Péndulo de torsión

Introducción a la Fı́sica Experimental
Guı́a de la experiencia
Péndulo de torsión.
Momentos de Inercia
Departamento de Fı́sica Aplicada.
Universidad de Cantabria.
Febrero 28, 2005
Tenga en cuenta que la lectura previa de esta guı́a y la comprobación de
las ecuaciones le llevará del orden de tres horas, incluyendo la consulta
de las palabras clave, y que la lectura de la bibliografı́a especı́fica en inglés
le llevará entre una y dos horas.
Resumen
Se muestra cómo mediante experimentos con un péndulo de torsión
(resorte espiral) es posible obtener los momentos de inercia de diferentes cuerpos. Ası́ mismo, cómo se puede verificar que el momento
de inercia depende de la distribución de las masas respecto al eje
de giro. Finalmente, se indica cómo comprobar el teorema de los
ejes paralelos (teorema de Steiner) a partir de la variación de la
distancia de masas móviles respecto del eje de rotación.
Introducción
Cuando se sitúa un cuerpo rı́gido 1 solidario con un eje vertical unido a un
resorte (muelle espiral horizontal) y el cuerpo se hace girar un cierto ángulo
φ, respecto a la posición de equilibrio, el resorte se expande (o comprime) y
ejerce un momento de restitución ~τ sobre el cuerpo,
~,
~τ = ~r × F
(1)
~ la fuerza recuperadora.
donde ~r es el vector desplazamiento y F
Este dispositivo constituye un péndulo de torsión (Fig. 1). Para ángulos
de giro pequeños, el módulo r ≡ |~r| es proporcional al ángulo, r α φ, y, de
acuerdo con la Ley de Hooke, el módulo de este momento τ es proporcional al
1
Consulte y escriba la definición de todos los conceptos que aparecen en letra cursiva en este
texto.
1
(d)
(re)
(1)
Figura 1: Montaje experimental para medir momentos de inercia mediante un péndulo de
torsión por el método estático. (1) Péndulo de torsión con resorte espiral (re), barra y
dinamómetro (d).
ángulo de giro siendo la constante de proporcionalidad, constante restauradora
angular o constante de torsión del muelle, D, con
τ = −D·φ .
(2)
El sistema conjunto plataforma más resorte acumula una cierta cantidad
de energı́a inicialmente y cuando el conjunto se deja libre, esa energı́a se va distribuyendo entre la energı́a cinética de rotación de la plataforma, TR = Iω 2 /2,
siendo I el momento de inercia de la misma y ω su velocidad angular, y la
energı́a elástica del resorte TE = κθ2 /2, siendo κ su constante elástica y θ el
ángulo girado. En la Fig. 2 se muestran las diferentes energı́as de un experimento con un péndulo de torsión.
La aplicación de un momento sobre un péndulo de torsión hace que éste
realice oscilaciones en torno a su posición de equilibrio con un perı́odo T que
viene dado por,
s
IZ
T = 2π
(3)
D
siendo IZ el momento de inercia del cuerpo cuando el eje de giro es paralelo a
la dirección z. Por tanto, el péndulo de torsión permite obtener el momento de
inercia de un cuerpo determinando experimentalmente su perı́odo de oscilación,
una vez conocida la constante D.
Descripción del material
Para llevar a cabo este tipo de experiencias se utiliza el siguiente material
(Figs. 1 y 3):
1. Un eje de torsión con un muelle espiral horizontal [(re) en Fig. 1 ]
2
(a)
TR/J
(b)
TE /J
(c)
T /J
Figura 2: Distribución de energı́a en un péndulo de torsión. (a) Energı́a cinética de rotación
de la plataforma. (b) Energı́a potencial de torsión del resorte. (c) Energı́a total del sistema
conjunto plataforma-resorte.
2. Trı́pode
3. Una varilla metálica con dos masas móviles
4. Disco soporte
5. Dinamómetro [(d) en Fig. 1 ]
6. Barrera fotoeléctrica con contador digital [(2) en Fig. 3] y soporte
7. Cilindro y esfera maciza, y cilindro hueco
8. Regla, calibre y esferómetro
Reflexiones previas a la realización del experimento
1. Defina los conceptos de centro de masas y momento de inercia de un
cuerpo.
2. Encuentre, en bibliografı́a, las expresiones correspondientes a los momentos de inercia de algunos objetos con formas geométricas sencillas: varilla,
disco, esfera y cilindro, respecto de algún eje de simetrı́a. Presente esa
información en una tabla.
3
(2)
Figura 3: Montaje experimental para medir momentos de inercia mediante un péndulo de
torsión por el método dinámico. (2) Barrera fotoeléctrica con contador digital y soporte.
(cm)
(c)
Figura 4: Montaje experimental para el teorema de Steiner. (c) Disco metálico con agujeros
y una aguja para cortar el haz de luz de la barrera fotoeléctrica; (cm) Cilindros metálicos
con saliente para encajar en agujeros del disco.
3. Enuncie y demuestre el teorema de Steiner (o de los ‘ejes paralelos’).
4. Describa algún otro sistema fı́sico que constituya un péndulo de torsión,
distinto del que se describe en la Introducción.
5. Consulte la bibliografı́a y obtenga la Ec. (3). ¿Qué tipo de movimiento
describe, entonces, cualquier objeto solidario con el eje vertical que, a su
vez, está unido al resorte horizontal que se menciona en la Introducción.
Indicaciones
Lleve a cabo las siguientes experiencias:
1. Determine mediante el empleo del dinamómetro el valor de la constante
restauradora del muelle espiral (método estático). Para ello, coloque sobre el muelle la varilla, gire un cierto ángulo y mida con el dinamómetro
4
el módulo de la fuerza, F , que hay que aplicar a una distancia r del eje
para que la varilla se mantenga en equilibrio, para dicho desplazamiento
angular. Sitúe el dinamómetro perpendicularmente a la varilla. Desvı́e
la varilla un ángulo mayor y mida la fuerza situando el dinamómetro
a la misma distancia del eje, y ası́ sucesivamente. Para determinar D
represente gráficamente el momento frente al ángulo de giro. ¿Qué dependencia observa?
2. Separe la varilla un cierto ángulo de su posición de equilibrio. Suéltela y
déjela oscilar libremente. Teniendo en cuenta la Eq. (2), determine con
la ayuda de la ‘barrera fotoeléctrica’ la constante D del muelle (método
dinámico). ¿Cómo se le ocurrirı́a proceder si desconociera el momento de
inercia de la barra? Emplee para ello las masas móviles ¿Qué observa?
¿Cómo han de situarse las masas?
3. Una vez conocida la constante restauradora del muelle y teniendo en
cuenta la Eq. (2), determine experimentalmente los momentos de inercia de diferentes cuerpos: disco, cilindro hueco, cilindro macizo y esfera.
Estos objetos poseen geometrı́as sencillas por lo que sus momentos de
inercia se pueden calcular teóricamente conocidas la masa y las dimensiones geométricas de los mismos (emplee la balanza, regla, calibre y el
esferómetro, si fuera necesario). Compare ambos resultados (experimental y teórico).
4. Monte el disco plano provisto de agujeros a lo largo de su diámetro. Estos agujeros permiten variar la posición del eje de giro a lo largo de una
dirección. Represente gráficamente la variación del momento de inercia
frente a la distancia del eje de giro al centro de masas del disco. Determine experimentalmente la dependencia del momento de inercia con la
distancia del eje de giro al centro de masas del disco utilizando la Eq. (2).
¿Cómo cambia el momento de inercia?
Preguntas adicionales relacionadas con la experiencia
1. ¿Qué ocurre si no se sitúa el dinamómetro perpendicularmente a la varilla? ¿Qué unidades tiene D? ¿Cuál es su significado fı́sico? ¿Es preciso
realizar un ajuste por mı́nimos cuadrados para obtener D?
2. ¿Cómo varı́a la amplitud de la oscilación? ¿Afecta de alguna manera a
la medida del perı́odo ? ¿Qué sucede si la varilla no está sujeta por su
punto medio? ¿Y si en lugar de comprimir el muelle lo expande? ¿Podrı́a
determinar la aceleración angular? ¿Cómo?
3. ¿Qué diferencias y similitudes observa entre el movimiento descrito por
una masa suspendida de un muelle y el descrito por la barra?
5
4. ¿Qué método es más preciso el estático o el dinámico? Discuta las posibles fuentes de error ¿Qué valor de D empleará a la hora de obtener los
momentos de inercia?
5. ¿Qué es el radio de giro? ¿Cuál es su utilidad? ¿Cuál es su ecuación
dimensional?
6. ¿Confirman los resultados experimentales obtenidos en el apartado 4 de
la sección anterior el teorema de Steiner?
7. ¿Para qué se puede utilizar el péndulo de torsión? Describa la balanza
de torsión empleada por Henry Cavendish. ¿Cómo funciona y para qué
sirve?
Referencias
[1] P. A. Tipler, Fı́sica, 4a Edición, Tomo I, Ed. Reverté, Barcelona (1999),
pp. 255 y ss, 416 y ss.
[2] R. A. Serway, Fı́sica, Tomo I, 3a Edición (2a Ed. en español), Ed. McGrawHill, Méjico (1992), pp. 279 y ss, 344 y ss.
[3] R. M. Eisberg, L. S. Lerner, Fı́sica: Fundamentos y Aplicaciones, Vol. I,
Ed. McGraw-Hill, Méjico (1981) pp. 417 y ss.
[4] S. Chapman, Discovering the torsion pendulum expression in the freshman
laboratory, Am. J. Phys. 16, 308-309 (1948).
[5] R. E. Green, Calibrated torsion pendulum for moment of inertia measurements, Am. J. Phys. 26, 498-499 (1958).
[6] kossi.physics.hmc.edu/Courses/p23a/Experiments/Cavendish.html.
[7] www.glenbrook.k12.il.us/gbssci/phys/Class/circles/u6l3d.html
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