW ([x1 , x2 ], [y1 , y2 ]) =L
[max(0, x1 + y1 − 1), max(0, x1 + y2 − 1, x2 + y1 − 1)]
Tw es t-representable pero TW no.
Definition 11 [7] Una t-conorm generalizada S es un operador creciente, commutativo y asociativo S : L2 → L, que satisface: S(0L , [x1 , x2 ]) =L [x1 , x2 ] y
S(1L , [x1 , x2 ]) =L 1L .
Debido a la asociatividad de S es posible escribir:
S(a, S(b, c)) =L S(S(a, b), c) =L a 5 b 5 c donde 5 =L S.
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Por ejemplo, S = SupL es una t-conorma generalizada.
Consideremos las siguientes definiciones.
Definition 12 Sea {[vi , wi ]} en L. Una t-norma generalizada T es continua
por la izquierda si y solo si:
T (SupL {[vi , wi ]}, [y1 , y2 ]) =L SupL {T ([vi , wi ], [y1 , y2 ])}
La continuidad por la derecha puede ser definida de forma similar.
Definition 13 Dada una t-norma generalizada T y una negación generalizada
N , el operador:
TN∗ =L N (T (N ([x1 , x2 ]), N ([y1 , y2 ]))
es una t-conorma geralizada llamada t-conorma dual de T con respecto a N .
Una t-norma, una negacion y la t-conorma dual de T con respecto a N es llamada tripleta de Morgan.
5. ALGUNAS APLICACIONES
El razonamiento aproximado consiste en obtener una conclusión difusa a
partir de un cojunto de premisas difusas.
La generalización de la regla de inferencia del modus ponens mediante IVFSs
ha sido ampliamente estudiada, ver [9, 7, 4].
En el procesamiento de imágenes IVFSs han tenido un éxito considerable.
Uno de los principales retos del procesamiento de imágenes consiste en detectar
las siluetas de los objetos. En [3] podemos ver cómo se utilizan IVFSs para
afrontar este problema.
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IVFSs han sido utilizado en programación lineal difusa [5, 12]; en economı́a
[20, 23]; en medicina [18, 17]; en robótica [15, 13, 22]; en teorı́a de la posibilidad
[7] y en control [10, 19].
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