Un modelo simplificado para entender mejor el problema.

El sorteo de la mili
El sorteo de la mili.
El miércoles 11 de noviembre de 1997 se realizó el sorteo para decidir los
excedentes de cupo de los que harían la mili ese año, así como los destinos del
resto. El problema era elegir un número aleatoriamente entre los que tenían
asignados cada uno de los mozos, para a partir de él contar los 16442
excedentes de cupo. Como vamos a ver esto no se consiguió: el sorteo fue tal
que según el número que tenía asignado cada mozo la probabilidad de estar
entre los que se libraban de la mili era diferente.
Forma en que se realiza el sorteo.
• Se envía por correo un número aleatorio a cada uno de los 165342 aspirantes.
• Se utilizan 6 bombos alineados de izquierda a derecha en el siguiente orden:
centena de millar, decena de millar, unidad de millar, centena, decena y unidad,
todos ellos con 10 bolas numeradas del 0 al 9, excepto el primero que contenía 5
bolas con 0 y 5 bolas con 1.
• El sorteo se realiza de la siguiente manera: se saca una bola del primer bombo
(que tendrá que ser un 0 ó un 1 cada una de las cuales saldrá con probabilidad
0.5); después se saca una bola del segundo: si el número obtenido es superior a
6 y la bola del primer bombo es un 1, se devuelve al bombo hasta que se obtiene
un número inferior a 6. Después se continúa sacando bolas de cada uno de los
bombos hasta el final.
• Una vez se ha elegido dicho número N, a partir de él se cuentan 16442, que serán
los excedentes de cupo. En caso de que la lista se acabe, por ser N > 165342 16442 = 148900, se retoma la lista por arriba (desde el primero) hasta completar
los 16442 excedentes de cupo.
Lo que ocurrió en el sorteo.
• Se empieza el sorteo y sale un 1 del primer bombo. Del segundo sale un 8, que
como supera a 6 es devuelto, saliendo en segundo lugar un número inferior a 6, y
continuando con el sorteo normalmente.
En estas condiciones pretendemos calcular la probabilidad de que un
aspirante cualquiera (que viene señalado por un número) salga excedente de
cupo.
Análisis del problema: el hecho de que se asigne a cada mozo un número
aleatorio, al haber un posterior sorteo, no modifica la probabilidad que otorga este
segundo sorteo a cada mozo de salir excedente de cupo, puesto que partimos de
una lista ordenada por un criterio (en este caso aleatorio). Obsérvese que también
podría haber sido ordenada de otra forma (alfabético por ejemplo) sin que esto
influya en las posibilidades que otorga el segundo sorteo. Si la asignación hubiese
sido realmente aleatoria no se ve la necesidad del segundo sorteo.
Un modelo simplificado para entender mejor el
problema.
Supongamos que hemos de seleccionar 5 números (los excedentes de
-1-
El sorteo de la mili
cupo) de entre 16 (el total de llamados a la mili) numerados desde el 0 hasta el 15.
Lo hacemos mediante el siguiente procedimiento:
• Se utilizan dos bombos alineados de izquierda a derecha, el primero para las
decenas y el segundo para las unidades. En el de las decenas hay 10 bolas, 5 con
cero y 5 con uno. En el de las unidades hay 10 bolas numeradas de 0 a 9.
• El sorteo de realiza de la siguiente manera: se saca una bola del primer bombo, y
después una del segundo: si el número obtenido es superior a 5 y la bola del
primer bombo es un 1, se devuelve al bombo esta segunda bola hasta que se
obtiene un número inferior a 5.
• Una vez se ha obtenido el número N, por el procedimiento anterior se cuentan 5,
que serán los excedentes de cupo. En caso de la lista se acabe por ser N = 15 - 5
= 10, se retoma la lista por el principio hasta completar los 5 excedentes de cupo.
Probabilidad de que en el sorteo salgan cada uno de los 16 números.
Consideremos el siguiente diagrama en árbol:
Bombo de las decenas
1/2
1/2
Sale un 1
Sale un 0
Puede salir uno de los números
desde el 0 hasta el 9, todos
con igual probabilidad.
Puede salir uno de los números
desde el 10 hasta el 15, todos con
igual probabilidad
En consecuencia las probabilidades de cada uno de los números son las
siguientes:
1 1
1
=
2 10
20
1 1
1
p(salga el 10) = p(salga 11) = …… p(salga el 15) =
=
2 6
12
Probabilidad de que cada número salga excedente de cupo.
Podemos contestar a esta pregunta a través de una tabla como la
siguiente:
p(salga el 0) = p(salga el 1) = …. = p(salga el 9) =
-2-
El sorteo de la mili
a
¿Qué números hacen
que “a” salga
excedente de cupo?
0
12, 13, 14, 15, 0
1
13, 14, 15, 0, 1
2
14, 15, 0, 1, 2
3
15, 0, 1 , 2 , 3
4
0, 1, 2, 3, 4
5
1, 2, 3, 4, 5
6
2, 3, 4, 5, 6
7
3, 4, 5, 6, 7
8
4, 5, 6, 6, 8
9
5, 6, 7, 8, 9
10
6, 7, 8, 9, 10
11
7, 8, 9, 10, 11
12
8, 9, 10, 11, 12
13
9, 10, 11, 12, 13
14
10, 11, 12, 13, 14
15
11, 12, 13, 14, 15
Probabilidad
1
1
23
≈ 0.3833
+
=
12 20
60
1
1
7
3
≈ 0.3500
+2
=
12
20
20
1
1
19
2
≈ 0.3167
+3
=
12
20
60
1
1
17
≈ 0.2833
+4
=
12
20
60
1
5
= 0.2500
20
1
5
= 0.2500
20
1
5
= 0.2500
20
1
5
= 0.2500
20
1
5
= 0.2500
20
1
5
= 0.2500
20
1
1
17
4
≈ 0.2833
+
=
20 12
60
1
1 19
3
≈ 0.3167
+2
=
20
12 60
1
1
7
2
≈ 0.3500
+3
=
20
12 20
1
1
23
≈ 0.3833
+4
=
20
12 60
1
5
= 0.4167
12
1
5
= 0.4167
12
4
Obsérvese que en este ejemplo los números 14 y 15 tienen una
probabilidad muy alta de salir excedentes de cupo. La representación gráfica de
esta función es como sigue:
-3-
El sorteo de la mili
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
Probabilidad
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Valor de a
Solución general del problema.
• La probabilidad de que salieran cada uno de los números desde el 1 hasta 165342
viene explicada en el siguiente diagrama en árbol:
Bombo de las centenas de millar
1/2
1/2
Sale un 1
Sale un 0
Puede salir uno de los números
desde el 0 hasta el 99999, todos con igual probabilidad.
Puede salir uno de los números
desde el 100000 hasta el 165342,
todos con igual probabilidad
De esta forma podemos poner:
1
1
= 0.000005.
2 100000
1
1
p(salga el 100000) = p(salga 100001) = …… p(salga el 165342) =
=
2 65343
p(salga el 0) = p(salga el 1) = …. = p(salga el 99999) =
-4-
El sorteo de la mili
1
≈ 0.000007652.
130686
• Ahora ya podemos empezar a calcular la probabilidad de que un número
determinado salga excedente de cupo.
a) La probabilidad de que un número “a” sea excedente de cupo es la probabilidad
de que sea elegido un número desde a hasta (a - 16442). En caso de que este
1
1
número esté entre 16442 y 99999 esta probabilidad será:
16442 =
2 100000
0.08221.
b) En caso de que ese número esté entre 116442 y 165342 esa probabilidad será:
1
1
16442 ≈ 0.125814943
2 65342
Los números comprendidos en los intervalos 100000 - 116442 y 0 16441 deben ser estudiados a parte. Veamos qué pasa para el primero de esos
intervalos:
c) Como ejemplo estudiemos qué probabilidad tiene el número a = 110000 de salir
excedente de cupo. Para que ello pase el número N debe estar en el intervalo 93558
1
1
- 110000; y eso ocurre con probabilidad (99999 - 93558)
+ (110000 2 100000
1
1
100000)
≈ 0.108724291
2 65343
De esto se deduce que la probabilidad, en la medida en que a se
desplaza desde 100000 hasta 116441 va creciendo según la siguiente función:
1
1
1
1
+ (a - 100000)
= 0.000002652 a [99999 - (a-16442)]
2 100000
2 65343
0.182987905
En resumen: la probabilidad de que un número a en el intervalo 100000 - 116442
sea excedente de cupo viene dada por la función 0.000002652 a - 0.182999616
d) Para estudiar la probabilidad de que un número a situado en el intervalo 0 16441, estudiaremos, para empezar, como antes, un ejemplo. Supongamos por
ejemplo el número a = 200. Para que sea excedente de cupo el número N debe
estar en el intervalo [149100 - 165342] ∪ [0 - 200]. Esto ocurre con probabilidad
1
1
1
1
(165342-149100)
≈ 0.125282632.
+ 200
2 65343
2 100000
En la medida en que a crece desde 0 a 16441 la probabilidad de que a
sea excedente de cupo será:
1
1
1
1
+a
= 0.125813017 -0.000002652 a
(165342 - (148900 + a))
2 65343
2 100000
En resumen: la probabilidad de que un número a entre 0 y 16441 sea excedente de
cupo viene dada por la función 0.1258149 -0.000002652 a
-5-
El sorteo de la mili
Finalmente:
La función que nos da la probabilidad de que uno de los mozos sea
excedente de cupo en función del número x que tiene asignado es la siguiente:
⎧0.1258140 − 0.000002652 x si 0 ≤ x ≤ 16441
⎪0.08221 si 1642 ≤ x ≤ 99999
⎪
p( x ) = ⎨
⎪0.000002652 x − 0.182999616 si 10000 ≤ x ≤ 116442
⎪⎩0.125813017 si 16443 ≤ x ≤ 165342
Esta función al ser representada nos da la siguiente gráfica:
Probabilidad de salir
excedente de cupo
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
25000
50000
75000
100000
125000
150000
Número del
aspirante
-6-
El sorteo de la mili
8.- Soluciones al problema del sorteo. Ante las dificultades que se planteaban
para el sorteo algunos periódicos propusieron diversas soluciones para solucionar
el problema:
a) El Mundo (Jueves 13 de Noviembre de 1997) proponía que “la composición lógica
del primer bombo debía ser de 5 bolas con 0 y 3 bolas con 1”.
b) En El País (Viernes 14 de Noviembre de 1997) el profesor Javier Portela1
afirmaba lo siguiente: “El sorteo estaría bien hecho si se hubieran tirado los 6
bombos seguidos, repitiendo todo el proceso de sorteo, incluido el primer bombo,
si saliera un número superior a 165342. La probabilidad de tener que repetir una
vez el sorteo por esta causa es relativamente baja, de 0.173”.
c) En el País (Sábado 15 de Noviembre de 1997) se afirmaba lo siguiente: “En los
dos ensayos que se realizaron el martes por la tarde salió un número que
empezaba por 0. Si esta circunstancia se hubiese repetido el miércoles, nadie
habría protestado, ya que las cifras inferiores a 100000 estaban entre las menos
probables”.
Analiza estas tres afirmaciones y di si son correctas justificando tu
respuesta.
1
Profesor de la Escuela de Estadística de la Universidad Complutense de Madrid.
-7-
El sorteo de la mili
-8-