Si n` = el sucesor de n, entonces

Lógica y Computación
Modelización de Sistemas de Creencias
LÓGICA:
MODELIZACIÓN DE SISTEMAS DE CREENCIAS
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
1
Lógica y Computación
Modelización de Sistemas de Creencias
LAS CREENCIAS COMO GENERADORES DE
CONDUCTA
• En último término, la respuesta que un sistema
genera ante los estímulos de su entorno dependen de
lo que sabe acerca de él
• Creencia: Lo que el sistema sabe:
• Relatividad de las creencias respecto al sistema
que las posee
• Interdependencia o sistematicidad de las
creencias: Sostener una creencia puede obligar a
sostener o rechazar otras creencias
• Consistencia del sistema de creencias: El conjunto
de creencias debe ser consistente
• A la Psicología le interesa:
• El contenido de las creencias: En gran medida, el
análisis de ese contenido debe ser proporcionado por
las Ciencias Sociales (Antropología, Sociología)
• La estructura y propiedades globales de los sistemas
de creencias: Lógica
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2
Lógica y Computación
Modelización de Sistemas de Creencias
MODELIZACIÓN MATEMÁTICA DE LOS
SISTEMAS DE CREENCIAS
• Modelización lógica de los sistemas de creencias:
modelización matemática de las relaciones entre
creencias como inferencias
• Inferencia : Obtención de unas creencias a partir de
otras
• Tipos de inferencia:
• Inferencia deductiva o deducción: Obtención de
creencias a partir de otra disponible en la que la
primera se encuentra implícita
• Inferencia no-deductiva:
•
•
•
•
Inferencia inductiva
Inferencia estadística o probabilística
Inferencia borrosa (fuzzy)
...
• La Lógica es una teoría matemática de la inferencia
deductiva
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3
Lógica y Computación
Teoría Lógica
NATURALEZA DE LA TEORÍA LÓGICA
• Teoría formal (= matemática)
• Teoría matemática cualitativa (algebraica)
• Surge inicialmente como análisis del razonamiento
natural (expresado en el lenguaje natural)
• Progresiva introducción de elementos formales
• Actualmente, teoría plenamente matemática, con
diversas aplicaciones:
•
•
•
•
•
Matemáticas
Ciencias de la Computación (Informática)
Lingüística
Modelización psicológica
Inteligencia Artificial
• Cuatro partes:
•
•
•
•
Teoría de la demostración (matemática)
Teoría de modelos (Semántica formal)
Teoría de la Recursión (Computabilidad)
Teoría de Conjuntos
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4
Lógica y Computación
Teoría Lógica
DESARROLLO DE LA TEORÍA LÓGICA (1)
Filosofía
• Aristóteles.
• Estoicos.
-
Escolástica.
- Abelardo
Alberto Magno
- Realistas
Tomás de Aquino
- Nominalistas: Ockham
• Leibniz
• Lambert
Matematización
• Hamilton
Algebra de la Lógica
• de Morgan
• Boole
Crisis de Fundamentos
• Cantor
• Frege
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5
Lógica y Computación
Teoría Lógica
DESARROLLO DE LA TEORÍA LÓGICA (1)
Lógica Matemática Clásica
• Bertrand Russell y A. Whitehead (Principia
Mathematica)
• Herbrand, Gentzen
• Hilbert
Teoremas de Limitación
• Gödel
Lógicas no-clásicas
• Lukasiewicz
• Kripke
• Prior
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6
Lógica y Computación
Teoría Lógica
LA LÓGICA CONTEMPORÁNEA
Lógica de n-orden
Lógica de 2º Orden
Lógica de 1er Orden
Lógica de Predicados o
Cuantificacional
Lógica de Enunciados o
Proposicional
• Verdad
• Lógica Clásica
• Falsedad
Lógica
• No Bivalentes
• Lógica
no-Clásica
•
•
•
•
•
• Más Recursos
•
Expresivos
•
•
•
Lógica Trivalente
Lógicas Polivalentes
Lógicas Probabilísticas
Lógicas Difusas
Lógica Modal
Lógica Temporal
Lógica Epistémica
Lógica Deóntica
Lógica Nomonotónica
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7
Lógica y Computación
Teoría Lógica
CÁLCULOS LÓGICOS
Teoría de la
Demostración
Axiomas
Derivación
Teoremas
Teoría de
Modelos
Interpretación
Fórmulas
Lógicamente
Válidas
Presentaciones “sintácticas”: “Teoría de la
Demostración”
Varios sistemas:
• Sistemas de tipo Hilbert:
- Sistemas Axiomáticos:
Ö Estudio de las propiedades metalógicas
Ö Axiomas y teoremas
• Sistemas de tipo Gentzen:
- Cálculo de Deducción Natural:
Ö Estudio de los procesos “naturales” de
inferencia. Deducción a partir de supuestos
- Arboles Lógicos (como cálculo)
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8
Lógica y Computación
Lógica de Enunciados
LÓGICA CLÁSICA
LÓGICA DE ENUNCIADOS
(Introducción )
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9
Lógica y Computación
Lógica de Enunciados
EL LENGUAJE DE ENUNCIADOS (Le)
Símbolos de Le
1. Variables enunciativas
p, q, r, s, ...
p1, p2, p3, ...
2. Operadores enunciativos (conectores o juntores)
Símbolo
¬
Símbolo
∧
∨
Monádicos (unarios)
Se lee
Nombre
no...
Negador
Diádicos (Binarios)
Se lee
Nombre
...y...
Conjuntor
...o...
→
si...,entonces...
↔
... equivale a ...
... si, y sólo si ...
Disyuntor
Condicional
Implicador Material
Equivaledor
Bicondicional
3. Símbolos Auxiliares
- ) , ( Paréntesis.
- ] , [ Llaves.
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10
Lógica y Computación
Lógica de Enunciados
(Def.) Expresión de Le: Cualquier secuencia finita de
símbolos de Le
(Def.) Lenguaje-objeto y Metalenguaje
En lógica no puede haber ambigüedades y a menudo
para hablar de la notación que usamos en el cálculo
necesitamos otra notación de nivel superior, para evitar
equívocos. A esa notación superior que habla de la del
cálculo que estamos usando lo denominamos
Metalenguaje y lenguaje-objeto a la que es referida por
el metalenguaje.
Esta distinción es fundamental a la hora de analizar
las propiedades de los cálculos lógicos. Tarea de la
que se encarga la Metalógica
(Def.) Metavariable
En concreto aquí X e Y son metavariables, es decir
variables que pueden sustituirse por cualquier fórmula
del cálculo del que hablamos, en este caso del cálculo
proposicional. Así por ejemplo, X puede ser p, ó ¬q ó
p∧
∧q ó (p ∨ ¬q)→
→ r, etc.
Símbolo que utilizamos para referirnos a una
fórmula cualquiera:
X, Y, Z, ...
X1 , X2 , X3 , ...
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11
Lógica y Computación
Lógica de Enunciados
(Def.) Fórmula de Le.
Reglas de Formación de fórmulas
1. Una variable enunciativa sola es una Fórmula Bien
Formada, fbf (fbf atómica), de Le:
p, q, p3, r, s15
2. Si A es una fbf , también lo es ¬A. (negación)
3. Si A y B son fbfs, también lo serán;
A∧B
A∨B
A→B
A↔B
Conjunción
Disyunción
Condicional o Implicación Material.
Equivalencia.
(Fbfs. Moleculares)
(Def.) Subfórmula
1. A es una subfórmula de ¬A
2. A y B son subfórmulas de:
A∧B
A∨B
A →B
A ↔B
ƒ Cada parte se denomina:
ƒ Primer y/o segundo miembro. (Conjunción y
disyunción)
ƒ Antecedente y/o consecuente (Condicional y
bicondicional)
ƒ Si A es una subfórmula de B y B es una subfórmula
de C, entonces A es una subfórmula de C
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12
Lógica y Computación
Lógica de Enunciados
ƒ (Def.) Decidibilidad de un conjunto: Un conjunto es
decidible si existe un método algorítmico para
averiguar, para cualquier objeto x, si x∈
∈A, o si x∉
∉A.
(Teorema) El conjunto de las fbfs. de Le es decidible:
Para cualquier expresión, podemos averiguar (mediante
un árbol de formación de fórmulas) si es una fbf.
ƒ El Operador principal o conectiva principal de una
fórmula es el último que entra en su composición y el
que determina la estructura lógica de la fórmula.
D. Construcción de un árbol de formación de fórmulas
(ejemplo)
¬(A ∧ B) → (C ∨ (A ∧ B))
¬(A ∧ B)
A∧B
A
B
(C ∨ (A ∧ B))
C
A∧B
A
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B
13
Lógica y Computación
Sistemas Axiomáticos
LA LÓGICA DE PROPOSICIONES COMO SISTEMA
AXIOMÁTICA: EL SISTEMA PM.
TEORÍA:
Conjunto
de
proposiciones
verdaderas
relativo a un determinado campo de problemas
AXIOMATIZAR UNA TEORÍA: Organizar ese conjunto de
proposiciones de tal forma que, partiendo de algunos
de sus miembros, denominados AXIOMAS, y mediante
la
aplicación
de
una
serie
de
REGLAS
DE
TRANSFORMACIÓN, se pueden derivar todos los
restantes enunciados de la teoría, a los que llamamos
TEOREMAS.
AXIOMAS: proposiciones aceptadas como verdaderas
por su autoevidencia, postulados. Conviene que el
conjunto seleccionado sea independiente, es decir, que
no pueda derivarse ninguno de los axiomas a partir del
resto del conjunto.
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14
Lógica y Computación
Sistemas Axiomáticos
EL SISTEMA PM
(Principia Mathematica. Russell y Whitehead, 1910-1913)
Vocabulario: El mismo que el del sistema de deducción
natural. (Sólo se admiten como conectivas ¬, ∨)
Símbolos definidos:
(∧
∧) X ∧ Y =def ¬(¬
¬X ∨ ¬Y)
(→
→) X → Y=def ¬X ∨ Y
(↔
↔) X ↔Y =def ¬[ ¬(¬
¬X ∨ Y) ∨ ¬(¬
¬Y ∨ X)]
Reglas
de
Formación:
Cómo
en
el
sistema
de
deducción natural
Reglas de Transformación:
RT1. Regla de Sustitución: Dada una Tesis del sistema
(Fórmula verdadera del cálculo), en la que aparecen
variables enunciativas, el resultado de sustituir una,
algunas o todas esas variables por fbfs del cálculo será
también una tesis del cálculo. Con la única restricción
de que cada variable ha de ser sustituida siempre que
aparece, y siempre por el mismo sustituto.
RT2. Modus Ponens: Si ‘X’ es una tesis del sistema y
‘X→
→Y’ también lo es, entonces ‘Y’ es una tesis del
sistema.
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15
Lógica y Computación
Sistemas Axiomáticos
Axiomas
A1.
(p ∨ p) → p
A2.
q → (p ∨ q)
A3.
(p ∨ q) → (q ∨ p)
A4.
(p ∨ (q ∨ r)) → (q ∨ (p ∨ r))
A5.
(q → r) → ((p ∨ q) → (p ∨ r))
Ejemplo de Pruebas.
T1. p → (p ∨ p)
1. q → (p ∨ q)
2. p → (p ∨ p)
A2
RT1[q/p], 1.
T2. (p → (q → r)) → (q →(p → r))
1. (p ∨ (q ∨ r)) → (q ∨ (p ∨ r))
A4
2. (¬
¬p ∨ (q ∨ r)) → (¬
¬q ∨ (¬
¬p ∨ r)) RT1[p/¬
¬p, q/¬
¬q], 1.
3. (p → (q → r)) → (q →(p → r))
Def. Condicional 2.
T3. (q → r) → ((p → q) → (p → r))
1. (q → r) → ((p ∨ q) → (p ∨ r))
A5
2. (q → r) → ((¬
¬p ∨ q) → (¬
¬p ∨ r)) RT1[p/¬
¬p], 1.
3. (q → r) → ((p → q) → (p → r))
Def. Condicional 2.
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16
Lógica y Computación
Sistemas Axiomáticos
El Sistema Formal de la Aritmética (Peano, 1891)
Términos Primitivos: N, 1, m es el sucesor de n.
Axiomas:
(1)
1 es un número natural, 1 ∈ N.
(2)
1 no es el sucesor de ningún número natural
(3)
Para todo número natural n, hay exactamente
un número natural m tal que m es el sucesor de
n.
(4)
Si m es el sucesor de n, y m es también el
sucesor de K, entonces n = k.
(5)
(Principio de Inducción). Si A es un subconjunto
del conjunto N tal que.
(i)
1∈A
(ii)
Para todo número natural n: si n ∈ A y m es
el sucesor de n, entonces m ∈ A.
Entonces todo número natural está en A, es decir,
A = N.
Definición Inductiva de la Adición:
Si n’ = el sucesor de n, entonces
1) n + 1 = n’, para todo n ∈ N
2) n + m’ = (n + m)’, para todo n, m ∈ N.
Definición Inductiva de la Multiplicación:
3) n . 1 = n, para todo n ∈ N
4) n. m’ = (n.m) + n, para todo n, m ∈ N.
Definición de la relación Ser Menor
5) m < n sii existe un número natural k, tal que m +
k = n.
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17
Lógica y Computación
Inducción Matemática
INDUCCIÓN MATEMÁTICA
Principio de Inducción Matemática (Reformulación)
Si W es una propiedad definida sobre el conjunto N de
los números naturales tal que:
1. W(1), 1 tiene la propiedad
2. para todo número natural n: si W(n), entonces
W(n + 1), entonces todo número natural tiene la
propiedad W
Explicación Intuitiva y Uso: De acuerdo con este principio
resulta posible probar con caracter general cualquier
proposición referente a números naturales si se prueba:
1.
Que esa proposición vale para el número 1; y
2.
Que si por hipótesis esa proposición vale para
cualquier número n, entonces vale para n + 1.
A la primera parte de una prueba semejante se le llama
BASE, y a la segunda PASO DE LA INDUCCIÓN. Una vez
establecida la base y el paso de la inducción, queda
establecida la proposición general.
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
18
Lógica y Computación
Inducción Matemática
El campo normal de aplicación del principio de inducción
matemática es el universo de los números naturales. pero
como las fórmulas de la lógica elemental tienen una
estructura finita, es posible expresar esa estructura en
números naturales mediante funciones tales como el Grado
Lógico de una Fórmula.
Cuando el principio de Inducción Matemática se aplica a
números naturales que son medida de fórmulas lógicas, se
le llama PRINCIPIO DE INDUCCIÓN SEMIÓTICA
Así, si se muestra que una propiedad le corresponde a
fórmulas de grado cero, y se muestra también que se
corresponde a fórmulas de grado n, corresponde así
mismo a las de grado n + 1, entones queda probado que
esa propiedad corresponde a toda fórmula.
INDUCCIÓN DEDUCTIVA (Curry-Feys)
La inducción deductiva consiste en mostrar que todas las
consecuencias de ciertos enunciados básicos tienen una
propiedad mostrando que:
1. Que los enunciados básicos tienen esa propiedad
2. Que si las premisas de una regla tienen la propiedad,
también la tiene la conclusión.
La demostración por inducción es un ejemplo de
demostración metateórica constructiva, ya que permite
comprobar “efectivamente” el resultado en cada caso
particular.
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
19
Lógica y Computación
Semántica de Lp
SEMÁNTICA DE Lp
• Ningún lenguaje lo es realmente hasta que no se
establece su semántica, esto es, aquello de lo que el
lenguaje habla
• El lenguaje proposicional “habla de” (se refiere a) un
mundo o universo que contiene sólo dos objetos, “lo
verdadero” (T) y “lo falso” (⊥
⊥):
Up= {T,⊥
⊥}
• Habitualmente, T y ⊥ son denominados “valores de
verdad”
• La relación semántica básica entre el lenguaje (Lp) y el
universo del que el lenguaje habla es la de “valoración
veritativa”
• Una valoración veritativa sobre Lp es una aplicación que
asigna a cada fórmula A de Lp un valor de verdad, esto
es, uno de los dos elementos del conjunto {T , ⊥} de
valores de verdad:
σ : Lp → {T, ⊥}
• Sea Aσ el valor de verdad que σ asigna a A. Lo leeremos
como ‘‘el valor de A bajo σ"
• σ es la función semántica que a cada fórmula de Lp hace
corresponder “aquello de lo que esa fórmula habla”
• De toda lógica que utilice una valoración veritativa de
este tipo diremos que se trata de una lógica bivalente.
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20
Lógica y Computación
Semántica de Lp
VALORACIONES BOOLEANAS
• Una valoración veritativa es una valoración booleana sii
esa función de valoración es tal que:
1. ¬ Aσ = Tsii Aσ = ⊥. En otro caso, ¬ Aσ = ⊥.
2. (A ∧ B)σ = T sii Aσ = T y Bσ =T. En otro caso, (A ∧ B)= ⊥
3. (A ∨ B)σ = T sii Aσ = T o Bσ =T. En otro caso, (A ∨ B) = ⊥
4. (A → B)σ = T sii Aσ = ⊥ o Bσ = T. En otro caso, (A →B) =⊥
⊥
5. (A ↔ B)σ = T sii Aσ = Bσ. En otro caso, (A ↔B) =⊥
⊥
• El valor de verdad que una valoración asigna a una
fórmula molecular depende del valor asignado a las
subfórmulas de esa fórmula molecular, y en último
término a las fórmulas atómicas.
• Valoración atómica: la función que asigna un valor de
verdad a cada fórmula atómica. Suponemos que cada fbf
atómica posee un valor de verdad, cualquiera que sea
éste.
• Puesto que consideramos dos valores de verdad , para n
fórmulas atómicas distintas habrá 2n valoraciones
atómicas posibles. Así:
• para 2 variables 22=4
• para 3 variables 23=8
• para 4 variables 24=16
• étc.
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21
Lógica y Computación
Semántica de Lp
FUNCIONES VERITATIVAS
• De la definición de valoración booleana se sigue que
cada conectivas de Lp puede considerarse como un
“funtor” o "conector" esto es, como un nombre de una
función veritativa, es decir, como el nombre de una
función cuyos argumentos son n-tuplas de valores de
verdad, y cuyos valores son valores de verdad. Por
ejemplo:
T∧T=T
T∨T=T
T→T=T
T∧⊥=⊥
⊥∨⊥=⊥
T→⊥=⊥
• Cuando la función veritativa sólo tiene un argumento,
decimos que se trata de un funtor monádico; si tiene
dos, será diádico; si tiene tres, triádico, etc.
• Existen
- 22 = 4 funciones veritativas monádicas distintas,
- (22)2 = 16 funciones veritativas diádicas distintas,
- ((22)2)2 = 256 triádicas, etc.
• Una tabla de verdad es una definición tabular de cada
conectiva considerada como función verítativa.
• Construimos cada tabla de la siguiente forma (siendo Cni
la i-ésima conectiva n-ádica):
1
2
...
2n
Valores de los argumentos de Cni
Valor de arg1 ... Valor de argn
Valor de arg1 ... Valor de argn
...
...
...
Valor de arg1 ... Valor de argn
Valores de Cni
Valor
Valor
...
Valor
• La tabla tendrá 2n filas y n+1 columnas.
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22
Lógica y Computación
Semántica de Lp
• Las tablas definitorias de las conectivas, consideradas
como nombres de funciones veritativas, establecen a qué
nos estamos refiriendo cuando utilizamos esas
conectivas, esto es, establecen su “significado”.
Ejemplo: Consideremos la siguiente fórmula
(A ∧ B) → C
• Cómo la fórmula tiene tres variables, el número de filas
de la tabla será 23 = 8
• Desplegándola sistemáticamente el resultado de la tabla
de verdad para toda combinación posible de valores de
verdad sería:
A
T
T
T
T
⊥
⊥
⊥
⊥
B
T
T
⊥
⊥
T
T
⊥
⊥
A∧B
T
T
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
C
T
⊥
T
⊥
T
⊥
T
⊥
(A ∧ B) → C
T
⊥
T
T
T
T
T
T
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23
Lógica y Computación
Semántica de Lp
DEFINICION TABULAR DE LAS FUNCIONES
VERITATI VAS
• Podemos proceder a definir las funciones veritativas
monádicas mediante la siguiente tabla:
Valores
posibles del
argumento
T
⊥
M1
T
T
Valores para las conectivas
de las conectivas monádicas
M2
M3
T
⊥
T
⊥
M4
⊥
⊥
• Para dos valores de verdad estas son las cuatro
conectivas monádicas posibles:
• M1 es la función que ante lo verdadero devuelve lo
verdadero y lo falso lo hace verdadero.
• M2 deja los argumentos como están.
• M3 invierte los valores de entrada. Lo verdadero lo
convierte en falso y lo falso lo convierte en verdadero.
• M4 transforma lo verdadero en falso y lo falso lo deja
como está.
• ¿De estas cuatro conectivas cuál interesa a la lógica?
• M3 es precisamente la función veritativa a la que
hemos dado el nombre de “negador".
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24
Lógica y Computación
Semántica de Lp
DEFINICION TABULAR DE LAS FUNCIONES VERITATIVAS (Cont.)
• Asimismo, podemos definir mediante tablas las funciones veritativas diádicas:
Combinación
de Valores
para dos
argumentos
T
T
⊥
⊥
T
⊥
T
⊥
Valores de las correspondientes fórmulas moleculares
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
D10
D11
D12
D13
D14
D15
D16
T
T
T
T
T
T
T
⊥
T
T
⊥
T
T
T
⊥
⊥
T
⊥
T
T
T
⊥
T
⊥
T
⊥
⊥
T
T
⊥
⊥
⊥
⊥
T
T
T
⊥
T
T
⊥
⊥
T
⊥
T
⊥
T
⊥
⊥
⊥
⊥
T
T
⊥
⊥
T
⊥
⊥
⊥
⊥
T
⊥
⊥
⊥
⊥
• De las 16 conectivas diádicas posibles ¿cuáles pueden interesar a los cálculos lógicos
por sus características semánticas?
• D2 es la Disyunción, ∨
• D5 es el Condicional, →
• D7 es el Bicondicional, ↔
• D8 es la Conjunción, ∧
• Aunque algunos cálculos pueden usar otras conectivas, por ejemplo:
• D9 se conoce como "función barra de Sheffer" o "negación alternativa" [p | q] y la podemos utilizar
para definir todas la conectivas diádicas en función de ésta.
• D15 se conoce como "función flecha" o "negación conjunta" [p ↓ q] y tiene las mismas
características que la barra de Sheffer.
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25
Lógica y Computación
Semántica de Lp
TAUTOLOGICIDAD Y CONSECUENCIA
• Nos interesan en especial aquellas fórmulas de Lp que
expresan inferencias (relaciones de consecuencia)
válidas.
• Para recoger esta idea, introducimos las siguientes
definiciones básicas:
• Una valoración veritativa σ sobre Lp satisface un
conjunto de fórmulas Γ de Lp (σ
σ╞ Γ) sii, para toda
fórmula A de Γ, Aσ=T.
• Si Γ sólo tiene una fórmula A, escribimos σ╞ A en vez
de σ╞ {A}.
• A es una tautología (es decir, una fórmula
proposicionalmente válida) sii, σ╞ A, para toda
valoración σ.
• Si A es una tautologia, escribimos ╞ A.
• Una fbf B de Lp es una consecuencia tautológica de un
conjunto Γ de fbfs de Lp (F╞ B) sii, para todo σ, si σ╞ Γ,
entonces σ╞ B
• Si Γ = ∅ (conjunto vacío), escribimos simplemente ╞ B.
• Dos fórmulas A y B son tautológicamente equivalentes
sii Aσ = Bσ, para todo σ; es decir, sii A╞ B y B╞ A.
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26
Lógica y Computación
Semántica de Lp
OTROS TEOREMAS SEMÁNTICOS DE Lp
• Si Aσ = T y (A →B) σ = T , entonces Bσ = T
• Si ╞ A y ╞ (A → B),entonces ╞ B.
• A╞ B sii ╞ (A → B)
• (Principio de Monotonía) Si Γ╞ A, entonces Γ∪∆╞ A.
• Si Γ╞ A y A╞ B, entonces Γ╞ B.
• Si Γ╞ A y Γ╞ A → B, entonces Γ╞ B.
• Si ╞ A, entonces Γ╞ A.
• Teorema semántico de interpolación para Lp.
Si ╞ A→
→B, y A y B tienen al menos una variable enunciativa
en común, entonces, existe una fórmula C, fórmula de
interpolación, tal que todas sus variables enunciativas
aparecen tanto en A como en B, de forma que se cumple:
╞ A→
→C y ╞ C→
→B
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27
Lógica y Computación
Semántica de Lp
Teorema de Interpolación para Lp
[Ejemplo de prueba semántica metateorética por inducción]
Teorema: Si ╞ A→
→B, y A y B tienen al menos una variable
enunciativa en común, entonces, existe una fórmula C,
fórmula de interpolación, tal que todas sus variables
enunciativas aparecen tanto en A como en B, de forma que
se cumple:
╞ A→
→C y ╞ C→
→B
Demostración: Por inducción sobre el número de variables
enunciativas, n, que aparecen en A, pero no en B.
Base: n = 0, Entonces todos los símbolos enunciativos de A
aparecen en B. Entonces C puede ser A. Tomemos a A como
fórmula de interpolación, se cumple: ╞ A → A y ╞ A → B
Paso: Hipótesis Inductiva. El teorema se cumple siempre que hay
n>0 variables enunciativas en A que no están en B
Sea n= n+1 variables enunciativas en A que no están en B
Sea A una fórmula tal que:
• ╞A→B
• A contiene n + 1 variables enunciativas que no están en B.
Sea p una de tales variables
Como ╞ A → B, (A → B)σ = T tanto para pσ = T como pσ = ⊥
Sea q una variable que aparece tanto en A como en B
Sea A1 el resultado de sustituir en A p por q → q,
como ╞ q → q, entonces pσ = T.
Sea A2 el resultado de sustituir en A p por ¬( q → q), para tal
caso pσ = ⊥. Obviamente ╞ A1 → A y ╞ A2 → B
Por tabla de verdad tenemos que ╞ (¬
¬A1 → A2 ) → B
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
28
Lógica y Computación
Semántica de Lp
Demostración: Si no fuera así
-
(¬
¬A1 → A2 ) σ = T y Bσ= ⊥, pero si Bσ= ⊥, entonces A1σ y A2σ= ⊥
ya que ╞ A1 → A y ╞ A2 → B, pero
-
Si A1σ y A2σ= ⊥ entonces (¬
¬A1 → A2 ) σ no puede ser T ya que
(T → ⊥) σ ≠ T . Luego
Como la fórmula (¬
¬A1 → A2 ) → B tiene n variables enunciativas de
las que están en A, pero no en B, ya que hemos quitado p, por la
Hipótesis Inductiva existe alguna fórmula C que sólo contiene
variables enunciativas que aparecen tanto en ¬A1 → A2 como en B
de forma que (¬
¬A1 → A2) → C y C →B
De ahí se sigue, por tabla de verdad que ╞ A → C, demostrando
que
((¬
¬A1 → A2) → C) ∧ (C →B)) → (A → C) es una tautología
Demostración: Si no lo fuera
i)
((¬
¬A1 → A2) → C) ∧ (C →B)) σ = T y
ii)
(A → C) σ= ⊥
Para ii) Aσ= T y Cσ= ⊥
Para i) ((¬
¬A1 → A2) → C) σ = T y (C →B) σ = T
para ((¬
¬A1 → A2) → C) σ = T, entonces como Cσ= ⊥,
(¬A1 → A2 ) σ = ⊥ .
y, en consecuencia, tanto A1σ = ⊥ y A2σ= ⊥.
Pero de nuestras definiciones de A1 y de A2 , se sigue que, si
Aσ= T, o bien A1 o bien A2 deben tener también el valor T.
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29
Lógica y Computación
Semántica de L
SEMÁNTICA PARA LA LÓGICA DE PREDICADOS.
DEFINICIÓN SEMÁNTICA BÁSICA .(SEMANTICA PARA L)
• Mediante σ definimos lo que significa ser verdadero
para una fbf de L.
(Def.) Valoración σ en L
Sea U un conjunto no-vacío (universo o dominio de
discurso). Entonces:
(1) Para todo t ∈ L: tσ ∈ U
(2) Para todo P ∈ L: P es una relación definida sobre U, de
forma que:
(Pt1, ..., tn)σ =
T sii <t1σ, ..., tnσ > ∈ Pσ
⊥ , en otro caso
(3) Para toda L-fórmula A y variable u
(∀
∀v A)σ =
(∃
∃v A)σ =
T sii Aσ(v/u) = T para todo u ∈ U
⊥ , en otro caso
T sii Aσ(v/u) = T para algún u ∈ U
⊥ , en otro caso
• σ(v/u) es una valoración que coincide en todo con σ
excepto quizás en el objeto u atribuido a v. Es decir, en
el objeto del universo de discurso atribuido a la variable.
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
30
Lógica y Computación
Semántica de L
• Se mantienen todas las definiciones semánticas básicas
(valoraciones booleanas) de la Lógica de Enunciados:
• En vez de tautologías,
lógicamente válidas
hablaremos
de
fórmulas
• (Def.) A es satisfacible sii, σ╞ A , para alguna valoración
σ
(Teorema) Todas las tautologías son fórmulas lógicamente
verdaderas, pero no a la inversa.
(Teorema) Todos los teoremas de Lp son teoremas de L en
la lógica cuantificacional.
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
31
Lógica y Computación
Metalógica
METALÓGICA (Introducción)
Una cuestión fundamental en lógica es estudiar las relaciones
entre
las
estructuras
sintácticas
y sus
interpretaciones
semánticas que se establecen en los cálculos. Este estudio nos
dará una visión de la utilidad del cálculo como herramienta
deductiva. Imaginemos que queremos formalizar una teoría
científica, por ejemplo la Matemática, y que para ello tenemos
que elegir un mecanismo deductivo que desarrolle toda la
teoría. ¿Qué le pediríamos al cálculo deductivo a emplear?
A simple vista parecería importante que:
1. Todo lo que se derivase en el cálculo fuera una verdad
lógica.
2. Toda verdad pudiera derivarse en el cálculo
3. Ante cualquier fórmula que pueda construirse pudiera
determinarse si es o no verdadera.
Dicho de otra manera, si denominamos teoremas lógicos (TL) a
lo que se deduce en un cálculo y fórmulas lógicamente
verdaderas
(FLV)
a
las
que
quedan
satisfechas
por
cualesquiera interpretación, un cálculo será de interés si
TL ⊆ FLV por un lado, y por el otro si
TL
FLV
FLV ⊆ TL. Es decir, que el conjunto de
teoremas lógicos sea un subconjunto
propio de las fórmulas lógicamente
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
32
Lógica y Computación
Metalógica
verdadera y viceversa, o lo que es lo mismo que en la
intersección de estos dos conjuntos queden todos los
elementos de los conjuntos.
Pues bien, la disciplina que estudia a los cálculos lógicos se
denomina Metalógica y las propiedades importantes que
pretende establecer para estos cálculos son:
a) Consistencia: Un cálculo es consistente si toda fórmula que
se deriva en el cálculo es una verdad lógica.
Formalmente el teorema de consistencia se expresa de la
siguiente forma: Si ├ A, entonces ╞ A.
O si lo consideramos como consecuencia de un conjunto de
hipótesis: Si Γ├ A, entonces Γ╞ A.
b) Completud: Un cálculo es completo si toda verdad lógica
puede deducirse en el cálculo. El teorema se expresa
formalmente de la siguiente manera: Si ╞ A, entonces├ A.
O si lo consideramos como consecuencia de un conjunto de
hipótesis: Si Γ╞ A, entonces Γ├ A.
Como vemos el teorema de completud es lo inverso de la
consistencia y en ambos se establece la equivalencia entre la
sintaxis y la semántica de un cálculo lógico.
c) Decidibilidad: Finalmente la tercera propiedad de interés es
la decidibilidad. Diremos que un cálculo es decidible si existe
un procedimiento finito que permite decidir si una fórmula o
deducción es demostrable en el cálculo.
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33
Lógica y Computación
Metalógica
En 1930 KURT GÖDEL probó el Teorema de Completud
para el cálculo lógico de 1er orden. Pero en 1931, estableció
un resultado absolutamente sorprendente y de graves
consecuencias para la ciencia y la racionalidad en general,
el Teorema de Incompletud, que expresaba:
i)
Todos los sistemas formales de la matemática
clásica son incompletos, es decir, puede construirse
una sentencia indecidible, tal que ni ella ni su
negación
son
deducibles.
Y
la
incompletud
es
irremediable.
ii)
Es imposible probar la consistencia de un sistema
formal de la matemática clásica usando todos los
recursos y razonamientos incorporados al sistema, es
decir dentro del mismo.
oooOooo
La prueba de Completud de Gödel de 1930 para la lógica de 1er
orden demuestra la completud en sentido débil:
• Un sistema de lógica es completo sii todas las fórmulas válidas
bien formadas son teoremas del sistema.
La Completud en sentido fuerte (E. L. Post) expresaría que un
sistema de lógica es completo sii para cualquier fórmula bien
formada A del sistema, o bien A es un teorema, o el sistema se
convierte en incosistente si se le añade, sin cambio, A como
axioma. En este sentido la lógica proposicional es completa, pero
no la lógica de 1er orden.
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34
Lógica y Computación
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
Metalógica
35
Lógica y Computación
Metalógica de Lp
METALÓGICA DE ENUNCIADOS
CONSISTENCIA
La prueba de consistencia de la lógica de enunciados se
basa en la siguiente estrategia:
(1) Determinar una propiedad que “inmunice” contra la
contradicción, y
(2) Demostrar a continuación que esa propiedad pertenece
a toda fórmula del sistema, tanto a los axiomas, como
a los teoremas.
La propiedad en cuestión es la tautologicidad, pues una
contradicción es justo la negación de una tautología.
CONSISTENCIA SEMÁNTICA
Teorema 1: Si Γ├ A, entonces Γ╞ A
Demostración: Sea B1,...,Bn una deducción de A a partir de Γ.
Luego Bn = A.
Por inducción sobre k = 1,...,n mostraremos que Γ╞ Bn .
Así, para k = n tenemos Γ╞ A.
i)
Si Bk es un axioma, entonces Bk es una tautología.
Luego Bk es satisfecho por cualquier valoración veritativa
y, por tanto, es una consecuencia tautológica de cualquier
conjunto de fórmulas.
ii)
si Bk ∈ Γ, entonces evidentemente Γ╞ Bk
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36
Lógica y Computación
Metalógica de Lp
Si para algún i, j < k, tenemos Bj = Bi → Bk , entonces
iii)
Bi, Bj╞ Bk, concretamente Bi, Bj → Bk╞ Bk .Por la
hipótesis inductiva Γ╞ Bi y Γ╞ Bj luego Γ╞ Bk
CONSISTENCIA SINTÁCTICA
Definición: Un conjunto Γ de fórmulas es enunciativamente
inconsistente (E-inconsistente) si, para algún B, se da tanto
Γ├ B como Γ├ ¬B. En otro caso Γ es E-consistente.
Teorema: Ninguna valoración de verdad satisface un conjunto
inconsistente de fórmulas.
Demostración: Sea Γ├ B y Γ├ ¬B. Si σ ╞ Γ entonces σ╞ B
y σ ╞ ¬B, lo que es imposible.
Teorema: (Consistencia Absoluta): Un conjunto de fórmulas es
E-inconsistente sii Γ├ A , para toda fórmula A.
Teorema: Para cualquier Γ y A:
i)
Γ, ¬A es E-inconsistente sii Γ├ A
ii)
Γ, A es E-inconsistente sii Γ ├ ¬A
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37
Lógica y Computación
Metalógica de Lp
COMPLETUD (Prueba de Kalmar 1934-35)
Esta prueba se basa en la previa demostración de un lema por
el que se establece una relación entre el concepto semántico
de
atribución
veritativa
y
el
concepto
sintáctico
de
deducibilidad. Lo que se pretende mostrar es que cada una de
las líneas que componen una tabla de verdad puede
considerarse una deducción, cuyas premisas son las variables
enunciativas de que consta la fórmula que se analiza en la
tabla y cuya conclusión sería la fórmula misma. Basta con
escribir en cada caso en lugar de T la letra o fórmula así
interpretada, y su negación si su valor es ⊥.
Lema: Sea A una combinación de B1...Bk mediante conectivas
de Lp.
Consideremos una columna de una tabla de verdad para A
respecto a B1...Bk. Para cada i = 1..., k, sea B’i o bien Bi o bien
¬Bi, según que el valor de verdad que corresponda a Bi sea T o
⊥.
De igual forma sea A’ bien A o bien ¬A según que el valor de
verdad que corresponda a A en esa columna sea T ó ⊥.
Entonces B’i , B’k├ A’.
Lema: Sea A una tautología, ╞ A, y sean B1...Bk las diferentes
fórmulas atómicas que componen A, entonces:
i)
B’1 , B’k-p├ A, donde para cada i, B’i puede ser
(independientemente para cada i distinto) o bien Bi o
bien ¬Bi
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38
Lógica y Computación
ii)
Metalógica de Lp
Se sigue además (para k = p)├ A.
Lema: Sea Γ finito y Γ╞ A. Entonces puede construirse una
deducción de A a partir de Γ.
Teorema de Completud débil: Si Γ es finito y Γ╞ A, entonces
Γ├ A. En particular si ╞ A, entonces ├A.
DECIDIBILIDAD DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL
• Decimos, en general, que poseemos un método de
decisión para una teoría lógica (y que dicha teoría es
decidible) cuando disponemos de un procedimiento
efectivo (es decir, algorítmico) para averiguar si una
determinada fórmula A de esa lógica expresa, o no, una
relación válida de consecuencia
• La lógica proposicional es decidible, es decir, podemos
demostrar que:
• El conjunto de las tautologías de Lp es decidible.
• Demostraremos este teorema mostrando que la lógica
proposicional cuenta con varios métodos de decisión:
•
•
•
•
Tablas de Verdad
Análisis de Valores de Verdad
Reducción a Forma Normal
Arboles Lógicos.
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39
Lógica y Computación
Metalógica de Lp
TABLAS DE VERDAD (Wittgenstein, 1921)
• Una tabla de verdad para una fórmula de Lp no es sino la
exhibición, en forma de matriz, de:
• Todos los posibles valores de verdad de las variables
proposicionales de la fórmula (para n variables
enunciativas, 2n posibles combinaciones de dichos
valores, esto es, 2n filas de la matriz),
• Todos los posibles valores de cada subfórmula de la
fórmula, inducidos por la definición booleana de la
conectiva principal de cada subfórmula
• Se procede desde las subfórmulas más internas a las
más externas
• Finalmente, todos los posibles valores de la fórmula
globalmente considerada, inducidos por el operador
principal de la fórmula sobre los valores de sus
subfórmulas
• Si bajo el operador principal sólo aparece el valor de
verdad T, la fórmula será una tautología, esto es, una
fórmula verdadera para cualquier asignación de valores
de verdad a sus variables enunciativas.
• Conoceremos, por tanto, para toda fórmula, y en un
tiempo finito, su carácter tautológico o no.
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
40
Lógica y Computación
Metalógica de Lp
TABLAS DE VERDAD (Wittgenstein, 1921)
• Ejemplo: ?╞ (A → B) → (¬
¬B → ¬A)
• Tendremos una tabla de verdad de 22 filas, que
construimos, para mayor facilidad, en varias etapas
distintas:
A
B
T
T
⊥
⊥
T
⊥
T
⊥
¬A ¬B A → B ¬B → ¬A (A → B) → (¬
¬B → ¬A)
⊥
⊥
T
T
⊥
T
⊥
T
T
⊥
T
T
T
⊥
T
T
T
T
T
T
• A la izquierda de la doble línea vertical tenemos las
combinaciones posibles de valores para las variables
proposicionales de la fórmula.
• A la derecha vamos construyendo los valores que
pueden tomar las demás subfórmulas de la fórmula.
• En el extremo de la derecha llegamos finalmente a la
fórmula que nos interesa.
• Vemos que, en este caso, ╞ (A → B) → (¬
¬B → ¬A), ya
que la fórmula resulta verdadera para cualquier
asignación de valores de verdad.
• Puesto que a cada fórmula A de Lp le corresponde una
tabla de este tipo, el método de tablas de verdad es un
método de decisión para la lógica proposicional.
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41
Lógica y Computación
Metalógica de L
METALÓGICA DE LÓGICA DE PRIMER ORDEN
(LÓGICA ELEMENTAL).
CONSISTENCIA
Si Γ├ A, entonces Γ╞ A . En particular si ╞ A, entonces ╞ A.
La demostración de la consistencia de la lógica de predicados
se obtiene recurriendo a una cierta reducción de la misma a la
lógica de enunciados y a la idea de tautología.
Si en una fórmula cuantificacional cualquiera se efectúa la
operación :
(1) de suprimir todos los cuantificadores y símbolos de
individuo, y
(2) reemplazar convenientemente las letras predicativas
por variables enunciativas que no figurasen en la
referida fórmula A,
se obtiene una fórmula A’ a la que se denomina fórmula
enunciativa asociada a la fórmula cuantificacional A.
La consistencia de L se establece considerando que:
(1) Sus axiomas o bien son tautologías o bien tienen una
fórmula enunciativa asociada que es una tautología
(2) Sus reglas de inferencia transmiten la tautologicidad.
Otro
procedimiento
es
apoyarse
en
la
idea
de
satisfacibilidad. Un sistema que tiene un modelo no puede ser
contradictorio. EL lenguaje L tiene al menos un modelo, basta
con elegir un universo de un único individuo que satisfaga a sus
axiomas.
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42
Lógica y Computación
Metalógica de L
Organigrama del Teorema de Completud
Lema de Lindenbaum: Si Γ es consistente y el conjunto de
variables libres que aparecen en Γ es finito, LBR(Γ
Γ) finito,
hay un Γ* maximamente consistente y ejemplificado tal que
Γ⊆ Γ* ⊆ L
Lema de Henkin: si Γ* es maximamente consistente y
ejemplificado entonces Γ* tiene un modelo numerable.
Corolario: si Γ es consistente y LBR(Γ
Γ) finito, entonces Γ
tiene un modelo numerable.
Lema: Si Γ ⊆ L y Γ’ es la clase formada por la fórmulas
de Γ que resultan de sustituir las variables libres por
constantes nuevas, y si Γ’ tiene un modelo numerable,
entonces Γ también lo tiene
Teorema de Henkin: Para cualquier conjunto de fórmula Γ, si Γ
es consistente, entonces tiene un modelo numerable.
Teorema de Gödel: Si Γ ╞ A, entonces Γ ├ A.
Corolario: si ╞ A, entonces ├ A .
• Teorema de Compacidad: Γ tiene un modelo sii cada
subconjunto finito de Γ lo tiene
• Teorema de Löwenheim-Skolem: Si Γ es un conjunto
satisfacible de fórmulas escritas en un lenguaje numerable,
entonces Γ tiene un modelo numerable
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43
Lógica y Computación
Metalógica de L
COMPLETUD (Prueba de Hekin 1949)
Si Γ╞ A, entonces Γ├ A. En particular si ╞ A, entonces ├ A
Gödel demostró en 1930 este teorema para la lógica de primer orden.
En 1949 Henkin presentó una prueba más sencilla que es la que se
analiza aquí.
Estrategia de Prueba: Comprobar que el teorema de Henkin es
condición suficiente del de Completud. Lo importante en la prueba es
demostrar que todo conjunto consistente tiene un modelo y construirlo.
Una vez visto esto, habrá que ver cómo el teorema de Henkin se sigue
del corolario en cuanto encontramos el modo de prescindir de la
condición de que las variables libres del conjunto constituyen un
conjunto finito.
Para demostrar el lema de Lindenbaum se ordenan las fórmulas del
lenguaje y se construye inductivamente una cadena de conjuntos
consistentes y ejemplificados, es decir que para cada fórmula existencial
exista una instancia de sustitución que sea “nueva”.
El poder ordenar las fórmulas del lenguaje es fundamental para la
posibilidad de la construcción de la cadena de conjuntos consistentes y
ejemplificados. Es por esta razón que cuando el lenguaje es de
cardinalidad más que numerable, necesitamos el axioma de elección.
La meta del lema de Lindenbaum es simple: extender el conjunto de
fórmulas de partida incluyendo en él a todas las que no lo convierten en
contradicción y en añadir testigos o ejemplificaciones para cada
particularizador.
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
44
Lógica y Computación
Metalógica de L
Def. Por un conjunto máximamente consistente se entiende un
conjunto que no sólo es consistente sino que además comprende toda
fórmula consistente, de manera que la adición de cualquier fórmula que
no formase parte de él lo haría inconsistente.
La prueba exige determinar un plan de construcción de este conjunto lo
que supone realizar un recorrido completo de un universo infinito, como
es el de todas las posibles fórmulas consistentes y no consistentes,
para ir seleccionando todas las que sean consistentes con el conjunto Γ
de partida. Una vez construido la prueba de la satisfacibilidad se puede
hacer del conjunto inicial Γ, ya que éste está ahora contenido en Γ*
Construido el conjunto Γ* máximamente consistente y ejemplificado,
conocido como conjunto de Henkin, hay que presentar un modelo
numerable que satisfaga al conjunto de Henkin. El modelo se basa en
una autointerpretación del sistema lógico, estableciendo una relación de
equivalencia en el conjunto de los términos de L, que se prueba que
satisface a Γ* y en consecuencia a Γ, que forma parte de Γ*.
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45
Lógica y Computación
Metalógica de L
Construcción del Conjunto de Henkin
(1)
Definir la cardinalidad de L, λ , entendida como la cardinalidad del
conjunto de símbolos de L.
(2)
Demostrar que la cardinalidad del conjunto de todos los términos
< λ y que el conjunto de todas las fórmulas es de
de L es
cardinalidad λ.
(3)
Definir una extensión L’ de L que obtenemos añadiendo nuevas
constantes individuales y que L’ tiene cardinalidad λ
(4)
Proceder a construir el conjunto de Henkin
(4.1)
Sobre el conjunto de fórmulas de L’ establecer una
buena ordenación: {φδ: δ < λ}
(4.2)
Por Recursión transfinita para cada δ ≤ λ definimos un
conjunto Γδ tal que:
(4.3)
a)
Γδ ⊆ Γη
b)
Γδ es consistente
c)
en Γδ aparecen a lo sumo δ nuevas constantes
Construirlo
a)
Para δ = 0 se cumple a), b) y c).
b)
Para 0 < γ < λ
• Si γ es un ordinal límite Γγ = ∪ { Γδ : δ ≤ γ } y se
cumple a), b) y c).
• Si γ es un ordinal sucesor Γγ = Γδ + 1
• Si Γδ ∪ {B δ } es inconsistente Γδ + 1 = Γδ
• Si Γδ ∪ {B δ } y B δ no es de la forma ¬∀v A se
cumple a), b) y c), entonces Γδ + 1 = Γδ ∪ {B δ }.
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46
Lógica y Computación
Metalógica de L
• Si Γδ ∪ {B δ } es consistente y B δ es de la forma
¬∀v A se cumple a) y c) y también b), entonces
Γδ + 1 = Γδ ∪ {B δ, ¬Av/c }.
(4.4)
Demostrar que Γγ = ∆ es máximamente consistente. Lo
que queda asegurado por el método de construcción de
Γγ = ∆.
(5)
Demostrar que todo conjunto consistente de fórmulas de L es
satisfecho por una valoración cuyo universo tiene una cardinalidad
≤ λ (teorema de Henkin).
(6)
establecido el teorema de Henkin, el teorema de Gödel es
inmediato pues:
Si Γ╞ A, entonces Γ, ¬A es insatisfacible
Si Γ, ¬A es insatisfacible, entonces Γ, ¬A es inconsistente
Luego Γ├ A
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47
Lógica y Computación
Metalógica de L
DECIDIBILIDAD DE LA LÓGICA DE PREDICADOS
El problema de la decisión en un sistema deductivo
consiste en hallar un procedimiento mecánico o algoritmo
que permita determinar en un número finito de pasos, para
una fórmula cualquiera A, si esa fórmula es o no deducible
en el sistema.
En la lógica de predicados, el problema no tiene una
solución general satisfactoria.
Teorema de Church (1936): No existe un procedimiento
efectivo que permita resolver el problema de la decisión de
la lógica cuantificacional de primer orden.
Sin embargo hay zonas de la lógica de primer orden que sí
son decidibles
(T.) La lógica cuantificacional monádica es decidible
(T.) La Lógica Elemental es indecidible (Church)
Consecuencia del teorema de incompletud de la
aritmética elemental (Gödel, 1931)
Pero existen subclases decidibles de fórmulas de L, y
de argumentos que utilizan fórmulas de L
Algunos métodos para establecer la decidibilidad de
una clase de fórmulas se basan en la reducción de las
fórmulas a su forma normal prenexa.
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48
Lógica y Computación
Metalógica de L
REDUCCIÓN A FORMA NORMAL PRENEXA
(Def.) Una fbf de L está en forma normal prenexa (FNP) si
todos sus cuantificadores aparecen en un único prefijo
cuantificacional cuya matriz cuantificacional es el resto de
la fórmula
Para reducir una fórmula a su FNP se opera mediante
cadena de equivalencias, aplicando como criterios de
transformación un conjunto de equivalencias lógicamente
verdaderas.
Los pasos de la transformación son:
1. Interiorización de negadores
2. Eliminación de la doble negación
3. Discriminación de variables índice: cada aparición de un
cuantificador ligará variables distintas
4. Exteriorización de cuantificadores en su mismo orden de
aparición.
Equivalencias lógicamente válidas
• Exteriorización de cuantificadores
• Mutación de variable
• Interiorización de negadores
Criterios de decidibilidad para L
Una fórmula de L es decidible si el prefijo cuantificacional
de su FNP:
• Sólo tiene generalizadores, o
• Sólo tiene particularizadores, o
• No tiene cuantificadores universales detrás de
cuantificadores existenciales ...
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49
Lógica y Computación
Metalógica de L
Un argumento en L es decidible si sus premisas y
conclusión están en FNP y son tales que:
• En las premisas, no hay cuantificadores existenciales
detrás de cuantificadores universales, y
• En la conclusión, no hay cuantificadores universales
detrás de cuantificadores existenciales.
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50
Lógica y Computación
Computabilidad y Decidibilidad
Computabilidad
y
Decidibilidad
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51
Lógica y Computación
Computabilidad y Decidibilidad
ESPECIFICACIÓN FORMAL DE PROCESOS
• La matemática nos proporciona lenguajes
especificar (= definir, hablar de) procesos
para
• El concepto clave para la definición matemática de
procesos es el de algoritmo
• Definición intuitiva de algoritmo:
• Secuencia
de
operaciones
que,
aplicada
correctamente a un problema de una clase
determinada, genera la solución a ese problema en
un tiempo finito
• Existen varias formas de definición matemática de
algoritmo:
• Funciones recursivas (Gödel)
• Funciones λ-definibles (Church, Kleene)
• Algoritmos de Markov.
• Teoría de Autómatas (Máquinas de Turing)
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52
Lógica y Computación
Computabilidad y Decidibilidad
AUTÓMATAS Y COMPUTABILIDAD
• Para la especificación matemática
estudiamos tres teorías distintas:
de
procesos
• Teoría de Autómatas
• Computabilidad y Decidibilidad
• Teoría de la Complejidad Computacional
• La Teoría de Autómatas nos proporciona el lenguaje para
la especificación de procesos algorítmicos.
• La Teoría de la Computabilidad y la Decidibilidad nos
proporciona información acerca de los límites de la
resolución algorítmica de problemas.
• La Teoría de la Complejidad Computacional nos
proporciona estrategias de medida de la complejidad de
cada tipo de proceso algorítmico.
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53
Lógica y Computación
Computabilidad y Decidibilidad
TEORÍA DE AUTÓMATAS
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54
Lógica y Computación
Computabilidad y Decidibilidad
AUTOMATAS
• Un autómata es:
• Una máquina (mecanismo) de naturaleza formal
(Sólo existe como un mecanismo matemático)
• que acepta una información de entrada (input),
• la procesa,
(La somete a transformaciones simbólicas que
pueden adoptar la forma de un cálculo o
computación)
• y genera un resultado o salida (output).
• Definir un autómata equivaldrá a definir el proceso de
transformación del input en un output, lo que equivale a
definir una función cuyos argumentos son el input y cuyo
valor es el output
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55
Lógica y Computación
Computabilidad y Decidibilidad
TIPOS DE AUTOMATAS
• Hay muchos tipos de autómatas
• Cada tipo de autómata se asocia a una potencia
computacional determinada, es decir, a una capacidad
dada de resolución de problemas
• De
hecho,
podemos
clasificar
los
problemas
algorítmicamente solubles asociándolos al tipo de
autómata que los resuelve
• Estos tipos se ordenan en una jerarquía de menor a
mayor potencia computacional
• Jerarquía de automátas:
1)
Autómatas finitos (Redes Lógicas)
2)
Autómatas intermedios:
2.1. Autómatas de memoria de pila
2.2. Autómatas de memoria linealmente limitada
3)
Máquinas de Turing
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56
Lógica y Computación
Computabilidad y Decidibilidad
TIPOS DE AUTOMATAS (2)
• Además, podemos clasificar los autómatas:
• Por el tipo de proceso que ejecutan:
• Aceptación o reconocimiento
• Generación
• Por su tipo de causalidad:
• Determinista
• No-Determinista
• Por el tipo de su almacenamiento de información:
• De tamaño fijo
• De tamaño creciente
• De tamaño infinito
• Por el tipo de la información que manejan
• Discreta
• Continua
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
57
Lógica y Computación
Computabilidad y Decidibilidad
TIPOS DE AUTOMATAS (3)
• Autómatas aceptadores o reconocedores:
• Resuelven problemas con respuesta si/no, que se
modeliza normalmente como la identificación de
dos estados finales, uno de aceptación y otro de
rechazo
• Autómatas generadores o transductores:
• Construyen una respuesta específica (una salida)
para el problema planteado
• Autómatas deterministas:
• La solución del problema viene unívocamente
determinada por las entradas y los estados internos
del autómata
• Autómatas no-deterministas:
• La respuesta no está unívocamente determinada
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
58
Lógica y Computación
Computabilidad y Decidibilidad
DESARROLLO DE LA TEORÍA DE AUTÓMATAS
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Turing (1936)
McCulloch, Pitts (1943)
Kleene (1956)
Shannon (1956)
Moore (1956)
Minsky (1956)
Wang (1957)
Sepherdson (1959)
Rabin, D. Scott (1959)
McNaughton, Yamada (1960)
Rabin (1963)
Chomsky (1963)
McCarthy (1963)
Hartmanis, Stearns (1965)
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
59
Lógica y Computación
Maquinas de Turing
Máquinas de Turing
I/O
I
d i m b
Autómata Finito
de Control
• Cinta
potencialmente
infinita,
que
se
utiliza
para
almacenar:
• Los datos de entrada
• Los datos de salida
• Los resultados intermedios.
• Cada casilla de la cinta contiene cada uno de los
símbolos del alfabeto Σ del problema (Supondremos que
Σ = {1, 0})
• Al comienzo del proceso, la Máquina de Turing se
encuentra situada sobre la primera casilla a la izquierda
de la parte no-vacía de la cinta
• El autómata finito de control tiene una entrada (I) y cuatro
salidas (d, i, m, b)
• La entrada I recibe en cada instante t el símbolo
contenido en la casilla que se está examinando en ese
instante
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
60
Lógica y Computación
Maquinas de Turing
Máquinas de Turing (2)
• En respuesta a esa información de entrada, el autómata
finito de control genera una instrucción de actuación
sobre la cinta:
• Cuando activa la salida “d”, la Máquina de Turing se
mueve a la derecha una casilla
• Cuando activa “i”, se mueve una casilla a la
izquierda
• Cuando activa “m” (“marcar”), escribe un símbolo
“1” en la casilla actual
• Cuando activa “b” (“borrar”), escribe un “0” en la
casilla actual.
• La definición puede variar en sus términos:
• Alfabeto variado
• Movimiento de la cinta, y no de la máquina
• ...
• (Def.) La Máquina de Turing se detiene en un instante t si,
a partir t, la Máquina de Turing sigue examinando la
misma casilla, sin producir ningún cambio en ella, y sin
cambios de estado en el autómata finito de control.
• En cada instante t, la Máquina de Turing está en un
estado dado (el de su autómata finito de control).
• Cada operación de cambio de estado y de salida de la
Máquina de Turing está determinada por una
combinación <estado, símbolo leído>
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
61
Lógica y Computación
Maquinas de Turing
Máquina de Turing (3)
• Resolver un problema equivale a computar una función
cuyo valor es la solución del problema
• (Def.) Una Máquina de Turing T computa una función
f(a1,...,an)= v sii, representados en su cinta, en un instante
t0, los argumentos a1, ..., an, se detiene en un instante
ti ≥ t0, con v representado sobre su cinta.
• T es una Máquina de Turing “concreta”: sólo resuelve el
problema para el que está diseñada.
• Si T computa una función f, decimos que f es
Turing-computable.
• Si un problema es Turing-computable, entonces es
algorítmicamente soluble.
• A es un algoritmo sii el problema que A resuelve es
resoluble mediante una Máquina de Turing.
• Tesis de Turing: La clase de las funciones efectivamente
computables (funciones algorítmicas o algoritmos) puede
identificarse con la clase de las funciones Turingcomputables
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
62
Lógica y Computación
Maquinas de Turing
Especificación de Máquinas de Turing
• Las Máquinas de Turing se definen en términos de
quíntuplas:
<estado, entrada, salida, nuevo estado, movimiento>
La Máquina de Turing que suma enteros [Ejemplo]
Especificación de una Máquina de Turing sumadora tal
que:
• Cada número se representa mediante n+1 “1”s
• Los “0”s actúan como delimitadores
• Los dos sumandos están separados por un espacio
en blanco (un “0”)
• Al final del proceso sólo debe quedar el resultado
escrito sobre la cinta, con la cabeza de I/O
posicionada sobre la casilla más a la izquierda de la
parte no vacía de la cinta
Estado Actual Símbolo en la Celda Escribe
q1
q1
q2
q2
q3
q3
q4
q4
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
Mueve
Derecha
Derecha
Izquierda
Derecha
Izquierda
Izquierda
Derecha
Izquierda
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
Siguiente
Estado
q2
q1
q3
q2
q3
q4
Paro
q4
63
Lógica y Computación
Maquinas de Turing
Podemos simplificar la tabla escribiendo cada fila en
quintuplas ordenadas como:
<q1, 0, 1, d, q2>,
<q1, 1, 1, d, q1>,
<q2, 0, 0, i, q3>,
<q2, 1, 1, R, q2>,
<q3, 0, 0, i, q3>,
<q4, 0, 0, d, Paro>,
<q4, 1, 1, i, q4>.
Los datos de entrada representan dos números en
notación unaria. Para representar un par de enteros (x, k)
en notación unaria, empezamos con un cero, seguido por x
unos separados por otro cero y seguidos de k unos, se
termina con un cero. Por ejemplo, el par (2,3) sería en
notación unaria 01101110. Usando entonces 01101110
como input y siguiendo la tabla anterior tendríamos la
siguiente secuencia, que terminaría con 0111110:
Referencias (en Internet)
http://www.turing.org.uk/turing/scrapbook/tmjava.html
http://obiwan.uvi.edu/computing/turing/ture.htm
http://www.wadham.ox.ac.uk/~ahodges/Turing.html
http://www.turing.org.uk/turing/
http://www.fisk.edu/vl
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
64
Lógica y Computación
Maquinas de Turing
q1
q1
q1
0 1 1 0
⇑
0 1 1 0
⇑
0 1 1 0
⇑
0 1 1 1
1 1 1 0 d
q1
1 1 1 0 d
q1
1 1 1 0
q2
1 1 1
⇑
0 1 1 1 1 1 1
⇑
0 1 1 1 1 1 1
⇑
0 1 1 1 1 1 1
q2
0 1 1 1
q3
0 1 1 1
q4
0 1 1 1
q4
0 1 1 1
⇑
0 1 1 1
⇑
0 1 1 1
⇑
0 1 1 1
⇑
0 1 1 1
q2
q2
q4
q4
q4
q4
0 d
q2
0 d
q2
0 d
q2
0 d
⇑
1 1 1 0 i
⇑
1 1 0 0 i
⇑
1 1 0 0 i
⇑
1 1 0 0 i
q2
1 1 0 0
i
q4
1 1 0 0
i
q4
1 1 0 0
i
q4
1 1 0 0
i
Paro
q3
q4
q4
q4
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
65
Lógica y Computación
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
Maquinas de Turing
66
Lógica y Computación
Maquinas de Turing
Máquina de Turing Universal
• Una Máquina de Turing Universal (U) es una Máquina de
Turing tal que:
• Si, en t=0, representamos en su cinta:
• una Máquina de Turing concreta
• los datos de entrada a esa MT concreta
• Entonces, en algún t > 0, se detendrá con la solución
de la MT concreta representada en la cinta
• La Máquina de Turing Universal imita o reproduce el
comportamiento de cualquier Máquina de Turing
concreta
• Existen métodos de codificación (Por ej., la numeración
de Gödel) que permiten representar una Máquina de
Turing mediante:
• Una codificación de las quíntuplas que definen su
funcionamiento
• Una codificación del estado en que se encuentra la
Máquina de Turing
• La Máquina de Turing Universal:
1. Lee el estado en que se encuentra la MTuring concreta.
2. Mientras no es el estado final:
2.1 Lee el símbolo siguiente de la cadena de entrada
2.2 Identifica cuál es la instrucción aplicable de la
MTuring concreta
2.3 Aplica la instrucción:
2.3.1
Cambiando el estado de la MTuring
concreta
2.3.2
Generando la salida correspondiente.
3. Si lee el estado final, termina.
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
67
Lógica y Computación
Maquinas de Turing
Decidibilidad
• Tesis de Turing: Un problema es decidible sii es
computable (por una MTuring). En otro caso, es
indecidible
• La cuestión de si, para una clase dada de problemas,
existe un algoritmo o procedimiento efectivo que los
resuelva, se denomina problema de decisión.
• Decimos que un problema de decisión es indecidible si
podemos demostrar que no existe ningún algoritmo que
pueda responder a todas las preguntas que el problema
pueda plantear.
• Ejemplos:
• El problema “¿Hay enteros tales que satisfagan la
ecuación 3x + 6y = 151?” (que tiene una respuesta
negativa) no es un problema de decisión.
• El problema “¿Hay enteros x, y tales que se cumple
la ecuación ax + by = c?”, sí es un problema de
decisión:
• Para cada asignación de valores a los
parámetros a, b, c, hay un problema distinto
• Respuesta:
• sí, si el máximo común divisor (mcd) de a y
b divide a c
• Tenemos el algoritmo de Euclides para
hallar el mcd de dos números
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
68
Lógica y Computación
Maquinas de Turing
El Problema de la Parada
• Consideremos el siguiente problema de decisión:
¿Existe algún procedimiento efectivo (algoritmo o máquina
de Turing) que nos permita determinar, para cualquier MT
concreta representada en la cinta de la MTuring universal,
si la MTuring concreta llegará a detenerse después de
iniciar su computación?
• Este problema tiene una respuesta negativa, por lo que
se trata de un problema indecidible
• Este resultado es equivalente a los obtenidos respecto a
la Lógica Clásica de Primer Orden:
• Gödel (1931): Cualquier sistema formal cuyo
lenguaje sea lo suficientemente rico para describir
las operaciones y relaciones básicas de la aritmética
elemental es incompleto
• La Aritmética de Peano, formalizada con la Lógica de
Primer Orden con Identidad (y símbolos funcionales)
y con axiomas específicos, es incompleta.
• El conjunto de los enunciados verdaderos de la
aritmética no es decidible
• Church (1936): La Lógica de Primer Orden es
indecidible
• Consecuencias para las Ciencias Cognitivas:
• Existen problemas elementales no decidibles
• Pero los sujetos solucionan problemas muy
complejos. Luego se requieren recursos de
modelización no algorítmicos (heurísticos).
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
69
Lógica y Computación
Maquinas de Turing
MAQUINAS DE REGISTROS
• Una computadora digital (ordenador) es la realización
física de una Máquina de Turing (universal)
• Un modelo más realista se obtiene si sustituimos la cinta
potencialmente infinita de la MT por un número finito
pero potencialmente ilimitado de registros
• Cada registro es un espacio de memoria que
supondremos que puede almacenar:
• Un número de cualquier longitud y tipo, o
• Una cadena alfanumérica cualquiera,
numéricamente
codificada
• Cada registro lleva asociado unívocamente un número, la
dirección de ese registro
• Un conjunto de registros, que comienza en una dirección
dada, almacenará representaciones numéricas de las
instrucciones del programa
• Otro conjunto de registros almacena los datos sobre los
que debe operar el programa
• En general, las instrucciones se reformularán para que
todas ellas se ajusten al formato:
Número_Instrucción Operando [Operador1, ..., Operadorn]
• Los operandos identifican la instrucción que se va a
ejecutar
• Los operadores son direcciones de registros en los que
se guardan datos sobre los que se va a ejecutar la
operación. En los lenguajes de programación se
representan mediante variables.
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
70
Lógica y Computación
Maquinas de Turing
DE LOS AUTOMATAS A LOS ORDENADORES
• Un ordenador o computadora digital es la realización
física de una Máquina de Registros -en último término, de
una Máquina de Turing- Universal.
• Cuando un ordenador ejecuta un programa, la máquina
“universal” (que puede ejecutar cualquier programa o
proceso computable) se convierte en una “máquina
virtual” concreta.
• Cada instrucción de los lenguajes de programación de
alto nivel que se utilizan para programar ordenadores, es,
en realidad, una macroinstrucción, es decir, una
expresión que resume todo un conjunto más o menos
complejo de operaciones elementales
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
71
Lógica y Computación
Maquinas de Turing
PROGRAMAS
• Una macroinstrucción es una unidad lingüística que hace
referencia, en último término, a una operación definible
en términos de Máquina de Turing
• Un lenguaje de programación es un conjunto de
macroinstrucciones que puede ser utilizado para definir
operaciones o procesos complejos.
• Hay lenguajes de programación de distintos niveles, de
forma que los lenguajes de un nivel utilizan explícita o
implícitamente macroinstrucciones del nivel inferior
• Un programa es una secuencia finita de instrucciones tal
que cada una de ellas es:
• Una macroinstrucción de algún lenguaje de
programación
• Un subprograma (rutina o subrutina) formulada en
ese mismo lenguaje
• Una computadora digital (ordenador) es la realización
física de una Máquina de Turing (universal) que ejecuta
procesos definidos usualmente mediante programas
escritos en lenguajes de programación de diferentes
niveles
• Cuando un ordenador ejecuta un programa, la máquina
“universal” (que puede ejecutar cualquier programa o
proceso computable) se convierte en una “máquina
virtual” concreta.
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
72
Lógica y Computación
Maquinas de Turing
¿Puede Pensar Una Máquina?
En 1950 la revista Mind publicó una conferencia de Alan M.
Turing, "Maquinaria computadora e Inteligencia", en la que
sostiene la tesis de que un computador digital puede hacer
todo lo que hace el hombre.
Si una máquina universal de Turing puede hacer toda tarea
computable, entonces puede hacer todo lo que hace la
mente.
Test de Turing: Se conoce con el nombre de test de Turing
la prueba que consiste en poner en comunicación a una
máquina con un humano, si el humano no es capaz de
darse cuenta de que su interlocutor es una máquina
entonces podemos considerar a la máquina como
inteligente.
La Metáfora Computacional: es el modelo teórico que
implica que una máquina puede ser un modelo explicativo
de la mente humana. Entendiendo funcionalmente a la
máquina, es decir, al programa que ejecuta una máquina.
Esta metáfora inaugura las disciplinas de la Inteligencia
Artificial y la Ciencia Cognitiva.
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73
Lógica y Computación
Complejidad Computacional
COMPLEJIDAD
COMPUTACIONAL
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74
Lógica y Computación
Complejidad Computacional
COMPLEJIDAD
• No basta con el criterio de decidibilidad para establecer
si una modelización cognitiva puede ser estrictamente
algorítmica
• Los recursos físicos utilizados en la solución de
problemas (espacio y tiempo) son limitados
• Ni siquiera todos los problemas decidibles son
manejables
• Podemos medir la complejidad de los algoritmos para
estimar su manejabilidad.
• Los parámetros de medida son:
• Tiempo de computación requerido (número de
operaciones primitivas)
• Espacio de memoria requerido:
• Tamaño del input
• Tamaño del output
• Espacio requerido para almacenar resultados
intermedias
• La complejidad vendrá dada por el tiempo requerido para
resolver el problema, dado como una función del tamaño
del problema
• Tipos de complejidad:
• Polinómica (problemas “buenos”)
• Exponencial (problemas “malos”).
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75
Lógica y Computación
Complejidad Computacional
Análisis de la Complejidad de un Algoritmo
• Ejemplo: Complejidad de la Multiplicación
• Sean dos enteros:
• n, que tiene i dígitos
• m, que tiene k dígitos
• Para obtener m x n tenemos que obtener i filas que se
sumarán
• En cada fila tendremos aprox. j (≥
≥ k) operaciones
• Luego
para
obtener
las
i
filas
necesitamos,
aproximadamente, i x j operaciones.
• Finalmente,
para
sumar
las
filas
necesitamos,
aproximadamente, i x j sumas de dos números de un
dígito cada uno
• Luego el tiempo de ejecución de toda la operación será
proporcional a la ejecución de todas las operaciones
• El número de operaciones es 2(i x j)
• Luego la complejidad será proporcional al factor
variable de esta expresión: i x j
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76
Lógica y Computación
Complejidad Computacional
La Medida de la Complejidad Algorítmica
• Lo que resulta importante a la hora de medir la
complejidad es su tasa funcional de crecimiento:
• Esa tasa puede ser:
• Lineal (buena)
• Cuadrática (admisible en algunos casos)
• Exponencial (no manejable)
• ...
• Los factores constantes se omiten.
• Denotación de la complejidad: O(f(n))
(La complejidad es proporcional a fn o “de orden f(n))
• Clasificación
complejidad:
de
los
problemas
respecto
a
su
• Problemas P: tienen algoritmos eficientes, con
crecimiento polinómico
• Problemas NP:
• Es indemostrable que sean problemas P
• Tienen un algoritmo eficiente (polinómico) de
verificación de la solución
• Problemas NP-completos:
• No son problemas P ni NP
• Si uno de la clase se solucionara mediante un
algoritmo polinómico, todos tendrían un
algoritmo de ese tipo
• Problemas intrínsecamente difíciles: No son
problemas P ni NP, y tienen algoritmos con tiempo
exponencial .
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77