Capítulo 2

Capítulo 2
Integrales de campos
En el capítulo anterior hemos presentado las integrales de funciones sobre conjuntos de la misma dimensión
geométrica que el espacio contexto del dominio de las mismas: las integrales dobles se establecen sobre dominios o
regiones del plano que ocupan un área bidimensional; y las integrales triples lo hacen sobre dominios que ocupan un
volumen tridimensional. En este capítulo presentamos otras versiones de las integrales frecuentes en Física: integrales
de campos escalares o campos vectoriales sobre lugares geométricos de dimensión menor que la del espacio contexto
en que se considera el propio campo, es decir, en el plano 2, sobre curvas o líneas, como lugares geométricos
unidimensionales; mientras que en el espacio 3, tanto sobre curvas como sobre superficies, éstas como lugares
geométricos bidimensionales. Distinguiremos, pues, las integrales sobre curvas llamadas integrales curvilíneas o
integrales de línea, y las integrales sobre superficies, llamadas integrales de superficie.
Las aplicaciones a la Física nos obligarán a distinguir, además, en cada tipo, las integrales de campos escalares
de las de campos vectoriales. Y tendremos que recordar la presentación de estas funciones así como resumir lo básico
sobre parametrizaciones de los lugares geométricos que consideraremos.
§ 2.1 Integrales de línea o curvilíneas
a) Preliminares sobre campos
Generalmente, las magnitudes físicas se presentan distribuidas en el plano o el espacio mediante funciones
definidas en una región o dominio de influencia, Ω ⊂ 2 ó 3, y que toman valores en , los campos escalares, o en 2
ó 3, los campos vectoriales. Frecuentemente los valores de estas funciones representan densidad de magnitud, que
puede ser densidad lineal (o por unidad de longitud) o densidad superficial (por unidad de superficie) o densidad
cúbica (por unidad de volumen), y las propias funciones vienen inducidas por leyes de la Física.
Campos escalares
Los campos escalares, pues, son funciones que dan una magnitud escalar, U, en una región Ω ⊂ 2 ó 3 en
función de las coordenadas de los puntos (x,y) ó (x,y,z) de la misma, U = f(x,y) o U = f(x,y,z).
La representación gráfica de los campos
más utilizada en física se hace mediante
4
las llamadas isocuantas de U, que son
3
curvas en el plano o superficies en el
3
espacio sobre las que U toma el mismo
2
valor. Así, en el plano, las isocuantas son
2
una familia de curvas de ecuaciones:
1
U = f(x,y) = k
1
(figura 2.1-1(a)) definidas en Ω. Mientras
5
que en el espacio, las isocuantas son una
5
1
1
2
2
3
3
4
familia de superficies de ecuaciones:
figura 2.1- 1(a)
figura 2.1- 1(b)
U = f(x,y,z) = k
también definidas en Ω. Con frecuencia
es útil representar los cortes de esta familia de superficies con los planos de cota z constante, como sugiere la figura 2.11(b), para obtener representaciones bidimensionales de las isocuantas.
Normalmente las funciones f son de clase infinito en Ω, aunque para la integrabilidad que vamos a estudiar basta
que sean continuas y exigiremos f ∈ C ( 0(Ω). Los conocimientos sobre derivabilidad parcial y diferenciabilidad de las
funciones de varias variables independientes corresponden a la asignatura de Cálculo I: se dan por conocidos y deben
tenerse claros y presentes.
Ejemplo 2.1-1: Trazar las líneas de nivel del campo escalar plano U(x,y) = x2 + xy + y2.
2.1-2
Cálculo II
solución: Las curvas {x2 + xy + y2 = k} forman la familia de elipses de la figura 2.1-1a. Están trazadas con la
función "CONTOUR" de MATLAB.
Ejemplo 2.1-2: Las líneas isobaras de los mapas meteorológicos son las líneas de corte de las superficies
isobaras o de nivel del campo escalar de presiones, p(x,y,z), a distintas cotas de altitud. Normalmente se publican
las isobaras de superficie, pero los profesionales deben manejar también las isobaras de diferentes alturas.
Campos vectoriales
Los campos vectoriales, en cambio, dan una magnitud vectorial w en la región Ω ⊂ 2 o 3 en función de las
coordenadas de los puntos de Ω, w = F(x,y) ó w = F(x,y,z). Generalmente son también leyes de la física las que inducen
la magnitud vectorial w, proporcionando un valor vectorial w(x,y) = F(x,y) o w(x,y,z) = F(x,y,z) en cada punto de Ω.
La representación gráfica más elemental de
9
un campo vectorial es la llamada aljaba 1 o carcaj
1
6
(en inglés, quiver): se basa en dibujar la región Ω y
llevar el vector w(P) al correspondiente punto P,
1
3
para todos los puntos P de una malla de ellos
distribuida en Ω de forma regular.
1
0
Por ejemplo así está trazada la figura 2.1-2(a), donde
se supone que Ω es un disco de radio 3 en el plano y
2
3
los puntos P se escogen de una malla circular
2
3
sugerida en la figura, y cada vector w(P) se dibuja
2
figura 2.1- 2
aplicado en P.
Otra forma de las representaciones gráficas (figura 2.1-2(b)) consiste en dibujar ciertas líneas en Ω sobre las
cuales se pueden agrupar los vectores del campo, w(P), porque cumplen la propiedad de ser tangentes a dichas líneas en
cada punto P de las mismas. Esas líneas se llaman líneas de acción o líneas de
fuerza del campo o, simplemente, líneas de campo. Por cada punto P de Ω pasa
4
3
una y sólo una línea del campo, por lo que dos líneas de campo no se cruzan
2
nunca en un punto regular, salvo que el campo se anule en ambas. Esta forma de
1
representación exige resolver una ecuación diferencial para determinar las líneas
0
de campo, salvo en campos más sencillos o para los que su aljaba o su inter-1
-2
pretación geométrica permita deducirlas gráficamente.
Ejemplo 2.1-3: El campo vectorial v(x,y) = ‒ωx_i + ωy_j representa las
-3
-4
-6
-4
-2
0
2
6
4
velocidades de los puntos de una cuadrado de 8 m. de lado, que gira en su
figura 2.1- 3
plano con velocidad angular ω. La figura 2.1-3 representa una aljaba del
campo v. Por la naturaleza del campo, además, sabemos que las líneas de campo son circunferencias centradas
en O de radio igual al |r(P)| en cada P.
b) Preliminares sobre curvas parametrizadas
Definición: Una curva C ⊂
3
o
2
es la imagen de una aplicación continua e inyectiva de la forma:
γ : J = [α0,α1]⊂  → C⊂
3
o

/ α → γ(α) ⇔ r(α) = Oγ (α)
2
lo cual suele abreviarse en la forma
C : r = r(α) , α ∈ J = [α0,α1] ⊂  ,
(2.1-1)
El par (γ; J) o (γ; [α0,α1]) se dice una parametrización de la curva C. Comúnmente exigiremos que la curva sea regular
o regular a trozos, entendiendo por ello que la γ ∈ C (1([α0, α1]) y que γ'(α) ≠ 0, (con lo que se garantiza la inyectividad)
o que cumpla esas condiciones a trozos 2.
Una parametrización nunca es única: otras infinitas parametrizaciones diferentes de una misma curva C se
pueden obtener mediante funciones regulares e inyectivas α = h(β), que cambian el parámetro α por el nuevo β, dando
1
Aljaba o carcaj es el nombre del contenedor de flechas de los arqueros o ballesteros medievales o deportivos de la actualidad.
2
Por ejemplo, el perímetro de un cuadrado presenta puntos singulares, angulosos, en sus vértices y no podemos excluir estos casos.
2.1-3
Cálculo II
lugar a un nuevo par (η ; [β0 , β1]), donde η(β) = γ(h(β)) = γ h(β) y puede verse C : r = r(β) como otra parametrización
de la misma curva C.
La ecuación vectorial (2.1-1) de la curva C ⊂ 3 o 2 se puede separar por componentes, resultando las
ecuaciones paramétricas de la curva C. Las ecuaciones paramétricas cartesianas serán de la forma:
{xi = xi(α) = γi(α) ; α ∈ [α0,α1]}
(2.1-2)
De igual modo se pueden plantear ecuaciones paramétricas polares, cilíndricas o esféricas.
2
1.5
1
0.5
0
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
2
figura 2.1- 4
Ejemplo 2.1-4: Las ecuaciones {x = Rcosθ, y = Rsenθ, z = cθ , 0≤θ≤2π},
donde R>0 y c son constantes reales, determinan una curva llamada hélice
circular dibujada en la figura 2.1-4. Es la curva trazada por un punto que
discurre por la superficie lateral de un cilindro de radio R ganando altura a
un ritmo constante. Se trata de una curva interesante tanto en geometría
(tiene curvatura constante y torsión constante) como en diseños de
ingeniería (rampas helicoidales de acceso a diferentes niveles, trazado de
carreteras, etc..). Como ejercicio, deducir unas ecuaciones paramétricas
cilíndricas de la hélice.
Ejemplo 2.1-5: Parametrizar la curva intersección de los cilindros
parabólicos {z = x2} ý {z = 4 ‒ y2}, tomando ambos sobre el cuadrado {0≤x≤1, 0≤y≤1} del plano XY.
solución: Como ejercicio (ver Ejemplo 1.3-4)
#.
Otros ejemplos y ejercicios sobre curvas: ejercicios 1 a 5 de la hoja de problemas del capítulo.
Originalmente las curvas se presentan en Física, en la Cinemática y Dinámica del punto, como trayectorias de
puntos materiales que se mueven en el espacio 3 o en el plano 2, cuya posición se describe en función del tiempo t,
que es el parámetro de sus ecuaciones:
r = r(t) ⇔ {x = x(t), y = y(t), z = z(t)}
Si admitimos que estas funciones son de clase 2, al menos a trozos, los vectores derivada primera y segunda de r(t) son
la velocidad y aceleración:
dr
(t )
dt
′(t )
v=
(t ) r=
2
; a(t) = r''(t) = d 2r (t )
dt
(2.1-3)
El vector velocidad es tangente a la trayectoria y el sentido que indica es el de avance del punto en su recorrido. El
módulo del vector, |v(t)|, denotado comúnmente en Física por v(t), es el espacio recorrido por unidad de tiempo, medido
sobre la trayectoria, o sea, es la longitud del arco de curva recorrida por unidad de tiempo. Esta longitud suele denotarse
con la letra s (del inglés, "space") y podemos expresar entonces:
|v(t)| = v(t)
=
=
dr
(t )
=
dt
ds (t )
dt
(2.1-4)
Su vector unitario se conoce como el vector tangente y es la dirección de la curva (incluido el sentido de recorrido), se
denota t(t) y es:
v (t )
t(t) := |v (t )|
v (t )
t(t) = |v (t )| =
Se observa que se cumplirá:
En resumen:
v(t) :=
dr ( t )
dt
ds ( t )
dt
(2.1-5)
= ddrs (t )
dr
dr
ds
= v(t) t(t) =
t(t) =
t(t)
dt
dt
dt
(2.1-6)
(2.1-7)
A partir de la ecuación (2.1-4) se puede obtener el espacio recorrido en función del tiempo, simplemente integrando:
s(t) =
∫
t
t0
t
v (t ) dt = ∫ r ′(t ) dt
t0
(2.1-8)
Este "espacio recorrido" es en realidad la longitud del arco de curva recorrido desde el instante inicial, t0, hasta el
instante actual, t. Se llama el parámetro arco o parámetro natural de la curva. Obsérvese que por (2.1-6), la derivada de
r de los puntos de la curva respecto del parámetro arco es un vector unitario, el vector tangente t(s).
Si el parámetro α de una curva no es el tiempo t, el vector
dr
dα
se sigue llamando velocidad de la trayectoria r(α)
(respecto de α), pero se mide en m uds.α , en lugar de en m sec . El vector tangente t(α) es el mismo (2.1-5) (si la
2.1-4
Cálculo II
parametrización no cambia el sentido de recorrido), solo que ahora se obtiene en función de α. La descomposición (2.17) se hace igualmente, aunque el módulo |v(α)| es rapidez con respecto a α o sea ddαs .
Ejemplo 2.1-6: Suponiendo θ = ωt en el Ejemplo 2.1-4, efectuar los cálculos y expresar la descomposición
(2.1-7) en la hélice circular dada allí. Calcular la longitud de la espira dibujada en la figura (2.1-4). Obtener la
parametrización de la hélice respecto a su parámetro arco, s.
Solución: Como ejercicio. Resulta s = 2π R 2 + c 2 es la longitud pedida.
#.
Ejemplo 2.1-7: Parametrizar la curva que describe el perímetro de la región del plano limitada por las curvas y =
x2, y = x, recorrida en sentido positivo.
Solución: Como ejercicio.
c) Integrales de línea de campos
Como anticipábamos en la introducción tenemos que distinguir dos tipos de integrales curvilíneas: las
de campos escalares, o de Primera Especie, y las de campos vectoriales, o de Segunda Especie.
c1) Integrales curvilíneas de 1ª especie o de campos escalares
Suponemos un campo escalar u = f(x,y,z) determinado en una región de influencia Ω ⊂ 3. Si C es una
curva regular o regular a trozos definida en el interior de Ω, se admite que u representa la densidad lineal de
una magnitud de interés, U, distribuida por unidad de longitud de C. Entonces la integral de línea de u sobre
C o extendida a lo largo de C se indica por ∫C f ( x, y, z )ds y su valor será la acumulación total de la magnitud
U de interés en toda la curva C, o sea:
U=
∫
C
f ( x, y, z )ds
Definición de la integral de línea 1ª especie
Para definir esta integral debemos seguir un
proceso de límite similar al seguido para definir la
integral unidimensional de Riemann:
i) Dividir C mediante una partición de la misma en
arcos de longitud infinitesimal (o que haremos tender a
cero). La partición de C resulta sencilla a partir de una
parametrización de la curva: basta una partición
P = {α0 = a0 < a1 < … < an‒1 < an = α1}
de [α0, α1], y tendremos una partición de la curva C por la inyectividad de la función γ, que traslada los
puntos ai a los puntos γ(ai). Los vectores
∆ri := r(ai) − r(ai−1)
forman una poligonal con vértices en los puntos γ(ai) de la partición de C. Y al refinar la partición
(agregando, por ejemplo, los puntos medios en cada subintervalo) la poligonal se ciñe más a la curva, como
se muestra en la figura (2.1-5).
ii) La cantidad
∆Ui := u(xi, yi, zi)∆si = u(γ(αi)) |∆ri| ,
siendo γ(ai) = (xi, yi, zi) un punto cualquiera del arco de la subdivisión, aproxima la cantidad de la magnitud
U acumulada en el propio arco. Y la suma de esas cantidades en todos los arcos de la partición, es decir,
=i n=i n
=
∑ u (γ(a )) ∆ r
∑ f ( x(a ), y(a ), z (a )) ∆ r
i
i
=i 1 =i 1
i
i
i
i
permite aproximar la cantidad U acumulada en toda la longitud de C.
iii) Finalmente, la integral se define como el límite de tales sumas cuando n → +∞, o sea:
(2.1-9)
2.1-5
Cálculo II




f ( x, y,=
z )ds : lim  ∑ u ( γ (a )) =
∆ r  lim  ∑ u ( x(α i ), y (α i ), z (α i )) ∆ r i 




=i n=i n
∫
i
i
C
n →∞
n →∞
=i 1 =i 1
(2.1-10)
Se puede formular esta definición en los términos ε-nε habituales de las definiciones matemáticas de límite:
Definición: Se dice que f : Ω ⊂ 3 →
/ u = f(x,y,z) es integrable de línea sobre una curva C⊂Ω,
parametrizada con (γ; [α0, α1]) y que su integral vale el escalar ∫C f ( x, y, z )ds si
 i=n
∀ε>0 ∃nε∈ / ∀n∈ : n > nε ⇒  ∑ u ( γ (ai )) ∆ r i
 i =1

 − ∫C f ( x, y, z )ds < ε

(2.1-11)
o sea, si puede hacerse tan pequeña como se quiera la diferencia entre las sumas de aproximación (2.1-9) y el
valor de la integral, con tal de tomar el número de puntos de la partición, n, suficientemente grande.
Cálculo de la integral de linea de línea de 1ª especie
El cálculo de la integral se efectúa mediante una integral simple de Riemann de integrando de una
variable. Para ello basta entender todos los elementos que aparecen en la expresión ∫ f ( x, y, z )ds sobre la
C
cueva C, es decir:
− la parametrización de C proporciona la variable α y el intervalo de integración, [α0, α1]
− el campo debe particularizarse en los puntos de la curva, así que en f(x,y,z) deben sustituirse las
ecuaciones paramétricas de C, (2.1-2), usando f(x(α),y(α),z(α))
− finalmente el elemento diferencial de longitud, ds, debe expresarse también en términos de la
parametrización, usando
ds = |r'(α)| dα
De este modo la integral de línea queda reducida a una integral unidimensional de Riemann ordinaria:
=
∫ f ( x, y, z )ds
C
∫
α1
α0
f ( x(α ), y (α ), z (α )) x′(α ) 2 + y ′(α ) 2 + z ′(α ) 2 dα
(2.1-12)
NOTAS: 1) Todas las definiciones y procedimientos anteriores se pueden aplicar directamente si el espacio
contexto es bidimensional y estamos en el plano 2. Salvo que na hay tercera coordenada z de los puntos, la
aplicación es directa.
2) Con frecuencia en Matemáticas se usa el parámetro t sin que sin que signifique el tempo, sino un
parámetro cualquiera, como α o θ.
Ejemplo 2.1-7: Hallar la longitud de la curva σ(t) = (e‒t cost, e‒t sent) entre los puntos (1, 0) y (0, 0).
Solución: Comprobar como ejercicio que la longitud es 2 (ver ejercicio 5 de la hoja de problemas)
Ejemplo 2.1-8: Hallar la integral I = ∫ yds siendo γ el arco de la hélice del ejemplo 2.1-4 comprendido en el
γ
semiespacio {x > 0}.
Solución: Como ejercicio. Resulta I = 2R R2+c2
#.
Propiedades de la integral de línea de 1ª especie
Son similares a las propiedades de las integrales múltiples que vimos en el capítulo anterior, con
alguna ligera adaptación. Veamos:
1) Linealidad respecto al integrando: Si el campo escalar que se integra es combinación lineal de otros
campos escalares, la integral puede descomponerse del modo habitual. O sea, si α y β son constantes:
(2.1-13)
∫C [αf ( x, y, z ) + βg ( x, y, z )]ds= α ∫C f ( x, y, z)ds + β ∫C g ( x, y, z)ds
2) Aditividad: Si una curva C se puede describir como la unión de dos arcos de curva, sin
solapamientos, salvo tal vez un punto común de contacto, se cumplirá:
(2.1-14)
f ( x, y, z )ds ∫ f ( x, y, z )ds + ∫ f ( x, y, z )ds
∫C =C C=
C
C
1
2
1
2
2.1-6
Cálculo II
de manera que es posible descomponer la integral sobre una curva de clase 1 a trozos descomponiéndola en
suma de integrales en los trozos en que es de clase 1. Y aplicaciones similares.
3) Monotonía: También se coserva esta propiedad:
(2.1-15)
f ( x, y, z ) ≤ g ( x, y, z ), ∀( x, y, z ) ∈ Ω ⇒ ∫ fds ≤ ∫ gds
C
C
4) Propiedad triangular: Se conserva también esta propiedad, aunque se puede añadir algo más:
∫
C
f ( x, y, z )ds ≤ ∫ f ( x, y, z ) ds ≤ máx
C
( x , y , z )∈C
{ f ( x, y, z) }·long(C )
(2.1-16)
Otra propiedad interesante se comprende que debe suceder ya que, por ejemplo, la longitud de una
curva es la misma si la recorremos desde un origen A a un extremo B que si la recorremos desde B hasta A.
Y esa invariancia respecto al sentido del recorrido es la que se recoge en esta 5ª propiedad:
5) Invariancia respecto de la parametrización: Si (γ1;α) y (γ2;β) son dos parametrizaciones regulares
de la misma curva C, tales que γ2 = γ1°h, ó β = h(α), entonces
∫
γ1
fds1 = ∫ fds2
(2.1-17)
γ2
como se desprende de la fórmula del cambio de variables en la integral simple.
c2) Integrales de línea de campos vectoriales o de 2ª especie
Básicamente se trata de integrales de línea en las que el campos escalar del integrando procede del producto
escalar de un campo vectorial por el vector diferencial dr = ds t de la curva, o sea w·dr. No es necesario, pues, una
nueva definición de integral, sino desarrollar la expresión analítica del integrando, lo único nuevo en la integral de 2ª
especie. Veámoslo.
Sea w = F(x,y,z) un campo vectorial definido en su región de influencia Ω ⊂ 3 y con valores en 3. Y sea C una
curva regular o regular a trozos cuyo recorrido está contenido en Ω, parametrizada con (γ; [α0, α1]). Hemos de
desarrollar la expresión del escalar w·dr: efectuaremos el producto expresando ambos vectores en la base canónica del
sistema cartesiano, {_i, _j, k_ } en 3 ó {_i, _j} en 2.
i) El factor diferencial dr en la parametrización de la curva deberá expresarse en cada punto α ∈ [α0, α1] y para
cada infinitésimo dα, y lo podemos desarrollar así en la base citada:
dr
dr = dr(α, dα) = dα
(α) d α =
(
)
dx (α) i + dy (α) j + dz (α)k dα =
dα
dα
dα
= dx(α, dα) i + dy (α, dα) j + dz (α, dα)k = dx i + dy j + dzk
(2.1-18)
donde la expresión final es la de mayor uso, pero presupone las ecuaciones paramétricas de C:
x = γ1(α) = x(α), y = γ2(α) = y(α), z = γ3(α) = z(α)
(2.1-24)
de manera que las coordenadas cartesianas en la curva son variables dependientes del parámetro de la curva, y en la
práctica la expresión desarrollada de dr es:
(
dy
)
dx (α) i +
dz (α)k dα
dr = x'( α)dα_i + y'( α)dα _j + z'(α)dα k_ = dα
(α) j + dα
dα
Todo el desarrollo anterior es válido en el plano
escribe directamente en dimensión 2 (ejercicio).
2
(2.1-20)
sin más que prescindir de la coordenada z, el vector _k y el dz y se
ii) El factor campo vectorial w(x,y,z) tiene su propio desarrollo en ñla base canónica cartesiana:
w(x,y,z) = w1(x,y,z)_i + w2(x,y,z)_j + w3(x,y,z)_k
(2.1-21)
pero debe ser entendido en los puntos de la curva, de manera que reemplazamos (2.1-24) en este desarrollo, lo que
proporcionará w como función del parámetro α:
w(γ(α)) = w1(x(α),y(α),z(α))_i + w2(x(α),y(α),z(α))_j + w3(x(α),y(α),z(α))k_
(2.1-22a)
que puede abreviarse sí:
w(α) = w1(α)_i + w2(α)_j + w3(α)k_
(2.1-22b)
donde simplemente se indica el nombre de las magnitudes o sus componentes y en función de qué deben expresarse,
como es frecuente en Física.
iii) Finalmente el producto escalar se efectúa como sabemos de Álgebra o de Física, con (2.1-18) y (2.1-22):
w·dr = w1(α)x' (α) + w2(α)y' (α)+ w3(α)z' (α)
o con más precisión:
2.1-7
Cálculo II
( w ( x(α), y(α), z(α))
=
w ⋅ dr
1
)
dx (α) + w ( x(α), y (α), z (α)) dy (α) + w ( x(α), y (α), z (α)) dz (α) dα
2
3
dα
dα
dα
(2.1-23)
Esta forma desarrollada del producto escalar w·dr deja claro el integrando que debe integrarse respecto a α en la
integral de una variable a que conduce la integral de línea de segunda especie:
∫ ( w (α)
α1
=
∫ w ⋅ dr
C
1
α0
dx
dα
)
dy
dz
(α) + w2 (α) dα
(α) + w3 (α) dα
(α) dα
(2.1-24)
La forma común en Física de plantear una integral de línea de segunda especie, sin embargo, deja todo el cálculo
pendiente de la parametrización que se use para expresar la curva soporte de la integral, C, y todo queda indicado en las
variables cartesianas x, y, z y sus diferenciales, así:
=
∫ w ⋅ dr
C
∫
C
w1 ( x, y, z )dx + w2 ( x, y, z )dy + w3 ( x, y, z )dz
(2.1-25)
Es la parametrización de la curva C la que permitirá expresar una integral como la (2.1-25) en la forma desarrollada
(2.1-23) y ya hemos comentado que existen infinitas parametrizaciones de una curva: unas conducirán a una integral
más sencilla que otras.
Todo es análogo en el plano 2 y no lo expresaremos de nuevo.
Propiedades de la integral de línea de 2 º especie
La linealidad y aditividad, que cumplen las integrales de 1ª especie, se conservan como propiedades
de las de 2ª especie. La propiedad triangular utiliza que el valor absoluto de un producto escalar es menor o
igual que el producto de los módulos de los vectores factor y al aparecer |dr|, que es ds, produce una integral
de 1ª especie en el segundo miembro de la desigualdad:
∫
C
w ⋅ d r ≤ ∫ | w | ds
C
Pero, en cambio, la invariancia respecto de la parametrización, no se conserva: el signo de la integral
de línea de 2ª especie depende esencialmente del sentido de recorrido de la curva. De manera que podemos
decir que si (γ1;α) y (γ2;β) son dos parametrizaciones regulares de la misma curva C, tales que γ2 = γ1°h, ó β
= h(α), entonces
(2.1-26)
±∫ w ⋅ dr 2
∫γ w ⋅ d r1 =
γ
1
2
dependiendo el sigo + ó ‒ del sino de h', es decir, de si las dos parametrizaciones inducen en C el mismo
sentido de recorrido o el sentido contrario,
Ejemplo 2.1-9: Calcular la integral del campo vectorial F(x, y) = (xy2, y + x) sobre el perímetro de la región
limitada por las curvas y = x2, y = x, recorrida en sentido positivo.
Solución: Llamando C al perímetro indicado en el enunciado, vemos que es una curva
cerrada, de clase C (∞ a trozos, que descomponemos en los dos arcos, C1 = arco de
1
parábola desde (0,0) a (1,1) y C2 = segmento (1,1) a (0,0). La integral planteada es:
I=
1
figura 2.1-6
∫
C
xy 2 dx + ( x + y )dy
Y para desarrollarla hemos de descomponerla por aditividad en los dos arcos del
perímetro:
I=
∫
C1
xy 2 dx + ( x + y )dy + ∫ xy 2 dx + ( x + y )dy
C2
y hemos de parametrizar ambos arcos teniendo en cuenta el sentido de recorrido sugerido en la figura (2.1-6):
C1 = {x = t, y = t2; 0 ≤ t ≤ 1} : obs.: para t = 0, C1 arranca del origen (0,0) y para t = 1, C1 termina en (1,1)
C2 = {x = 1 ‒ t, y = 1 ‒ t; t∈[0 , 1]} : obs.: para t = 0, C2 arranca de (1,1) y termina en (0,0) para t = 1
A continuación desarrollamos ambas integrales:
=
x t , d=
x 1d
=
t dt 


2
, dy 2tdt  =
 y t=
∫C1 xy dx + ( x + y)dy = =


t ∈ [0,1]


2
1
∫ [t
0
5
+ (t + t 2 )2t ]dt =
1
∫ (t
0
5
+ 2t 3 + 2t 2 )dt = 16 + 12 + 32 =
4
3