Física Quàntica ETSETB – EE Problemes – Full 1

Física Quàntica ETSETB – EE
Problemes – Full 1
Resum:
Física cuántica y mecánica ondulatoria
CUANTOS DE RADIACIÓN. Todas las ondas electromagnéticas, incluyendo la luz, tienen
una naturaleza dual. Cuando viajan a través del espacio, actúan como ondas para dar lugar a
efectos de interferencia. Pero cuando las radiaciones electromagnéticas interactúan con los
átomos y las moléculas, el rayo actúa como una corriente de corpúsculos de energía llamados
fotones o "cuantos" de luz.
La energía de cada fotón depende de la frecuencia f (o de la longitud de onda λ) de la
radiación en el haz. La interrelación es
energía del fotón = hf =
hc
λ
donde h = 6.626 x 10-34 J · s es una constante de la naturaleza llamada constante de
Planck.
EFECTO FOTOELÉCTRICO. Cuando la luz incide sobre una superficie, bajo ciertas
condiciones se emiten electrones. Considérese que un fotón de energía hf choca con un electrón
en (o cerca de) la superficie de un material, que el fotón transfiere toda su energía al electrón, y
que la función trabajo, el mínimo trabajo requerido para liberar un electrón de la
superficie, es Wmin. Entonces, la energía cinética máxima ( 1 mv2 max) del electrón emitido está
2
dada por la ecuación fotoeléctrica de Einstein como
1 2
mv max
2
= hf
- W min
La energía del electrón emitido puede encontrarse determinando qué diferencia de potencial V
debe aplicarse para detener su movimiento; entonces,
1 2
mv max = Ve.
2
Para cualquier superficie, la luz debe ser de longitud de onda suficientemente corta para
que la
energía del fotón sea lo bastante grande para emitir el electrón. En el umbral, la energia del
fotón hf es precisamente igual a la función trabajo. Para metales ordinarios el umbral cae en el
espectro visible o ultravioleta. Los rayos X emitirán fotoelectrones con facilidad; el infrarrojo
lejano o los fotones de las ondas caloríficas nunca lo harán.
EL FOTÓN TIENE MASA EN REPOSO CERO. Toda su masa es el resultado del
movimiento con rapidez c. Dado que ∆E = (∆.m)c2, y dado que la energía de un fotón es hf, se
tiene, para un fotón,
mc2 = hf
o
m=
hf
h
=
2
c
cλ
la cantidad de movimiento de un fotón es mc = h / λ
EFECTO COMPTON. Un fotón puede chocar con una partícula que no tenga masa de cero en
reposo, como un electrón. Cuando lo hace, su energía y cantidad de movimiento pueden
cambiar debido a la colisión. El fotón puede también desviarse en el proceso. Si un fotón de
longitud de onda inicial A choca con una partícula estacionaria de masa m y se desvía un
ángulo φ, entonces su longitud de onda se incrementa λ’.
Demuestra que:
λ’ = λ +
h
(1 - cos φ)
mc
La fracción de cambio de la longitud de onda es muy pequeña, excepto para radiaciones
de alta energía como los rayos X o los rayos y.
ONDAS DE DE BROGLIE. Una partícula de masa m que se mueve con una rapidez v tiene
asociada con ella una longitud de onda de de Broglie.
λ=
h
mv
Un haz de partículas puede difractarse y puede sufrir fenómenos de interferencia. Estas
propiedades de onda de las partículas pueden calcularse considerando que las partículas se
comportan como ondas que tienen la longitud de onda de de Broglie.
______________________________________________________________________
Problemes
1.1 Demostra que els fotons en un feix de llum d’infraroig de 1 240 nm tenen energia de
1 eV.
1.2 Calcula l’energia d’un fotó de llum blava de longitud d’ona 450 nm.
energia =
hc
λ
= 2.76 eV
1.3 Per trencar un enllaç químic en les molècules de pell humana, la qual cosa origina la
cremada de llum solar, es requereix l’energia d’un fotó d’aproximadament 3.5 eV. A
quina longitud d’ona correspon?
hc
= 355 nm
energia
La llum ultravioleta causa les cremades per la llum solar.
λ=
1.4 La funció treball del sodi metàl·lic és 2.3 eV. Quina és la llum de longitud d’ona
més gran que pot causar l’emissió fotoelectrònica del sodi?
Al llindar, l’energia del fotó és exactament igual a l’energia necessària per
arrencar l’electró que perd metall, i s’anomena a la funció treball Wmín.
Wmín. =
hc
λ
λ =540 nm
1.5 Quina diferencia de potencial s’ha d’aplicar per detenir els fotoelectrons més ràpids
emesos per una superfície de níquel sota l’acció de llum ultravioleta de longitud d’ona
2 000 A? La funció treball del níquel és 5.01 eV.
energia del fotó = 6.21 eV
6.21 eV – 5.01 eV = 1.20 eV
Per tant es necessita un potencial de retard negatiu de 1.20 V.
1.6 S’emetran fotoelectrons d’una superfície de coure, de funció treball 4.4 eV, quan
s’il·lumina amb llum visible?
R: No, degut a que λ = 282 nm
1.7 Quina longitud d’ona ha de tenir la radiació electromagnètica si un fotó al feix va a
tenir la mateixa quantitat de moviment que un electró que es mogui amb una velocitat
de 2 ·105 m/s?
R: λ = 3,64 nm (raigs X)
1.8 Suposa que un fotó de 3,64 nm que es mou en la direcció + x xoca de front amb un
electró a 2 · 105 m/s que es mou en la direcció – x. Si el xoc és perfectament elàstic,
troba les condicions després de la col·lisió.
R: Llei de conservació de la quantitat de moviment
h
λ0
− mv0 =
h
λ
− mv
A més, sabent h/λ0 = mv0
Per tant, v = v0 , tant el fotó com l’electró reboten amb la seva velocitat original.
1.9 Un fotó ( λ = 0,400 nm ) xoca amb un electró en repòs i rebota amb un angle de 150º
respecte a la seva direcció original. Troba la velocitat i la longitud d’ona del fotó
després de la col·lisió.
R: Equació efecte Compton:
λ´= λ +
h
(1 − cos φ ) = 0.4045 nm
mc
1.10 Quina és la longitud d’ona de Broglie per una partícula que es mou amb una
velocitat de 2 · 106 si la partícula és (a) un electró, (b) un protó, (c) una bola de 0.2 kg?
R: λ =
h
mv
(a) λ = 3.6 · 10-10 nm (b) λ = 2 · 10-13 nm (c) λ = 1,65 · 10-39 nm
1.11 Un electró cau des del repòs a través d’una diferència de potencial de 100 V. Quina
és la seva longitud d’ona de Broglie?
R: λ = 12.3 nm
1.12 Quina diferència de potencial es requereix en un microscopi electrònic per donar
als electrons una longitud d’ona de 0.5 A?
R: 600 V
1.13 Quina és la funció treball del sodi metàl·lic si la longitud d’ona del llindar
fotoelectric és de 680 nm?
R: 1.82 eV
1.14 Determina la EC màxima dels fotoelectrons emesos d’una superfície de potassi
mitjançant llum ultravioleta de longitud d’ona 2 000 A. Quina diferència de potencial de
retard es requereix per detenir l’emissió d’electrons? La longitud d’ona del llindar
fotoelèctric per el potassi és de 4 400 A.
R: 3,38 eV, 3,38 V.
1.19 A quina velocitat seran emesos els electrons més ràpids des d’una superfície , on la
longitud d’ona del llindar és 600 nm, quan la superfície se il·lumina amb una longitud
d’ona de 400 nm?
R: 6 · 105 m/s
1.20 S’emeten electrons des d’una superfície metàl·lica, amb una EC màxima de 3eV,
mitjançant de llum ultravioleta de longitud d’ona 1 500 A. Determina la funció treball
del metall, la longitud d’ona al llindar, del metall, i la diferència de potencial de retard
que es requereix per tal d’obtenir l’emissió d’electrons.
R: 5,27 eV, 2350 A, 3 V
1.21 Quina és la velocitat i la quantitat de moviment d’un fotó a 500 nm?
R: v = 3× 10 8 m/s, quantitat de moviment = 1.33 · 10-27 kg·m/s
1.22 Un feix de raigs X amb longitud d’ona exactament de 5 · 10-14, xoca amb un protó
que està en repòs. Si els raigs X es dispersen a través d’un angle de 110º , Quina és la
longitud d’ona dels raigs X dispersats?
R: λ = 5,18 · 10-14 m
1.23 Calcula la longitud d’ona de de Broglie d’un electró que s’ha accelerat a través
d’una diferència de potencial de 9 000 V. Ignora els efectes relativistes.
R: λ = 1,3 · 10-13 nm
1.24 Quina és la longitud d’ona de de Broglie d’un electró que s’ha accelerat a través
d’una diferència de potencial de 1 MV? ( S’han d’utilitzar les expressions de massa i
energia relativistes per aquesta alta energia)
R: λ = 8,7 · 10-13 nm
1.25 Es desitja enviar un feix d’electrons a través d’una reixa de difracció amb una
distancia entre ranures de d. Els electrons tenen una velocitat de 400 m/s. De quina
magnitud ha de ser d si va a emergir un fort feix d’electrons en un angle de 25º amb
relació al feix recte que penetra?
R: d = n( 4,3 ·10-6m) n = 1, 2, 3, ...