2 Presión y Temperatura (recuento histórico)

F
n, p, V
area A
Figure 1: Sistema pistón-cilindro: Un gas queda encerrado en un volumen V entre un cilindro
y un pistón movible. Para esto se ejerce un fuerza F sobre el pistón. Cierta cantidad de un
gas (n moles) esta bajo la presión p.
2
Presión y Temperatura (recuento histórico)
El arquetı́po de un sistema termodinámico es el sistema pistón-cilindro en la figura 1. En este
caso, las variables termodinámicas son el volumen V , la presión p (la cual se puede calcular a
partir de la fuerza F ), y la temperatura T . La presión y la temperatura serán discutido por
separado en los secciones siguientes.
• ¿En la figura 1, cuales son los parámetros que caracterizen el sistema?
– masa, composición, volumen, presión, temperatura
• ¿Cuales de estos parámetros podrian ser variables termodinámicas?
– volumen, presión, temperatura
• ¿La composición es una variable termodinámica?
– no es variable
• ¿V y p son variables independientes?
– si
• ¿Como cambiarlas de manera independiente?
– cambiando la fuerza F y la temperatura
– la temperatura se puede cambiar de diferentes formas: (a) contacto térmico
con otra sustancia con temperatura diferente, (b) metiendole energı́a mecánica
o eléctrica.
2.1
Presión
La presión esta definida como la fuerza normal sobre una superficie por unidad de area.
p=
F⊥
,
A
(1)
donde F⊥ es la componente de la fuerza perpendicular a la superficie. La fuerza la cuál ejerce
un fluido en reposo (estático) sobre la superficie de contacto es automaticamente perpendicular
a la superficie. Sin embargo, cuando el fluido esta en movimiento con respeto a la superficie,
la fricción debido a la viscosidad del fluido puede generar una fuerza paralela.
4
Figure 2: Dos ejemplos esquemáticos de un manómetro.
Presión barométrica Es la presión total en un fluido. Sino se especifica explicitamente
algo diferente, las presiones que consideramos son siempre presiones totales.
Presión atmosférica Presión total en la atmósfera. Existe el concepto de la atmósfera
estandard el cuál da lugar a la unidad atm (atmósfera)
1 atm = 1.01325 × 105 Pa ,
1 Pa = 1 N/m2 ,
1 bar = 105 Pa .
(2)
El barómetro de Torricelli (fig. 4) establece que la presión atmosférica equivale al peso por
área de una columna de 13.6 cm de altura.
760 torr = 760 mmHg = 1 atm .
(3)
Nota, si usamos la fórmula del principio hidroestático junto con los valores para �Hg y g (la
aceleración gravitacional), se obtiene:
patm = 13.6
m
g
× 9.81 2 × 76.0 cm = 10139.6 Pa .
3
cm
s
(4)
Presión manométrica Es la diferencia entre la presión total y la presión atmosférica.
En aplicaciones técnicas a veces se usa la presión manométrica. En la figura 2 se muestran
dos dispositivos los cuales miden directamente la presión manométrica. Estos dispositivos se
pueden transformar en barómetros sellandolos y evacuando el espacio en el otro lado del gas
bajo investigación.
En la figura 2, el manómetro a la derecha funciona por la ley de Hooke. El manómetro a
la izquierda por el peso de la columna de lı́quido en desnivel.
5
A
y2
F2
F1
y1
Figure 3: En esta figura la coordenada y se mide hacı́a arriba en dirección opuesta a la
aceleración gravitacional.
Principio hidroestático Si podemos despreciar el peso del fluido, la presión en el fluido es
la misma en todo su volumen. Sin embargo, muchas veces el peso del fluido no es despreciable.
En este caso podemos deducir una relación general entre la presión p en cualquier punto de
un fluido en reposo y la altura y del punto: Si el peso de la columna de fluido ejerce la fuerza
F2 = p2 A
(5)
sobre el area transversal en la altura y2 , la columna ejerce la fuerza
F1 = p1 A = F2 + � (y2 − y1 ) A g
(6)
sobre el area transversal en la altura y1 . Por lo tanto:
p 2 − p1
1 F2 − F1
=
= −� g
y2 − y1
A y2 − y1
⇒
dp
= −�g .
dy
(7)
Para resolver esta equación diferencial debemos tomar en cuenta que el lado derecho de la
ecuación puede depender de la altura y y/ó de la presión p.
2.2
Vacı́o
Los siguientes parágrafos son tomados de la página de Wikipedia “Vacuum, Historical interpretation.”
Los antiguos griegos (Platón & co.) no quisieron admitir que un vacı́o pueda existir:
“Como puede nada ser algo”. Algunos pensaron que un vacı́o podrı́a existir afuera del cosmos
– pero no adentro.
El filósofo Al-Farabi (872-950 DC) parece haber conducido los primeros experimentos
sobre el vacı́o. Si lo entiendo bien, no tiene mucho que ver con un vacı́o sino mas bien con un
volumen lleno de aire en un recipiente sumergido bajo el agua. Pero Al-Farabi notaba algo
importante: la elasticidad del aire.
El los tiempos medievales, la iglesia católica pensaba que ya la simple idea de un vacı́o era
inmoral y heretico. Porque la ausencia de todo implicarı́a la ausencia de diós. Se contemplaban
experimentos imaginarios con tablas grandes que se separaban tan rápido que el aire no tubiera
tiempo de llenar el espacio vacı́o que se abria. Todo terminó 1277, cuando el obispo de Paris
decidio que debido a que diós es todopoderoso el puede crear un vacı́o si lo quisiera.
6
Figure 4: Hemisferios de Magdeburgo (a la izquierda) y el barómetro de Torricelli (a la
derecha).
7
Torricielli (1643) y Blaise Pascal (1623-1662) argumentan que hay un vacı́o encima de
una columna de mercurio. Una manera eficiente y económica para crear un vacı́o. Que tan
bueno serı́a este vacı́o?
Otto von Guericke (1654) Hemisférios de Magdeburgo
Hoy en dı́a:
• Pelı́culas como Alien ??
• podemos imaginarnos un espacio vacı́o de partı́culas (con masa en reposo). Pero una
cavidad ası́ contiene radiación electromagnetica. Energı́a. Entonces masa como la sabemos desde Einstein). También ejerce una presión sobre las paredes de la cavidad. No se
puede alcanzar el cero absoluto. Y por lo tanto la energı́a del campo electromagnetico
siempre será mayor cero.
• Que pasa con la distancia entre A y C, cuando se levanta el tubo de Torricelli por unos
millimetros – sin que el borde inferior sale de la superficie de mercurio?
2.3
Temperatura
Nosotros, como mamı́feros, podemos controlar la temperatura de nuestro cuerpo con gran
exactitud. Sin embargo, no tenemos un sentido para la temperatura en sı́. Los sensores
térmicos que tenemos en la piel son sensitivos solamente a cambios de temperatura. Por lo
tanto no nos es posible de comparar la temperatura de dos objetos tocando uno con la mano
derecha y el otro con la mano izquierda.
• Haz el experimento con agua fria, aliente y tibia y tus dos manos.
Sin embargo habia ciertos areas en donde la temperatura desempeñaba un papel importante:
• Medicina: fiebre
• Produción de Lácteos: Crema, Mantequilla, Quesos, et cetera
• Hererı́a
• Agricultura (temperatura ambiental)
Ciertos fenómenos permiten establecer, al menos aproximadamente, algunos puntos de referencia para una escala de temperatura. Algunos ejemplos:
• Punto de fusión (congelación) de agua
• Punto de embullición de agua
• Puntos de fusión (embullición) de otras sustancias
• La temperatura del cuerpo humano
• La temperatura en el subsuelo lo suficientemente profundo puede ser extremadamente
estable. Por lo tanto, la temperatura de agua, tomado de un pozo profundo, también
es muy estable (varia muy poco durante el año).
8
Gas
Gas
Figure 5: Derecha: termoscópio, como lo usaba aparentemente ibn Sina para estudiar los
efectos de cambio de temperatura en el aire. Izquierda: Un termoscópio como se usaba en
siglo 17-18, donde se observa la expansión térmica de un lı́quido (aqui, vino tinto) a causa del
cambio de temperatura.
Termoscópios El primer paso hacia el desarollo de un termómetro eran dispositivos que
podian registar cambios en la temperatura. Dos de ellos se muestran en la figura 5. Parece
que el termoscópio a la izquierda ya se habia usado por Abu Ali ibn Sina (también conocido
como Avicenna: ca. 1000 DC), para estudiar los efectos de cambio de temperatura. Este
dispositivo funciona a base de la expansión térmica del aire. El termoscópio a la derecha fue
desarollado por Fernando II de Médici (Gran duque de Toscana) (1654). Este dispositivo usa
la expansión térmica de alcol (aquı́ vino tinto) para observar cambios de temperatura.
Cero absoluto (1702) The question whether there is a limit to the degree of cold possible,
and, if so, where the zero must be placed, was first attacked by the French physicist Guillaume
Amontons in 1702, in connection with his improvements in the air thermometer. In his
instrument temperatures were indicated by the height at which a column of mercury was
sustained by a certain mass of air, the volume or ”spring” which of course varied with the
heat to which it was exposed. Amontons therefore argued that the zero of his thermometer
would be that temperature at which the spring of the air in it was reduced to nothing. On
the scale he used the boiling-point of water was marked at +73 and the melting-point of ice
at 51, so that the zero of his scale was equivalent to about 240 on the Celsius scale.1
Termómetros como los conocemos hoy en dı́a Daniel Gabriel Fahrenheit (1714): El
primero en usar mercurio para fabriquar termómetros de alta precisión.
Anders Celcius, Carl Linnaeus (1742,1744): Propusieron la escala, que se llama hoy en dia
grados Celcius.
1
Puedes verificar este cálculo?
9
V
cero absoluto
100 T /◦ C
0
Figure 6: Esquema del experimento de Amontons (1702 DC). Los cı́rculos muestran valores
experimentales del volumen V que ocupa una gas a la temperatura de ebullición (T = 100 ◦ C)
y a la temperatura de fusión (T = 0 ◦ C) de agua. Suponiendo una relación lineal entre volumen
y temperatura permite encontrar el punto de temperatura cero absoluto.
Cero absoluto (1848) Lord Kelvin (William Thomson) approached the question from an
entirely different point of view, and in 1848 devised a scale of absolute temperature which
was independent of the properties of any particular substance and was based solely on the
fundamental laws of thermodynamics. It followed from the principles on which this scale was
constructed that its zero was placed at −273.15◦ C.
Escalas de temperatura Hoy en dı́a se usan principalmente tres escalas diferentes:
• Grados Celsius: Definido por dos puntos de referencia: Punto de fusión congelación de
agua: 0◦ C; punto de embullición de agua: 100◦ C.
• Grados Fahrenheit [http://en.wikipedia.org/wiki/Fahrenheit]: La escala de Fahrenheit fue introducida originalmente en el año 1724, por Daniel Gabriel Fahrenheit un fı́sico
aleman. Como puntos de referencia, Fahrenheit usaba (i) una mescla de hielo, agua y
cloruro de amonio (NH4 Cl), (ii) la temperatura media del cuerpo humano. Hoy en dı́a,
la escala de Fahrenheit esta calibrada de tal forma que
0◦ C � 32◦ F y 100◦ C � 212◦ F .
(8)
Una de las ventajas de la escala de Fahrenheit es que (i) tiene mayor granularidad, y (ii)
que es menos probable que se requieren valores negativas para datos meteorológicos.2
• Kelvin: Se usa la misma escala de Celsius pero recorrido de tal forma que el cero absoluto
queda en 0 K. Por lo tanto, 0◦ C equivale a 273.15 K.
En la termodinámica se usa casi exclusivamente la escala de Kelvin.
2.4
Boyle, Gay-Lussac y el Gas ideal
Ley de Boyle:
p1 V 1 = p2 V 2 .
2
Cuál es la temperatura en ◦ C que corresponde a 0◦ F?
10
(9)
Gay-Lussac (Charles, Amontons)
V100 − V0 = k V0 .
(10)
Esta ecuación (obtenida a traves de observaciones) junto con la suposición que V depende
linealmente puede llevar a la existencia de una temperatura mı́nima la cual no se puede pasar
– el cero absoluto:
α 100
V100 − V0
=
.
(11)
V = V0 + α T ⇒ k =
V0
V0
Entonces sigue de 0 = V0 + α T0abs que
T0abs =
−V0
100
=−
.
α
k
(12)
El experimento con el cálculo correspondiente (vea Fig. 6) lo hizo por primera vez Guillaume
Amontons en el año 1702. Llegó a estimar que el cero absoluto se encuentra a la temperatura
T0abs = −240 ◦C.
Gas ideal
pV =nRT ,
2.5
R = 8.314
J
.
mol K
(13)
Fórmulas barométricas
El principio hidroestático junto con una ecuación de estado permite obtener diferentes fórmulas
barométricas, las cuales describen la variación de la presión y de la densidad en un fluido en equilibrio termodinámico cuando este se encuentra sujeto a fuerzas externas. En el
caso de la atmósfera la fuerza externa es la gravedad. Formula barométrica internacional
suponiendo que la temperatura aumenta de manera lineal con la altura sobre el nivel del mar:
[http://de.wikipedia.org/wiki/Barometrische Hohenformel]
�5.255
�
0.0065(h1 − h0 )
,
p(h1 ) = p(h0 ) 1 −
T (h0 )
donde al nivel del mar: p(h0 ) = 1013.25 hPa y T (h0 ) = 288.15 K.
11
(14)