Problema 28

Realizado por Patricia Zurita
Enunciado:
Hallar las coordenadas del punto simétrico del origen respecto de la recta
4x + 3y = 50.
Bases teóricas:
•
La recta r: 4x + 3y – 50 = 0 es perpendicular a la recta s (recta donde
se encuentra el punto simétrico al origen).
r
Por tanto, sabiendo esto, podemos hallar el vector dirección ( u ) de la
recta r sabiendo que es igual al coeficiente de la y cambiado de signo,
coeficiente de la x.
r
u = ( coeficiente de la y cambiado de signo, coeficiente de la x) = (-B, A)
•
r
Una vez hallado el vector dirección, podemos hallar el vector normal ( n ),
r
que es el perpendicular al vector dirección ( u ).
El vector normal es el vector que multiplicado por el vector dirección, da
cero.
r
u = ( a, b)
r
n = (b,− a )
ab − ab = 0
El vector normal es el vector dirección de la recta s.
Esta recta tiene que pasar por el origen, que constituye el punto O (0,0).
Por tanto, podemos hallar la recta s, ya que tenemos el vector normal y
un punto.
•
Utilizamos la forma general: Ax + By + C = 0; de donde despejamos C.
Lo hacemos sustituyendo A y B por los términos del vector normal, y la
x y la y por las coordenadas del punto.
•
Una vez hallada la recta s , habrá que hallar el punto de intersección con
la recta r.
Para ello sólo hay que resolver el sistema de ecuaciones.
•
El punto resultante es el punto medio entre el origen (O) y su simétrico
( O ′ ).
Tendremos que utilizar la fórmula de las coordenadas del punto medio
de un segmento:
M ( A, B) =
A + B  x1 + x 2 y1 + y 2 
=
,

2
2 
 2
Con esto, podremos resolver el problema.
Solución gráfica:
1. Representar la recta r.
2. Representar la recta s que pasa por el origen (O) y representar en ella
el punto simétrico ( O ′ ).
Cálculo:
1. Calcular la recta s por medio del vector normal, y después sustituyendo
los términos de éste y las coordenadas del punto O en la ecuación en
forma general.
r
r
r: 4x + 3y – 50 = 0 ⇒ u = (−3,4) ⇒ n = (4,3)
r
u = (− 3,4)
r
n = (4,3)
-12 + 12 = 0
r
n = ( 4,3)
O (0, 0)
Ax O + By O + C = 0 ⇒ 3x O − 4 y O + C = 0 ⇒ 3 ⋅ 0 − 4 ⋅ 0 + C = 0
C= 0
s: 3x – 4y = 0
2
2. Calcular el punto de intersección de r y de s.
r: 4x + 3y – 50 = 0
s: 3x – 4y
x=
=0
 4y 
4  + 3 y − 50 = 0
 3 
25 y = 150
;
y=
4y
4 ⋅ 6 24
⇒x=
=
=8
3
3
3
16 y
+ 3 y − 50 = 0
3
;
; 16 y + 9 y − 150 = 0
150
=6
25
y= 6
x=8
Punto de intersección M (8, 6)
3. Calcular O ′ por medio de la fórmula del punto medio entre dos puntos.
M (8,6)
M (O, O ′) =
(8,6) = (0,0) + O
2
′
O (0, 0)
O + O ′  x O + x O′ y O + y O′ 
=
,

2
2
2


⇒ (16,12) = (0,0) + O ′ ⇒ O ′ = (16,12)
Solución: O’ = ( 16,12)
3