Geometría en el espacio

Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
El espacio
cartesiano
Distancia
entre dos
puntos
Geometría en el espacio
Puntos y Vectores
Vectores en
el espacio
Laura Hidalgo Solís
Universidad Autónoma Metropolitana
Unidad Iztapalapa
16 de Marzo de 2012
Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
Introducción
El espacio
cartesiano
Distancia
entre dos
puntos
Vectores en
el espacio
En Geometría analítica plana las relaciones y las
propiedades geométricas se expresan por medio de
ecuaciones que contienen, en general, dos variables. En
Geometría analítica del espacio, en cambio, tales
ecuaciones contienen, en general, tres variables, y, es
evidente, que la presencia de esta variable adicional traerá
una mayor complicación analítica que las relaciones con el
plano . Además, la tercera dimensión de la Geometría
analítica del espacio exigirá más trabajo para poder de
visualizar las figuras en el espacio que el que requiere para
figuras en el plano.
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El espacio
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Distancia
entre dos
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Vectores en
el espacio
El espacio cartesiano
Sea R3 el conjunto de ternas ordenadas de números reales,
esto es,
R3 = R × R × R = {(x, y , z); x ∈ R, y ∈ R, y z ∈ R}.
Dadas dos ternas ordenadas (x, y , z), (x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ R3 son
iguales si, y sólo si x = x 0 , y = y 0 y z = z 0 .
Como veremos, cada terna ordenada (x, y , z) ∈ R3 se
puede asociar de manera única con un punto del espacio, y
cada punto del espacio se puede asociar en forma única
con una terna ordenada de números reales mediante un
sistema de coordenadas cartesianas rectangular en tres
dimensiones.
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cartesiano
Distancia
entre dos
puntos
Vectores en
el espacio
Consideremos tres planos mutuamente perpendiculares
que se cortan en el punto común 0, tal como se indica en la
siguiente figura:
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entre dos
puntos
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el espacio
Como el punto en el espacio va a localizarse con referencia
a estos elementos, los planos se llaman planos
coordenados, las rectas de intersección de estos planos se
llaman ejes coordenados. El punto de intersección de los
tres planos ~0 = (0, 0, 0) es el origen del sistema de
coordenadas rectangulares.
Teniendo lo anterior estamos en libertad de designar los
ejes coordenados como queramos. Un convenio es el
indicado en la figura anterior; se dice entonces que el
sistema de coordenadas es un sistema de mano derecha.
Los ejes coordenados son:
2
El eje x es la recta determinada por ~0 y x.
El eje y es la recta determinada por ~0 y y .
3
El eje z es la recta determinada por ~0 y z.
1
Su dirección positiva está indicada en cada uno de los ejes
por una flecha.
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Cada plano coordenado se designa por los dos ejes
coordenados que contiene. Así, el plano coordenado que
contiene al eje x y al eje y se llama plano xy ;
análogamente, tenemos los planos xz y yz. Los tres planos
coordenados dividen el espacio en ocho regiones llamadas
octantes. El octante determinado por las partes positivas de
los ejes coordenados se llama primer octante; no se
acostumbra asignar ningún número a los siete octantes
restantes, sin embargo se identifican mediante los signos
de las componentes de ls ternas coordenadas a las que
están asociados, como (+, −, +).
En la práctica, no es necesario representar el sistema de
coordenadas trazando los planos coordenados como
aparecen en la figura anterior; será suficiente trazar
solamente los ejes coordenados, además marcamos una
unidad, como se indica en la siguiente figura:
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Distancia
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el espacio
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Distancia
entre dos
puntos
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el espacio
Sea P un punto cualquiera del espacio. Su posición puede
determinarse haciendo pasar por P planos paralelos a los
tres planos coordenados y considerando los puntos a, b y c
en que cortan a los ejes x, y y z, respectivamente. Estos
planos, juntos con los planos coordenados forman un
paralelepipedo rectangular recto, como muestra la siguiente
figura:
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Evidentemente, la posición de P con relación al sistema de
coordenadas está determinada por sus distancias a los
planos coordenados. Estas distancias están dadas por las
longitudes de los segmentos dirigidos 0a, 0b y 0c, llamados
a, b y c respectivamente. Entonces los tres números reales
a, b y c constituyen la coordenada x, la coordenada y y la
coordenada z de P. Cada coordenada se mide, a partir del
origen ~0 sobre el eje coordenado correspondiente, y es
positiva o negativa según sí su dirección es la misma o la
opuesta a la de la dirección positiva del eje. En este caso
decimos que P tiene coordenadas (a, b, c).
Reciprocamente, si consideramos coordenadas (a, b, c)
podemos asignar un punto P en el espacio construyendo
un paralelepipedo usando los planos cartesianos y los
planos paralelos a estos por los puntos a, b y c marcados
sobre los ejes x, y y z respectivamente.
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Resumiendo, podemos decir:
Observación:
Un punto P en el espacio tiene una y solamente una terna
de coordenadas (x, y , z) relativa a un sistema coordenado
rectangular especificado . Reciprocamente, una terna de
coordenadas (x, y , z) determina uno y solamente un punto
P en el espacio con respecto a un sistema coordenado fijo.
Por tanto, podemos decir que un sistema de coordenadas
rectangulares en el espacio establece una correspondencia
biunívoca entre cada punto del espacio y una terna
ordenada de números reales.
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Distancia entre dos puntos
La distancia que separa a dos puntos en el espacio se
obtiene aplicando el Teorema de Pitágoras dos veces, si
S(x1 , y1 , z1 ) y T (x2 , y2 , z2 ) son dos puntos en el espacio,
entonces la distancia de S a T , que denotaremos d(S, T )
está dada por
q
d(S, T ) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .
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Si S(x1 , y1 , z1 ) T (x2 , y2 , z2 ) y consideramos los puntos
auxiliares U(x2 , y1 , z1 ) y V (x2 , y2 , z1 ) al considerar el
triángulo rectángulo ∆SUV tenemos que
q
d(S, V ) = d(S, U)2 + d(U, V )2
por otra parte, si consideramos el triángulo rectángulo
∆SVT , entonces
q
d(S, T ) = d(S, V )2 + d(V , T )2
es decir
d(S, T ) =
=
q
d(S, U)2 + d(U, V )2 + d(V , T )2
q
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
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entre dos
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Ejemplo
Los puntos S(3, 5, 2), T (2, 3, −1) y U(6, 1, −1) son los
vértices de un triángulo rectángulo, ya que:
d(S, T ) =
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el espacio
=
d(S, U) =
=
d(T , U) =
=
q
(3 − 2)2 + (5 − 3)2 + (2 − (−1))2
√
12 + 22 + 32 = 14.
q
(3 − 6)2 + (5 − 1)2 + (2 − (−1))2
p
√
32 + 42 + 32 = 34.
q
(2 − 6)2 + (3 − 1)2 + (−1 − (−1))2
p
√
42 + 22 + 02 = 20
p
entonces
d(S, U)2 = d(S, T )2 + d(T , U)2
ya que
34 = 14 + 20.
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División de un segmento en
una razón dada
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De manera análoga a la realizada en R2 tenemos:
Propiedad 1
Si Pl (x1 , yl , z1 ) y P1 (x2 , y2 , z2 ) son los extremos de un
segmento dirigido P1 P2 , las coordenadas (x, y , z) de un
punto P que divide a este segmento en la razón
r = P1 P : PP2 son
x=
y1 + ry2
z1 + rz2
x1 + rx2
, y=
, y +z =
1+r
1+r
1+r
para r 6= 1
La demostración se deja como ejercicio.
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Como consecuencia de la propiedad anterior tenemos que
las coordenadas del punto medio del segmento que une los
puntos P1 (x1 , y1 , z1 ) y P2 (x2 , y2 , z2 ) son
x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2
,
,
.
2
2
2
Por ejemplo, el punto medio de S(1, 3, 5) y T (−5, −7, 1)
está dado como
1−5 3−7 5+1
,
,
M=
= (−2, −2, 3) .
2
2
2
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Cada terna ordenada de números reales (v1 , v2 , v3 ) se
puede asociar a una traslación en el espacio, tal como a
cada par ordenado de números reales se le puede asociar
una traslación en el plano.
Si S(x1 , y1 , z1 ) y T (x2 , y2 , z2 ) son dos puntos en R3 el vector
geométrico ~v = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) representa a la
traslación del punto S al punto T . Se dice que S es el punto
inicial del vector geométrico ~v , y que T es el punto final del
vector geométrico ~v .
Si el punto inicial de un vector geométrico es el origen
O(0, 0, 0), entonces se dice que el vector está en posición
ordinaria, y que es la representación ordinaria del vector
correspondiente.
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Norma de un vector
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La norma k~v k de un vector ~v = (v1 , v2 , v3 ) en R3 se define
como
q
~
kv k = v12 + v22 + v32 .
La norma de un vector en R3 se puede interpretar como la
longitud de cualquiera de sus representaciones
geométricas, es decir, la distancia que hay entre el punto
inicial y el punto final del vector.
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Operaciones entre vectores
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Si ~v = (v1 , v2 , v3 ) y ~u = (u1 , u2 , u3 ) son dos vectores en R3
y λ ∈ R entonces se definen:
1
La suma de vectores
~v + ~u := (v1 + u1 , v2 + u2 , v3 + u3 ),
2
El producto de un vector por un escalar:
λ~v := (λv1 , λv2 , λv3 ).
3
El producto punto (o producto interior) de dos vectores
~v · ~u := v1 u1 + v2 u2 + v3 u3 .
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Propiedades
~ = (w1 , w2 , w3 ) ∈ R3 ,
Si ~v = (v1 , v2 , v3 ), ~u = (u1 , u2 , u3 ), w
λ, µ ∈ R entonces se satisfacen las siguientes propiedades:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
~u + ~v ∈ R3 . La suma es cerrada.
~u + ~v = ~v + ~u . La suma es conmutativa.
~u + (~v + w
~ ) = (~u + ~v ) + w
~ . La suma es asociativa.
∃~0 tal que ∀~v ~0 + ~v = ~v . Existe neutro aditivo.
∀~v ∈ R3 ∃ − ~v ∈ R3 tal que ~v + (−~v ) = ~0. Existe
inverso aditivo.
λ~v ∈ R3 . El producto por escalares es cerrado.
λ(~u + ~v ) = λ~u + λ~v . El producto por escalares
distribuye con respecto a la suma de vectores.
(λ + µ)~v = λ~v + µ~v . El producto por escalares
distribuye con respecto a la suma.
(λµ)~u = λ(µ~u ). Asociatividad.
1~u = ~u . Idéntico multiplicativo.
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Propiedades del producto
punto
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~ = (w1 , w2 , w3 ) ∈ R3 ,
Si ~v = (v1 , v2 , v3 ), ~u = (u1 , u2 , u3 ), w
λ ∈ R entonces
1 ~
v · ~v = k~v k2 .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
~u · ~v = ~v · ~u .
λ(~u · ~v ) = (λ~u ) · ~v .
kλ~v k = |λ|k~v k.
~u · (~v + w
~ ) = ~u · ~v + ~u · w
~.
2
2
2
k~u + ~v k = k~u k + k~v k + 2~u · ~v .
k~u − ~v k2 = k~u k2 + k~v k2 − 2~u · ~v .
|~u · ~v | ≤ k~u kk~v k. (Desigualdad de Schwartz).
k~u + ~v k ≤ k~u k + k~v k. (Desigualdad del triángulo).
k~u kk~v k cos θ = ~u · ~v , donde θ es el ángulo formado por
los vectores ~u y ~v .
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Cosenos directores
R3
Si ~v ∈
y λ ∈ R, entonces ~v y λ~v tienen la misma
dirección y el mismo sentido si λ ≥ 0 pero tienen sentidos
opuestos si λ < 0. En ambos casos se dice que ~v y λ~v son
vectores paralelos. Se ha visto que la dirección de un vector
en R2 \ {~0} queda determinado por la medida del ángulo
que forma la parte positiva del eje x con la representación
geométrica ordinaria del vector.
La dirección de un vector ~v ∈ R3 \ {~0} queda determinada
por tres ángulos de dirección, cada uno de los cuales
separa a la representación geométrica ordinaria de una de
las partes positivas de los ejes de coordenadas. Estos
ángulos de dirección se denotan normalmente mediante las
letras griegas de la siguiente manera: α es el ángulo de
dirección con respecto a la parte positiva del eje x; β es el
ángulo de dirección con respecto a la parte positiva del eje
y ; γ es el ángulo de dirección con respecto a la parte
positiva del eje z.
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En particular, si ~v 6= ~0 entonces los cosenos directores de ~v
están dados por
cos α =
v2
v3
v1
, cos β =
, cos γ =
k~v k
k~v k
k~v k
si restringimos α, β y γ al intervalo [0, π], los ángulos de
dirección quedan determinados en forma única por los
cosenos directores.
Además, es fácil verificar que
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
Consecuentemente
(cos α, cos β, cos γ) =
~v
,
k~v k
es un vector unitario en la dirección de ~v .
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Si los vectores no nulos ~u , ~v son paralelos, es decir
∃λ ∈ R \ {0} tal que ~u = λ~v , entonces los vectores tienen o
bien los mismos cosenos directores, o los cosenos
directores de ~u son los negativos de ~v . Reciprocamente, si
los vectores no nulos ~u , ~v tienen los mismos cosenos
directores, o bien los cosenos directores de uno de ellos
son los negativos de los del otro, entonces ~u es un múltiplo
escalar de ~v , es decir, ~u y ~v son paralelos.
Si ~u = λ~v = (λv1 , λv2 , λv3 ), los cosenos directores de ~u
están dados por
cos α =
v1
λv2
v2
λv3
v3
λv1
=±
, cos β =
=±
, cos γ =
=±
kλv k
kv k
kλv k
kv k
kλv k
kv k
en donde el signo se toma positivo si λ > 0, y negativo si
λ < 0. Pero estos son los cosenos directores de ~v o sus
negativos.
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Reciprocamente, si los vectores no nulos ~u = (u1 , u2 , u3 ),
~v = (v1 , v2 , v3 ) tienen cosenos directores iguales, o bien,
los cosenos directores de uno son los negativos del otro,
entonces
u1
v1
v2
v3
u2
u3
=±
=±
=±
,
,
kv k k~u k
kv k k~u k
kv k
k~u k
Distancia
entre dos
puntos
Vectores en
el espacio
es decir,
u1 = ±
ku2 k
ku3 k
ku1 k
v1 , u2 = ±
v2 , u3 = ±
v3
kv k
kv k
kv k
de donde
~u = ±
k~u k
~v .
k~v k
k~u k
es
k~v k
un escalar no nulo, por lo que ~u es un múltiplo escalar no
nulo de ~v .
Como ~u y ~v son vectores no nulos, entonces λ = ±
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Concluimos así que
Distancia
entre dos
puntos
Propiedad
Vectores en
el espacio
Los vectores no nulos ~u y ~v son paralelos si y sólo si ~u y ~v
tienen los mismos cosenos directores, o bien, los cosenos
directores de ~u son los negativos de los cosenos directores
de ~v .
Si los cosenos directores son iguales, ~u y ~v tienen el mismo
sentido; si los cosenos directores son los unos el negativo
de los otros, ~u y ~v tienen sentidos opuestos.
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puntos
Vectores en
el espacio
Por ejemplo, podemos obtener un vector ~u con k~u k = 8 y
~
que tiene el mismo sentido
que el vector
√
√ v = (1, 2, 5).√
2
2
2
Notamos que kv k = 1 + 2 + 5 = 1 + 4 + 25 = 30,
por lo que
~v
1
2
5
= √ ,√ ,√
(cos α, cos β, cos γ) =
,
k~v k
30 30 30
de donde
~u = k~u k(cos α, cos β, cos γ) =
16 40
8
√ ,√ ,√
30 30 30
.
~ de norma 8 y que tiene sentido
Mientras que el vector w
~
opuesto a v es
8
16
40
~ = −kw
~ k(cos α, cos β, cos γ) = − √ , − √ , − √
w
.
30
30
30
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puntos
Vectores en
el espacio
Vectores paralelos y
perpendiculares
Si ~u y ~v son dos vectores no nulos en R3 , entonces el
ángulo que forman se puede especificar de la misma
manera que el ángulo que forman dos vectores en R2 .
Consideremos las representaciones geométricas ordinarias
de los vectores ~u y ~v
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puntos
Si ~u y ~v no son paralelos, entonces los vectores ~u , ~v y ~u − ~v
tienen representaciones geométricas que forman un
triángulo. Empleando la ley de los cosenos se tiene que
k~u − ~v k2 = k~u k + k~v k − 2k~u kk~v k cos θ
Vectores en
el espacio
de donde
2k~u kk~v k cos θ = k~u k + k~v k − k~u − ~v k2 = 2~u · ~v
esto es
cos θ =
~u · ~v
.
k~u kk~v k
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Vectores en
el espacio
Como consecuencia de lo visto anteriormente, podemos
concluir lo siguiente:
Propiedad
Sean ~u , ~v ∈ R3 \ {~0} en posición ordinaria.
Los vectores ~u y ~v son paralelos si y sólo si forman un
ángulo de 0 o π radianes, es decir, si y sólo si cos θ = ±1.
Los vecotres ~u , ~v son perpendiculares si y sólo si la medida
del ángulo comprendido entre ellos es de π/2 radianes,
esto es, si y sólo si cos θ = 0, si y sólo si ~u · ~v = 0.
Este último resultado puede extenderse al vector cero, así
dos vectores son perpendiculares cuando ~u · ~v = 0, sean o
no ~u y ~v el vector cero.
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La definición de los términos proyección vectorial,
componente vectorial, proyección escalar, componente
escalar de vectores en R3 es análoga a la que se hace para
vectores en R2
Consideremos dos vectores no nulos ~u , ~v ∈ R3 y el
segmento que pasa por el punto final V (x, y , z) de ~v y que
es perpendicular a la recta que contiene al vector ~u .
El vector cuya representación geométrica va del punto
inicial de ~v al pie de la perpendicular antes mencionada
recibe el nombre de proyección vectorial de ~v sobre ~u , o
bien, se dice que es la componente vectorial de ~v paralela a
~u . La distancia dirigida formada por la longitud de esta
proyección vectorial es la proyección escalar de ~v sobre ~u ,
o la componente escalar de ~v paralela a ~u , y se denota con
el símbolo Comp~u ~v .
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Es evidente que
Comp~u ~v = k~v k cos θ
donde θ es el ángulo formado por ~u y ~v .
Como
~u · ~v
cos θ =
~
ku kk~v k
entonces
Comp~u ~v = k~v k cos θ = k~v k
~u · ~v
~u · ~v
=
k~u kk~v k
k~u k
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Por ejemplo, la componente escalar de ~v = (1, 3, 5) paralela
a ~u = (1, −2, 2) está dada por
Vectores en
el espacio
Comp~u ~v =
~u · ~v
(1, 3, 5) · (1, −2, 2)
1 − 6 + 10
5
=
=√
=
k(1, −2, 2)k
3
k~u k
1+4+4
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El producto vectorial de dos
vectores
Como consecuencia de lo visto anteriormente, si
~u = (u1 , u2 , u3 ) ∈ R3 es un vector no nulo, existe una
infinidad de vectores ~v = (x, y , z) perpendiculares a ~u , esto
es, tales que 0 = ~u · ~v = u1 x + u2 y + u3 z, para una infinidad
de puntos (x, y , z). Por ejemplo, los siguientes vectores son
perpendiculares a ~u y, en general, no son paralelos:
(0, −u3 , u2 ), (−u3 , 0, u1 ), (−u2 , u1 , 0)
Por lo que no existe un “único” vector perpendicular como
en R2 (salvo múltiplos escalares).
Cabe entonces preguntarnos, si ~u = (u1 , u2 , u3 ) y
~v = (v1 , v2 , v3 ) son las representaciones geométricas
ordinarias de dos vectores no paralelos ¿habrá un vector no
~ que sea perpendicular tanto a ~u como a ~v ?
nulo w
~ = (x, y , z), ¿Qué condiciones se deben
Es decir, si w
~ = ~v · w
~ = 0?
cumplir para que ~u · w
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Claramente, esto nos plantea un sistema homogéneo de
dos ecuaciones con tres incógnitas, a saber:
u1 x + u2 y + u3 z = 0
v1 x + v2 y + v3 z = 0
o equivalentemente, escribiendo a x y y en términos de z
tenemos el sistema no homogéneo 2 × 2:
u1 x + u2 y
= −u3 z
v1 x + v2 y
= −v3 z
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Si
u1 u2 v1 v2 6= 0
se puede aplicar la regla de Cramer para obtener la única
solución del sistema de ecuaciones anterior, esto es:
−u3 z u2 u1 −u3 z −v3 z v2 v1 −v3 z , y= x= u1 u2 u1 u2 v1 v2 v1 v2 Como el multiplicar a cada elemento de una columna (o
renglón) de un determinante por un escalar es equivalente
a multiplicar el determinante por ese escalar, y el
intercambiar dos columnas de un determinante es
equivalente a multiplicar el determinante por 1 las
ecuaciones anteriores se pueden escribir como:
Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
El espacio
cartesiano
Distancia
entre dos
puntos
Vectores en
el espacio
u3 u1 u2 u3 v3 v1 v2 v3 z, y = z
x=
u1 u2 u1 u2 v1 v2 v1 v2 u1 u2 , donde k ∈ R es una constante
haciendo z = k v1 v2 arbitraria, podemos escribir esta solución en forma
simétrica como
u2 u3 u3 u1 u1 u2 (x, y , z) = ,
,
v2 v3 v3 v1 v1 v2 u1 u2 = 0 pero uno de los otros determinantes que
Si v1 v2 aparece en esta expresión es diferente de cero, se puede
despejar a x y z, o bien, a y y z en términos de la tercera
variable, y se obtiene nuevamente la forma simétrica. Por lo
tanto
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cartesiano
Distancia
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puntos
Vectores en
el espacio
Propiedad
~u = (u1 , u2 , u3 ) y ~v = (v1 , v2 , v3 ) son vectores no nulos, y no
todos los determinantes
u2 u3 u3 u1 u1 u2 , , v2 v3 v3 v1 v1 v2 ~ = (x, y , z) es perpendicular
son cero, entonces el vector w
~
~
tanto a u como a v si y sólo si existe λ ∈ R tal que
(x, y , z) = λ(~u × ~v )
donde
~u × ~v =
u2 u3 u3 u1 u1 u2 , , v2 v3 v3 v1 v1 v2 Geometría en
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Distancia
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puntos
Vectores en
el espacio
Para cualesquiera dos vectores ~u = (u1 , u2 , u3 ) y
~v = (v1 , v2 , v3 ) en R3 , el vector ~u × ~v recibe el nombre de
producto vectorial o producto cruz de ~u y ~v .
Si i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1), entonces
u1 u2 u3 u1 u2 u3 i + ~u × ~v = v3 v1 j + v1 v2 k
v2 v3 i
j
k
= u1 u2 u3 v1 v2 v3 Geometría en
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puntos
Vectores en
el espacio
Propiedades
~ , ~r , ~s sn vectores en el espacio, entonces:
Si ~u , ~v , w
u × ~v = −~v × ~u .
1 ~
~
~ ) = ~u × ~v + ~u × w
~ Propiedad distributiva.
2 u × (~
v +w
3 ~
u × (λ~v ) = (λ~u ) × ~v = λ(~u × ~v ) para cada λ ∈ R.
Propiedad asociativa
escalar.
u1 u2 u3 ~ ) = v1 v2 v3 . Este número es el triple
4 ~
u · (~v × w
w1 w2 w3 producto escalar.
5 (~
u × ~v ) · (~u × ~v ) = (~u · ~u )(~v · ~v ) − (~u · ~v )2 .
6 k~
u × ~v k = k~u kk~v k sen θ, donde θ es el ángulo formado
por ~u y ~v . Por lo tanto, si ~u y ~v no son paralelos, k~u × ~v k
es el área de la región acotada por el paralelogramo la
cual dos de sus lados adyacentes son las
representaciones geométricas de los vectores ~u y ~v .
7 (~
u × ~v ) · (~r × ~s) = (~u · ~r )(~v · ~s) − (~u · ~s)(~v · ~r ) Identidad
de Lagrange.
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A continuación demostraremos que las identidades (5) y
(6), las demas identidades se dejan como ejercicio:
~ ∈ R3 sabemos que
Para cada ~u , ~v , w
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cartesiano
u1
~u · (~v × w
~ ) = v1
w1
Distancia
entre dos
puntos
Vectores en
el espacio
u2
v2
w2
u3
v3
w3
.
de donde
k~u × ~v k2
=
=
=
=
=
(~u × ~v ) · (~u × ~v )
u2 v3 − u3 v2 u3 v1 − u1 v3 u1 v2 − u2 v1
u1
u2
u3
v1
v2
v3
u2 u3 − (u3 v1 − u1 v3 ) (u2 v3 − u3 v2 ) v2 v3 u1 u1 +(u1 v2 − u2 v1 ) v1 v2 u1
v1
u3 v3 (u2 v3 − u3 v2 )2 + (u3 v1 − u1 v3 )1 + (u1 v2 − u2 v1 )2
(~u · ~u )(~v · ~v ) − (~u · ~v )2
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El espacio
cartesiano
Distancia
entre dos
puntos
Vectores en
el espacio
es decir, k~u × ~v k2 = (~u · ~u )(~v · ~v ) − (~u · ~v )2 .
k~u × ~v k2 = (~u · ~u )(~v · ~v ) − (~u · ~v )2
= k~u k2 k~v k2 − (k~u kk~v k cos θ)2
= k~u k2 k~v k2 (1 − cos2 θ)
= k~u k2 k~v k2 sen2 θ
Concluimos de aquí que
k~u × ~v k = k~u kk~v k sen θ
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Distancia
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puntos
Vectores en
el espacio
Sabemos que el área A del paralelogramo es
A = base × altura = k~u kh, pero sen θ = k~vhk , de donde
A = k~u kk~v k sen θ.