Dada la matriz = 10 21 A encuentra todas las matrices

Matemáticas II
Matrices
1
MAJ06
1 2
 encuentra todas las matrices
Dada la matriz A  
0
1


a b 

P  
c
d


tales que AP = PA.
Solución:
Se desea que
 1 2  a b   a b  1 2 
 a  2c b  2d   a 2a  b 


  

  


d   c 2c  d 
 0 1  c d   c d  0 1 
 c
Por tanto, debe cumplirse que:
 a  2c  a
c  0
b  2d  2a  b


 d  a

cc
b  b


 d  2c  d
a b
 , donde a y b son números cualesquiera.
Por tanto, P  
0 a
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Matemáticas II
Matrices
2
GAS06
a) Sean A, B y C tres matrices tales que el producto A · B · C es una matriz 3 × 2 y el
producto A · Ct es una matriz cuadrada, siendo Ct la traspuesta de C. Calcula, razonando la
respuesta, las dimensiones de A, B y C.
1 0 
 , obtén todas las matrices X que conmutan con M, es decir, que
b) Dada M  
 1  1
verifican X · M = M · X.
c) Calcula la matriz Y que verifica M · Y + M1 · Y = I, siendo M la matriz dada en b), M1 la
matriz inversa de M e I la matriz unidad de orden 2.
Solución:
a) Para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera
coincida con el número de filas de la segunda. Es decir, pueden multiplicarse matrices de
dimensiones m × n por n × p, siendo el resultado una matriz de dimensión m × p.
Por tanto, si el producto A · B · C es una matriz 3 × 2, la matriz A debe ser de dimensión 3 ×
n, la B de dimensión n × p, y la C de dimensión p × 2.
Para que pueda realizarse el producto A · Ct, matrices (3 × n) · (2 × p), es necesario que n = 2.
Y si el resultado, que es de dimensión 3 × p, es una matriz cuadrada, entonces p = 3.
Por consiguiente: A es una matriz de dimensión 3 × 2; B, de dimensión 2 × 3; y C de
dimensión 3 × 2.
a
b) Si X 
c
a

c
b
 debe cumplirse que:
d 
b   1 0    1 0  a b 




d  1  1  1  1 c d 
  a  b  a
  b  b

 
 b = 0; a = d; c = c.

c

d

a

c

  d  b  d
b 
 a  b b   a

  
 
 c  d  d  a  c b  d 
a 0

La matriz X  
c a
M ij 
1 0 
1 0 
  M 1  
 , pues M 1 
c) M  
(También puede obtenerse por
M
 1  1
  1  1
el método de Gauss−Jordan.)
Como M · Y + M1 · Y = I  (M + M1) · Y = I. Luego:
1
0 
 2 0 
1 0
  2 0   1 0   1/ 2

·Y  
  Y  
 
  

 1 / 2 
 0  2
0 1
 0  2  0 1  0
t
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Matrices
3
PAS07
 1  2  2


2
1 .
Sea la matriz A   1
 0 1 1


3
a) Comprobar que verifica A  I  O , con I matriz identidad y O matriz nula.(1 punto)
b) Calcula A13
c) Basándose en los apartados anteriores y sin recurrir al cálculo de inversas halla la matriz X
que verifica la igualdad A2 X  I  A .
Solución:
a) Multiplicando se tiene:
 1  2  2  1  2  2  1


 
2
A  1
2
1 · 1
2
1  1
 0 1 1  0 1 1  1


 
 1  2  2  1 0 2  1 0


 
3
A  1
2
1 · 1 1  1   0 1
 0 1 1  1 1 0  0 0


 
0 2

1  1
 1 0 
0

0  I
1 
Por tanto, A3  I  O .
 
b) Como A3  I  A12  A3
4
 I 4  I . Por tanto, A13  A12 ·A  I ·A  A
c) De A2 X  I  A  A2 X  A  I  A·A2 X  A·(A  I ) 
 A3 X  A 2  A  X  A 2  A
Luego,
4 
 1 0 2   1  2  2  0 2

 
 

X   1 1  1   1
2
1    0 1  2
 1 1 0   0 1 1  1 0
1 

 
 
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Matrices
4
CNS07
Resolver la ecuación matricial B(2 A  I )  AXA  B , siendo
2
 1  1
1
1 0
 , B  
 e I  

A  
0 1 
  1  1
0 1
Solución:
Operando en la ecuación dada se tiene:
B(2 A  I )  AXA  B  2BA  B  AXA  B  2BA  AXA
Multiplicando por A 1 por ambos lados se tiene:
2BA  AXA  2 A1 BAA 1  A1 AXAA 1  2 A1 B  X
1
Como A 1  
0
1
X  2
0
1
 se tiene que
1
1 1
2
 0 1   0 2

  2
  

1  1  1
  1  1   2 2 
Nota:
 1  1
 puede calcularse por el método de GaussJordan. Así:
La inversa de A  
0 1 
A I    1

1 1 0
F1  F 2  1 0 1 1
 →

  I A 1



0 1 0 1
 0 1 0 1

 1 1
 .
La inversa es A 1  
0
1


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Matrices
5
MAJ07
Dadas las matrices
 5 2 0


A   2 5 0
0 0 1


 a b 0


B   c c 0
 0 0 1


se pide:
a) (1,5 puntos). Encontrar las condiciones que deben cumplir a, b, c para que se verifique AB
= BA.
b) (1,5 puntos). Para a = b = c =1, calcular B10.
Solución:
a) Multiplicando e igualando se obtiene:
 5 2 0  a

 
AB   2 5 0  ·  c
0 0 1  0

 
 a b 0  5

 
BA   c c 0  ·  2
 0 0 1  0

 
b 0   5a  2c 5b  2c
 
c 0  =  2a  5c 2b  5c
0 1   0
0
2 0   5a  2b 2a  5b
 
5 0  =  7c
7c


0 1  0
0
0

0
1 
0

0
1 
2a  5c  7c
Debe cumplirse que: 
a=b=c
2b  5c  7c
1 1 0


b) Para a = b = c =1, B   1 1 0  .
0 0 1


1 1 0 1 1 0  2 2 0


 

2
Luego: B   1 1 0 · 1 1 0    2 2 0 
0 0 1 0 0 1  0 0 1


 

 2 2 0  2 2 0 8 8 0
 8 8 0   8 8 0  128 128 0 


 



 

4
8
B   2 2 0 · 2 2 0    8 8 0  ; B   8 8 0 · 8 8 0   128 128 0  ;
0 0 1  0 0 1 0 0 1
0 0 1 0 0 1  0
0 1 


 



 
128 128 0   2 2 0   512 512 0 


 

10
8
2
B  B ·B  128 128 0 · 2 2 0    512 512 0 
 0
0 1   0 0 1   0
0 1 

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Matrices
6
PVS07
Sean A, I y B las matrices dadas por
0 1 1
1 0 0
 6  3  4






A  1 1 0 , I   0 1 0 y B    3 2
1 
1 0 0
0 0 1
 4 1
5 





Contestar razonadamente a la siguiente pregunta. ¿Existe algún valor de   R tal que la
2
igualdad  A  I   B sea cierta? En caso afirmativo hallar dicho valor de .
Solución:
Hallamos  A  I  :
2
 A  I 2
1
1   
1
1   2  2
1  2
 2 
 



 
2
=  1 1   0  1 1   0    1  2 1  (1  )
1 
 1
0
   1
0
     2
1
1  2 

Para que  A  I   B debe cumplirse, al menos, que: 1  2 = 3   = 2. Este valor de 
cumple la igualdad de los demás elementos de ambas matrices; por tanto, sí existe el valor de
 pedido en la cuestión.
2
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Matrices
7
NAS07
Dada la matriz
1 0 0

A  
 0 1 0
encuentra dos matrices, B y C, de tamaño 3 × 2 y de rango 2, tales que el rango de AB sea 2 y
el rango de AC sea 1.
Solución:
1 0
 0 0




Hay infinidad de soluciones. Por ejemplo, B   0 1  y C   0 1  .
 0 0
1 0




Como puede verse:
1 0
 1 0
 1 0 0 
 0 1   
 , que tiene rango 2.
AB  
 0 1 0  0 0   0 1 


 0 0
  0 0
 1 0 0 
 0 1   
 , que tiene rango 1.
AC  
0
1
0
0
1

 1 0  



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Matrices
8
CVS07
 6 4
 x
 y X    , se pide:
Dadas las matrices A  
 1 1
 y
0
a) Obtener razonadamente todos los valores de  para los que   es la única solución de la
0
ecuación AX  X .
b) Resolver la ecuación matricial AX  2 X .
Solución:
a) AX  X  AX  X  O 
 A  I X  O

 6 4    0  x   0 
4  x   0 
6  
  
      
    
 

1
1



1
1
0

y
0

 y   0 










 (6   ) x  4 y  0
Se tiene el sistema 
.
 x  (1  ) y  0
Para que este sistema tenga solución única es necesario que el rango de la matriz de
coeficientes valga 2. Para ello:
6
4
 0   2  7  10  0   ≠ 2 y  ≠ 5.
1 1 
Por tanto, siempre que  ≠ 2 y  ≠ 5 la ecuación AX  X tendrá solución única, y esta
0
solución será X    .
0
b) La ecuación AX  2 X es la correspondiente cuando  = 2. Da lugar al sistema
4 x  4 y  0

 x  y  0
 x  t 
La solución de este sistema es x = y. Luego, la matriz solución es X      
 y  t 
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Matrices
9
CTJ06
 1  1
1 1 
 y B  

Dadas las matrices A  
 2  1
 4  1
a) Calcula A·B y B·A .
2
b) Comprueba que  A  B   A2  B 2
Solución:
 1  1  1 1    3 2 
·
  

a) A·B  
 2  1  4  1   2 3 
 1 1   1  1  3  2 
·
  

B·A  
 4  1  2  1  2  3 
b) Dado que A·B =  B·A y que  A  B   A2  A·B  BA  B 2 se cumple que
2
 A  B2  A2  B 2 .
También puede verse multiplicando.
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Matrices
10
CMJ06
a) Despeja la matriz X en función de A e I2 en la ecuación ( X  A) 2  X 2  X ·A  I 2 , siendo
X y A matrices cuadradas de orden dos, e I2 la matriz identidad de orden dos.
1 1 
 e I2 la matriz identidad de orden dos.
b) Resuelve la ecuación B·X  B 2  I 2 , si B  
1 0 
Solución:
a) Operando se tiene:
( X  A) 2  X 2  X ·A  I 2  X 2  A·X  X ·A  A2  X 2  X ·A  I 2 
 A·X  A2  I 2  A·X  I 2  A2  A1 ·A·X  A1 ( I 2  A2 ) 
 X  A1  A
b) De B·X  B 2  I 2  B·X  I 2  B 2  B 1 ·B·X  B 1 ( I 2  B 2 )  X  B 1  B
La inversa de B es, B
Como B 
1

( Bij ) t
B
, siendo Bij  la matriz de los adjuntos de B.
1 1
 0  1
0 1 
  B 1  

 1 y Bij   
1 0
1 1 
 1  1
Por tanto:
 0 1  1 1    1 0 
  
  

X  
 1  1 1 0   0  1
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