Capítulo V. Teoría cinética elemental de los procesos de transporte

Capítulo V.
Teoría cinética elemental de los procesos de transporte
Lección 20
Gas diluido. Desequilibrio. Colisiones. Recorrido libre medio
Lección 21
Viscosidad y transporte de momento. Coeficiente de viscosidad de un gas diluido.
Conductividad térmica y transporte de energía. Coeficiente de conductividad térmica.
Lección 22
Autodifusión y transporte de moléculas. Coeficiente de autodifusión de un gas diluido.
Conductividad eléctrica y transporte de carga. Coeficiente de conductividad eléctrica
de un sistema de partículas cargadas
1
Lección 20
Gas diluido. Desequilibrio. Colisiones. Recorrido libre medio
2
Introducción.
Hemos tratado situaciones de equilibrio, pero ¿cómo se llega a él?
Situaciones de desequilibrio:
Un río
T1
T1 > T2
Q
T2
metal
En un sólido:
-gas diluido de electrones
-vibraciones de la red (fonones)
-ondas de momento magnético (magnones)
Complicado
Gas clásico diluido
3
Gas en situación de desequilibrio:
- Se llega al equilibrio mediante choques entre las moléculas
- En equilibrio tendremos la distribución de velocidades de Maxwell
Si consideramos un gas diluido:
- Densidad baja: las moléculas apenas interaccionan,
tiempo entre choques >> tiempo chocando
- La probabilidad de choques entre más de dos partículas es
despreciable
- La longitud de onda de de Broglie de las moléculas es mucho menor
que la separación media entre ellas: trayectorias clásicas
4
Diferencia entre situción de equilibrio y estacionaria:
Sistema aislado en equilibrio: ninguno de sus parámetros varía en el tiempo
Sistema estacionario: el sistema no está aislado, pero sus parámetros
no varían en el tiempo.
Hay que considerar el entorno:
T1
T1 > T2
Q
T2
Situación estacionaria:
Hay un gradiente de T en la barra.
Pero si los focos son finitos,
acabaremos teniendo T1 = T2
barra
5
Estudiaremos procesos de transporte en el gas diluído:
Transporte de:
- Momento:
- Energía:
- Materia:
Viscosidad
Conductividad térmica
Difusión
Consideraremos:
- velocidad de las moléculas
- tiempo entre colisiones
- distancia entre colisiones
- número de colisiones
Conceptos:
- tiempo de colisión, τ
- recorrido libre medio, λ
- sección eficaz de dispersión, σ
6
Recorrido libre medio:
Distancia media entre colisiones
mv
Recorrido libre medio = tiempo medio entre colisiones × velocidad media
Volumen barrido por una molécula
hasta que se encuentra con otra:
Sección eficaz de dispersión:
Recorrido libre medio :
1
πD λ=
n
2
σ = π D2
λ≈
1
1
=
nπ D 2 σ n
7
Difusión:
movimiento de una sustancia debido a un gradiente de su concentración
El flujo de moléculas a través de un area A es proporcional al gradiente de
densidad. (ley de Fick)
Coeficiente de difusión, D = {m2/s}
8
Conductividad térmica:
transferencia de energía en forma de calor debido a un gradiente de temperatura
Frio
Flujo de calor
Caliente
El flujo de energía a través de un area A es proporcional al gradiente de
temperatura. (ley de Fourier)
Conductividad térmica, K = {W m-1 K-1}
C : calor específico
9
Viscosidad:
transporte de momento (momento X, transportado a lo largo de la dirección Y)
Pared en movimiento
Si una superficie se mueve respecto a otra,
habrá un gradiente de velocidad. Esto
produce una fuerza de arrastre sobre cada
superficie.
Y
X
Pared fija
Coeficiente de viscosidad: {N m-2 s-1}
(CGS: poise)
10
Recorrido libre medio.
Tiempo medio entre colisiones.
Sección eficaz de dispersión.
11
Colisiones: tiempo de colisión, recorrido libre medio.
Sea una molécula con velocidad v.
Sea P(t) la probabilidad de que pase un tiempo t sin sufrir choques.
P ( 0 ) = 1,
P (t ) ↓ si t ↑ , P (t → ∞ ) → 0
ω dt : probabilidad de que una molécula sufra un choque en el tiempo entre t y t+dt.
ω : Probabilidad por unidad de tiempo. Frecuencia de colisión. Es independiente de
la historia pasada. Puede depender de la velocidad. Permite obtener P(t).
P (t + dt ) = P (t ) × (1 − ω dt )
P (t + dt ) ≡ P (t ) +
1 dP
= −ω
P dt
Supondremos que la velocidad no
varía (o muy poco) entre choques.
La probabilidad es independiente
del tiempo.
dP (t )
dt
dt
ln P = −ω t + C
P (0) = 1
P (t ) = C exp( −ω t )
C =1
P (t ) = exp( −ω t )
12
Colisiones: tiempo de colisión, recorrido libre medio.
P(t) : probabilidad de que la molécula pase un
tiempo t sin sufrir choques
P (t ) = exp( −ω t )
Definimos: probabilidad de que una molécula tenga un choque en el intervalo
[t,t+dt], después de estar un tiempo t sin sufrir choques
P (t ) × ω dt =
(t ) dt
Esta nueva probabilidad equivale a:
probabilidad de sobrevivir t MENOS
probabilidad de sobrevivir t+dt
(t ) = e − ω t ω dt
(t ) = P (t ) − P (t + dt ) = −
dP
dt
dt
Condición de normalización: (seguro que la partícula choca en algún momento)
∞
(t ) dt = 1
0
13
Colisiones: tiempo de colisión, recorrido libre medio.
Tiempo de colisión (o de relajación): es el tiempo medio entre choques.
∞
τ ≡t= t
∞
(t ) dt = t e
0
Y podemos escribir:
−ω t
ω dt =
0
(t ) dt = e
−
t
τ
1
τ
dt
1
ω
ω yτ
pueden depender de la
velocidad
Recorrido libre medio: distancia recorrida entre choques.
l (v ) = v τ (v )
τ
l=vτ ≡λ
14
Recorrido libre medio:
Distancia media entre colisiones
mv
Recorrido libre medio = tiempo medio entre colisiones × velocidad media
Volumen barrido por una molécula
hasta que se encuentra con otra:
Sección eficaz de dispersión:
Recorrido libre medio :
1
πD λ=
n
2
σ = π D2
λ≈
1
1
=
nπ D 2 σ n
15
Colisiones: recorrido libre medio. Sección eficaz de dispersión
(Incluye potencial de interacción)
Antes:
v1, v2
Después: v’1, v’2
V’
1
2
V
Sistema de referencia fijo en 2:
Φ1 ≡
V = v1 - v2
R = r1 - r2
Flujo de partículas tipo1 que inciden en las tipo2 por unidad de area y de tiempo
Tras la dispersión, habrá dN partículas de tipo1 con velocidad entre v’ y v’+dv’ (en la
dirección dΩ) Ω ≡ {θ , φ}
σ (Ω ,V ) ≡
σ 0 (V ) ≡
Sección eficaz diferencial de dispersión,
es la proporcionalidad entre estas
magnitudes: dN , Φ 1 y d Ω
Sección eficaz total de dispersión:
dN = σ ( Ω , V ) Φ 1 d Ω
σ 0 (V ) =
σ (Ω ,V ) d Ω
Ω
16
Colisiones: recorrido libre medio.
¿ Cuál es la probabilidad de choque por unidad de tiempo ?
Flujo de partículas tipo1 que inciden
sobre el diferencial de volumen:
Φ 1 = n 1 (V dt dA )
Número de partículas tipo1 dispersadas por unidad de
tiempo en todas las direcciones, por todas las moléculas
que haya en d3r:
( n1 V σ 0 ) × ( n d 3 r )
La probabilidad de choque por unidad de tiempo para una
molécula se obtiene dividiendo por el número de moléculas
tipo1 que hay en d3r: ( n 1 d 3 r )
La probabilidad de choque aumenta si aumentan:
1
= n1 V
dt dA
ω =τ
−1
= Vσ
0
n
La velocidad molecular,
La densidad
La sección eficaz de dispersión
17
Colisiones entre moléculas: recorrido libre medio.
Recorrido libre medio
v
V
v
Vσ
0
n
será cercano a 1
V = v1 − v 2
V
λ = vτ =
2
2
v1 v 2 = 0 ,
V
2
2
= v1 + v 2
2
2
= v1 + v 2 − 2 v1 v 2
v cm ≈ v , V ≈
2
v1 + v 2
2
Y si las moléculas son idénticas:
V ≈
Por lo tanto:
λ ≈
2v
1
2σ
0
n
18
Colisiones entre moléculas: recorrido libre medio.
Estimaciones numéricas:
1
λ ≈
2σ
0
n
σ0 = π d2
Gas a temperatura ambiente y 1 atmósfera.
p = 10 6 dinas / cm 2 , T = 300 K , n = p / kT ≈ 2.4 1019 molecs / cm 3
diámetro típico : d = 0.2 nm = 2 10 −8 cm
σ 0 ≈ 12 10 −16 cm 2 → λ ≈ 3 10 −5 cm >> d
Nitrógeno:
v ≈ 5 10 cm / s, τ =
4
ω = τ −1 ≈ 2 10 9 s −1
λ
≈ 6 10
−10
s
v
(microondas )
v=
8
π
kT
m
19
Lección 21
Viscosidad y transporte de momento. Coeficiente de
viscosidad de un gas diluido.
Conductividad térmica y transporte de energía. Coeficiente
de conductividad térmica.
20
Fenómenos de transporte
Transporte de una determinada propiedad a lo largo de una
dirección, y a través de la superficie normal a esa dirección.
Modelo:
Las moléculas llevan las propiedades que tenían en la posición de su
última colisión, que ocurrió a una distancia igual a un recorrido libre
medio de la linea (superficie) a través de la cual estudiamos el
transporte.
z+λ
2λ
z-λ
21
Fenómenos de transporte
Transporte de la propiedad F a lo largo de la dirección z.
Flujo de F: cantidad de F transportada por unidad de area y de tiempo.
1
Flujo de partículas que
Φ = n ( v dt dA )
= n v
dt dA
inciden sobre un dA en dt:
J +z =
1
nv F (z − λ )
6
J −z =
1
nv F (z + λ )
6
F (z ± λ ) = F (z) ± λ
J z = J +z − J −z =
1
nv
6
z+λ
2λ
z-λ
∂F
∂z
(si el gradiente de F no es muy grande)
− 2λ
∂F
∂z
Flujo de F:
Jz = −
1
∂F
n vλ
3
∂z
22
Fenómenos de transporte. Viscosidad
Transporte de momento
(Ejemplo: momento X, transportado a lo largo de la dirección Z)
Pared en movimiento
Un río
Z
X
Pared fija
Si una superficie se mueve respecto a
otra, habrá un gradiente de velocidad.
Esto produce una fuerza de arrastre
sobre cada superficie.
Pzx ≡
∂p
= F
∂t
Fuerza ejercida sobre
el gas (o pared)
aumento medio, por unidad de tiempo y de area del plano, de la componente x del
momento del gas sobre el plano, debido al transporte neto de momento por parte de las
partículas que atraviesan dicho plano.
23
Fenómenos de transporte. Viscosidad
Transporte de momento
(Ejemplo: momento X, transportado a lo largo de la dirección Z)
z+λ
2λ
J
z
= −
z-λ
Pzx ≡
1
∂F
n vλ
3
∂z
aumento medio, por unidad de tiempo y de area del plano, de la componente x del
momento del gas sobre el plano, debido al transporte neto de momento por parte de las
partículas que atraviesan dicho plano.
Pzx = J + z − J − z
= “vienen” - “se van”
J +z =
1
n v mv x ( z − λ )
6
J −z =
1
n v mv x ( z + λ )
6
Pzx
Pzx
∂v x
= −η
∂z
∂vx
1
= − n vλ m
3
∂z
η =
1
n vm λ
3
24
Viscosidad: relaciones y límites de validez
1
η = n vm λ
3
λ ≈
P
λ
v
P =η
v
λ
=η
2σ
0
n
v =
8 kT
π m
PV = NkT
n = N /V
3
1
2
1
2
E =
kT =
mv
P = nm v
2
2
3
Relación Presión-gradiente de velocidad
η =
1
∂v x
∂z
Relación Viscosidad-Temperatura. La viscosidad es independiente de la presión
1
η =
3
1
2σ
m
0
8 kT
π m
η =
2
3 π
mkT
σ
0
σ0 también depende de T
Pero todo esto sólo vale si el gas es diluído
25
Viscosidad: relaciones y límites de validez
Gas diluido:
n baja , λ >> d , d ≈ σ 0
d << λ << L
n alta , λ << L
Gas muy diluido:
Habrá que considerar choques entre móléculas y de las
moléculas con las paredes
−1
= V nσ
τ molecs
τ
−1
paredes
v
≈
L
Si n ↓↓
0
=
−1
τ 0− 1 = τ molecs
+τ
−1
paredes
n = N /V
E =
3
1
2
kT =
mv
2
2
P =
1
2
nm v
3
λ ≈
n → 0, λ ≈ L , Fx → 0, η → 0
Probabilidad total de choque:
PV = NkT
η =
1
2σ
0
n
v =
8 kT
π m
σ0 = π d2
1
n vm λ
3
η =
2
3 π
mkT
σ
0
v
λ
Recorrido libre medio total:
λ 0− 1 = λ − 1 + L − 1 ≈
, λ0 → L, η ∝ n
λ0 ≡ τ 0 v
2nσ
0
+ L−1
Gas de Knudsen,
ya no tiene sentido hablar de viscosidad
26
Viscosidad: estimaciones numéricas
Nitrógeno a temperatura ambiente y 1 atmósfera :
p = 10 6 dinas / cm 2 , T = 300 K ,
n = p / kT ≈ 2.4 10 molecs / cm
19
3
diámetro típico : d = 0.2 nm = 2 10 −8 cm
σ 0 ≈ 12 10 −16 cm 2 → λ ≈ 3 10 −5 cm >> d
v ≈ 5 10 cm / s,
4
PV = NkT
n = N /V
E =
3
1
2
kT =
mv
2
2
P =
1
2
nm v
3
λ ≈
η =
η =
η ≈ 1.810 − 4 g cm −1 s −1 ( poise )
η =
1
2σ
0
n
v =
8 kT
π m
σ0 = π d2
1
n vm λ
3
2
3 π
mkT
σ
0
P
v/λ
27
Fenómenos de transporte. Conductividad térmica
Transferencia de energía en forma de calor debido a un gradiente de temperatura
El flujo de energía a través de un area A es
proporcional al gradiente de temperatura.
(ley de Fourier)
T = T ( z ),
Qz ≡
Frio
Flujo de calor
∂T
> 0
∂z
Caliente
z
flujo de calor (energía). Gas ideal: energía cinética.
∂T
Q z = −κ
∂z
Conductividad térmica, κ = {W m-1 K-1}
28
Fenómenos de transporte. Conductividad térmica
Transferencia de energía en forma de calor debido a un gradiente de temperatura
z+λ
2λ
J
z
= −
z-λ
Qz ≡
flujo de calor (energía). Gas ideal: energía cinética.
Q z = J +z − J −z
= “vienen” - “se van”
1
nv ε (z − λ )
6
1
= nv ε (z + λ )
6
J +z =
J −z
1
∂F
n vλ
3
∂z
Qz = −
∂ε
1
1
κ = n vλ
= n vλ C
3
3
∂T
C : calor específico
∂ε
∂ε ∂T
1
1
= − n vλ
n vλ
∂z
3
3
∂T ∂z
∂T
Q z = −κ
∂z
29
Conductividad térmica :
relaciones y límites de validez
1
n vλ C
3
κ =
κ
PV = NkT
es independiente de la presión
κ =
1
3
C
2 σ
0
v =
2
C
3 π σ
0
P =
1
2
nm v
3
η =
Relación Viscosidad-Conductividad térmica.
cV
κ
C
=
=
η
m
PM
Además, todo esto sólo vale si el gas es diluído
3
1
2
kT =
mv
2
2
η =
σ0 también depende de T
Nota: κ real es mayor. Las moléculas más rápidas llevan
más energía cinética, y no hemos considerado la distribución
de velocidades de Maxwell, sino que hemos considerado a
todas las moléculas con la velocidad media.
E =
λ ≈
kT
m
n = N /V
η =
1
2σ
0
n
v =
8 kT
π m
σ0 = π d2
1
n vm λ
3
2
3 π
mkT
σ
0
P
v/λ
cV
κ
= γ
PM
η
γ
varía entre 1.3 y 2.5
30
Conductividad térmica :
Aplicación a gases no clásicos. Transporte de calor en metales
κ
gas
=
1
n vλ C
3
¿κ
metal
?
En un metal:
- gas de electrones
- vibraciones de la red (fonones)
κ metal :
Contribuyen los electrones
alrededor del nivel de Fermi:
Gas de electrones:
Velocidad de Fermi:
Ce
vF
kT
n
EF
3
k
=
2
= 2EF / m
n
n0
kT
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
E / EF
0.0
0
1
2
Recorrido libre medio: choques con fonones (nf ) y con impurezas (ni)
31
Conductividad térmica :
Aplicación a gases no clásicos. Transporte de calor en metales
Recorrido libre medio de los electrones: choques con fonones (nf ) y con impurezas (ni)
A baja T hay pocos fonones excitados térmicamente:
(lo veremos en FD y BE)
La densidad de impurezas es fija, por tanto:
λ ∝ n
−1
i
→ κ ≈ κ i ∝ T , ( T < 10 K )
κ =
A alta T: predomina la dispersión por fonones
λ ∝ n −f 1 ∝ T
−3
→ κ ≈ κ
En general, fonones + impurezas:
1
κ
=
1
κ
+
f
1
κi
= a
1
+ bT
T
f
λ ≈
∝ T T
−3
1
2σ
n
1
n vλ C
3
, (T < θ D )
κ
2
T
0
32
Conductividad térmica de un sólido aislante a baja temperatura
No hay electrones, el calor se transporta por las vibraciones de la red
κ =
1
n vλ C
3
n
f
∝ T
v
f
≡ v sonido
3
indep . T
C ∝ k indep . T
λ ≡ Long. de dispersión del fonón = tamaño del sólido, indep. de T
Por tanto, para un aislante a baja temperatura:
κ ∝ T
3
33
Lección 22
Autodifusión y transporte de moléculas. Coeficiente de autodifusión
de un gas diluido.
Conductividad eléctrica y transporte de carga. Coeficiente de
conductividad eléctrica de un sistema de partículas cargadas
34
Fenómenos de transporte. Difusión
movimiento de una sustancia debido a un gradiente de su concentración
El flujo de moléculas a través de un area A
es proporcional al gradiente de densidad.
(ley de Fick).
J
z
∂N
∂n
=
= −D
∂A ∂t
∂z
Habrá movimiento hasta lograr una distribución uniforme.
∂N
= J +z − J −z
∂A ∂t
= “vienen” - “se van”
Coeficiente de difusión, D = {m2/s}
35
Fenómenos de transporte. Difusión
movimiento de una sustancia debido a un gradiente de su concentración
z+λ
2λ
J
z
= −
z-λ
∂N
= J +z − J −z
∂A ∂t
= “vienen” - “se van”
1
v n(z − λ )
6
1
= v n(z + λ )
6
J +z =
J −z
J
z
1
∂F
n vλ
3
∂z
∂N
∂n
=
= −D
∂A ∂t
∂z
Jz = −
1
∂n
vλ
3
∂z
1
D = vλ
3
36
Fenómenos de transporte. Difusión
movimiento de una sustancia debido a un gradiente de su concentración
z+λ
2λ
z-λ
∂N
∂
=
( n A dz ) = A J z ( z ) − A J z ( z + dz )
∂t
∂t
“vienen”
“se van”
∂n
∂J z
= −
∂z
∂t
Jz = −
Ecuación de conservación
del número de partículas
∂n
1
n vλ
3
∂z
∂ 2n
∂n
= D
∂z 2
∂t
D =
1
vλ
3
37
Coeficiente de difusión:
relaciones y dependencias
D =
D
1
vλ
3
sí depende de la presión
D =
2
3 π Pσ
0
m
σ0 también depende de T
Cuanto más caliente y menos denso está el gas,
mejor se mueven las moléculas
3
1
2
kT =
mv
2
2
P =
1
2
nm v
3
η =
η =
η =
Relación Viscosidad-Difusión
D
η
=
1
1
=
nm
ρ
Dρ
η
γ
n = N /V
E =
λ ≈
(k T )3
1
PV = NkT
1
2σ
0
n
v =
8 kT
π m
σ0 = π d2
1
n vm λ
3
2
3 π
mkT
σ
0
P
v/λ
= γ
varía entre 1.3 y 2.5
38
Coeficiente de difusión:
estimaciones
PV = NkT
Nitrógeno a temperatura ambiente y 1 atmósfera :
p = 10 6 dinas / cm 2 , T = 300 K ,
n = p / kT ≈ 2.4 10 molecs / cm
19
3
diámetro típico : d = 0.2 nm = 2 10 −8 cm
σ 0 ≈ 12 10 −16 cm 2 → λ ≈ 3 10 −5 cm >> d
v ≈ 5 10 4 cm / s,
η ≈ 1.810 − 4 g cm −1 s −1 ( poise )
D ≈ 0.5 cm 2 / s
Experimental a 273K y 1 atmósfera :
D ≈ 0.185 cm 2 / s
n = N /V
E =
3
1
2
kT =
mv
2
2
P =
1
2
nm v
3
1
λ ≈
2σ
η =
η =
D =
D
η
=
σ0 = π d2
n
1
n vm λ
3
η =
D =
0
8 kT
π m
v =
2
mkT
σ
3 π
0
P
v/λ
1
vλ
3
2
(k T )3
1
3 π Pσ
0
1
1
=
nm
ρ
m
39
La difusión tratada como un problema de camino aleatorio
Las moléculas tienen desplazamientos aleatorios tras las colisiones.
Estudiaremos la componente Z de dichos desplazamientos:
s : componente Z del desplazamiento i-ésimo
La molécula parte de Z=0, tras N choques...
N
z =
i =1
si = 0
Los desplazamientos son aleatorios:
Pero la dispersión no es nula:
z
2
=
N
i =1
si
z = 0
2
si +
N
i , j =1
i≠ j
si s
j
Por tanto estudiaremos la evolución de la dispersión con el tiempo
40
La difusión tratada como un problema de camino aleatorio
2
z
La dispersión es:
N
=
i =1
si s
j
= si s
j
N
2
si +
i , j =1
i≠ j
si s
j
z2 = N s2
= 0
2
s (t ) = v z t → s 2 = v z t 2
2
2
2
2
v2 = vx + vy + vz → vz =
t =
2
Número de
desplazamientos
en tiempo t:
∞
0
2
t e
N =
t
τ
1
vλ , λ = v τ
3
1 2
D = v τ
3
D =
−
t
τ
1
τ
1 2
v
3
dt = 2τ 2
s2 =
2 2
v τ
3
z (t ) = N s
2
z 2 (t ) ≈ 2 D t
2
=
2
2 2
v τ
3
t
41
La difusión tratada como un problema de camino aleatorio
Lo relacionaremos con la ecuación de difusión (gradientes de densidad):
∞
1
z (t ) =
N1
2
z n 1 ( z , t ) dz
z
−∞
2
∂
∂t
∂ n1
dz = D
∂t
∞
z
−∞
2
∂ 2
z
∂t
n 1 ( z , t ) dz
∂ 2 n1
dz
2
∂z
∂n
∂ 2n
ecuación de difusión
= D
∂t
∂z 2
(por partes)
= N1
∞
−∞
−∞
× N1
∞
N1 =
2
n1 y
∂ n1
→ 0 , si z → ±∞
∂z
∂ 2
z = 2D → z2 = 2D t
∂t
= 2 D N1
Así, usando el camino aleatorio, el coeficiente de difusión es:
z 2 (t ) =
2 2
v τ
3
t
D =
1 2
v τ
3
v cm ≈ v
D =
1
vλ
3
42
Conducción eléctrica
jz ≡
E
Carga eléctrica media que cruza dA
en dt en la dirección z
(densidad de corriente)
jz = σ
e
E
Partículas cargadas, en un
campo eléctrico, que chocan
contra otras partículas
Ley de Ohm
n partículas cargadas (q) por unidad de volumen
Modelo:
jz = n q vz ,
¿vz ?
m
Justo tras un choque:
dv z
qE
= q E → vz =
t + v z (t = 0 )
dt
m
Si debido al choque v=0:
vz
vτ = λ =
1
σ
v ≈ v rcm = 3
0
n
kT
m
qE
=
τ → σ
m
σ
e
e
nq2
=
τ
m
nq2
=
n1 m v σ
=
0
nq2
1
3 n 1 σ 0 mkT
43
n partículas cargadas, n1 partículas contra las que chocan
44
Viscosidad: relaciones y límites de validez
1
η = n vm λ
3
λ ≈
P
λ
v
P =η
v
λ
=η
2σ
0
n
v =
8 kT
π m
PV = NkT
n = N /V
3
1
2
1
2
E =
kT =
mv
P = nm v
2
2
3
Relación Presión-gradiente de velocidad
η =
1
∂v x
∂z
Relación Viscosidad-Temperatura. La viscosidad es independiente de la presión
1
η =
3
1
2σ
m
0
8 kT
π m
η =
2
3 π
mkT
σ
0
σ0 también depende de T
Pero todo esto sólo vale si el gas es diluído
45
Fenómenos de transporte. Difusión
J
z
= −
1
∂F
n vλ
3
∂z
movimiento de una sustancia debido a un gradiente de su concentración
El flujo de moléculas a través de un area A es
proporcional al gradiente de densidad.
(ley de Fick).
Coeficiente de difusión, D = {m2/s}
∂N
= J +z − J −z
∂A ∂t
Jz
= “vienen” - “se van”
J −z
1
∂n
= − vλ
3
∂z
1
D = vλ
3
Jz
1
v n(z − λ )
6
1
= v n(z + λ )
6
J +z =
∂n
= −D
∂z
46
Fenómenos de transporte. Difusión
J
z
= −
1
∂F
n vλ
3
∂z
movimiento de una sustancia debido a un gradiente de su concentración
El flujo de moléculas a través de un area A es
proporcional al gradiente de densidad.
(ley de Fick).
Coeficiente de difusión, D = {m2/s}
∂N
∂
=
( n A dz ) = A J z ( z ) − A J z ( z + dz )
∂t
∂t
“vienen”
“se van”
∂n
∂J z
= −
∂z
∂t
Jz = −
Ecuación de
difusión
∂ 2n
∂n
= D
∂z 2
∂t
∂n
1
n vλ
3
∂z
D =
1
vλ
3
47
Fenómenos de transporte.
η y κ
Relaciones entre
D ,η y κ
dependencias con: temperatura, presión, dimensiones del recipiente, etc.
η =
1
n vm λ
3
λ ≈
1
2σ
η =
P
λ
v
η =
1
3
0
κ =
v =
n
P =η
1
2 σ
m
0
1
n vλ C
3
v
λ
=η
8 kT
π m
1
D = vλ
3
8 kT
π m
P =
1
2
nm v
3
PV = NkT
∂v x
∂z
η =
2
3 π
mkT
σ
0
También depende de T
48
Fenómenos de transporte.
Relaciones entre
D ,η y κ
dependencias con: temperatura, presión, dimensiones del recipiente, etc.
η =
1
n vm λ
3
λ ≈
1
2σ
η y κ
0
n
cV
C
κ
=
=
η
m
P .M .
κ =
1
n vλ C
3
v =
1
D = vλ
3
8 kT
π m
P =
1
2
nm v
3
PV = NkT
cV
κ
= γ
P .M .
η
En la realidad el factor no es 1, va de 1.3 a 2.5
49
Fenómenos de transporte. Difusión
J
z
= −
1
∂F
n vλ
3
∂z
movimiento de una sustancia debido a un gradiente de su concentración
El flujo de moléculas a través de un area A es
proporcional al gradiente de densidad.
(ley de Fick).
Coeficiente de difusión, D = {m2/s}
∂N
= J +z − J −z
∂A ∂t
Jz
= “vienen” - “se van”
J −z
1
∂n
= − vλ
3
∂z
1
D = vλ
3
Jz
1
v n(z − λ )
6
1
= v n(z + λ )
6
J +z =
∂n
= −D
∂z
50
Fenómenos de transporte. Difusión
J
z
= −
1
∂F
n vλ
3
∂z
movimiento de una sustancia debido a un gradiente de su concentración
El flujo de moléculas a través de un area A es
proporcional al gradiente de densidad.
(ley de Fick).
Coeficiente de difusión, D = {m2/s}
∂N
∂
=
( n A dz ) = A J z ( z ) − A J z ( z + dz )
∂t
∂t
“vienen”
“se van”
∂n
∂J z
= −
∂z
∂t
Jz = −
Ecuación de
difusión
∂ 2n
∂n
= D
∂z 2
∂t
∂n
1
n vλ
3
∂z
D =
1
vλ
3
51