distribucion binomial

El termino "Binomial" se utiliza para designar situaciones en las que los resultados de una
variable se pueden agrupar en dos clases o categorías. Por lo tanto, los datos son nominales. Las
categorías deben ser mutuamente excluyentes, de manera que es evidente a qué clase pertenece una
observación en particular y las clases deben ser colectivamente exhaustivas, por lo tanto no es
posible obtener ningún resultado.
Un experimento binomial es un experimento que posee las siguientes propiedades:
1.- El experimento consta de n ensayos o pruebas idénticas.
2.- Cada prueba puede tener uno o dos resultados. Debido a la falta de una mejor nomen
clatura, llamaremos convencionalmente a un resultado éxito, E y al otro, fracaso, F*
3.- La probabilidad de un éxito en una sola prueba es igual a p y permanece constante de
uno a otro. La probabilidad de un fracaso es ( 1 - p ) = q.
4.- Las pruebas son independientes.
5.- Interesa conocer x, el número de éxitos observados en n pruebas
Distribución Binomial de una población finita:
( a + b) ² = a + b
a+b
ab + b²
a² + ab
.
a² +2ab + b²
Pruebas repetidas:
La probabilidad de que el evento A ocurra exactamente X veces en n pruebas repetidas
siendo la probabilidad de éxito en una prueba simple P, denotada por el símbolo combinado P ( X;
n, P ):
EJERCICIO: Una bolsa contiene cinco bolas en total ( una blanca y cuatro negras). Una bola es
extraída y es remplazada después de cada extracción, en dos extracciones que probabilidad será en
tener diferente número posible de bolas blancas en:
a).- 8 extracciones repetidas
b).- 20 extracciones repetidas.
a) X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Número exacto de éxitos o bolas blancas
n = 8 pruebas repetidas
P = 1/5 (una bola blanca en un total de 5 bolas) = 0.2 = 20%
Q = 1 - 1/5 = 4/5 = 0.8 = 80%
FORMULA:
P
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x

nx
n!
x
Q
x !( n  x )! P
Lic. Javier Alvarez Noyola
Cuando X = 5 bolas o exactamente 5 bolas blancas en 8 extracciones repetidas tenemos:
P ( 5; 8. 0.2) =
P (5; 8. 0.2) =
P (5; 8. 0.2) =
P (5; 8. 0.2) =
8 C5 Q P
(0.8)3 (0.2)5
(0.512) (0.00032)
0.0001638
Utilizando la fórmula: después de haber encontrado el resultado de P Q
P
(5)

8!
8 x 7x 6 x 5 x 4 x 3 x 2x 1
40 , 320


 560 x 0 . 0001638
5 !( 8  5 )! 5 x 4 x 3x 2x1( 3x 2x1) ( 120 )( 6 )
0.0459
Este es en el caso de la 5a. extracción, sé de bien de hacer todas las extracciones para tener
el resultado
Respuestas para el Ejercicio
.
Número de bolas blancas o éxito ** Probabilidad (frecuencia teórica)
X
**
P
.
0
**
0.1678
1
**
0.3355
2
**
0.2936
3
**
0.1468
4
**
0.0459
5
**
0.0092
6
**
0.0011
7
**
0.0001
8
**
0.0000
.
Todos los ejercicios son iguales.
Se les debe enseña la forma de hacerlo por medio de tablas y por calculadora.
n = Número de pruebas
p = probabilidad de éxito en una sola prueba
q = 1-p
Media:
Varianza
Desviación 
 = np
s² = npq
s = npq
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EJERCICIOS
1.- Cuál es la probabilidad de 3 caras en 4 tiros de una moneda?
Por fórmula y por tablas:
n=4
x=3
p = .5
q = .5
2.- Sí el 50 % de los televidentes ven cierto programa de televisión, Cuál es la probabilidad
que más de la mitad de los seleccionados de una muestra aleatoria de 5 personas vean el programa:
P = 0.50
Q = 0.50
n=5
3.- Una parte de cierta máquina es conocida al romperse aleatoriamente una vez cada 5 días,
cuantas partes debe haber disponibles para que haya menos de 1 en 100 oportunidades de que se
rompa.
n=1
x=0
p = 0.01
q = 0.99
4.- Un gerente de ventas cree que el 45% de los clientes consumidores prefieren su
producto a otros competidores, para que este supere, cuál es la probabilidad de que 54 prefieren su
producto en una muestra de 10 consumidores al menos 5 prefieran ese producto.
n = 10
x=5
p = 0.45
q = 0.35
5.- Un comité de 15 personas es seleccionado aleatoriamente en una gran compañía del cuál
el 30 % son mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre una mujer más en el comité?
n = 15
x=1
p = 0.30
q = 0.70
6.- Cuál es la probabilidad de sacar 3 caras al lanzar una moneda 8 veces obteniendo:
a).- 3 caras
b).- cuando mucho 3
n=8
c).- al menos 3 caras
p = 0.5
d).- entre 3 y 5 caras
x=
7.- obtener en tablas la probabilidad para cada valor
N=8
N=8
N=8
p = 0.5
p = 0.5
p = 0.5
x = 0, 1, 2, 3,
x = 3, 4, 5, 6, 7, 8 x = 3, 4, 5.
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8.- Sí el 20% de las mujeres que reciben a un vendedor de aspiradoras en sus hogares,
terminan por comprar una, Cuál es la probabilidad entre 6 mujeres que admiten una demostración
del vendedor en su casa, una a lo más acabe por comprar la aspiradora.
p = 20%
n=6
x=1
xa = 2
9.- De los alumnos de la Universidad, el 40 % fuman. Se elige seis alumnos para conocer
sus opiniones sobre el cigarro:
a).- Encuentre la probabilidad de que ninguno de ellos fume.
b).- Obtenga la probabilidad de que todos fumen.
c).- Determine la probabilidad de que por lo menos la mitad de los seis fumen.
10.- Un vendedor de autos nuevos observa que el 40 % de los autos vendidos son regresa
dos al departamento de servicio para corregir diversos defectos de fabricación en los primeros 25
días después de su compra. En los 11 autos que se vendieron en un periodo de cinco días. Cuál es
la probabilidad de que:
a).- Todos regresen en un lapso de 25 días para recibir servicio?
b).- Sólo uno no regrese?
11.- Los registros de una pequeña compañía de servicios indican que el 40% de las facturas
que envían son pagadas después de la fecha de vencimiento. si se envían 14 facturas, encuentre la
probabilidad de que:
a).- ninguna se pague con retraso
b).- cuando menos dos se paguen con retraso.
c).- cuando menos la mitad se pague con retraso.
12.- Una compañía petrolera observa que en casi el 5 % de los pozos de prueba que
perfora, encuentra un depósito de gas natural, si perfora seis pozos, obtenga la probabilidad de que
al menos en uno se encuentre gas.
13.- En una encuesta reciente se concluyó que únicamente el 20 % de los médicos de un
área rural fuman. Se observó que dos de los ocho médicos seleccionados de una lista suministrada
por el directorio médico local, también fuman. Suponiendo que la encuesta este correcta, Cuál es la
probabilidad de obtener este resultado?.
14 Las investigaciones médicas señalan que el 20 % de la población general sufre los
efectos negativos colaterales al ingerir un nuevo fármaco. Sí un médico receta dicho fármaco a 4
pacientes, cuál es la probabilidad de que:
a).- ninguno sufra efectos colaterales?
b).- todos los tengan?
15.- Según los archivos universitarios, de los estudiantes de una facultad, el 10% cambia
de especialidad por lo menos una vez durante sus primeros dos semestres, si se seleccionan, 11
estudiantes de los grupos de los dos primeros semestres, encontrar la probabilidad de que:
a).- Todos cambien de especialidad por lo menos una vez.
b).- Por lo menos 9 han cambiado.
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Lic. Javier Alvarez Noyola
(Optativa)
Cuando n es grande respecto a N, el número x a favor del producto tiene una distribución
de probabilidad hipergeométrica
r
N r
X
n X
N
CC
P 
C
X
n
N = número de elementos de la población.
r = número de elementos que tiene una característica específica, por ejemplo
el número de personas a favor de un producto particular.
n = número de elementos en la muestra.
EJERCICIOS:
Un Trailer contenía 20 computadoras electrónicas grandes, 2 de las cuales estaban
defectuosas. Si se seleccionan al azar tres computadoras del furgón, cuál será la probabilidad de que
dos de ellas tengan desperfectos?
N = 20
n = 3
r = 2 (computadoras defectuosas)
x = número de computadoras con averías en la muestra.
r
N r
X
n X
N
CC
P 
C
X
n
20  2
2
P CC
C
2
2
3 2
20
3
2
C
2
20  2
C
3 2
20
C
3

 C1 
18

2!
1
2 !( 0 !)
18 !
18 !

 18
1!( 20  3 )! 1!( 17 !)
20 !
20 !
( 20 )( 19 )( 18 )


 1140
3 !( 20  3 )! 3 !( 17 !)
6
P
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2

( 1)( 18 )
 0. 016
1140
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EJERCICIOS
1.- Calcule p(x) donde x tiene una distribución de probabilidad hipergeométrica con N =
10, n = 2, r = 3 y x = 0, 1, 2, 3, .
2.- Calcule p(x), donde x tiene una distribución de probabilidad hipergeométrica con N =
10, n = 3, r = 3 y x = 0, 1, 2, 3.
3.- Un problema, encontrado por directores de personal y otros que se abocan a la selección
de los mejores elementos entre un grupo finito de éstos, se ilustra mediante la siguiente situación:
De un grupo de 20 ingenieros con doctorado, se seleccionan 10 para un empleo, ¿cuál es la
probabilidad de que de los 10 seleccionados incluyan a los 5 mejores ingenieros del grupo de 20?
4.- Un almacén contiene 10 máquinas impresoras, cuatro de las cuales están defectuosas.
Una compañía selecciona al azar cinco de las máquinas, pensando que todas están en condiciones
de trabajar. ¿Cuál es la probabilidad de que las cinco máquinas estén en buen estado?
5.- Un producto industrial particular se envía en lotes de 20. La prueba para determinar si
un artículo está defectuoso es costosa; así que el fabricante haga un muestreo la producción en vez
de utilizar un plan de inspección de 100%. Un plan de muestreo, diseñado para minimizar el
número de artículos defectuosos enviados, se necesita que se muestren cinco artículos de cada lote y
el rechazo del mismo si resulta más de un defectuoso. (Si se rechaza se prueba cada artículo del
lote) Si el lote contiene 4 defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que sea rechazado?
6.- Un sindicato afirma que 45 de los 80 empleados de una compañía están a favor de la
sindicalización, supóngase que tiene razón el sindicato y que el gerente sondea informalmente la
opinión de 20 empleados.
a).- ¿Cuál es el valor esperado del número x de empleados en la muestra que proponga la
sindicalización?
b).- Si el sindicato tiene razón, será posible que menos de 9 empleados de la muestra
estén a favor de la sindicalización Explique.
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Lic. Javier Alvarez Noyola
(optativa)
Si interesa el número x de pruebas hasta la observación del primer éxito, entonces x posee
una distribución de probabilidad geométrica. Aquí debemos notar que el número de pruebas podría seguir indefinidamente y que x es un ejemplo de variable aleatoria discreta que puede tomar un
número infinito (pero contable) de valores.
P
X 1
 Pq
X
Donde:
x = número de pruebas independientes hasta la ocurrencia del primer éxito
p = probabilidad de éxito en una sola prueba
q=1-p
Media:  =
Varianza :
Desviación estándar :


2
2
=
1
p
=
1- p
2
p
1- p
2
p
 
1 p
p
2
La distribución de probabilidad geométrica es un modelo para el intervalo de tiempo que
un jugador (¿inversionista?) tiene que esperar hasta ganar. Por ejemplo, la ganancia media en una
serie de apuestas idénticas en la ruleta (o en alguna otra serie de pruebas idénticas), no es una
buena medida para su perspectiva de ganar. Podría tener una racha de mala suerte y quedarse sin
dinero antes de tener la posibilidad de recuperar sus pérdidas.
La distribución de probabilidad geométrica también proporciona un modelo discreto para el
lapso, digamos el número x de minutos, antes de que un consumidor en una fila o línea de espera
(en un supermercado, servicio de reparaciones, hospital, etc. ) reciba la atención [Nótese que el
lapso o intervalo de tiempo es una variable aleatoria continua. La distribución de probabilidad
geométrica es una analogía discreta de (una aproximación para) una distribución de probabilidad
continua particular, conocida como distribución exponencial]. Este modelo discreto para la
distribución de probabilidad del tiempo de espera u se basa en la suposición de que la probabilidad
de recibir el servicio durante cualquier minuto es idéntica e independiente del resultado durante
cualquier otro minuto y que x se mide en minutos "enteros" - es decir, x = 1, 2, 3. . . .
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Lic. Javier Alvarez Noyola
EJERCICIOS:
Los registros indican que una cierta vendedora tiene éxito en formalizar una venta
en 30% de sus visitas. Supóngase que una venta en una entrevista es independiente de una venta en
cualquier otro momento.
a).- ¿Cuál es la probabilidad de que esta vendedora tenga que tratar con 10 personas antes
de hacer su primera venta?
b).- ¿Cuál es la probabilidad de que la primera venta se realice antes de o en la décima
oportunidad?
p = 0.3
x = 10
q = 0.7
a).-
p( x ) = pqx-1
p(10) = (0.3)(0.7)9 = 0.012
b).- P(x < 10) = p(0) + p(1) + p(2) + . . . . . . . . . + p(10)
Es decir: P (x < 10) = 1 - P (x > 10)
donde: P (x > 10) = p(11) + p(12) + . . . = pq10 + pq11 +. . .
pq¹°
P(x < 10) = 1 - P(x > 10) = 1 - ----------1-q
= 1 - q ¹° = 1 - ( 0.7 ) ¹°
= 1 - 0.028
= 0.972
2.- La experiencia mostró que, en promedio, solamente uno de diez pozos perforados llega
a producir petróleo. Sea x el número de perforaciones hasta tener el primer éxito (encontrar
petróleo). Supóngase que las perforaciones representan eventos independientes.
a).- Determine p(1), p(2) y p(3).
b).- Encuentre la fórmula para p(x)
3.- En un departamento del Gobierno Federal, una de cada tres llamadas telefónicas hechas
por empleados gubernamentales, son por razones personales, suponga usted que es un empleado
gubernamental y que tres de cada diez llamadas suyas son por razones personales. Considere
también que el gobierno haga un muestreo al azar los números que marcó y que verifica el origen
de cada llamada.
a).- Obtenga la distribución de probabilidad para x, el número de llamadas verificadas por
el gobierno antes de encontrar la primera llamada personal.
b).- Calcule la Media.
3.- Una agencia de seguros encontró que de 100 reclamaciones de los seguros de
propiedades excede de $1 millón (de Dólares). Sea x el número de demandas archivadas antes de
encontrar la primera demanda por más de $1 millón. Encontrar la media y la desviación estándar.
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Lic. Javier Alvarez Noyola
La distribución de probabilidad de Poisson es un buen modelo para la distribución de
frecuencias relativas del número de eventos raros que ocurren en una unidad de tiempo, de
distancia, de espacio etc. por esta razón se le utiliza mucho en administración de empresas para
modelar la distribución de frecuencias relativas del número de accidentes industriales por unidad de
tiempo
Sus principales usos;
Llamadas telefónicas.
Manchas por metro cuadrado.
Defectos por metro cuadrado
Ordenes por hora
Vehículos por hora.
Personas por minuto. Etc.
Sus características:
Eventos independientes.
Constante su promedio
Constante su probabilidad de ocurrencia
La media aritmética se expresa  =  = NP
La desviación estándar  = Npq
La probabilidad debe ser muy pequeña
El producto NP debe se < que 5
e
P( X ) 
x

X!
 = Media aritmética
x = El número de éxitos del experimento
e = Base de números neoporeanos.
Aquí debe notarse que x es normalmente pequeña.
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Lic. Javier Alvarez Noyola
EJERCICIOS:
1.- Supongamos que el número de manchas ocurra de una por metro cuadrado, cuál es la
probabilidad de:
su media = 1.0 N = 1
a).- 0 manchas.
b).- 2 manchas.
c).- Entre 2 y 4 manchas.
d).- Cuando mucho 4 manchas.
e).- Al menos 5 manchas
Xa).- 0.3679
Xb).- 0.1839
Xc).- 0.0.613
Xd).- 0.9963
Xe).- 0.0037
2.- El número de errores de imprenta en una pagina de periódico tiene una distribución
promedio de 1.5 errores por pagina, si se examinan 3 paginas al azar y no encontramos error. ¿Cuál
es la probabilidad de resultado?
3.- Sí la central telefónica de un almacén tiene promedio 4 llamadas que entran por minuto
hallar la probabilidad de que:
a).- No haya llamadas durante un minuto.
b).- Haya exactamente dos llamadas durante un minuto.
4.- Para responder a ciertas especificaciones de producción y envasado de dulce una
máquina elabora dulces enlatados y cada bote de nuez mezclada debe contener al menos una nuez
entera. Si los botes de nuez mezclada proveniente de la máquina de la fábrica los resultados son
tales que 0.012% carecen de nuez, cual es la probabilidad entre 300 botes despachados por esta
planta procesadora, exactamente 2 no tengan nuez..
p = 0.012%
N = 300
m = NP = 300 X .012 = 3.6
m = 3.6
N = 0.1771 X 300 = 53.13 = 53%
p2= 0.1771
5.- Supóngase que la inspección de lamina metálica producida en rollos continuos, el
número de imperfecciones localizadas por un inspector durante un período de 10 minutos tiene una
media de 84 imperfecciones por hora, hallar la probabilidad de que durante un período de 10
minutos un inspector encuentre
a).- ninguna imperfección.
b).- 3 imperfecciones.
6.- Obtenga la probabilidad de encontrar cuatro artículos defectuosos de una muestra de 300
tomada de un enorme lote en que se dice que hay un 2% de artículos defectuosos.
7.- Los accidentes en una planta industrial particular tiene una media semanal de 3.5%
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya accidentes en una semana dada?
b) ¿Es probable que el número semanal de accidentes exceda de 7? Explíquelo.
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Lic. Javier Alvarez Noyola
8.- En una caja de 10 fusibles, dos de ellos están defectuosos. Si se examina una muestra
aleatoria de cuatro fusibles. Cuál es la probabilidad de encontrar:
a).- Ninguno defectuoso.
b).- uno defectuoso
c).- uno o menos defectuosos?
9.- La probabilidad de que una casa se incendie en cierta área es de 0.002. El costo del
daño promedio, causado por dicho incendio, es de $20,000. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar el
propietario de una casa por un seguro contra incendio?
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