07 propiedades de transporte

FES. Propiedades de transporte
La ecuación de Boltzmann
El movimiento de un portador en un metal o semiconductor está condicionado por un lado por
presencia de campos externos (eléctricos, magnéticos), gradientes de temperatura y por otro por la
colisiones que sufren los portadores con las impurezas, vibraciones reticulares, ect. Unos efectos actúan
acelerando el portador y otros frenándolo. Un balance de todos estos efectos conduce a establecer la
ecuación de transporte de Boltzmann para los sólidos.
La situación no es muy diferente a la que se establecer la estudiar los fenómenos de transporte en gases
. Hay dos diferencias principales.
1. En sólidos se usa la estadística de Fermi-Dirac en lugar de usar la de Maxwell-Boltzmann.
2. En sólidos las colisiones se dan entre partículas de diferente naturaleza: electrón-impureza y
electrón-fonón (vibración reticular).
Las aplicaciones de esta teoría son variadas. De nuevo se trabaja en el límite clásico de teoría cuántica
en la que los portadores vienen descritos por un paquete de ondas, y la evolución de las magnitudes
que describen este paquete (k) siguen ecuaciones clásicas.
En este idea consideraremos nuestra distribución de portadores caracterizado por las magnitudes
posición espacial (r) y por su estado descrito por el vector de ondas k.
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Estudiaremos la función fk(r,t), definida como: probabilidad de que un electrón ocupe un
estado por unidad de volumen para un vector de onda k y una orientación de dada de spin
en las proximidades del punto r en el tiempo t.
En todos los problemas que estudiaremos consideraremos a los electrones partículas
(metales) y admitiremos que fk(r,t) tiene el mismo valor para las dos posibilidades de
orientación de spin.
En las situaciones de equilibrio termodinámico la función fk(r,t) tiende a la de Fermi Dirac
fk0 y para débiles desequilibrios (como los que vamos a considerar) difiere poco de la de
Fermi-Dirac
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Deducción de la ecuación de Boltzmann en la aproximación tiempo de relajación
Aproximación tiempo
de relajación
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Conductividad eléctrica en metales
Es obvio que en el metal en ausencia de campo eléctrico no hay flujo neto de portadores. Este hecho se debe a que por
cada electrón con una determinada cantidad de movimiento, existe otro con la misma cantidad de movimiento en
sentido opuesto. (simetría primera zona de Brillouin)
Si embargo cuando se aplica un campo eléctrico p ya no se anula. Bajo un campo de esta naturaleza, cada electrón
experimenta una fuerza en la misma dirección, acelerándose los electrones de valencia generándose una corriente.
Para determinar la conductividad eléctrica usaremos la ecuación de Boltzmann suponiendo campo magnético nulo y
situación estacionaria.
Notación
E ε
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La aplicación del campo eléctrico desplaza la esfera de Fermi un cantidad dad por
proporcional al campo. Además la distribución de Fermi-Dirac solo difiere de la de equilibrio
en la vecindad de la esfera de Fermi
ε
Desarrollo en serie de Taylor de fk
Se usa
2
k
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Por tanto la integración en el espacio de las k la hemos transformado a una integral
sobre superficies de energía constante
Ejemplo: conductividad eléctrica en un metal isótropo
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-
Solo los electrones cercanos al nivel
de Fermi contribuyen en la
conducción del sólido
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Conductividad Térmica (Ley de Fourier): Ley de Wiedemann-Franz
La conductividad térmica en los sólidos es debida al efecto combinado de electrones y
vibraciones reticulares . En aislantes y semiconductores la conductividad está dominada
por las vibraciones reticulares (fonones). Sin embargo en metales los electrones juegan un
papel muy importante. Calcularemos en esta sección la conductividad vinculada a los
electrones del sistema.
Donde E es la energía térmica asociada a cada electrón. Desde un punto de vista
atomístico la corriente eléctrica es un movimiento de partículas cargadas y la
“corriente” térmica un desplazamiento de la energías contenida en las partículas.
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Particularizando al caso de
un gradiente de
temperatura en el eje x
Se calculan ahora los gradientes en r t k para espesarlos en función del campo
eléctrico y el gradiente de temperaturas y poder calcular los flujos de corriente t y
calor
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3/2 n
n
Por tanto se iguala la corriente eléctrica a cero y el resultado se sustituye
en la ecuación para el flujo de calor
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Se demuestra la ley de Wiedemann- Franz que ya vimos en el caso
de los electrones libres
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Conductividad Térmica (Ley de Fourier): Interpretación de los resultados
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Efectos termoeléctricos: Efectos Seebeck, Peltier y Thomson
Son una consecuencia de las relaciones previamente establecidas entre la presencia de una
gradiente de temperatura y la conducción eléctrica.
Se utilizan en variadas aplicaciones:
•
•
•
•
•
•
Termopares
Estabilización de temperaturas (detectores Ge, PbS, PbSe, células CCD).
Refrigeración de instrumentación científica.
Equipamiento médico
Refrigerados portátiles, sistemas aeroespaciales.
Disipadores térmicos en informática (CPU, circuitos integrados).
Las principales ventajas de estos sistemas son:
Rápido intercambio térmico
Nulo ruido eléctrico
Espacio reducido del sistema (tamaño y peso)
Insonoro, no hay vibraciones
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Efecto Seebeck
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Para poder cuantificar estos efectos se parte de las ecuaciones deducidas
en el cálculo de la conductividad térmica y que relacionaban la corriente y
el flujo de calor
Donde E es el poder termoelécrico del metal
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Efecto Peltier
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Donde Π es el coeficiente Peltier del metal
En una sistema en el que hay dos metales unidos se establecerá
un flujo térmico (Πa- Πb)Jn que es emitido en una unión y
absorbido en la otra.
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Efectos termomagnetoeléctricos:
Efectos que aparecen cuando una corriente
eléctrica y/o una corriente de origen térmico
circulan en dirección perpendicular a un campo
magnético aplicado.
Los coeficientes R. N, Et, y Lt son coeficientes
asociados a cada tipo de efecto. Su valor puede
deducirse del estudio de la ecuación de Boltzmann.
Estudiaremos el caso del efecto Hall suponiendo
bajos campos magnéticos (max 104 G) de forma
que tenemos una pequeña perturbación en la que
tiene validez la aproximación tiempo de relajación.
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Efecto Hall
El efecto consiste en la aparición de una diferencial
de potencial en la dirección perpendicular a la de
la corriente y campo magnéticos aplicados.
Este efecto se utiliza por ejemplo para:
1. Medir a través de la constante Hall la concentración de portadores y su signo.
2. La determinación de la movilidad de los portadores y los mecanismos de colisión a
través de la medida de la constante de Hall y la conductividad eléctrica.
3. Medición de campos magnéticos en imanes permanentes.
4. Medidas de H y J.
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Obtención de la tensión Hall y ángulo de Hall
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Por tanto se obtiene el mismo resultado que para el caso de electrones libres, si bien se
obtiene que los tiempos de relajación están evaluados en las proximidades de la
superficie de Fermi y además se sabe que la masa debe ser sustituida por la masa
efectiva de los portadores.