Ecuación de Bernoulli

Ecuación de Bernoulli
Ejercicio 7.1. Hallar una relación entre la velocidad
de descarga V2 y la altura de la superficie libre h de la
figura. Suponer flujo estacionario sin fricción, salida
de velocidad unidimensional en la descarga.
Ejercicio 7.2. Una constricción en un conducto produce un aumento de velocidad
y y una disminución de presión en la garganta. La disminución de presión da una
medida del caudal o flujo volumétrico en el conducto. El sistema con variaciones
suaves de la figura se denomina tubo Venturi. Hallar una expresión que relacione
el flujo másico con la disminución de presión de (1) a (2).
Ejercicio 7.3. Una manguera de 10 cm de diámetro
tiene una tobera de 3 cm por donde se descargan
1, 5m3 /min. Suponiendo flujo sin fricción, hallar la
fuerza FB que se ejerce sobre los tornillos que sujetan
la tobera a la manguera.
Ejercicio 7.4. El fluido del manómetro del tubo pitot de la figura es mercurio. Al
introducir dicho tubo en una corriente de agua, la altura manométrica es 21,336cm.
Despreciando efectos de desalineación y otros errores, ¿cuál es la velocidad V del
flujo?
1
67.18 – Mecánica de Fluidos
Ejercicio 7.5. La bomba esquematizada, de dimensiones caracterı́sticas pequeñas
respecto de las alturas H0 y Hi , bombea fluido incompresible a través de una
cañerı́a (de sección A, longitud Li y L0 ). La velocidad del pistón up está dada por
la geometrı́a (radio del cigüeñal r, biela de largo l) y la velocidad angular ω:
i
h
r
(7.1)
up (t) = ωr sin(ωt) + sin(2ωt)
2l
a. Hallar la velocidad de entrada ui y de salida u0 como función del tiempo
durante un ciclo.
b. Determinar la presión p2 (t) en la posición [2] inmediatamente por encima de
la válvula anti-retorno en el lado de presión de la bomba.
c. Determinar la presión p1 (t) en la posición [1] inmediatamente por debajo de
la válvula anti-retorno en el lado de succión de la bomba.
Ap r
1 tal que la presión en [1] permanece
A Li
por encima de la presión de vapor pv
d. Hallar el máximo valor Hi para
Ejercicio 7.6. El esquema muestra la sección de corte de una bomba radial.
El fluido que circula se supone que lo hace bajo un régimen incompresible y sin
fricción. Las velocidades c2 , c3 y c4 , asi como también la velocidad circunferencial
2
Problemas de la ecuación de Bernoulli
cu3 , se suponen conocidas. La presión en la entrada es p1 y la velocidad allı́ vale
c1 . El flujo de entrada relativo al impulsor se considera que no sufre rotaciones.
Las fuerzas volumétricas son despreciables.
Determinar la presión en [2], [3] y [4].
Calcular la potencia de entrada PD requerida para utilizar la bomba en las
condiciones de diseño. (Pista: usar la ecuación de conservación de energı́a.)
Verificar la ecuación de Euler para turbinas: Torque= ṁ(r3 cu3 − r2 cu2 ). (3 ≡
salida, 2 ≡ entrada )
Figura 7.1: Bomba radial
Datos: R2 , R3 , R4 , c1 , c2 , c3 , c4 , cu3 , Ω, p1 , ρ.
Cálculo de presiones
~ × X.
Se usará como notación la velocidad absoluta
~c = w
~ + ~v + Ω
Z
∂w
Es un problema estacionario, luego
= 0. Las diferencias de altura son
ψ ∂t
pequeñas por lo que ρgz ρc2 ∼ ∆p.
Entre (1) y (2), la terna es fija y la ecuación de Bernoulli se reduce a:
ρ
ρ
p1 + c21 = p2 + c22
2
2
ρ
→ p2 = p1 + (c21 − c22 )
2
entre (2) y (3), hay movimiento relativo y resulta más fácil resolver con la terna
3
67.18 – Mecánica de Fluidos
Figura 7.2: Velocidades relativas. Volumen de Control
~ =
solidaria con el rotor. Luego Ω
6 0, velocidad angular del rotor y ~v = 0 ya que no
hay traslaciones.
2
w32 p3 1 ~
~ 3 )2 = w2 + p2 − 1 (Ω
~ ×X
~ 2 )2
+
− (Ω × X
2
ρ
2
2
ρ
2
w32 p3 1 2 2 w22 p2 1 2 2
+
− Ω R3 =
+
− Ω R2
2
ρ
2
2
ρ
2
ρΩ2 2
ρ
→ p3 = p2 + (w22 − w32 ) +
(R3 − R22 )
2
2
(7.2)
Nos faltan conocer las velocidades relativas, luego se describirán en el sistema
de referencia elegido. Se adoptan ~er y ~eu como versores radial y circunferencial
4
Problemas de la ecuación de Bernoulli
respectivamente.
~ ×X
~c = w
~ + ~v + Ω
~v = 0
~ ×X
w
~ = ~c − Ω
Para hallar el módulo, usamos el producto interno
~ × X) · w
~ × X) · (~c − Ω
~ × X)
w
~ ·w
~ = (~c − Ω
~ = (~c − Ω
~ × X) +(Ω
~ × X) · (Ω
~ × X)
w2 = c2 − 2~c · (Ω
| {z }
ΩR~eu
w
2
Llamando cu = ~c · ~eu
= c2 − 2cu ΩR + Ω2 R2
Entonces, para la posición (2)
w22 = c22 − 2
c2u ΩR2 + Ω2 R22 = c22 + Ω2 R22
|{z}
=0(Dato)
y para (3)
w32 = c23 − 2c3u ΩR3 + Ω2 R32
Luego, reemplazando en la expresión para estimar la presión 7.2,
ρΩ2 2
ρ
(R3 − R22 )
p3 = p2 + (w22 − w32 ) +
2
2
ρ
ρ
ρΩ2 2
p3 = p1 + (c21 − c22 ) + (c22 + Ω2 R2 − c23 + 2c3u ΩR3 − Ω2 R32 ) +
(R − R22 )
2
2
22 3
ρ
ρ 2
ρΩ 22
p3 = p1 + (c21 − c2 + (R3 − R2 )
c22 ) + (
Ω2R2 − c23 + 2c3u ΩR3 − Ω2R32 ) + 2
2
2
p3 = p1 +
ρ 2
c1 − c23 + 2c3u ΩR3
2
Entre (3) y (4) usamos la ecuaciónde Bernoulli para terna fija:
ρ
p3 + c23 = p3 +
2
p 4 = p3 +
p4
ρ 2
c
2 3
ρ 2
c3 − c24
2
ρ
ρ 2
2
2
2
= p1 +
c − c + 2c3u ΩR3 +
c − c4
2 1 3
2 3
p4 = p1 +
ρ 2
c1 − c24 + 2c3u ΩR3
2
(7.3)
5
67.18 – Mecánica de Fluidos
Cálculo de la potencia
Podemos considerar al conjunto como un problema de conservación de la energı́a
en terna fija. Debe cumplirse:
RRR 1 2

K
=


RRR V 2 ρu dV

D(K + E)
E = RRRV ρeint dV
RR
=P +Q
P = RRRV ρ~g · ~v dVRR+ S ~t · ~v ds

Dt


Q=
rdV − S ~q · ~nds
V
No hay flujos de calor ni reacciones quı́micas, Q → 0
DE
= 0 La energı́a
Sin fricción e incompresible →
Dt
interna varı́a según:
ρ
D(eint ) ~ ~~
= ~σ : E + r−
div(~
q)
Dt
→
~~σ = −pI~~ + P~~
~~
~ ~~
~~σ : E
= −pI~ : E
= −pdiv(~v ) = 0
por ser no viscoso e incompresible. → ρ
D(eint )
=0
Dt
DK
=P
Dt
ZZZ
ZZ
∂
ρ 2
ρ 2
=
c dV +
c (~c~n)ds
∂t
V 2
S 2
2
c4 c21
= ṁ
−
2
2
ZZ
ZZ
ZZ
P =
~c · ~tds =
−p~c · ~nds +
~c · ~tds
S
Si +So
ST
|
{z
}
DK
Dt
DK
Dt
PT
P =
ṁ
(p1 − p4 ) + PT
ρ
6
Problemas de la ecuación de Bernoulli
ṁ
c24 c21
−
2
2
PT
ṁ
(p1 − p4 ) + PT
ρ
2
c4 c21 p4 − p1
= ṁ
− +
2
2
ρ
=
reemplazando con nuestro resultado para p4 7.4
PT = ṁΩR3 cu3
(7.4)
Verificamos la ecuación de Euler para turbinas:
T = ṁ(R3 cu3 − R2 cu2
siendo (3) la salida y (2) la entrada, en nuestro caso cu2 = 0 luego,
T = ṁ(R3 cu3
P = T Ω = ṁΩR3 cu3 Ω
T = ṁΩR3 cu3
Ejercicio 7.7. Determinar el tiempo necesario para
que el lı́quido en el recipiente cilı́ndrico de la figura
llegue al nivel h1 en función del caudal de entrada
Q1 constante en el tiempo, si en el instante inicial se
encuentra vacı́o.
7