2.5 Comportamiento inelástico de los materiales Ejemplo La viga

2.5 Comportamiento inelástico de los materiales
Ejemplo
La viga rígida mostrada en la fig. 2.18 está soportada por tres barras de acero con un diámetro
de 2.54 cm, la longitud de éstas son: 1 =1.0 m, 2 =1.75 m y 3 =2.0 m. Las barras son de
acero con un comportamiento elastoplástico, módulo de elasticidad  = 21 × 106 kg  cm2 y un
esfuerzo de fluencia   = 4200 kg  cm2 .
a) La deformación de fluencia y las relaciones esfuerzo deformación en el rango elástico e
inelástico.
b) Ignorando el peso de la viga, determine los desplazamientos impuestos para que las barras
fluyan.
c) Imponga el desplazamiento necesario para que una primera barra fluya y determineel valor
de las reacciones.
d) Repita el inciso c, para que una segunda y, después, que todo el sistema fluya.
e) Imponga un desplazamiento u=6 mm en la viga, determine el valor de la reacción.
f) Construya una gráfica reacción contra desplazamiento impuesto y determine la pendiente
de la rama elástica.
g) Si los apoyos se remueven, determine el valor de las fuerzas residuales que se mantienen en
la estructura.
Figura 2.18: Viga rígida.
Solución
El área de cada barra es:
2
 (254 cm)2
=
=
= 506707 cm2
4
4
las longitudes de cada barra son:
c
°Gelacio
Juárez, UAM
108
2.5 Comportamiento inelástico de los materiales
1 = 100 m; 2 = 175 m; 3 = 200 m
a) La deformación de fluencia se determina como:
 =

4200 kg  cm2
=
= 0002

21 × 106 kg cm2
Las relaciones esfuerzo-deformación en el rango elástico e inelástico, respectivamente, son:
 () = ; 0 ≤  ≤   ; 0 ≤  ≤ 
(2.67)
 () =   ;    ;   
(2.68)
La gráfica esfuerzo-deformación definida por las ecs. (2.67) y (2.68) se muestran en la fig. 2.19.
Figura 2.19: Esfuerzo contra deformación.
b) Para que inicie la plastificación, la deformación tiene que ser igual a la de fluencia  =
, por lo que para cada barra, el desplazamiento impuesto para alcanzar su carga plástica es:
1 =  1 = (0002) (100 m) = 0002 m
2 =  2 = (0002) (175 m) = 0003 5 m
3 =  3 = (0002) (200 m) = 0004 m
c) Al imponer un desplazamiento 1 = 0002 m las deformaciones en cada barra son:
1 =
2 =
3 =
c
°Gelacio
Juárez, UAM
1
0002 m
= 0002
=
1
100 m
1
0002 m
= 0001 143
=
2
175 m
1
0002 m
= 0001
=
3
200 m
109
2.5 Comportamiento inelástico de los materiales
Los esfuerzos, utilizando la ec. (2.67), en cada barra son:
0002 m
kg
1
= 4200
= 21 × 106 kg  cm2
1
100 m
cm2
kg
0002 m
1
= 2400
= 2 = 
= 21 × 106 kg  cm2
2
175 m
cm2

0002 m
1
= 2100
= 3 = 
= 21 × 106 kg  cm2
kg
3
200 m
cm2
1 =  = 
2
3
Las fuerzas en cada barra son:
1
2
3
¡
¢
21 × 106 kg cm2 506707 cm2 (0002 m)
1 1
= 212820 kg
=  1 1 =
=
1
(100 m)
¡
¢
21 × 106 kg cm2 506707 cm2 (0002 m)
2 1
= 1216098 kg
=  2 2 =
=
2
(175 m)
¡
¢
21 × 106 kg cm2 506707 cm2 (0002 m)
3 1
= 1064086 kg
=  3 3 =
=
3
(200 m)
La magnitud de la reacción para 1 = 0002 m corresponde a la suma de las fuerzas en las barras:
1 = 1 + 2 + 3 = 212820 kg + 1216098 kg + 1064086 kg = 4408355 kg
d) Al imponer un desplazamiento 2 = 00035 m las deformaciones en cada barra son:
1 =
2 =
3 =
2
00035 m
= 00035
=
1
100 m
2
00035 m
= 0002
=
2
175 m
2
00035 m
= 000175
=
3
200 m
Los esfuerzos, utilizando la ecs. (2.67) y (2.68), en cada barra son:
 1 =   = 4200
kg
cm2
00035 m
kg
2
= 4200
= 21 × 106 kg  cm2
2
175 m
cm2
kg
00035 m
2
= 3675
= 3 = 
= 21 × 106 kg  cm2
3
200 m
cm2
 2 = 2 = 
3
Las fuerzas en cada barra son:
c
°Gelacio
Juárez, UAM
110
2.5 Comportamiento inelástico de los materiales
¢
kg ¡
506707 cm2 = 21281714 kg
2
cm
¡
¢
21 × 106 kg  cm2 506707 cm2 (00035 m)
2 2
= 2128171 kg
=  2 2 =
=
2
(175 m)
¡
¢
21 × 106 kg  cm2 506707 cm2 (00035 m)
3 2
= 186215 kg
=  3 3 =
=
3
(200 m)
1 =  1 1 =   1 = 4200
2
3
La magnitud de la reacción para 2 = 00035 m corresponde a la suma de las fuerzas en las
barras:
2 = 1 + 2 + 3 = 21281714 kg + 2128171 kg + 186215 kg = 6118493 kg
Al imponer un desplazamiento 3 = 0004 m las deformaciones en cada barra son:
1 =
2 =
3 =
3
0004 m
= 0004
=
1
100 m
3
0004 m
= 000228
=
2
175 m
3
0004 m
= 0002
=
3
200 m
Los esfuerzos, utilizando la ecs. (2.67) y (2.68), en cada barra son:
kg
cm2
kg
=   = 4200
cm2
0004 m
kg
3
= 4200
= 3 = 
= 21 × 106 kg cm2
3
200 m
cm2
 1 =   = 4200
2
3
Las fuerzas en cada barra son:
¢
kg ¡
506707 cm2 = 21281714 kg
2
cm
¢
kg ¡
2
=  2 2 =   2 = 4200
506707
cm
= 2128171 kg
cm2
¡
¢
21 × 106 kg cm2 506707 cm2 (0004 m)
3 3
= 2128171 kg
=  3 3 =
=
3
(200 m)
1 =  1 1 =   1 = 4200
2
3
La magnitud de la reacción para 3 = 0004 m corresponde a la suma de las fuerzas en las barras:
c
°Gelacio
Juárez, UAM
111
2.5 Comportamiento inelástico de los materiales
3 = 1 + 2 + 3 = 3 (2128171 kg ) = 6384514 kg
e) Al imponer un desplazamiento 4 = 0006 m las deformaciones en cada barra son:
1 =
2 =
3 =
4
0006 m
= 00035
=
1
100 m
4
0006 m
= 0002
=
2
175 m
4
0006 m
= 000175
=
3
200 m
Los esfuerzos, utilizando la ec. (2.68), en cada barra son:
kg
cm2
kg
=   = 4200
cm2
kg
=   = 4200
cm2
 1 =   = 4200
2
3
Las fuerzas en cada barra son:
kg
cm2
kg
=  2 2 =   1 = 4200
cm2
kg
=  3 3 =   1 = 4200
cm2
1 =  1 1 =   1 = 4200
2
3
¡
¢
506707 cm2 = 21281714 kg
¡
¢
506707 cm2 = 21281714 kg
¡
¢
506707 cm2 = 21281714 kg
La magnitud de la reacción para 4 = 0006 m corresponde a la suma de las fuerzas en las barras:
4 = 1 + 2 + 3 = 3 (2128171 kg ) = 6384514 kg
g) La curva carga contra desplazamiento se muestra en la fig. (2.20).
Desplazamiento ( mm)
Reacción ( kg )
20 mm
4408355 kg
35 mm
6118493 kg
40 mm
6384514 kg
60 mm
6384514 kg
La pendiente de la rama elástica  se determina con el primer desplazamiento impuesto y la
reacción:
c
°Gelacio
Juárez, UAM
112
2.5 Comportamiento inelástico de los materiales
Figura 2.20: Curva desplazamiento contra reacción.
 =
kg
1
4408355 kg
= 22042
=
1
20 mm
mm
f ) Si los apoyos se remueven, la estructura descarga siguiendo una trayectoria con la pendiente
 , por lo que el desplazamiento recuperado  es:
 =
4
6384514 kg
=
= 2 896 5 mm
kg

22042 mm
Así, el desplazamiento residual  se determina:
 = 4 −  = 60 mm − 2 896 5 mm = 3103 mm
La deformación recuperada en cada barra es:
1 =
2 =
3 =

00028965 m
= 0002896 5
=
1
100 m

00028965 m
= 0001655 1
=
2
175 m

00028965 m
= 0001448 3
=
3
200 m
Los esfuerzos residuales en cada barra son:
kg
kg
− 21 × 106 kg  cm2 (0002896 5) = −1882758
cm2
cm2
kg
kg
=   − 2 = 4200
− 21 × 106 kg  cm2 (00016551) = 724138
2
cm
cm2
kg
kg
=   − 2 = 4200
− 21 × 106 kg  cm2 (0001448 3) = 1158621
cm2
cm2
 1 =   − 1 = 4200
2
3
Las fuerzas en cada barra, mostradas en la fig. 2.21, son:
c
°Gelacio
Juárez, UAM
113
2.5 Comportamiento inelástico de los materiales
¢
kg ¡
506707 cm2 = −9540079 kg
2
cm
¢
kg ¡
2
=  2 2 =   1 = 724138
506707
cm
= 3669261 kg
cm2
¢
kg ¡
=  3 3 =   1 = 1158621
506707 cm2 = 5870818 kg
2
cm
1 =  1 1 =   1 = −1882758
2
3
Figura 2.21: Fuerzas residuales.
La suma de las fuerzas en las barras:
4 = 1 + 2 + 3 = 0 kg
c
°Gelacio
Juárez, UAM
114
2.5 Comportamiento inelástico de los materiales
Tarea
La viga rígida mostrada en la fig. 2.22 está soportada por tres barras de acero con un diámetro
de 254 cm, la longitud de éstas son: 1 = 3 =1.0 m y 2 =1.50 m. Las barras son de acero con
un comportamiento plástico con endurecimineto, módulo de elasticidad  = 21×106 kg cm2 y
un esfuerzo de fluencia   = 4200 kg  cm2 , la segunda rama del la curva esfuerzo-deformación
se idealiza con una pendiente , cuyo valor de  = 010.
a) Determine la deformación de fluencia y las relaciones esfuerzo deformación en el rango
elástico e inelástico.
b) Ignorando el peso de la viga, determine los desplazamientos impuestos para que las barras
fluyan.
c) Imponga el desplazamiento necesario para que una primera barra fluya y determine el valor
de las reacciones.
d) Repita el inciso c, para que una segunda y, después, que todo el sistema fluya.
e) Imponga un desplazamiento  = 5 mm en la viga, determine el valor de la reacción.
f) Construya una gráfica reacción contra desplazamiento impuesto y determine la pendiente
de la rama elástica.
g) Si los apoyos se remueven, determine el valor de las fuerzas residuales que se mantienen en
la estructura.
Figura 2.22: Viga rígida.
c
°Gelacio
Juárez, UAM
115