curi0301 - Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y

CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 6, 2do. Semestre 2000
APROXIMACIÓN BAYESIANA PARA LA ESTIMACION DE OCURRENCIAS DE EVENTOS
LLUVIOSOS APLICADA A BALANCES HIDRICOS MENSUALES SERIADOS.
Dr. Erik Zimmermann
Centro Universitario Rosario de Investigaciones Hidroambientales. Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería
y Agrimensura. Universidad Nacional de Rosario. Riobamba 245 bis (2000) Rosario. Pcia Santa Fe.
Argentina
Email: [email protected]
PALABRAS CLAVES: Balances Hídricos Mensuales, Aproximación Bayesiana, Recarga
RESUMEN
En este trabajo se presentan las curvas de abatimiento areal de la precipitación construidas a partir de
información pluviográfica recolectada en la región pampeana (Santa Fe, Argentina), abarcando un área de
influencia de 5400 km2. Las curvas fueron deducidas combinando 63 eventos de gran magnitud registrados
en un conjunto de siete estaciones pluviográficas y fueron clasificadas por duraciones (0,5 hs, 1 h, 3 hs, 6 hs,
12 hs y 24 hs). El algoritmo utilizado para la elaboración de los mapas de isoyetas, de características inéditas
(Zimmermann y Silber 2001) respeta la estructura de correlación espacial observada en la región,
presentando errores de interpolación inferiores al 10% en todos los casos analizados. Se ajustaron
expresiones analíticas a las curvas de abatimiento areal mediante correlación múltiple no lineal, generando
una herramienta que permite la distribución areal de focos de tormentas locales para eventos severos. Las
curvas fueron comparadas con las publicadas por la World Meteorological Organisation y presentaron una
marcada semejanza.
ABSTRACT
In this work, curves areal-depth of precipitation, which they were constructed with rainfall information of the
flatland region (Santa Fe, Argentina), are presented. The area of influence was 5400 km 2. The curves were
deduced combining 63 events of great magnitude registered over seven gauge stations and they were
classified by durations (0,5 hs, 1 h, 3 hs, 6 hs, 12 hs and 24 hs). The algorithm used for the rainfal countour
maps elaboration, of characteristic unpublished (Zimmermann and Silber 2001), it respects the spatial
correlation structure observed in the region, and it presents interpolation errors less than 10% in all the
analyzed cases. Analytic expressions were adjusted to the areal-depth curves by means of multiple no linear
correlations, generating in this way a useful tool that allows the storm areal distribution for severe events.
The curves were compared with those published by the World Meteorological Organisation and they
presented a pronounced likeness.
INTRODUCCIÓN
En la mayoría de las situaciones, la información
disponible para estimar valores de recarga en
acuíferos freáticos es escasa, lo cual impide la
aplicación de métodos directos de evaluación (ej.
análisis de fluctuaciones de niveles freáticos,
balances hídricos localizados, técnicas isotópicas,
etc.). Es aquí donde cobran relevancia las
metodologías sencillas que insumen información
frecuentemente disponible. El método de balance
hídrico de Thornthwaite, que requiere datos de
temperaturas y precipitaciones medias mensuales,
es un ejemplo de ello. El método puede utilizarse
para estimar la infiltración neta, la cual puede
definirse como la cantidad de agua que
anualmente percola por la zona no saturada hacia
el acuífero, previa deducción de la porción de
agua que escurre superficialmente y la que se
evapotranspira.
La
infiltración
neta
aproximadamente se corresponde con el total de
la recarga subterránea.
CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 8, 1er. Semestre 2003
La metodología de Thornthwaite y Mather
contempla la estimación de la evapotranspiración
mensual y el escurrimiento superficial mensual
puede estimarse aplicando el método de la Curva
Número del Servicio de Conservación de Suelos
(CN-USCS). Existen antecedentes previos de
aplicación conjunta de ambos métodos, dando
lugar al balance modificado de ThornthwaiteMather (Scozzafava and Tallini 2001, D’Elía et
al 2002, Paris et al 2002).
Las metodologías mencionadas pueden aplicarse
en condiciones medias representativas de una
serie de años como así también en forma de
balances anuales seriados. Esta última propuesta
permite una estimación de la varianza que
presentan las variables del balance en las serie de
años analizada.
La aplicación del balance modificado en forma
seriada, en particular la metodología del CN
requiere de número de eventos lluviosos ocurridos
en cada mes y de la lámina precipitada en cada
uno de ellos.
Dado que esta información con frecuencia es
inexistente se propone aquí una metodología
basada en el teorema de Bayes para estimar, en
principio, el número de ocurrencias de eventos
lluviosos condicionado a la lámina de lluvia
mensual.
donde ij es el índice térmico mensual de el mes j:
 5
ij  t
1.514
y el exponente a en la primera ecuación se calcula
como:
a  0.000000675 I 3  0.0000771 I 2
 0.01792 I  0.4924
La evapotranspiración real (ETR) se evalúa en
tres casos diferentes, como se describe debajo. En
las ecuaciones siguientes, j es el mes actual y (j-1)
el mes del antecedente. El almacenamiento
máximo del suelo (RM) es la humedad del suelo
sustrayendo el agua gravitatoria. RM es una
constante para cada suelo y es una función de la
textura, estructura, mineralogía del sedimento,
etc.). Hj es la cantidad de agua almacenada en el
suelo durante el mes actual (j), y P es la
precipitación.
Caso 1
Cuando Pj-ETPj > 0, entonces:
ETRj = ETPj
y
METODOS Y PROCEDIMIENTOS
APLICADOS
Hj = Hj-1 = RM
Método de Thornthwaite y Mather
En este caso, la infiltración neta (INj) es:
En la ecuación de balance hídrico se utiliza el
método de Thornthwaite para evaluar las
evapotranspiraciones potencial y real. La
evapotranspiración potencial (ETP, in mm) se
define como el máximo valor obtenible de
evapotranspiración en condiciones de humedad en
capacidad de campo en el suelo. La ETP se
relaciona con la temperatura de la siguiente
manera (Thornthwaite and Mather 1957):
SR = INj + Qj = Pj - ETRj
 t
ETP  1610 
 I
12
i
j1
Caso 2
a
donde t es la temperatura media mensual (ºC); I es
el índice térmico anual, obtenido como:
I
donde SR es el sobrante de agua en el suelo y Q
es el escurrimiento. En el método de
Thornthwaite estándar, el cual es usado por
agrónomos SR se introduce sin distinción entre Q
y IN.
Cuando Pj - ETPj < 0, entonces:
Hj
ETR j 
ETPj
RM
H j  H j - 1  (Pj  ETR j )
ó
j
CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 8, 1er. Semestre 2003
Hj 
RM
(H j - 1  P j )
RM  ETP j
ETR j 
ETPj
RM  ETP j
(H j - 1  P j )
En este caso, SR es nulo.
Caso 3a
Cuando Pj – ETPj > 0 y Hj < RM, las ecuaciones
del caso 2 son válidas y SR es igual a cero. Sin
embargo, si se usan estas ecuaciones, Hj > RM,
siendo ésta una condición que no ocurre en la
Naturaleza. Es necesario considerar el Caso 3b:
Caso 3b
INj = PFj - ETRj (casos 1, 3b); INj = 0 (casos 2,
3a)
Método del SCS-CN
El CN es un parámetro entero en el rango de 0100. Su variación tiene en cuenta varios factores,
incluyendo el tipo de suelo (espesor, textura,
estructura, humedad, etc.), uso de la tierra y
pendiente.
En el rnétodo del CN, la fórmula principal
cuantifica la máxima capacidad que tiene el
complejo suelo-vegetación de almacenamiento
instantáneo de humedad (S) durante un evento de
precipitación dado:
 25,400
S 
 - 254
 CN 
Hj = RM
y
ETRj = ETPj
y de nuevo
SR = Pj - ETRj > 0
donde S es una función de CN (USDA-SCS
1986). Usando la ecuación previa, el
escurrimiento (Q) se calcula como sigue:
Q0
if P  0.2S
2
Q  (P  0.2S) /(P  0.8S) if 0.2S  P  4.2S
Q  P S
if P  4.2S
Modificación del método de Thornthwaite
donde P es lluvia acumulada.
Scozzafava y Tallini (2001) propusieron un
cambio al método de Thornthwaite y Mather para
determinar la contribución exclusiva de la
infiltración neta (IN), resultado que no puede
lograrse con el método estándar. Allí, el sobrante
de agua (SR) se refiere a todo el exceso de agua
que no tiene por destino la humedad del suelo, sin
distinguir la infiltración neta del escurrimiento.
Para diferenciar las dos contribuciones, los
autores, propusieron estimar el escurrimiento (Q)
con el método de SCS-CN. El valor de Q así
estimado se sustrae a la lluvia total (P) y el
balance de agua se computa en base a un valor de
lluvia ficticia (PF) qué es igual a P - Q. La PF es
la cantidad de agua disponible para la infiltración
neta y para la evapotranspiración real. De esta
manera, las ecuaciones anteriores acerca del
cálculo de SR en tres casos diferentes son válidas
para IN, cuando Q ya se ha sustraído. Esas
fórmulas son usadas introduciendo la infiltración
neta en lugar del sobrante de agua (SR) y el valor
de lluvia ficticia (PF) en lugar de lluvia total (P):
En este caso, el CN es CNII el cual corresponde a
una condición de humedad de antecedente media
en el suelo (Hawkins et al. 1985; Boughton 1989).
El método contempla otras condiciones
antecedentes de humedad (CNI y CNIII). En
períodos lluviosos es conveniente evaluar el
escurrimiento con CNIII, que es el mayor de los
tres valores; en períodos secos, CNI es el más
adecuado. CNIII y CNI se obtienen en función de
de CNII mediante las ecuaciones siguientes
(Boughton 1989):
CN I  CN II /(2.334  0.01334 CN II )
CN III  CN II /(0.4036 0.0059 CN II )
La aplicación correcta del método de CN requiere
una elaboración de la distribución estadística de
eventos lluviosos para mejorar la evaluación del
escurrimiento.
Dado que el procedimiento de Thornthwaite
utiliza como datos disponibles la precipitación
mensual, es necesario conocer el número de días
CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 8, 1er. Semestre 2003
lluviosos por mes y la lámina de lluvia por cada
evento.
APROXIMACIÓN BAYESIANA PARA LA
ESTIMACION DEL NUMERO MENSUAL
DE OCURRENCIAS DE EVENTOS
LLUVIOSOS.
Suponemos tener valores de precipitación
mensual, P, y un número al azar de eventos de
lluvia N, en el mes considerado, el cual debe
vincularse con P.
Suponemos también conocidas la probabilidad a
priori del número de eventos para el mes dado
f(N). Al respecto, se podría adoptar una función
de distribución de probabilidad para N, ajustada
para cada mes de año. Ahora, el pronóstico
mejoraría si se utiliza una información adicional
disponible: la precipitación mensual P.
Suponemos conocida la densidad de probabilidad
condicional f(P|N) correspondiente al monto de
lluvia mensual asociado al número de eventos N.
Entonces, según el teorema de Bayes puede
determinarse la probabilidad a posteriori,
f(N|P),de la siguiente manera:
f ( P | N )f ( N )
(1)
f ( P)
siendo f(P) la probabilidad que la precipitación
del mes dado sea P. Según el teorema de
probabilidades totales, se tiene que:
f ( N | P) 
Nmax
f (P) 
 f (P | N )f (N )
j
j
(2)
j1
donde Nmax es un número del máximo de
eventos posible durante un mes que se analiza.
El problema es que normalmente ni la
probabilidad a priori de que el número de eventos
sea N, f(N) ni la probabilidad condicional f(P|N)
son conocidas.
Todorovic (1967) estableció una función de
distribución de eventos de lluvia del tipo Poisson.
Esta propuesta es compartida por muchos
investigadores: Eagleson (1972), Cox e Isham
(1994), Arnaud y Lavabre (1999), Vanlesberg y
Silber (2000), entre otros.
Entonces, dado un periodo de tiempo de un mes
en el cual se registran muestras de N tormentas, y
dado el número medio de eventos, 1,.la función
de la distribución de N del tipo de Poisson y, por
ende la función de probabilidad a priori f(N),
puede escribirse de la siguiente manera:
f ( N) 
1
N
1e
N!
(3)
El periodo considerado, un mes, debe ser
meteorológicamente homogéneo, lo cual significa
que la probabilidad de que una tormenta ocurra es
la misma en cualquier momento en el periodo.
Todorovic (1967, citado por Antigüedad et al
1995) propuso una función de distribución
acumulada para la precipitación total, P,
producida por N tormentas mediante una
distribución del tipo Gamma, según la siguiente
ecuación:
F(P | N)  1  e  2P
N1

j0
( 2 P) j
j!
(4)
El significado físico de 2 es la inversa de la
lámina media de la precipitación producida por
una sola tormenta. La misma puede estimarse
como:
2 
1
Pm
(5)
donde Pm es la lámina media mensual.
Esta distribución condicional es de tipo Gamma y
asumiéndose que 2 es invariable a lo largo del
periodo homogéneo.
La función de densidad de probabilidad puede ser
obtenida por derivación de (4), según la siguiente
formulación:
f ( P | N) 
N2 e  2 P P N 1
N  1!
(6)
Esta distribución de probabilidad condicional,
ta,bién es del tipo Gamma (distribución de
Erlang) cuyos parámetros son N y 2. La media
de la distribución es N/2 y su varianza es
N/(2)2 (Montgomery y Runger 1996).
Combinando las ecuaciones (1), (2), (3), y (6) la
función de distribución de la probabilidad a
posteriori puede determinarse mediante:
f ( N | P) 
N2 e  2 P P N 1 N1 e 1
N  1!
N!
Nmax

j1
 2 j e  2 P P
N
N j 1
N j  1!
 1 j e 1
N
N j!
(7)
CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 8, 1er. Semestre 2003
Algoritmo para definir los números de eventos
de lluvia condicionados a valores de la
precipitación mensual.
1.
2.
3.
4.
Datos
disponibles:
Una
serie
de
precipitaciones mensuales, P, y los valores de
los promedios mensuales para los números
de eventos de lluvia, Nm, y la respectiva
lámina media mensual, Pm.
Asignar parámetros de las distribuciones
probabilísticas: 1=Nm y 2 estimada con (5).
Calcular para cada año y cada mes valores de
la probabilidad a posteriori f(N|P) usando
(7), donde N varía de 1 a Nmax.
Seleccionar un valor óptimo de N, Nop, para
cada mes y año tal que f(Nop|P) es la mayor
de f(N|P), con N=1..Nmax.
largo de una serie de años y en diferentes
estaciones de medición.
Se contó con registros de más de veinte estaciones
pluviométricas ubicadas en el sector meridional
de la provincia de Santa Fe. La consistencia de la
información fue analizada mediante dobles
acumulaciones, contrastándose las estaciones
entre sí (Zimmermann et al 1988). Este análisis
previo permitió seleccionar cuatro estaciones del
conjunto, las que presentan períodos extensos de
registros, buena cobertura geográfica de la región
y de buena calidad de la información.
Las estaciones seleccionadas y la cantidad de
años de registros pluviométricos fueron los
siguientes: Bombal, 51 años; Chovet, 51 años;
Santa Teresa, 52 años y Empalme, 17 años (Fig.
4).
Procesamiento de la información.
Ejemplo de aplicación
A manera de ejemplo, supongamos tener un mes
cuyo número promedio de ocurrencias de lluvia
Nm sea de 4 eventos, lámina media mensual P m de
60 mm y cuya precipitación mensual P sea de 50
mm.
La Fig. 1 muestra la función densidad de
probabilidad correspondiente a una distribución
de Poisson con 1 = 4 (ec. 3).
La Fig. 2 representa la distribución de Erlang (ec.
6) con parámetros 1 = 4 y 2 = 0.067 mm-1
(precipitación media por evento de 15 mm).
El producto de ambas funciones (ec. 7) da por
resultado las funciones de probabilidad graficadas
en la Fig. 3. Puede observarse que, para una
precipitación de 50 mm, el número de eventos
más probable es 4 (campana de N = 4), lo cual es
bastante lógico porque el valor 50 mm no difiere
mucho de el valor medio mensual de 60 mm, al
cual le corresponden, en promedio, 4 eventos de
lluvia. Si el valor de lámina mensual hubiese sido
25 mm, en la Fig. 3 puede observarse que el
número más probable sería de 3 eventos de lluvia,
para P = 100 mm el número de ocurrencias más
probable es de 5 (curva de trazos).
APLICACIÓN DEL MODELO A
REGISTROS PLUVIOMETRICOS
REGIONALES.
La disponibilidad de información pluviométrica
en la región de estudio permitió el contraste de la
metodología propuesta con los registros de
ocurrencias mensuales de eventos de lluvia, a lo
Las precipitaciones registradas en soporte papel
fueron volcados en archivos tipo ASCII, y
posteriormente procesados con programas de
lectura y clasificación específicamente diseñados
para esta tarea.
Se acumularon las ocurrencias de eventos
lluviosos y las precipitaciones diarias a valores
mensuales para la totalidad de las estaciones y los
años de registros. Los resultados del
procesamiento se vuelcan a las Tablas 1 a 4, para
las ocurrencias de lluvia y a las Tablas 5 a 8, para
las precipitaciones mensuales. Al pie de cada
tabla figuran los valores medios, desvíos
estándares y coeficientes de variación para cada
estación y variable analizada. Se acumularon
también los valores en intervalos anuales,
observándose que los módulos pluviométricos
crecen hacia el este (Fig. 4).
Análisis de estadísticos.
Respecto a las ocurrencias de eventos lluviosos,
pudo observarse un comportamiento semejante en
las estaciones de medición.
En principio, los coeficientes de variación para
los números de eventos mensuales oscilan entre el
40% y el 100%, lo cual pone de manifiesto una
dispersión importante alrededor de los valores
medios. Esto se vé acentuado durante los meses
invernales, ya que los CV son superiores (casi
duplican) a sus respectivos estivales.
CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 8, 1er. Semestre 2003
Distribución de Poisson
Función densidad de probabilidad
0.250
Número medio de eventos = 4
0.200
0.150
0.100
0.050
0
2
4
6
8
10
Número de ocurrencias de eventos lluviosos
12
Figura 1. Distribución de Poisson con 1 = 4
Distribución de Erlang
0.060
N=1
N=2
N=3
N=4
N=5
N=6
N=7
N=8
N=9
N = 10
0.050
fdp
0.040
0.030
0.020
0.010
0.000
-
50
100
150
200
250
Precipitación en mm
Figura 2. Distribución de Erlang con 2 = 0.067 mm-1
Aproximación Bayesiana para estimar
el número de ocurrencias de eventos lluviosos
0.600
N=1
N=3
N=5
N=7
N=9
0.500
fdp
0.400
N=2
N=4
N=6
N=8
N = 10
0.300
0.200
0.100
0.000
-
50
100
150
200
Precipitación en mm
Figura 3. Aproximación Bayesiana propuesta
250
CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 8, 1er. Semestre 2003
Este aspecto descriptivo de las muestras
analizadas, evidencia la dificultad de pronosticar
correctamente el número de ocurrencias de lluvias
si ésta fuese considerada como una variable
aleatoria independiente.
Un pronóstico de N utilizando técnicas de
generración aleatoria, como por ejemplo el
método de Monte Carlo, resultaría en un amplio
rango de valores para N. La posibilidad de
condicionar el valor del número de ocurrencias a
la precipitación mensual, como se propone en este
trabajo, restringe grados de libertad a la variable y
posibilita un mejor pronóstico. Las Figuras 5 a 8
presentan en diagramas de barras los números
medios de ocurrencias de lluvia mensual para
cada estación. En la parte superior de cada barra
se representa la magnitud del desvío estándar.
Se han graficado también las evoluciones anuales
de las ocurrencias de lluvia para cada estación
junto a sus medias móviles tomando 10 períodos
de amplitud (Figs. 9 a 12). Puede observarse que,
salvo para la estación Bombal donde el carácter es
aproximadamente estacionario, el número de
ocurrencias se manifestado de una manera
creciente durante los últimos años.
Respecto a las precipitaciones mensuales, son
válidas
las
observaciones
realizadas
anteriormente.
La
variabilidad
de
las
precipitaciones mensuales es incluso superior a la
registrada para las ocurrencias de lluvia. No
obstante, dado que esta variable representa un
input del modelo no afectará el desenvolvimiento
del mismo.
Las Figuras 13 a 16 presentan los hietogramas
medios mensuales para cada estación. Al igual
que en el caso anterior en la parte superior de
cada barra se representa la magnitud del desvío
estándar. Como características generales, las
lluvias son mayoritariamente estivales, siendo
marzo el mes más lluvioso (excepto en la estación
Empalme).
Se han graficado también las evoluciones de la
precipitación anual para cada estación junto a sus
medias móviles tomando 10 períodos de amplitud
(Figs. 17 a 20). Puede observarse que, salvo para
la estación Bombal donde el carácter es
aproximadamente estacionario, el módulo
pluviométrico se ha mostrado creciente durante
los últimos años, y las medias móviles han
superando el umbral de los 1000 mm.
Análisis paramétrico
Los estadísticos calculados para las estaciones de
registro pluviométrico permiten determinar los
valores de los parámetros 1 y 2 sabiendo que el
primero representa el número medio mensual de
ocurrencias de lluvia y el segundo puede
estimarse aplicando la ecuación (5).
Con el fin de que 1 sea comparable a resultados
alcanzadospor otros autores se los ha referido a
intervalos diarios, es decir número medio de
ocurrencias de lluvia en un período de un dia.
Las Tablas 9 y 10 presentan los valores de los
parámetros mencionados para cada estación.
Los mismos fueron comparados con valores
promedios obtenidos por Vanlesberg y Silber
(2000) para seis estaciones pluviométricas
ubicadas en la zona norte de la provincia de Santa
Fe. Estos autores utilizaron los mismos modelos
probabilísticos que Antigüedad, García Muñiz y
Llamas (1995), e iguales a los que se presentan en
este trabajo. Graficamente estas evoluciones se
representan en las Figuras 21 y 22.
Resultados obtenidos al aplicar la metodología.
El método propuesto se aplicó a las series
mensuales de precipitación de cada estación y en
base a los parámetros obtenidos de los
estadísticos, según se describió en el párrafo
anterior.
Como consecuencia de ello los resultados
obtenidos se presentan en la tabla adjunta y se
grafican en las Figuras 23 a 26.
Estación
Bombal
Santa Teresa
Chovet
Empalme
N observado N pronosticado
2658
2410
2043
1874
2540
2343
910
854
CONCLUSIONES
CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 8, 1er. Semestre 2003
Año
1933
1934
1935
1936
1937
1938
1939
1940
1941
1942
1943
1944
1945
1946
1947
1948
1949
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
PROM
DESV
CV
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
NOV
DIC
ANUAL
10
2
5
5
9
6
9
6
2
6
3
8
3
3
8
8
6
4
7
6
11
9
6
7
5
5
3
3
11
6
5
3
3
5
5
5
4
9
8
0
6
5
6
5
7
7
5
2
9
7
4
8
1
5
3
6
5
6
3
5
9
1
6
5
6
4
5
7
3
8
4
4
6
9
4
5
9
7
2
7
2
2
5
2
3
2
0
5
0
9
2
8
7
6
5
8
5
7
7
3
6
7
6
12
3
8
4
14
3
5
5
3
8
5
3
4
8
10
9
6
5
10
10
6
7
4
1
6
9
0
5
7
11
7
0
9
2
6
4
7
8
4
6
3
4
4
6
12
0
4
5
4
4
6
4
2
8
2
8
4
6
8
5
2
3
5
6
7
0
4
5
3
2
6
9
8
4
8
3
6
2
3
2
4
5
7
0
0
0
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65
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52
60
51
41
5.73
2.44
0.43
4.98
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3.14
0.54
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2.98
2.45
0.82
2.92
2.64
0.91
2.22
2.09
0.94
3.39
2.36
0.70
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2.87
0.49
5.33
2.67
0.50
5.47
2.91
0.53
52.12
10.34
0.20
Tabla 1. Estadísticas de dias de lluvia. Estación Bombal.
CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 8, 1er. Semestre 2003
Año
1933
1934
1935
1936
1937
1938
1939
1940
1941
1942
1943
1944
1945
1946
1947
1948
1949
1950
1951
1952
1953
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
PROM
DESV
CV
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
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6
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3
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6
5
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2
3
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4
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2
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5
4
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5
4
3
1
3
5
5
5
7
5
5
6
8
7
7
7
8
10
5
8
6
7
6
4
9
5
9
2
5
3
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2
3
3
2
9
4
5
5
7
5
4
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5
6
12
6
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5
8
5
8
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9
2
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6
7
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31
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58
46
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55
48
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63
5.29
2.43
0.46
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2.61
0.45
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2.22
0.56
2.88
2.08
0.72
2.59
1.92
0.74
2.16
1.51
0.70
2.20
2.14
0.97
3.29
1.98
0.60
5.57
2.74
0.49
5.65
2.36
0.42
5.55
2.74
0.49
49.80
9.00
0.18
Tabla 2. Estadísticas de dias de lluvia. Estación Chovet
CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 8, 1er. Semestre 2003
Año
1933
1934
1935
1936
1937
1938
1939
1940
1941
1942
1943
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1945
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1949
1950
1951
1952
1953
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1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
PROM
DESV
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ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
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AGO
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OCT
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2
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4
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3
7
4
4
4
5
1
6
6
3
8
4
2
5
3
2
3
3
8
2
5
4
6
3
5
4
4
4
4
8
6
7
3
10
1
3
6
3
5
6
4
2
3
4
3
4
8
6
4
5
2
4
3
4
7
7
2
1
2
9
5
2
2
2
4
6
5
5
2
4
4
2
4
4
5
2
7
7
4
6
4
3
7
4
6
7
3
9
1
5
3
3
2
2
4
10
3
6
5
8
4
2
6
4
40
38
32
43
29
39
41
43
42
25
30
37
33
46
39
40
34
36
34
38
39
47
49
48
44
39
44
35
41
37
57
42
38
46
29
37
37
35
46
43
37
29
42
44
46
56
38
48
29
36
31
35
4.23
2.08
0.49
3.62
2.13
0.59
4.48
2.46
0.55
3.42
1.96
0.57
1.79
1.58
0.88
1.75
1.47
0.84
1.94
1.61
0.83
1.96
1.56
0.79
3.08
2.01
0.65
4.23
2.16
0.51
4.40
1.94
0.44
4.38
2.18
0.50
39.29
6.65
0.17
Tabla 3. Estadísticas de dias de lluvia. Estación Santa Teresa.
CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 8, 1er. Semestre 2003
Año
ENE
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
PROM
DESV
CV
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
NOV
DIC
ANUAL
4
2
6
9
3
6
5
4
5
6
12
4
5
10
8
3
5
6
6
4
5
2
7
3
1
3
11
7
4
7
6
4
6
10
2
4
5
8
4
4
5
3
6
5
12
4
4
6
3
3
4
0
5
4
4
2
5
2
7
3
1
3
4
14
9
4
2
6
1
5
3
1
0
0
2
8
5
3
3
2
6
8
4
10
1
5
3
2
3
4
5
2
4
1
3
6
3
7
3
4
3
4
1
1
2
3
2
2
5
1
4
2
8
3
4
3
4
0
2
2
0
1
2
7
0
3
5
11
5
1
6
2
1
0
3
1
2
3
3
5
5
1
5
4
1
8
8
2
3
3
4
2
7
8
1
5
3
5
6
3
6
4
7
16
6
10
3
7
4
7
3
7
2
5
4
8
5
3
5
3
8
11
6
7
8
2
7
7
1
5
4
2
3
4
2
10
8
7
8
7
4
1
6
7
41
38
42
52
40
47
44
48
58
62
91
57
75
63
51
44
61
5.71
2.66
0.47
5.41
2.62
0.48
4.82
2.32
0.48
4.41
3.32
0.75
3.65
2.98
0.82
3.65
1.50
0.41
2.76
1.89
0.68
2.94
2.99
1.02
3.88
2.20
0.57
5.94
3.40
0.57
5.53
2.53
0.46
5.06
2.70
0.53
53.76
13.90
0.26
Tabla 4. Estadísticas de dias de lluvia. Estación Empalme.
Año
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
ENE
94
29.5
93.5
144.5
50
325
162
28
193
69
382
37.5
58
271.5
142
50
156
FEB
146
124
65
270
41
293
83
62
77
316
97
107
126
105
128
177
511
MAR
ABR MAY
73
0
208 132.5
115 42.5
99
84
67
36
100
158
106
14
114
91
69
40
118
30
339
43
178
38
75
214
35
155
28
77
55
34
118
68
21
85.5
34.5
14
0
0
43
66
85
22
21
11
68
214
46
85
14
JUN
83
17
12
33
100
152
26
70
5
48
102
84
80
31
29
18
36
JUL
AGO
12
60
14
0
22
37
75.5
30
24
139
54
0
132
14
3
88
33 133.5
26
79
138
5
16 42.5
61
20
81
2
17
0
0
85
33
8
SET
39
41
62
62
198
14
82
132
25
144
220
33
98
17
132
22
137
OCT
106
31
105.5
40.5
128
100.5
34
51
94
173
174
162
353
31
120
137
165
PROM 134.44 160.47 111.59 73.94 48.82 54.47 43.62 43.71 85.76 117.97
DESV 106.25 121.63 74.39 58.91 51.87 40.51 41.71 46.26 64.62 79.00
CV
0.79
0.76
0.67 0.80 1.06 0.74 0.96 1.06 0.75
0.67
Tabla 5. Estadísticas de lluvias mensuales. Estación Empalme.
NOV
74
178
20
64
76
65
57
41
72.5
100
153
244
144
190
87
46
79
DIC
ANUAL
187
7
182
107
131
42
106
13
440
165
188.5
192.5
71
41
10
98
100
895
868
791
1 024
990
1 304
859
759
1 267
1 290
1 863
1 146
1 368
1 174
816
807
1 425
99.44 122.41
60.95 104.59
0.61
0.85
1096.65
298.11
0.27
CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 8, 1er. Semestre 2003
Año
1933
1934
1935
1936
1937
1938
1939
1940
1941
1942
1943
1944
1945
1946
1947
1948
1949
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
PROM
DESV
CV
ENE
112
15
57
76
110
172
110
107
110
102
23
105
20
46
201
303
178
36
143
112
175
85
39
199
61
134
65
138
213
88
69
107
51
107
114
63
79
223
165
0
97
88
68
193
128
155
89
40
251
114
64
FEB
142
2
31
61
92
84
106
16
64
254
1
101
161
81
130
62
260
53
106
25
144
21
357
130
69
228
144
63
101
12
57
143
38
19
43
0
75
0
176
116
206
63
128
140
181
58
133
83
67
145
137
MAR
254
246
157
101
113
262
59
107
45
141
189
173
51
59
218
172
188
83
138
171
280
106
84
176
18
122
118
0
146
153
208
317
0
492
129
128
167
127
242
59
165
27
170
84
126
300
0
117
151
60
95
ABR MAY
87
53
36
207
93
129
58
125
110
33
57
48
85
65
164
0
62
25
42
63
93.7
189
197
84
79
32
149
64
100
18
50
58
66
0
0
0
264
35
137
21
115
0
68
81
0
11
57
162
161
115
24
115
0
3
26
7
142
18
12
44
14
140
131
0
75
1
86
34
53
91
52
7
44
28
28
113
0
70
0
21
0
9
62
0
10
0
2
109
0
19
8
9
102
67
76
58
0
0
76
34
91
48
JUN
0
45
4
73
0
9
52
53
2
4
125
27
0
90
17
22
77
6
16
43
80
68
42
0
57
56
0
7
15
0
22
28
81
4
5
64
20
0
18
90
92
19
32
0
0
5
34
53
27
32
8
JUL
AGO
2
120
0
22
0
0
2
72
104
2
64
3
65
34
19
0
159
53
5
42.2
4
61
11
23
9
115
35
94
35
79
28
0
50
28
64
0
0
44
75
36
53
142
5
30
0
141
25
58
42
14
0
SET
286
59
164
76
54
130
263
16
50
65
118
277
24
61
42
45
46.5
73
63
134
120
85
104
238
86
15
82
214
103
1
82
15
105
40
201
91
42
110
52
69
171
54
37
143
151
62
93
118
57
82
131
NOV
48
218
170
48
80
106
17
102
164
38
137
7
10
97
66
5
40
65
158
26
125
127
91
36
142
119
219
44
0
50
99
47
98
122
20
63
190
56
74
102
41
72
53
167
73
78
0
98
160
126
0
DIC
ANUAL
35
86
173
432
37
6
37
364
103
46
86
60
44
166
164
168
33
150
53
19
128
76
65
5
214
264
68
36
193
62
179
153
113
122
30
132
22
168
72
86
41
88
19
269
118
142
178
103
95
13
130
1234
1038
863
1177
694
1104
879
1107
834
799
953
958
686.2
929
1054
991
1111.3
680
846
771.2
1165.7
1001
1104
1042
899
1138
1014
743
1026
523
886
1019
629
954
723
615
1009
963
1135
794
993
702
714
1329
835
1119
609
934
1074
956
700
109.80 100.18 143.02 77.90 41.86 31.84 40.57 28.86 55.69 98.05 84.20 110.71
63.78 74.36 91.61 60.82 42.83 31.77 42.11 31.47 50.61 68.05 57.35 87.95
0.58
0.74
0.64 0.78 1.02 1.00 1.04 1.09 0.91 0.69
0.68
0.79
922.67
183.30
0.20
Tabla 6. Estadísticas de lluvias mensuales. Estación Bombal.
0
153
50
144
48
20
9
46
25
83
12
52
43
114
79
54
38
0
90
10
0
13
7
19
53 173.2
29
126
0
32
0
128
4.8
29
11
72
31
0
4
80
6
3
99
40
56
30
46
77
4
47
24
29
48
16
18
65
63
36
56
4
13
70
36
53
0
27
10
0
55
62
30
42
0
41
30
170
25
80
98
109
0
3
9
38
15
52
142
4
0
0
10
157
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0
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11
18
0
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OCT
CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 8, 1er. Semestre 2003
Año
1933
1934
1935
1936
1937
1938
1939
1940
1941
1942
1943
1944
1945
1946
1947
1948
1949
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
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36
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76
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172
69
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121
130
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208
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53
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188
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94
172
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11
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147
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179
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117
149
147
84
221
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285
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372
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178
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112
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177
20
24
44
51
34
50
149
99
53
115
50
126
40
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25
146
71
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0
222
78
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0
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19
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188
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125
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121
189
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15
132
96
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178
184
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108
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184
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186
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123
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110
112
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24
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40
10
109
0
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4
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190
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101
273
140
184
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132
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63
1024
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1018
870
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1061
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1254
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1001
602
991
854
1151
869
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912
1067
935
956
1167
742
1041
1378
1033
1208
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1022
1114
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0.70
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31.37
0.86
35.10
40.57
1.16
31.90
36.44
1.14
24.14
27.06
1.12
49.73
40.79
0.82
97.98
70.16
0.72
93.78
51.77
0.55
99.39
78.35
0.79
898.75
182.96
0.20
Tabla 7. Estadísticas de lluvias mensuales. Estación Chovet.
CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 8, 1er. Semestre 2003
Año
1933
1934
1935
1936
1937
1938
1939
1940
1941
1942
1943
1944
1945
1946
1947
1948
1949
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
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102
40
50
87
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115
94
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87
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117
153
172
56
254
62
96
54
84
202
86
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47
148
105
93
67
118
136
76
174
130
53
230
135
220
40
33
320
135
50
132
FEB
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30
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130
173
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61
187
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170
43
270
155
104
126
61
172
99
502
MAR
127
184
34
70
101
330
153
84
31
77
102
192
52
113
210
241
121
99
95
131
192
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109
13
85
167
0
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117
216
152
301
62
104
30
270
141
125
220
166
155
42
116
101
38
ABR MAY
107
35
101
235
61
106
49
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35
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0
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178
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0
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0
0
43
15
SET
277
82
157
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63
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16
114
62
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10
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95
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58
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60
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121
78
NOV
52
152
104
86
105
62
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152
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185
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118
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119
102
45
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135
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130
170
109
185
90
50
49
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ANUAL
46
29
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123
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55
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100
182
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159
13
156
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27
305
165
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141
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1067
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1048
105.35 106.79 137.15 78.29 43.38 35.71 37.71 30.87 61.81 94.81 92.23 103.31
69.78 87.40 92.21 51.28 43.73 37.72 36.72 28.15 60.94 65.72 49.97 82.55
0.66 0.82
0.67 0.66 1.01 1.06 0.97 0.91 0.99 0.69
0.54
0.80
927.40
189.92
0.20
Tabla 8. Estadísticas de lluvias mensuales. Estación Santa Teresa.
117
42
25
42
197
34
99
85
0
0
0
6
269
44
28
115
52
77
23
69
12
23
18
128
7
30
25
40
38
44
42
51
37
0
58
30
36
76
127
161
0
50
100
6
108
225
66
32
20
202
20
78
OCT
CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 8, 1er. Semestre 2003
Número medio de ocurrencias de lluvia
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Número de ocurrencias de
dias de lluvia
Desvío Estandar
Promedio
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
NOV
DIC
Figura 4. Número medio mensual de ocurrencias de lluvias. Estación Bombal.
Número medio de ocurrencias de lluvia
9
Desvío Estandar
Promedio
Número de ocurrencias de
dias de lluvia
8
7
6
5
4
3
2
1
0
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
NOV
DIC
Figura 5. Número medio mensual de ocurrencias de lluvias. Estación Chovet.
Número medio de ocurrencias de lluvia
8
Número de ocurrencias de
dias de lluvia
Desvío Estandar
Promedio
7
6
5
4
3
2
1
0
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
NOV
DIC
Figura 6. Número medio mensual de ocurrencias de lluvias. Estación Santa Teresa.
Número medio de ocurrencias de lluvia
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Número de ocurrencias de
dias de lluvia
Desvío Estandar
Promedio
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
NOV
DIC
Figura 7. Número medio mensual de ocurrencias de lluvias. Estación Empalme.
CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 8, 1er. Semestre 2003
EVOLUCION ANUAL DE NUMERO DE OCURRENCIAS
Número de lluvias anuales
90
80
70
60
50
40
30
Nº Lluvias anuales
20
10 per. media móvil (Nº
Lluvias anuales)
10
0
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
Figura 8. Evolución de las ocurrencias de eventos lluviosos. Estación Bombal.
EVOLUCION ANUAL DE NUMERO DE OCURRENCIAS
Número de lluvias anuales
80
70
60
50
40
30
Nº de lluvias anuales
20
10 per. media móvil (Nº de
lluvias anuales)
10
0
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
Figura 9. Evolución de las ocurrencias de eventos lluviosos. Estación Chovet.
EVOLUCION ANUAL DE NUMERO DE OCURRENCIAS
Número de lluvias anuales
60
50
40
30
20
Nº de lluvias anuales
10
10 per. media móvil (Nº de
lluvias anuales)
0
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
Figura 10. Evolución de las ocurrencias de eventos lluviosos. Estación Santa Teresa.
EVOLUCION ANUAL DE NUMERO DE OCURRENCIAS
100
Número de lluvias anuales
90
80
70
60
Nº de lluvias anuales
10 per. media móvil (Nº de
lluvias anuales)
50
40
30
20
10
0
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
Figura 11. Evolución de las ocurrencias de eventos lluviosos. Estación Empalme.
CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 8, 1er. Semestre 2003
Hietograma medio mensual
250
Precipitación (mm)
Desvío Estandar
200
Promedio
150
100
50
0
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
NOV
DIC
NOV
DIC
NOV
DIC
Figura 12. Hietograma medio mensual. Estación Bombal
Hietograma medio mensual
Precipitación (mm)
250
Desvío Estandar
Promedio
200
150
100
50
0
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
Figura 13. Hietograma medio mensual. Estación Chovet.
Hietograma medio mensual
Precipitación (mm)
250
Desvío Estandar
Promedio
200
150
100
50
0
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
Figura 14. Hietograma medio mensual. Estación Santa Teresa.
Hietograma medio mensual
Precipitación (mm)
250
Desvío Estandar
Promedio
200
150
100
50
0
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
NOV
Figura 15. Hietograma medio mensual. Estación Empalme.
DIC
CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 8, 1er. Semestre 2003
EVOLUCION ANUAL DE PRECIPITACIONES
Precipitación anual (mm)
1400
1200
1000
800
600
precipitacion anual
400
10 per. media móvil
(precipitacion anual)
200
0
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
Figura 16. Evolución de lluvias anuales. Estación Bombal.
EVOLUCION ANUAL DE PRECIPITACIONES
Precipitación anual (mm)
1600
1400
1200
1000
800
600
Precipitación anual
400
10 per. media móvil
(Precipitación anual)
200
0
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
Figura 17. Evolución de lluvias anuales. Estación Chovet.
EVOLUCION ANUAL DE PRECIPITACIONES
1800
Precipitación anual (mm)
1600
1400
1200
1000
800
Precipitación anual
600
400
10 per. media móvil
(Precipitación anual)
200
0
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
Figura 18. Evolución de lluvias anuales. Estación Santa Teresa.
EVOLUCION ANUAL DE PRECIPITACIONES
2000
Precipitación anual
Precipitación anual (mm)
1800
1600
10 per. media móvil
(Precipitación anual)
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
1930
1940
1950
1960
1970
1980
Figura 19. Evolución de lluvias anuales. Estación Empalme.
1990
CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 8, 1er. Semestre 2003
Estación
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
NOV
DIC
Bombal
Chovet
S. Teresa
Empalme
0.185
0.172
0.137
0.185
0.178
0.175
0.127
0.183
0.187
0.187
0.146
0.157
0.142
0.130
0.114
0.144
0.103
0.093
0.058
0.123
0.099
0.083
0.059
0.121
0.094
0.071
0.064
0.091
0.071
0.070
0.064
0.099
0.113
0.107
0.101
0.123
0.188
0.180
0.137
0.190
0.178
0.186
0.147
0.181
0.176
0.182
0.142
0.159
Promedio
Norte de
Santa Fe
0.170
0.166
0.169
0.133
0.094
0.091
0.080
0.076
0.111
0.174
0.173
0.165
0.117
0.107
0.113
0.105
0.061
0.053
0.048
0.042
0.066
0.102
0.109
Tabla 9. Evolución mensual del coeficiente 1
Evolución mensual del coeficiente  1
0.250
0.200
1 (adim)
0.150
0.100
Chovet
0.050
Santa Teresa
Empalme
Bombal
Estaciones Norte de Santa Fe
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
Meses
Figura 20. Evolución mensual del coeficiente 1
OCT
NOV
DIC
0.110
CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 8, 1er. Semestre 2003
Estación
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
NOV
DIC
Bombal
Chovet
S. Teresa
Empalme
0.052
0.048
0.041
0.043
0.050
0.048
0.036
0.037
0.041
0.041
0.033
0.044
0.055
0.052
0.044
0.058
0.076
0.079
0.041
0.075
0.094
0.073
0.049
0.065
0.072
0.068
0.052
0.064
0.077
0.093
0.064
0.067
0.061
0.065
0.049
0.045
0.060
0.057
0.045
0.051
0.063
0.060
0.047
0.054
0.049
0.055
0.042
0.040
Promedio
Norte de
Santa Fe
0.046
0.043
0.040
0.052
0.068
0.070
0.064
0.075
0.055
0.053
0.056
0.047
0.029
0.028
0.026
0.029
0.039
0.049
0.059
0.062
0.042
0.035
0.032
0.036
Tabla 10. Evolución mensual del coeficiente 2
Evolución mensual del coeficiente 2
0.100
0.090
0.080
0.070
2 (mm-1)
0.060
0.050
0.040
0.030
Bombal
Chovet
0.020
Santa Teresa
Empalme
0.010
Estaciones N de Santa Fe
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
Meses
Figura 21. Evolución mensual del coeficiente 2
OCT
NOV
DIC
CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 8, 1er. Semestre 2003
Estación Bombal
16
Pronosticados
Num ero de eventos
pronosticados
14
Línea de coincidencia
12
Lineal (Pronosticados)
10
8
R2 = 0.5907
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Num ero de eventos observados
Figura 22. Números de ocurrencias de lluvia pronosticados y observados en Estación Bombal.
Estación Chovet
14
Pronosticados
12
Num ero de eventos
pronosticados
Línea de coincidencia
Lineal (Pronosticados)
10
8
6
R2 = 0.6601
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
Num ero de eventos observados
Figura 23. Números de ocurrencias de lluvia pronosticados y observados en Estación Chovet.
14
CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 8, 1er. Semestre 2003
Estación Empalme
18
Pronosticados
Num ero de eventos
pronosticados
16
Línea de coincidencia
14
Lineal (Pronosticados)
12
10
8
R2 = 0.4549
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Num ero de eventos observados
Figura 24. Números de ocurrencias de lluvia pronosticados y observados en Estación Empalme.
Estación Santa Teresa
16
Pronosticados
14
Num ero de eventos
pronosticados
Línea de coincidencia
12
Lineal (Pronosticados)
10
8
6
R2 = 0.5728
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Num ero de eventos observados
Figura 25. Números de ocurrencias de lluvia pronosticados y observados en Estación Santa Teresa.
16
CUADERNOS del CURIHAM, Vol. 8, 1er. Semestre 2003
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