Métodos de promedios

Diplomado en Gestión
Estratégica de las
Finanzas
Públicas
MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA ESTIMACIÓN DE INGRESOS
La estimación o proyección de ingresos futuros puede llevarse a cabo mediante
diferentes métodos estadísticos de extrapolación, entre ellos: sistema
automático, promedios móviles y de suavización exponencial, de aumento,
econométricos (e.g., método de mínimos cuadrados, modelo de regresión lineal,
modelo de correlación no lineal) y directo.
Métodos de extrapolación
Estiman la recaudación con base en su evolución en el tiempo. Es decir,
mantienen la premisa de que la recaudación está determinada por el incremento
o decremento de ella en el tiempo. Los cálculos de estimación se proyectan con
base en información histórica de los ingresos obtenidos en distintos periodos
(trimestres, semestres, años, etc.).
Sistema automático
Estima los rendimientos más probables del ejercicio futuro con base en
resultados conocidos del año anterior. En este método hay que tomar en cuenta
que el presupuesto de ingresos se encuentra en ejecución, por lo cual, no se
conoce la recaudación final del último periodo anterior al que se presupuestará;
entonces, se tomará como base los ingresos del penúltimo ejercicio fiscal para el
periodo que se pretende presupuestar.
Cabe señalar que este método fue el primero que se utilizó en la estimación de
ingresos públicos, aunque en la actualidad no se utiliza, ya que no considera el
cambio en las condiciones económicas que afectan la captación de ingresos.
Métodos de promedios
Aunque existen más métodos para pronosticar, por simplicidad presentamos
solamente dos, que consideramos los más usuales y sencillos de llevar a cabo.
Promedios Móviles
Suavización Exponencial
Estos métodos pueden utilizarse cuando:
a)
b)
c)
Hay información disponible de la variable(s) que se está pronosticando.
La información puede ser cuantificada.
Si se considera razonable que el patrón de comportamiento del pasado continuará en el
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futuro. Si se cuenta con una base de datos histórica y se quiere pronosticar una variable
considerando su comportamiento pasado, entonces podemos utilizar el método de
promedios móviles o el método de suavización exponencial, que son conocidos también
como métodos de series de tiempo1.
Método de Promedios Móviles
La utilización de esta técnica supone que la serie de tiempo es estable, esto es, que los
datos que la componen se generan sin variaciones importantes entre un dato y otro (error
aleatorio=0)2, esto es, que el comportamiento de los datos aunque muestren un crecimiento o un
decrecimiento lo hagan con una tendencia constante.
Comment [u1]: Serie
cronológica
Cuando se usa el método de promedios móviles se está suponiendo que todas las
observaciones de la serie de tiempo son igualmente importantes para la estimación del parámetro
a pronosticar (en este caso los ingresos). De esta manera, se utiliza como pronóstico para el
siguiente periodo el promedio de los n valores de los datos más recientes de la serie de tiempo.
Utilizando una expresión matemática, tenemos:
El término móvil indica que conforme se tienen una nueva observación de la serie de
Promedio Móvil
=
Σ (n valores de datos más recientes)
n
tiempo, se reemplaza la observación más antigua de la ecuación y se calcula un nuevo promedio.
El resultado es que el promedio se moverá, esto es, conforme se tengan nuevos datos y se vayan
sustituyendo en la fórmula, el valor del promedio irá modificándose.
No existe una regla específica que nos indique cómo seleccionar la base del promedio
móvil n. Si la variable que se va a pronosticar no presenta variaciones considerables, esto es, si su
comportamiento es relativamente estable en el tiempo, se recomienda que el valor de n sea
grande. Por el contrario, es aconsejable un valor de n pequeño si la variable muestra patrones
cambiantes. En la práctica, los valores de n oscilan entre 2 y 10.
El método de promedios móviles es muy útil cuando se tiene información no
desagregada y cuando no se conoce otro método más sofisticado y que permita
predecir con mayor confianza.
Este método permite suavizar la serie de tiempo aunque existen otros métodos que son más eficientes en la predicción.
1
Una serie de tiempo es un conjunto de observaciones respecto a una variable, medidas en
puntos sucesivos en el tiempo o a lo largo de periodos sucesivos de tiempo. Un análisis de una
secuencia de datos se conoce como análisis de series de tiempo de una variable.
2
El error aleatorio muestra el grado de confiabilidad con que se van a comportar los datos. La
variación del error puede ser de 0 a 1, en donde, un error aleatorio=0 muestra una total
confiabilidad del comportamiento de los datos y un error aleatorio=1 muestra que los datos no
son confiables en su comportamiento.
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(1)
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Suavización Exponencial
Otro método para realizar un pronóstcico es el método de suavización
exponencial. A diferencia de los promedios móviles, este método pronostica
otorgando una ponderación a los datos dependiendo del peso que tengan dentro
del cálculo del pronóstico. Esta ponderación se lleva a cabo a través de otorgarle
un valor a la constante de suavización, α, que puede ser mayor que cero y
menor que uno. Para nuestro ejemplo, utilizamos un valor de α = 0.8, por ser
éste el que mejor ajusta al pronóstico a los datos reales.
El método de suavización exponencial supone que el proceso es constante, al igual que el
método de promedios móviles. Esta técnica está diseñada para atenuar una desventaja del
método de promedios móviles, en donde los datos para calcular el promedio tienen la misma
ponderación. De manera particular, esta técnica considera que las observaciones recientes tienen
más valor, por lo que le otorga mayor peso dentro del promedio.
La suavización exponencial utiliza un promedio móvil ponderado de los datos históricos de
la serie de tiempo como pronóstico; es un caso especial de promedio móvil en donde se
selecciona un solo valor de ponderación3. El modelo básico de suavización exponencial se
presenta a continuación:
Ft+1 = αYt + (1 - α)Ft
(2)
Donde:
Ft+1 = Pronóstico de la serie de tiempo para el periodo de t + 1.
Yt = Valor real del periodo anterior al año a pronosticar.
Ft = Valor real del periodo anteanterior al año a pronosticar.
α = Constante de suavización (0 ≤ α ≤ 1).
La utilización de esta ecuación implica algunas especificaciones. El cálculo de Ft+1 está
ligado con los 2 periodos anteriores. En otras palabras, el pronóstico de suavización exponencial
en determinado periodo es (Ft+1) = al valor real de la serie de tiempo en el periodo anterior (Yt) X
la constante de suavización (α), + 1 - la constante de suavización (α) X el periodo anteanterior
(Ft).
Ft+1 = αYt + (1 - α)Ft
(2)
A pesar de que la suavización exponencial nos da un pronóstico que es un promedio
ponderado de todas las operaciones pasadas, no es necesario guardar todos los datos del pasado
a fin de calcular el pronóstico para el periodo siguiente. De hecho, una vez seleccionada la
3
La ponderación se determina considerando el peso que se le asigna al valor más reciente de la
serie. Los pesos o ponderaciones para los demás valores se determinan automáticamente,
haciéndose más pequeños conforme las observaciones se alejan del presente.
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constante de suavización α, sólo se requiere de dos elementos de información para calcular el
pronóstico. La ecuación (2) muestra que con un α dado, podemos calcular el pronóstico para el
periodo t + 1 simplemente conociendo los valores reales y pronosticados de la serie de tiempo
para el periodo t, es decir, Yt y Ft.
La elección de la constante de suavización α es crucial en la estimación de pronósticos
futuros. Si la serie de tiempo contiene una variabilidad aleatoria sustancial, se preferirá un valor
pequeño como constante de suavización. La razón de esta aseveración es que gran parte del
error del pronóstico es provocado por la variabilidad aleatoria, por lo que un valor pequeño de α
permite un pronóstico mejor. Por el contrario, para una serie de tiempo con una variabilidad
aleatoria relativamente pequeña, valores más elevados de la constante de suavización tienen la
ventaja de ajustar con rapidez los pronósticos cuando ocurren errores de pronóstico y permitiendo,
por lo tanto, que el pronóstico reaccione con mayor rapidez a las condiciones cambiantes. En la
práctica, el valor de α está entre .01 y .90.
AÑO
IN GRESO S
EGRESOS
PR O N Ó S T IC O D E
PR O N Ó S T ICO D E
N IVEL DE
TO TAL ES
TO T A LES
S U A VIZ ACIÓ N
S U AV IZ A CIÓ N
AHO RRO
EX PO N EN CIA L D E
EX PO N E N CIA L D E
LO S IN G RES O
LO S EGRES OS
19 9 0
16 3 3 0 5
1991
2 0 19 8 6
162370
189498
16 3 3 0 5
16 2 3 7 0
935
19 9 2
3 18 7 7 4
318776
19 4 2 5 0
18 4 0 7 2
10 17 7
19 9 3
405554
412658
293869
2 9 18 3 5
2034
19 9 4
440775
4 6 110 5
383217
388493
-5 2 7 6
19 9 5
437164
4 3 9 7 19
429263
446583
-17 3 19
19 9 6
537194
540698
435584
4 4 10 9 2
-5 5 0 8
19 9 7
704574
705373
5 16 8 7 2
520777
-3 9 0 5
19 9 8
10 0 5 7 4 5
945202
667034
668454
-14 2 0
19 9 9
12 3 5 6 6 5
1484561
938003
889852
4 8 15 0
2000
12 9 5 5 3 5
1712623
117 6 13 3
13 6 5 6 19
-18 9 4 8 7
2001
117 6 13 3
16 3 4 3 6 6
1271655
1643222
-3 7 15 6 8
2002
12 7 16 5 5
16 4 3 2 2 2
119 5 2 3 7
16 3 6 13 7
-4 4 0 9 0 0
2003
119 5 2 3 7
1636137
1256371
16 4 18 0 5
-3 8 5 4 3 4
CUADRO
2
Utilizando la ecuación 2, sustituimos los valores correpondientes para hacer el
pronóstico para el año 1992. Sutituyendo valores nos quedaría:
Fingresos 1992 = 0.8 (201986) + (1 – 0.8)(163305)
Fegresos 1992 = 0.8 (189498) + (1 – 0.8)(162370)
El mismo procedimiento se realiza para el resto de los años y obtenemos los
resultados que aparecen en el cuadro 2. Una vez que se calculan los
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pronósticos de ingresos y egresos, la diferencia entre éstos nos da el ahorro,
que aparece en la última columna del mismo cuadro.
Podemos observar que el pronóstico se ajusta más a los datos reales que en el
caso de los promedios móviles. Este método nos permite realizar un pronóstico
más confiable que el caso anterior. Claramente se observa que el pronóstico
tiene mejor ajuste y la diferencia entre los valores reales y los pronosticados es
mínima. Por lo tanto, este método es una mejor opción que los promedios
móviles para predecir el comportamiento futuro de los ingresos y egresos.
Método de aumento
En este método se aplica la tasa de variación observada en los últimos periodos
fiscales sobre sus recaudaciones respectivas.
La estimación se puede realizar de las siguientes maneras:
a)
El promedio de las diferencias resultantes entre las recaudaciones de un
año y otro, se agrega a la recaudación del último año.
b)
Estima la recaudación para un próximo ejercicio fiscal en función de la
tasa de variación observada en los últimos años. Media Geométrica.
c)
Estimación a través de la tasa media de variación, la cual se aplica
cuando no se tenga la información sobre los montos de ingresos de
algún periodo intermedio, dentro del número de ejercicios fiscales
considerados.
a) Estimación con base en el promedio de las diferencias resultantes entre
las recaudaciones de distintos periodos.
Diferencia Anual en la Recaudación
Años Recaudación
1995 $13’000,000
1996 $22’500,000 1996-1995= $ 22’500,000 - $ 13’000,000 = $ 9’500,000
1997 $29’500,000 1997-1996= 29’500,000 22’500,000 =
7’000,000
1998 $50’500,000 1998-1997= 50’500,000 29’500,000 =
21’000,000
1999 $53’720,000 1999-1998= 53’720,000 50’500,000 =
3’220,000
Σ$ 40’720,000
Promediando el total de diferencias entre el número de ellas
$ 40’720,000 /4 = $ 10’180,000
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Si este incremento lo agregamos a la recaudación de 1999, podemos
obtener la estimación de la recaudación para el año 2000
$ 53’720,000 + 10’180,000 = $63’900,000 Recaudación esperada
para el año 2000.
b) Estimación en base a la tasa de variación en el tiempo. Media Geométrica
AÑOS
1995
1996
1997
1998
1999
RECAUDACIÓN
$ 13’ 000,000
22’500,000
29’500,000
50’500,000
53’720,000
TASA DE VARIACION
1996 – 1995 = 22’500,000 - 13’000,000
1997 – 1996 = 29’500,000 - 22’500,000
1998 – 1997 = 50’500,000 - 29’500,000
1999 – 1998 = 53’720,000 - 50’500,000
X 100 / 13’000,000
X 100 / 22’500,000
X 100 / 29’500,000
X 100 / 50’500,000
=
=
=
=
73.07%
31.11%
71.18%
6.37%
M . G = n ( x1)( x 2 )( x 3)( xi )
M.G = Media Geométrica
n = Número de Periodos
x n = Tasas de Variación.
M .G.= 4 (7307
. )(3111
. )(7118
. )(6.37)
M .G.= 4 1'030,71010
.
M .G.= 3186%
.
Aplicando esta tasa a la recaudación de 1994, obtenemos el incremento
esperado en la recaudación para el año 2000
$ 53’720,000 x .3186 = $17’836.00
$ 53’720,000 + $17’836.00 = $ 70’835,192.00
Recaudación estimada para el año 2000.
c) Estimación a través de la tasa media de variación
En el caso de que se carezca de información sobre la recaudación específica de
un periodo intermedio de los considerados se puede obtener una tasa de cambio
promedio, aplicando la siguiente formula.
r=n
Pn
−1
Po
r = Tasa de cambio porcentual observada en la recaudación en un período de
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tiempo determinado.
n = número de años comprendidos en el periodo observado.
Po = Ingresos esperados al finalizar el periodo.
Pn = Ingresos obtenidos al inicio del periodo total a analizar
r=4
53'720,000
−1
13'000,000
r = 4 4.1312 − 1
r = 1.4257 − 1
r = .4257 = Tasa de variación promedio
$ 53’720,000 x .4257 = 22’872,133
$ 53’720,000 + 22’872,133 = 76,592,133 Recaudación estimada para el año
2000.
Métodos econométricos
Mediante el uso de este método es factible medir el grado de confiabilidad de la
relación existente entre variables tributarias, económicas y administrativas.
Así por ejemplo, si se aplicara un aumento en un impuesto, se produciría una
transferencia de recursos del sector privado al sector público. Con la aplicación
de métodos econométricos es factible medir, con base en datos para un período
de tiempo, la relación existente entre la recaudación y las modificaciones en la
estructura del impuesto. El cálculo de la recaudación estará en función del nivel
de las tasas que se apliquen; de la base imponible del tributo; y del efecto
conjunto de ambos, sobre las variables tributarias que se estén afectando.
De igual forma, es factible medir futuros niveles de recaudación con base en
cambios en variables, tales como cambios en el Producto Interno Bruto,
Consumo Privado, Sueldos y Salarios, etc.
Igualmente, podrían realizarse estimaciones vinculando el monto de las
recaudaciones a variables representativas del grado de eficiencia de la
administración tributaria, como por ejemplo porcentajes de evasión, estructura
administrativa dedicada a la recaudación, número de empleados, etc.
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Comment [u2]: Indica cuán
seguros podemos estar de que
el proceso seguido resulte en
valores que representen
verdaderamente la población.
Se usa más comúnmente con
intervalos de confianza. En
sentido probabilístico, si
tuviéramos una confiabilidad
del 95%, decimos que si
repitiéramos el proceso muchas
veces, en cerca del 95% de las
veces obtendríamos resultados
que reflejan verdaderamente la
realidad. Cerca del 95% de los
intervalos así construidos
contendrían el valor
desconocido del parámetro.
Comment [u3]: Base
gravable
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Algunos modelos econométricos que se pueden aplicar son los siguientes:
• Modelo de Regresión Lineal
• Método de Mínimos Cuadrados
• Modelos de Correlación no Lineal.
Análisis de Regresión
El análisis de regresión implica que se determine una relación entre una variable
dependiente (ingresos) y una variable independiente (por ejemplo impuestos). Este método implica
la verificación de la relación de las variables asociadas con la teoría económica. El esquema 1
muestra el proceso que debe seguirse cuando se utiliza una regresión.
Figura 1. Descripción Esquemática de los pasos que supone la utilización del
Análisis de Regresión
Teoría o modelo económico
Información previa
Modelo econométrico o enunciado de la
teoría económica en forma verificable
empíricamente
Datos
Prueba de cualesquiera de las
hipótesis sugeridas por el modelo
Uso del modelo para predicciones y
políticas
Estimación del modelo
La fórmula general de regresión entre la variable dependiente y y la variable
independiente x está dada como
Y = b0 + b1x + b2x²+...+ bnxⁿ + ε
donde b0, b1... bn son parámetros desconocidos. El error aleatorio ε tiene una media cero
y una desviación estándar constante.
La forma más simples del modelo de regresión supone que la variable dependiente varía
linealmente con el tiempo, es decir
Y* = a + bx
(3)
La constante a y b se determinan de los datos de la serie de tiempo con base en el criterio
de los mínimos cuadrados ordinarios (MCO), que busca minimizar la suma del cuadrado de las
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diferencias entre los valores observados y estimados4. Esto quiere decir que utilizando MCO
obtenemos la función lineal óptima que garantiza la mejor estimación de las variables que
queremos pronosticar. Haciendo las manipulaciones algebraicas, se obtiene la siguiente solución:
a =
b =
ΣY – b ΣX
n
n
n Σ XY -Σ X Σ Y
n Σ X² - ( Σ X) ²
(5 )
(4 )
En estas ecuaciones se muestra que primero tenemos que calcular el valor de b para
después poder calcular el valor de a.
Una vez que se tienen calculados los valores de a y b, tenemos que establecer si los
valores encontrados son válidos5. Para hacerlo, necesitamos calcular el coeficiente de correlación,
r, que nos ayudará a establecer la validez de las variables estimadas. El índice r se calcula de
acuerdo con la siguiente ecuación:
r=
b
nΣ x² – ( Σ x) ²
n Σ y² – (Σ y) ²
Donde –1 ≤ r ≤. Si r = ± 1, entonces ocurre un ajuste lineal perfecto entre x y y. En
general, entre más cercano sea el valor de r a 1, mejor será el ajuste lineal. Si r = 0, entonces y y x
pueden ser independientes. Realmente, r = 0 es sólo una condición necesaria pero no suficiente
para la independencia, ya que es posible que dos variables dependientes arrojen una resultado r =
0.
Cualquiera de las opciones que presentamos anteriormente, nos ayuda a
elaborar un pronóstico confiable de las variables que vamos a considerar para
determinar el pronóstico de los ingresos futuros de un municipio. La elección
dependerá, como ya lo señalamos, de las condiciones de cada ayuntamiento.
Sea cual sea el método que se elija, se podrá establecer un pronóstico
adecuado de las variables que se consideren.
4
La suma del cuadrado de las desviaciones entre los valores observados y los valores
estimados está dado por:
S = ∑(yi – a – bxi)²
Los valores de a y b se determinan al resolver las siguientes condiciones necesarias para la
minimización de S, es decir,
∂S/∂a = -2∑ (yi – a – bxi) = 0
∂S/∂b = -2∑ (yi – a – bxi)xi = 0
5
Cuando utilizamos el método de mínimos cuadrados ordinarios, decimos que los valores de a y
b son válidos para cualquier distribución probabilística de yi.
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Sin embargo, una limitación para la aplicación de este método es la falta de
información estadística adecuada, y el costo de obtenerla, por parte de las
Tesorerías Municipales, para la aplicación de modelos econométricos.
Análisis del método directo
Existe un modelo intermedio que vincula en cierta medida al modelo del método
de aumento, el cual pretende incorporar en forma directa, el análisis de la
recaudación en el tiempo y el comportamiento esperado de las variables que
afectan la base impositiva de los ingresos.
Este método demanda un conocimiento de la estructura de cada ingreso, en lo
que hace a la base imponible y sus tasas.
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