El Cálculo. Louis Leithold. Séptima edición en español. ISBN 970-613-182-5 Ejercicios de repaso para el capítulo 3. Ejercicio 51, página 291. La …gura muestra la grá…ca de la derivada de una función f cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales y la cual es continua en todo número real. A partir de la grá…ca determina la siguiente información e incorporala en una tabla semejante a las tablas de la sección 3.6 (página 242): (i) los intervalos en los que f es creciente; (ii) los intervalos en los que f es decreciente; (iii) los extremos relativos de f ; (iv) donde la grá…ca de f es cóncava hacia arriba; (v) donde la grá…ca de f es cóncava hacia abajo; (vi) los puntos de in‡exión de la grá…ca de f . Dibuje la grá…ca de una función f que tenga las propiedades de la tabla si los únicos ceros de f son los indicados en la …gura. Solución: (i) los intervalos en los que f es creciente Una función es creciente en un intervalo si su derivada es positiva en dicho intervalo. De la grá…ca de la derivada de la función f 1 es claro que la función es creciente en el intervalo ( 1; 2): (ii) los intervalos en los que f es decreciente Una función es decreciente en un intervalo si su derivada es negativa en dicho intervalo. De la grá…ca de la derivada de la función f es claro que la función es decreciente en el intervalo (2; +1): (iii) los extremos relativos de f ; Como la función es continua en el conjunto de todos los números reales y por lo que acabamos de ver en los dos incisos anteriores, la función f tiene un máximo relativo en x = 2. Ese es el único extremo relativo que tiene. La grá…ca también nos muestra que la derivada de f no existe en x = 2; sin embargo, ese no es un impedimento para que x = 2 sea un máximo relativo. (iv) donde la grá…ca de f es cóncava hacia arriba 2 Una función es cóncava hacia arriba en un intervalo si su segunda derivada es positiva en dicho intervalo. De la grá…ca de la derivada de la función f es claro que la función f es cóncava hacia arriba en el intervalo ( 1; 0) y en el intervalo (2; +1). (v) donde la grá…ca de f es cóncava hacia abajo Una función es cóncava hacia abajo en un intervalo si su segunda derivada es negativa en dicho intervalo. De la grá…ca de la derivada de la función f es claro que la función f es cóncava hacia abajo en el intervalo (0; 2). (vi) los puntos de in‡exión de la grá…ca de f La función f tiene un punto de in‡exión en x = 0, ya que ahí la segunda derivada cambia de signo. A continuación presentamos una tabla resumiendo todos los puntos anteriores, 3 x<0 x=0 0<x<2 x=2 x>2 f 0 (x) + No existe + No existe f 00 (x) + No existe Conclusión f es creciente y su grá…ca es concava hacia arriba f es continua, pero no diferenciable f es creciente y su grá…ca es concava hacia abajo f es continua, pero no diferenciable f es decreciente y su grá…ca es concava hacia arriba No existe + Dibuje la grá…ca de una función f que tenga las propiedades de la tabla si los únicos ceros de f son los indicados en la …gura La función p f (x) = x x 2 ( 1; 0) p x 2 (0; 2) f (x) = x p p p 2 x 2 x 2 (2; +1) f3 (x) = 2 cuya grá…ca es f(x) 1 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 -1 -2 -3 cumple con las condiciones de este problema. 4 8 10 x Es claro que la función tiene ceros en 0 y 3; es decir, f (0) = 0 y f (3) = 0. Respecto a su derivada tenemos 1 f 0 (x) = p 2 x x 2 ( 1; 0) 1 f 0 (x) = p 2 x 0 f (x) = x 2 (0; 2) p 1 2 p 2 x 2 x 2 (2; +1) cuya grá…ca mostramos a continuación f'(x) 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 -0.2 8 10 x -0.4 -0.6 y vemos que coincide cualitativamente con la grá…ca propuesta en el problema Podemos calcular también la segunda derivada, que da f100 (x) = 1 3 2 4 ( x) 5 1 f200 (x) = f300 (x) = 3 4x 2 p 2 (x 3 2) 2 1 4 y cuya grá…ca es 2 f(x) -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 x -2 -4 -6 -8 -10 donde podemos comprobar en que regiones la grá…ca es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. Como resumen general, presentamos la gra…ca de la función, de su derivada y de su segunda derivada y la tabla con el detalle del comportamiento de la función f(x) f'(x) 1 1.5 f''(x) 1.0 -10 -5 5 -10 10 -4 -10 x<0 x=0 0<x<2 x=2 x>2 -5 5 -2 -0.5 -3 -1.0 No existe + p 2 2 = 4p (x 10 -6 x -8 -10 Conclusión f es creciente y su grá…ca es concava hacia arriba f es continua, pero no diferenciable f es creciente y su grá…ca es concava hacia abajo f es continua, pero no diferenciable f es decreciente y su grá…ca es concava hacia arriba Extra: ¿Cómo se calculó la función para x > 2? y 5 0.5 x f 00 (x) + No existe -5 -2 -1 f 0 (x) + No existe + No existe 2 2) 6 10 x 0 p 2 y 1 2 p 2 y p 2 p= 2 2 2 = 4p (3 2) = 2 (x 2) 2 (x 2) p p 2 x 2 p p p f3 (x) = 2 2 x y= p 2 2 x 2 (2; +1) 7