Tema 2: Probabilidad PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Si A y B son

Tema 2: Probabilidad
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Si A y B son sucesos con probabilidad no nula, analizar si son independientes (a) en el caso en que sean
mutuamente excluyentes y (b) en el caso en que sean complementarios (B = Ā).
SOLUCIÓN:
(a) No son independientes.
(b) No son independientes.
2. El departamento de calidad de una fábrica de elementos de sujección ha evaluado que cierto tipo de
anclajes metálicos producidos pueden ser defectuosos debido a las siguientes causas: defectos en la rosca
y defectos en las dimensiones. Se ha calculado que el 6% de los anclajes que producen tiene defectos en la
rosca, mientras que el 9% tiene defectos en las dimensiones. Sin embargo, el 90% de los anclajes no tienen
ningún tipo de defectos. ¿Cuál es la probabilidad de que un anclaje tenga ambos tipos de defectos?
SOLUCIÓN:
P = 0.05
3. Una máquina consta de tres componentes en serie, cada uno de los cuales tiene una probabilidad de
fallo de 0.01. Por motivos de seguridad se decide colocar otros tres componentes, en paralelo con los
primeros, para reducir el riesgo de avería de la máquina. Suponiendo que todos los componentes actúan
independientemente, ¿ cuál de las dos alternativas presentadas en la figura es preferible, teniendo en
cuenta que, por motivos económicos, los componentes de seguridad son de inferior calidad y tienen una
probabilidad de averiarse de 0.05?
SOLUCIÓN:
P (avería de la máquina en a) = 4.236 × 10−3 . P (avería de la máquina en b) = 1.499 × 10−3 . Por
consiguiente, es preferible la alternativa b) a la a).
4. Las proporciones de piezas defectuosas fabricadas por dos máquinas M1 y M2 son 0.04 y 0.01, respectivamente. Se toma una pieza al azar y resulta aceptable. Sabiendo que la probabilidad de elegir una pieza
de cualquiera de las dos máquinas es 0.5, calcular la probabilidad de que provenga de M1 .
SOLUCIÓN:
P = 0.492.
5. La probabilidad de que un componente se averíe en un período de tiempo dado es 0.01. Su estado (averiado,
funcionando) se comprueba con un ensayo que cumple que cuando el componente funciona la probabilidad
de que el ensayo diga lo contrario es 0.05, pero si el componente está averiado el ensayo no se equivoca.
Si el ensayo indica que el componente está averiado, ¿ cuál es la probabilidad de que realmente lo esté?
SOLUCIÓN:
P = 0.168.
1
6. Un laboratorio quiere introducir en el mercado un test para detectar una enfermedad. Cuando la persona
está enferma, el test indica un 95% de las veces que lo está. Sin embargo, a veces el test da positivo
aunque la persona no tenga la enfermedad. Esto ocurre un 1% de las veces. Si el 0.5% de la población está
enferma, ¿cuál es la probabilidad de que una persona tenga la enfermedad cuando el test así lo indica?
(junio 97).
SOLUCIÓN:
P = 0.323.
7. En un sistema protegido por una alarma, la probabilidad de que se produzca una situación de peligro
es 0,1. Si éste se produce, la probabilidad de que la alarma funcione es 0.95. La probabilidad de que la
alarma funcione sin haber existido peligro es 0.03. Hallar la probabilidad de que habiendo funcionado la
alarma no haya habido peligro. (sep.98).
SOLUCIÓN:
P = 0.2213
8. Tres máquinas A, B y C producen piezas con una proporción de defectuosas del 5%, 3% y 2% respectivamente. Se tiene un lote compuesto por 100 piezas de A, 50 de B y 50 de C. Se extrae una pieza al
azar.
(a) Calcular la probabilidad de que la pieza sea defectuosa.
(b) Si la pieza es defectuosa, calcular la probabilidad de que venga de A.(junio 99).
SOLUCIÓN:
a. P = 0.0375. b.P = 0.66
9. Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas periféricas de una gran ciudad, de manera
que el 60% de los autobuses cubren el servicio de la primera línea, el 30% cubren el servicio de la segunda
línea y el 10% cubren el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un
autobús se averíe es:
• Del 2% en la primera línea.
• Del 4% en la segunda línea.
• Del 1% en la tercera línea.
Calcular:
(a) La probabilidad de que en un día un autobús sufra avería.
(b) Sabiendo que un autobús ha sufrido una avería en un día determinado, ¿cuál es la probabilidad de
que preste servicio en la primera línea? (sep 99).
SOLUCIÓN:
a. P = 0.025. b. P = 0.48
10. Un laboratorio ha diseñado dos tipos de aislante, aislante Tipo A y aislante Tipo B. El destino del aislante
es cubrir un componente electrónico que ha de estar colocado en una atmósfera muy corrosiva durante
un periodo continuado de 100 horas. Para evaluar la probabilidad de que un aislante resista bajo dicha
atmósfera durante ese tiempo, se colocan un conjunto grande de elementos de ambos tipos de aislante
durante 100 horas en dicha atmósfera. Después del experimento se observa que 80 de cada 100 aislantes
de Tipo A siguen en buen estado, mientas que sólo 60 de cada 100 aislantes de Tipo B siguen en buen
estado. De esta forma, puede concluirse que, aproximadamente, la probabilidad de que el aislante de Tipo
A resista es P(A)=0.8 y la probabilidad de que el aislante de Tipo B resista es P(B)=0.6. Para aislar un
componente se tiene dos opciones (1) colocar primero el aislante B y encima el aislante A, o (2) colocar
primero el aislante A y luego el B. ¿Cuál de las dos opciones es más recomendable?
2
(a)
SOLUCIÓN:
Son iguales. la probabilidad de que el conjunto resista es 0.92.
11. Una empresa petrolífera ha de decidir si un emplazamiento es adecuado para hacer una prospección
petrolífera. La empresa iniciará la propección si la probabilidad de encontrar petróleo es mayor de 0.5.
Los geólogos concluyen que dadas las condiciones geológicas de la zona, la probabilidad de que en el
emplazamiento haya petróleo es de sólo 0.4. Existe una forma adicional, aunque más compleja, de obtener
más información sobre el potencial del emplazamiento. Es posible contratar a una empresa de ingeniería
una prueba sísmica para detectar la presencia de petróleo. Esta prueba sísmica tampoco es del todo
concluyente. La experiencia revela que cuando realmente hay petróleo, la prueba sísmica da un resultado
positivo el 40% de las veces, mientas que cuando no hay petróleo, la prueba sísmica detecta erróneamente
la presencia de petróleo el 10% de las veces ¿Debe la empresa petrolífera contratar esa prueba sísmica?
SOLUCIÓN:
Sí.
12. Se tiene un sistema de componentes conectados según la siguiente figura:
Todos los componentes son de una fiabilidad similar, y tienen una probabilidad de averiarse de 0.01. Las
averías de los componentes son independientes del estado del resto de los componentes. El sistema fuciona
si entre A y B es posible encontrar un camino de componentes que funcionen. ¿Cuál es la probabilidad
de que el sistema funcione?
SOLUCIÓN:
P (funciona) = 0.9896
13. Calcula la probabilidad de que el siguiente sistema funcione, donde los componentes tienen las mismas
3
características que en el problema anterior
SOLUCIÓN:
P (funciona) = 0.9898
14. Calcula la probabilidad de que el siguiente sistema funcione, donde los componentes tienen las mismas
características que en el problema anterior
SOLUCIÓN:
P (funciona) = 0.999798.
15. Sean A,B y C sucesos cualesquiera. Demostrar los siguientes resultados (junio 05):
(a) Demuestra que
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (B ∩ C)
−P (A ∩ B) − P (A ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)
(sugerencia: ayúdate del suceso D = B ∪ C)
(b) Demuestra que si A,B y C son mutuamente excluyentes, entonces P (A∪B∪C) = P (A)+P (B)+P (C)
(c) Demuestra que P (A ∩ B ∩ C) = P (A|B ∩ C)P (B|C)P (C)
(d) Sea A = B ∩ C. Demuestra que P (B|A) = 1
(e) Sea ahora A = B ∪ C. Demuestra que P (B|A) = P (B)/P (A)
4