Sucesiones 2002

 CUARTO AÑO COMÚN TEXTO SAN MATEO – 2002
30
COLEGIO SAN MATEO de OSORNO.
CUARTO AÑO PLAN COMÚN
UNIDAD : “NÚMEROS”
SUBUNIDAD3 : “SUCESIONES”
TIEMPO
:
20 a 25 HORAS
PROFESOR ENCARGADO : GEORG STÜCKRATH M.
APRENDIZAJES ESPERADOS :






Los alumnos :
Reconocen una sucesión de números reales y su regla de formación.
Incorporan al lenguaje habitual la expresión con distintas clases de números para comunicar los
hechos de forma más completa y precisa.
Reconocen la utilidad de las diferentes clases de números para ordenar, expresar códigos,
aproximar y estimar medidas.
Incorporar al lenguaje habitual la expresión con distintas clases de números para comunicar los
hechos de forma más simple, completa y precisa.
Representar los números naturales, enteros y decimales en la recta numérica para facilitar su
ordenación y comprensión.
Adquirir destrezas prácticas relacionas con el cálculo numérico.
ACTIVIDADES SUGERIDAS:
Realizan una investigación sobre las diversas clases de números de acuerdo a las necesidades
presentadas.
Resuelven ejercicios para determinar la necesidad de crear nuevos números.
Buscan diferentes métodos para agilizar la determinación de los términos generales de una sucesión
dada.
Analizan la operatoria con las diferentes definiciones axiomáticas de adición y multiplicación de los
términos generales de una sumatoria.
Confianza en encontrar procedimientos y estrategias para resolver y solucionar problemas.
Bibliografía :
Matemática Ed. Arrayán 4º año
Matemática Ed. Santillana 4º año
Texto San Mateo
Fundamentos de Matemática Moderna Colección Schaum
PLAN DE TRABAJO
CONTENIDOS: ( Lo que voy a hacer
Definición de desigualdad
Concepto de intervalo.
Inecuaciones de primer grado con una o dos variables.
Definición de sucesión
Determinación de los términos de una sucesión dado el término general.
Determinación del término general dados los primeros términos de una sucesión
Sucesiones crecientes y decrecientes
Operaciones con sucesiones.
Concepto intuitivo de límite.
Aplicación del concepto intuitivo de límite.
Concepto de Sumatoria y aplicaciones.
Factorial y Coeficiente Binómico
Teorema del binomio y sus aplicaciones
Concepto y aplicación de progresión aritmética
Concepto y aplicación de Progresión Geométrica
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Aplicación del método de inducción
SUCESIONES.
OBJETIVO :
Reconocer una sucesión de números reales y su regla de formación.
I. ORDEN EN 
El cuerpo de los reales  es un conjunto ordenado puesto que en él se cumple la
relación "menor o igual que" ( ) :
 p, q  , p  q  q  p  0
Demuestra que (,, ) es un cuerpo ordenado.
II. INTERVALOS.
El conjunto de números reales que están entre dos números reales a y b dados es un
intervalo.
x  / axb  
ALGUNOS TIPOS DE INTERVALO :
Intervalo abierto  a, b  = { x   /a < x < b }
a
b
Intervalo abierto  a, b  = { x   /a  x < b }
a derecha
Intervalo abierto  a, b  = { x   /a < x  b }
a izquierda
Intervalo cerrado  a, b  = { x   /a  x  b }
Existen también los intervalos en los que uno o ambos parámetros son infinitos.
INECUACIONES.
Desigualdad condicional entre cantidades conocidas y otras variables.
Ejemplo :
Respuesta
5(x+2) – 3(x+5) > 1
5x + 10 – 3x – 15 > 1
5x – 3x > 1 + 15 – 10
2x > 6
x > 3
Como conjunto numérico
{x / x   x > 3 }
Como intervalo
3,  
Representación gráfica
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32
3
EJERCICIOS :
2. Representa en la Recta numérica cada uno de los siguientes intervalos :
a) A = { x   / -3 < x  4 }
b) B = { x   / -5  x  -1 }
c) C = { x   / -2  x }
3. Resuelve las siguientes inecuaciones :
a)
8x - 19 > 11 x – 4
b)
7(x - 3) + 8(x - 1) > 2(x + 5)
c)
(x + 2)(x + 5) - (x + 1)(x - 2) > 0
d)
2x - 4 < 5
e)
x2 - 2x + 7  0
f)
2x(2x - 7)  6x – 25
4. Resuelve el siguiente sistema con una incógnita :
7(3x – 2 ) – 4( 5x + 6 ) > 0
7
1
x5  x 4
2
2
La representación gráfica de una inecuación de primer grado con dos variables se debe
realizar en un plano x
5. Resuelve el siguiente sistema con dos incógnitas :
2x – 3y + 9 > 0
x – 2y < 6
Ejemplo de una inecuación con dos
variables 3x + 6y > 12
III. SUCESIONES.
Sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de números naturales y cuyo
recorrido es un subconjunto de los números reales.
Una sucesión de números reales es una ley (función) que hace corresponder a cada número
natural un número real.



1

a1
2
3
 
a2 a3
4

a4
5

a5
...
...
n

an
...
...
Se acostumbra representar
2
3 la sucesión
4
5 por susnimágenes :
a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an , . . .
  


1
2
3
4
n
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1
2
3
4
33
n
Los números naturales 1,2,3,4,... n se llaman índices. Los números reales a1 , a2 , a3 ,
a4 , . . . , an , . . . se llaman términos. Al término an se le llama término general.
1
2
3
Ejemplo
a2
a3
a4
a5 n
an
4
n a1
Ejemplo 1
1
3
5
7
9
2n-1
Ejemplo 2
2
4
6
8
10
2n
Ejemplo 3
1
4
9
16
25
n2
Ejemplo 4
1
-2
3
-4
5
(-1)n+1n
EJERCICIOS :
6. Escribe los primeros cinco términos de la sucesión
n
1
1
1

a)
c)
b)
2n  1
2n  1
n
e)
n2 + (-1)nn
n1
2n
n2+3n+1
f)
j)
i)
3n
4n  2
m)
1

1   

n
n
2
n  n1
g)
2n
2 n1
k)
n
n) 2n 2
o)
n
3n 1
7. Determina el término general de cada sucesión :
Ejemplo
a1
a2
a3
a4
a5
Ejemplo a
1
8
27
64
125
Ejemplo b
1
4
9
16
125
Ejemplo c
-1
1
-1
1
-1
Ejemplo d
2
5
10
17
26
Ejemplo e
2
12
30
56
90
Ejemplo f
0
1
1
3
2
3
2
5
3
Ejemplo g
Ejemplo h
4
2
7
1
10
4
5
13
5
7
16
2
3
Ejemplo i
-1
1
2
1
3
1
4
1
5
d)
h)
l)
nn
n2  1
n2  1
2n  1
3n  2
p) 1   1n1
an
IV. MONOTONIA.
Una sucesión (an) es monótona creciente cuando cada término es menor o igual que el
término siguiente, es decir, an  an+1 , cualesquiera que sea el número natural n.
Ejemplo, la sucesión siguiente es monótona creciente :
1, 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 4 , 5 . . .
Una sucesión (a ) es estrictamente creciente si es monótona creciente y todos sus términos
son distintos., es decir, an < an+1 , cualesquiera que sea el número natural n.
n
Ejemplo, la sucesión siguiente es estrictamente creciente :
1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . .
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34
Una sucesión (a ) es monótona decreciente cuando cada término es mayor o igual que el
término siguiente, es decir, an  an+1, cualesquiera que sea el número natural n.
n
Ejemplo, la sucesión siguiente es monótona decreciente :
1 1 1 1 1
1, , , , , ,...
2 3 4 5 6
Una sucesión (an ) es estrictamente decreciente si es monótona decreciente y todos sus
términos son distintos., es decir,
an > an+1, , cualesquiera que sea el número
Ejemplo,1la sucesión siguiente es estrictamente decreciente :
-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, . . .
8. Demuestra a que tipo pertenecen las siguientes sucesiones :
4 5
a) 1, , ,2,...
3 3
2 4 8
,...
b) 1, , ,
3 9 27
1 1
1
,
,...
c) 1, ,
5 25 125
VI. OPERACIONES CON SUCESIONES.
a) PRODUCTO DE UNA SUCESIÓN POR UN NUMERO.
La sucesión (k · a n ) se llama sucesión producto de un número real k por la
sucesión (an ). Su término general se obtiene multiplicando el término general de (an) por el
número real k.
n
Ejemplo, Si la sucesión de término general ( n2 ) se multiplica por 2, el término de
orden general será (2 ·n2 ).
b) SUMA DE SUCESIONES.
La sucesión (cn) se llama sucesión suma de las sucesiones ( an ) y ( bn )
Su término general se obtiene sumando los términos generales ( an ) y ( bn )
n
n2
Ejemplo. Si las sucesiones de términos general an 
y bn 
n1
n 1
2
2
n
n
n  n n( n  1)



n
se suman
n 1 n 1
n 1
n 1
o sea , la sucesión suma cn = n
c) SUCESION PRODUCTO.
La sucesión ( cn ) se llama sucesión producto de las sucesiones ( an ) y ( bn )
Su término general se obtiene multiplicando los términos generales ( an ) y ( bn )
n
n2
Ejemplo. Si las sucesiones de términos general an 
y bn 
n1
n 1
2
3
n3
n
n
n
se multiplican
o sea , la sucesión suma cn =


n  1 n  1  n  1 2
 n  1 2
 CUARTO AÑO COMÚN TEXTO SAN MATEO – 2002
35
EJERCICIOS.
9. Se dan las siguientes sucesiones :
an 
3  2n
n
bn 
n2 1
n
cn 
2n  3
n 1
realiza las siguientes operaciones :
a) ( an ) + ( bn ) =
b) ( bn ) - ( cn ) =
c)
( an )  ( cn ) =
2n  1
n2  1
y
11 . Si an =
y
n
n
bn = 3n - 1
n1
n
bn =
b
n=
encuentra los 5 primeros
n1
n1
términos de la sucesión
encuentra los 5 primeros
términos de la sucesión
encuentra los 5 primeros
a) an + bn
términos de la sucesión
a) an + bn
b) an  bn =
a) an + bn
b) an  bn =
b) an  bn =
10. Si an = 2n + 3
y
11. Si an =
LIMITE DE UNA SUCESION.
Sea la sucesión con término general an =
2n  1
n1
A medida que n se hace cada vez mayor, la diferencia entre el término an
menor.
y el límite 2 se hace cada vez
¿ A partir de qué término la diferencia es menor que una centésima ?
2n  1
1
2 
n1
100

1
n1

n  99

1
100
¿ A partir de qué término la diferencia a-2 son menores que un milésimo ?
Haciendo el mismo proceso anterior , llegaríamos a que n > 999
UNA SUCESIÓN DE NÚMEROS REALES ( an ) TIENE POR LÍMITE EL NÚMERO
REAL a, CUANDO PARA TODO NÚMERO REAL POSITIVO  EXISTE UN
NÚMERO NATURAL n* , TAL QUE PARA TODO n > n* SE VERIFICA QUE :
 an - a  < 
SE SIMBOLIZA ASÍ :
lim a n = a
n
 CUARTO AÑO COMÚN TEXTO SAN MATEO – 2002
36
Las sucesiones que tienen límite real se denominan sucesiones convergentes.
LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
Consideremos la sucesión
an 
= 0,
1 2 3 4 5
n 1
, , , , ,...
,...
2 3 4 5 6
n
Si n = 100 entonces el término que le corresponde es
99
 0,99
100
Si n = 1000 entonces el término que le corresponde es
999
 0,999
1000
Si n = 1000000 entonces el término que le corresponde es
999999
 0,999999
1000000
Tú puedes comprobar intuitivamente que el número se acerca cada vez más a 1, pero nunca llega a ser
igual a 1, por lo que diremos
n 1
1
n  n
lim
OPERACIONES CON SUCESIONES CONVERGENTES.
Si las sucesiones (an ) y (bn) tienen límite finito, se pueden realizar las siguientes operaciones :
ADICION
suma
lim(an+ bn) = lim an + lim bn
opuesto
lim (-an) = - lim an
diferencia
lim(an - bn) = lim an - lim bn
MULTIPLICACIÓN producto
CONSTANTE
lim(an · bn) = lim an . lim bn
recíproco
lim
cuociente
lim
producto por k
lim ( k
1
bn
=
1
lim b n
a n lim a n

bn lim bn
an) = k lim an
ENTORNO DEL LIMITE.
El número real a es el límite de la sucesión a si para todo real positivo suficientemente pequeño,
existe un valor no correspondiente al término ano de la sucesión, a partir del cuál todos los términos siguientes
están en el entorno a-, a+  del punto a.
n
El número real a es el límite de la sucesión an sí y sólo sí para cualquier número real positivo 
suficientemente pequeño, existe un número natural no , tal que n > no se cumple que  an - a> 
Es decir :
lim an = a    > 0 ;  n   / an  a < ,  n > no
 CUARTO AÑO COMÚN TEXTO SAN MATEO – 2002
37
Toda sucesión que tiene límite se dice que es convergente.
El límite de una sucesión es un número real único.
Ejemplo :
 n2 n

+
n2  n
 n 2 n2
lim
= lim
n
n

2
 n

1
1


 1+  lim 1 + lim

n = 1+ 0 =
 n=
=
lim

1
0
 1 
lim



n
 n 

CUARTO MEDIO
COLEGIO SAN MATEO
SUBUNIDAD 3 : “SUCESIONES”
Área de Matemática
CONTROL FORMATIVO
Prof.Georg Stückrath M
Nombre :
FECHA :
PUNTOS :
NOTA :
1.
2.
3.
6. Escribe los primeros cinco términos de la sucesión
a)
1
2n  1
e)
b)
n2 + (-1)nn
f)
j)
i)
3n
4n  2
m)
1

1   

n
1n
n
n1
2n
n2+3n+1
c)
1
2n  1
g)
n
2
n  n1
2n
2 n1
k)
n
n) 2n 2
o)
d)
h)
l)
nn
n2  1
n2  1
2n  1
3n  2
p) 1   1n1
n
3n 1
1. Determina si cada sucesión es creciente o decreciente; es convergente o divergente y determina el
límite de ellas cuendo n tiende a infinito
an 
2n
n 1
an 
n 1
n2
an 
an 
2n  1
n3
an 
1
2n  1
an 
an 
2
2
n
an  4 
an 
1
n
an 
1
n
4n  1
2n
n2
3
an 
2n  1
an 
n1
2n2  1
1 1

n 2n
n
1
n
 1
an  1  
 n
1
n 1
2n2  1
an 
2n
an  ( 1)n1
an  2 
n 1
 CUARTO AÑO COMÚN TEXTO SAN MATEO – 2002
38
SUMATORIA DE LOS TÉRMINOS DE UNA SUCESIÓN.
OBJETIVO :
Reconocer, comprender y aplicar la notación de sumatoria y sus propiedades.
CONTENIDOS :
Sumatoria : concepto y propiedades.
Sumatoria de sucesiones de números reales.
Sumatoria de una sucesión es la forma abreviada de escribir sus términos como
sumandos.
n
Ejemplo 1 : x1 + x2 + x3 + … + xn =
 xk
k 1
n
Ejemplo 2 : 12 + 22 + 32 + . . . + n2 =  k 2
k 1
n
a
k
 a1  a2  a3  a4 ... ak
k 1
PROPIEDADES :
1. Suma de una constante :
n
c
k
 nc
k 1
2. Sumatoria del producto de una constante por los términos de una sucesión :
n
n
k 1
k 1
 c  ak  c   ak
3. Sumatoria de la suma o diferencia de dos sucesiones :
n
n
n
k 1
k 1
k 1
 (a k  bk )   a k   bk
4. Sumatoria de los n primeros números naturales :
n
k 
k 1
n( n  1)
2
5. Sumatoria de los n primeros números impares :
n
 (2k  1) n2
k 1
6. Sumatoria de los cuadrados de los n primeros números naturales :
n
 k2 
k 1
n(n  1)(2n  1)
6
 CUARTO AÑO COMÚN TEXTO SAN MATEO – 2002
39
7. Sumatoria de los cubos de los n primeros números naturales :
n

k3 
k 1
n2 (n  1)2
4
EJERCICIOS RESUELTOS :
1.
2.
n
n
k 1
k 1
 k  1k  1  k
2
1
n
n
 k  1 
2
k 1
k 1
n(n  1)(2n  1)
n
6
1 2  2  3  3  4  4  5  ... n términos
n

k(k  1) 
k 1
n

k2  k 
k 1
n

k2 
k 1
n
k 
k 1
n(n  1)(2n  1) n(n  1)

 ...
6
2
EJERCICIOS POR RESOLVER
1.
1 2  3  2  3  4  3  4  5  ... n términos
k (k  1)
 2
k 1
7
2.
5
5.
 (1)k  k
(1) K (k 2  1)
4. 
4k
k 1
6
3.
8
k
 (k  1)2
k 1
n
6.
k 1
n
1
 2k  1
k 1
7.
 (1)k 1  (k 2  1)
k 1
Expresa como sumatoria :
8.
12 + 23 + 34 + ...
9.
2 + 5 + 8 + ... + 44
10.
1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 5 + ... + 10 · 19
10.
1 + 4 + 7 + ... + 43
12.
3 + 5 + 7 + 9 + ...
13.
1 ·4 + 2 ·5 + 3 ·6 + 4 ·7
14
1 1 1 1 1 1
    
2 3 4 5 6 7
15.
1
2 1 4
 
3 3 27
Aplica propiedades y calcula :
10
16.
 7(k 3  1)
k 1
Calcula la sumatoria de :
20
17
 (k 2  2)(k  2)
k 11
 CUARTO AÑO COMÚN TEXTO SAN MATEO – 2002
30
40
18.
k
19.
 k2
21.
 (2k  1)
k 1
70
k 1
63
20.
40
k 1
 (k 2  k )
k 1
Usa las fórmulas conocidas para el cálculo de :
n
22.
n
 2k
23.
 (2k  1)2
25.
k 1
n
24.
 (3k  2)
k 1
n
k 1
 (k  1)2
k 1
OBJETIVO:
INTERPRETAR EL CONCEPTO DE FACTORIAL.
CONTENIDOS
Factorial
FACTORIAL.
DEFINICIÓN
n! = 1 2  3  ...  (n-2)  ( n-1)  n
Es decir, n factorial es el producto de los n primeros números naturales.
1! = 1
n! = n  ( n-1)!
0! = 1
EJERCICIO RESUELTO
Ejemplo 1 : 5! = 5  4  3  2  1 = 120
EJERCICIOS POR RESOLVER
1. Simplificar a) 15! =
b) (n+1)!
13!. 2!
(n-1)!
c) (x+6)!
(x+4)!
2. Expresa en forma factorial : a) 13 12 11
3. Es verdadera la igualdad
b)
1
2524
2! + 3! + 4!
 2!
16
OBJETIVO
CONOCER Y APLICAR EL CONCEPTO DE COEFICIENTE BINÓMICO
CONTENIDO
COEFICIENTE BINÓMICO
 CUARTO AÑO COMÚN TEXTO SAN MATEO – 2002
41
COEFICIENTE BINOMICO.
 n  n  (n  1)  (n  2)  ...  (n  r  1)
DEFINICIÓN :   
1  2  3  ...(r  1)  r
r
n
   1
n
 0
   1
 0
a
a!
  
 b  b!(a  b)!
EJERCICIO RESUELTO
Ejemplo 1.
5
5!
  
 10
 2  2!3!
EJERCICIOS POR RESOLVER :
¿Es verdadera cada proposición ?:
 7  7  8
4)        
 4  5  4
6)
  1
   4
 2
9. Simplifica
 5  5  5  7
5)    2       
 3  4  5  5
1 3
7)  2  
4
3
 4  4  4  4  4
8) 24               
 0  1  2  3  4
 16  16
    
1 2 
 17  17
    
 14  15
 x  x  x
10 Determina el valor de x en :    2      20
 1  2  3
11.
 n  1  n 

 : 
 =
 n   n  1
12.
Demuestra si existe igualdad en :
13.
 n  1  n  n  1

 : 
 
 n  1  n  2  n  1
 35  35 

16. Resuelve la ecuación :    
 x   x  7
n  n 
   
 
 k   k  1
 CUARTO AÑO COMÚN TEXTO SAN MATEO – 2002
42
 12  12  12
17. El valor de x en :        
7 5 x
OBJETIVO :
DEDUCIR EL TEOREMA DEL BINOMIO.
CONTENIDO
TEOREMA DEL BINOMIO
TEOREMA DEL BINOMIO.
Los coeficientes de las potencias de (a + b) se organizan de acuerdo al triángulo
de Pascal :
( a + b )0 =
1
( a + b )1 = a + b
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
( a + b )4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
( a + b )5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
........
se obtienen sólo los coeficientes
 
 
 
0
1
0
1
 
 
 
 
 
 
1
1
1
0
1
2
 
 
 
 
 
 
2
1
3
3
 
 
 
1
4
6
4
1
 
 
 
4
0
4
1
 
 
 
3
1
 
 
 
2
 
 
 
3
0
2
1
 
 
 
3
3
 
 
 
2
0
1
1
3
2
 
 
 
4
2
3
 
 
 
4
3
 
 
 
4
4
.........................
entonces se puede obtener el desarrollo de un binomio elevado a la potencia n
n
n
n
 n  n 1  n  n
ab   b
( a + b )n =  an   an 1b   an  2b2  ...  
 0
 1
 2
 n  1
n
 CUARTO AÑO COMÚN TEXTO SAN MATEO – 2002
43
a  bn   
n  n r r
a b
r 0  r 
n
o también
EJERCICIOS RESUELTO :
x  2y5 
5 5
5
5
5
5
 x  2y 0   x 4  2y 1   x3  2y 2   x 2  2y 3   x1 2y 4 
0
 1
 2
3
 4
5 0
  x  2y 5 =
5
x5  5  x4  (2y)  10  x3  4y2  10  x2  (8y3)  5  x  16y4  (32y5 ) 
x5  10x4y  40x3y2  80x2y3  80xy4  32y5
EJERCICIOS POR RESOLVER
19. Desarrolla cada uno de los siguientes binomios :
a) (x - y)5

d) 

3
x

2
2
b) (2x - 3y)4
y



c) (2 - 3ab)5
2 
3
e)  a  b2 
5 
2
4
3
f) (3p - q)5 =
Para determinar el término de orden p
 n  n  ( p 1) p 1
a
tp = 
n
 p  1
20. Encuentra el :
a) el sexto término de (x+y)15
c) el cuarto término de (x2 - y2)11
b) el quinto término de (a-b)9
1
1
d) el noveno término de  x  
x
2
12
PROGRESIÓN ARITMÉTICA.
OBJETIVOS :
Aplicar los conceptos y las propiedades de las progresiones aritméticas.
CONTENIDOS :
Una progresión aritmética (P.A.) es una secuencia de números relacionados de
tal manera que cada uno, después del primero, se pueden obtener del que le precede
sumando a éste una cantidad fija llamada diferencia común.
a1 =
d =
an =
n =
primer término de la P.A.
diferencia común de la P.A.
término enésimo ( último ) de la P.A.
números de términos de la P.A.
 CUARTO AÑO COMÚN TEXTO SAN MATEO – 2002
44
Sn = suma de los n términos de la P.A.
FÓRMULAS :
an = a1 + ( n - 1 )d
d = an - an-1
Sn =
n
 a  an 
2 1
EJERCICIOS :
1.
Escribe los n primeros términos de la P.A. siguiente, cuyos datos son :
a)
c)
a1 = 3 ; d = 3 ; n = 5
a1 = -5 ; a3 = -1 ; n = 6
b)
a1 = -1 ; d = 2 ; n = 7
d)
a6 = 2 ; a2 =11 ; n = 6
2. Encuentra la suma de los términos de la P.A. de acuerdo a los siguientes datos :
a)
a1 = 6 ; d = 3 ; n = 5
b)
a1 = -8 ; d = 3 ; n = 11
c)
a1 = -3 ; an = 9 ; n = 7
d)
a1 = 1 ; an = 7 ; n = 8
3. De las variables, a1 ; an ; n ; d ; S ; encuantra las que faltan en cada una de las
siguientes agrupaciones :
a)
a1 = 2 ; d = -0,5 ; n = 8
b) an = -11 ; S = -32 ; n = 8
c)
a1 = 4 ; n = 11 ; S = -11
d) an = 1 ; d = -1 ; S = 78
4. Calcula el término de orden 14 en una P.A. si el primer término es 5 y la
diferencia es 4.
5. El undécimo término de una P.A. es 49 y su diferencia es 4. Encuentra el
primer y el octavo término.
6. Encuentra la P.A. cuyo quinto término es 14 y el décimo término es 29.
7. Interpola cinco términos entre 3 y 6.
8. Hallar tres números que están en P.A. sabiendo que la suma del primer y del
tercer término es 44 y el producto del segundo por el primer término es 418.
9. Encuentra la suma de los 100 primeros múltiplos de tres.
10. Se dan las siguientes P.A. encuentra el término que se indica :
5, 8,, 11, 14 ...
a10
5, 2, -1, -4, ...
a15
3, 8, 13, 18, ...
a12
 CUARTO AÑO COMÚN TEXTO SAN MATEO – 2002
1
1
, 2 , 3 , 5,...
2
2
45
a10
11. Determina cuántos términos tiene una P.A. si el primero es 5, el último es
50 y la diferencia es 3 .
12. Halla una P.A. tal que la suma de los primeros veinte términos es 120 y su
diferencia es 2.
13. Encuentra la diferencia en una P.A. cuyo término de lugar 27 es 32 y cuyo
término de lugar 18 es 5. Encuentra además el primer término.
14. Interpola tres términos entre 12 y 42.
1
Interpola cinco términos entre 6 y 9
4
15. Encuentra la suma de los diez primeros términos de las siguientes
sucesiones :
a) 1, 2, 3, ...
b) 5, 2, -1, ...
1
c) 1,
, 0 , ...
2
16. Halla la suma de los primeros quince términos de una P.A. si se sabe que el
quinto término es 17 y el séptimo término es 23.
17. Halla una P.A. de 8 términos sabiendo que los cuatro primeros términos
suman 40 y que los cuatro últimos suman 72.
18. Para construir una vía elevada se levanta sobre una superficie horizontal
una rampa de pendiente uniforme la que se sostiene sobre 12 soportes de
fierro igualmente espaciados. La altura del primer soporte es 2 m y la del más
alto es 51,5 m. Encuentra la altura de cada soporte y la suma del fierro a
emplear.
19. Se deja caer una bola de goma, la que en el primer bote se levanta 1 metro
del suelo, en el segundo bote 95 cm, en el tercer bote 90 cm y así
sucesivamente. Calcula cuánto ha recorrido la bola desde que toca por primera
vez el suelo hasta que llega al punto más alto después del décimo bote.
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.
Una progresión geométrica ( P.G. ) es una secuencia de números relacionados de tal
manera que, cada uno, después del primero, se puede obtener del que le precede
multiplicándolo por una cantidad fija llamada razón común .
a1 = primer término de la P.G.
an = último término de la P.G.
r = razón de la P.G.
n = número de términos de la P.G.
S = suma de los términos de la P.G.
Ejemplo :
a1
3
Primer elemento 3
razón
4
a2
3 4 = 12
a3
12  4 = 48
a4
48  4 = 192
a5
192 4 = 768
 CUARTO AÑO COMÚN TEXTO SAN MATEO – 2002
Es decir, la P.G. es
46
3, 12, 48, 192, 768, ...
Fórmulas :
an = a1 
rn-1
an
r =
a n -1
a 1 1 - r n 
S=
1- r
EJERCICIOS :
1. Escribe los “n” primeros términos de la P.G. de acuerdo a los siguientes datos :
a) a1 = 3 ; r = 3 ; n = 6
b) a1 = -4 ; r = 3 ; n = 4
c) a1 = 8 ; a2 = 4 ; n = 6
d) a2 = 1 ; a5 = 125 ; n = 5
2. Encuentra el término de orden “n” en las siguientes P.G.
a) a1 = 2 ; r = 2 ; n = 5
b) a1 = 625 ; r = 0,2 ; n = 6
1
c) a1 = 343 ; r =
; n=5
7
3. Encuentra la suma de los términos que se indican en cada P.G. :
a) a1 = 1 ; r = 2 ; n = 5
b) a1 = 125 ; r = 0,2 ; an = 0,2
1
c) a1 =
; r=2; n=7
2
1
d) a1 = 81 ; r = ; n = 6
3
4. Encuentra las variables faltantes entre S, a1 , an , r , n en las siguientes P.G. :
a) an = 27 ; r = 3 ; n = 6
1
b) an = 1 ; r =
; S = 511
2
c) an = 1 ; r = 0,2 ; n = 5
d) a1 = 256 ; n = 3 ; S = 256
5. Halla el quinto término y la suma de los diez primeros términos de la P.G. :
8, 4, 2, ....
6.
4
32
El segundo término de una P.G. es
y el quinto es
. Encuentra el octavo
3
3
término.
7. En una P.G. el primer término es 23 y la razón es 2. ¿ Cuántos términos se deben
sumar para que el resultado sea 1449 ?
8. Gonzalo gana $ 1. El primer día de trabajo, $ 2 el segundo día, $ 4 el tercer día, $
8 el cuarto día. ¿ Cuánto habrá ganado al cabo de 20 días de trabajo ?
9. Encuentra los cinco primeros términos de una P.G. de modo que el primero sea 2 y
el segundo 3.
10. Interpola dos medios geométricos entre a y b.
11. Determina cuántos términos tiene la P.G. cuyo primer término es 2 y cuyo último
término es 512 si su suma es 682.
 CUARTO AÑO COMÚN TEXTO SAN MATEO – 2002
47
12. Se sabe que una determinada bacteria se reproduce por bipartición cada 20 minutos,
es decir de cada bacteria aparecen 2 cada 20 minutos. ¿ Cuántas bacterias habrán
pasadas 10 horas desde que se detectó la primera ?
XI. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA INFINITA.
Si n   y r> 1
1.
2.
entonces
S=
a1
1 r
Encuentra la suma de
1 1
3
a) 1+  ...
B) a1 = 5 ; r =
c) a1 = 4 ; a2 = 2,4
2 4
5
4
d) a1 = 4 ; a4 =
e) a2 = 64 ; a4 = 4
125
Si una pelota rebota tres cuartos de la distancia recorrida en su caída.
Calcula la distancia real que recorrerá antes de alcanzar su estado de reposo
si se ha dejado caer desde 2,6 metros.
3.
Una bicicleta baja una pendiente frenando de tal modo que cada segundo
recorre tres cuartos de distancia recorrida en el segundo anterior. Calcula el
espacio recorrido hasta detenerse si avanzó 5 metros en el primer segundo.
4.
Un niño recibe $ 5000 durante el primer año de vida de un fondo que le
asegura un ingreso anual igual a la mitad del valor recibido el año anterior.
Calcula el valor aproximado que llegará a recibir hasta que su primer nieto
esté en segundo año básico.
Se tiene un cuadrado de lado “a”. Se inscribe en él un cuadrado uniendo los
puntos medios de los lados del cuadrado original y así se van inscribiendo
cuadrados cada vez más chicos. Calcular la suma de las áreas y de los
perímetros de los infinitos cuadrados así obtenidos.
INDUCCCIÓN MATEMÁTICA.
OBJETIVO : Demostrar la validez de proposiciones y fórmulas mediante el principio
de Inducción Matemática.
CONTENIDOS : El Principio de Inducción completa es una proposición “q”
expresada en términos de una variable “k” que cumple :
1) es verdadera si k = 1
2) a partir de que k = p se deduce que también es válida para K 0 p+1 entonces
dicha proposición “q” es válida para cualquier número natural.
Para llegar a una generalización se debe examinar un cierto número de casos
particulares para descubrir la forma en que están relacionados. Una vez que se
encuentra la mencionada relación se constituye en generalización o ley. Es decir se
trabaja de lo particular a lo general, lo que forma el método de la lógica llamado
inducción.
EJERCICIOS :
Demuestra las siguientes proposiciones por medio de inducción :
1) 1 + 2 + 3 + . . . + n =
n n  1
2
2) 2 + 4 + 6 + . . . + 2n = n(n + 1 )
 CUARTO AÑO COMÚN TEXTO SAN MATEO – 2002
48
3) 3 + 5 + 7 + . . . + ( 2n+1 ) = n(n + 2)
4) 1 + 4 + 7 + . . . + ( 3n - 2 ) =
n 3n  1
2
5) 4 + 7 + 10 + . . . + ( 3n + 1 ) =
6) 3 + 6 + 9 + . . . + 3n =
n
 3n  5
2
3n
 n  1
2
7) 1 + 5 + 9 + . . . + ( 4n - 3 ) = n(2n - 1 )
8) 2 + 22 + 23 + . . . + 2n = 2(2n- 1 )
n n  1 n  2
3
4n n  1 n  2
10) 2 · 4 + 4 · 6 + 6 · 8 + . . . + 2n (2n+2) =
3
9) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + . . . + n (n+1) =
11) 1 + 3 + 6 + . . . +
12)
1
n n  1 n  2
n n  1 
2
6
1
1
1
1
n


 ...

1 2 2  3 3  4
n n  1 n  1
CUARTO MEDIO
Área de Matemática
UNIDAD
3
Prof.Georg Stückrath M
“SUCESIONES”
CONTROL SUMATIVO
Nombre :
FECHA :
PUNTOS
NOTA :
3:
COLEGIO SAN MATEO
1. Desarrolla las siguientes sumatorias y obtén el resultado :
a)
5
 (2k  1) 
k 1
b)
6
 (k  1)(k  1) 
k 1
2. Escribe en forma de sumatoria las siguientes series :
a) 1 
2 3 4
   ...
3 5 7
:
Nº
 CUARTO AÑO COMÚN TEXTO SAN MATEO – 2002
1. -1 + 2 –3 + 4 – 5
c) 1  4  2  5  3  6  4  7
3.
Calcula el valor de la siguiente suma :
27
 (k
3
 k) 
k 18
4. Calcula el valor de las siguientes sumas :
a)
36
 (1  2k ) 
k 1
b)
30
 k (k  3) 
k 1
5. Calcula los siguientes valores :
a)
30!

28!
 5  5 
b)      
 3  2 
49
 CUARTO AÑO COMÚN TEXTO SAN MATEO – 2002
c)
50
k  1! 
k  1!
 6   5  5 
d)    2     
 3   3  2 
6.
Compara las siguientes igualdades :
a)
7.
4!5!6!
 4!
36
 9   9  10
b)         
 3  4   4 
7  6 7
c)   :      
 5  4  5
Calcula el valor de x en :
 x
a)    15
 2
 x 
  36
b) 
 x  2
EJERCICIOS PAA
Pregunta 26:
El triángulo ABC es rectángulo en C y BF, es bisectriz del ángulo ABC. Determinar cuánto vale a.
a) 60°
b) 75°
c) 30°
d) 105°
e) 90°
Pregunta 27:
Si en el D ACD :
a = b = x/6 . ¿Cuánto mide x?
a) 140°
b) 102,5°
c) 120°
d) 135°
e) Ninguna de las anteriores
Pregunta 28:
En la figura, L1  L2 . Determinar el valor de p + q + r; si  1   2   3 = 25°
a) 170°
b) 125°
c) 130°
d) 120°
e) 115°
Pregunta 29:
Si L1 //L 2 , L1  OA ; OB=BD=5 cm. y
AD = 6 cm., determine el área del triángulo OBC
a) 6 cm2
b) 8 cm2
c) 12 cm2
d) 4,5 cm2
e) 9 cm2
 CUARTO AÑO COMÚN TEXTO SAN MATEO – 2002
51
Pregunta 30:
Si en el triángulo ABC, rectángulo en A, se cumple que 28° < z < 56°, entonces si los valores de x
fluctúan entre los enteros. ¿Entre qué valores puede fluctuar x?
a) 34° < x < 62°
b) 28° < x < 56°
c) 124°< x<152°
d) 0° < x < 90°
e) 110°<x <140°
Pregunta 31:
En la figura : BC  CD, el ángulo BAC es recto y el ángulo CDB mide 30°. ¿Cuánto mide x?
a) 15°
b) 50°
c) 35°
d) 30°
e) 60°
Pregunta 32:
El área de un triángulo equilátero es 323 cm2 . ¿Cuánto mide su perímetro?
a) 96 cm.
b) 12 cm.
c) 64 cm.
d) 32 cm.
e) 24 cm.
Pregunta 33:
Si a = 24° 35' 18" y b = 73° 45' 17". ¿En cuanto excede a al complemento de b?
a) 7° 20' 35"
b) 8° 20' 35"
c) 6° 50' 1"
d) 8° 21' 25"
e) 8° 21' 35"
Pregunta 34:
El complemento de un ángulo recto, más el suplemento de un ángulo extendido vale:
a) 80°
b) 85°
c) 51°
d) 34°
e) 5°
Pregunta 35:
Si L1 //L2 a=1000 y b=700. ¿Cuánto mide el ángulo x?
a) 10°
b) 30°
c) 40°
d) 35°
e) 50°
Pregunta 36:
En la figura L1//L2//L3 y a = 70°.
Determine a+ b - g
a) 30°
b) 70°
c) 90°
d) 40°
e) 60°
Pregunta 37:
¿Cuál es el término x en la expresión 9a2b2 -x +1 de modo de tener el cuadrado de binomio?
a) -3ab
b) 6ab
c) 3ab
d) -6ab
e) 3ab+2
Pregunta 38:
Si 5 pares de calcetines valen $p, entonces ¿8 pares valdrán?
a) 8p /5
b) 5p /8
c) (p-5) /8
d) (p-8)/5
e) 8p
 CUARTO AÑO COMÚN TEXTO SAN MATEO – 2002
52
Pregunta 39:
Si al triple del producto entre a y b se le suma el producto entre el triple de a y la suma entre a
y b se obtiene:
a) 3a (a + 2b)
b) 3a ( a + b
c) 3a2
d) 4a + 2ab + b
e) 3a (2a + 3b)
Pregunta 40:
El doble del cubo de la diferencia de los números p y s, se expresa por:
a) (p - s)6
b) 2 (p - s)3
c) 2 p3 - s3
d) 2 ( p3 - s3 )
e) (2p - 2s)3
Pregunta 41:
Si al producto a(a + b) le restamos el producto
b (a - b) obtiene:
a) a2 + ab
b) a2 - ab
c) ab - b2
d) a2 - b2
e) a2 + b2
Pregunta 42:
La multiplicación del cubo de 3m por el triple de 3n se expresa como:
a) 9m2 × 12n
b) 6m2 × 12n
c) 6m × 12n
d) 27m3 × 9n
e) 9m 2 × 64n3
Pregunta 43:
Si al doble de a - b se le resta el doble de a + b se obtiene:
a) 2a + b
b) a2 + b2
c) -4b
d) 4b
e) 2 + a + b
Pregunta 44:
El doble del cubo de la diferencia entre x y su doble equivale a la expresión:
a) -2x 3
b) 2x 3
c) -8x3
d) 8x 3
e) 2x3 - 2x
Pregunta 45:
( - x ) 0 + ( - x ) + (- x ) 2 = y , entonces y =?
a) 1
b) x2
c) -x+x2
d) 1+x+x2
e) 1-x+x2
Pregunta 46:
Si a un número x se le resta su quinto, se obtiene la mitad del número más 6, entonces x =?
a) 25
b) 20
c) 15
d) 10
e) 5
Pregunta 47:
La tercera parte de un número más 14, es igual al mismo número. ¿Cuál es el número?
a) 43/2
b) 10,5
c) 42/3
d) 21
e) 7
d) 2
e) 1
d) 0
e) 2
d) 3
e) 4
Pregunta 48:
Si a = 1 entonces, 2a -1+ a -1+ a0 + a2 =?
a) 5
b) 4
C) 3
Pregunta 49:
Si x = y = z = 1, entonces (x-y) /(x+z) =?
a) –1
b) 1
c) ½
Pregunta 50:
Si a + b = -1 y b - 1 = 2, entonces a =
a) –2
b) –4
C) 2