Matemáticas Discretas - Ciencias Computacionales

Lógica de predicados (1)
Curso Propedéutico 2009
Maestría en Ciencias
Computacionales, INAOE
Lógica (2)
Dr Luis Enrique Sucar Succar
[email protected]
Dra Angélica Muñoz Meléndez
[email protected]
Dibujo de Chris Mould publicado en The Independent, Londres;
reproducido por Courrier International 650, 240303
Matemáticas Discretas
La lógica o cálculo de predicados, o lógica de primer
orden es una extensión de la lógica proposicional.
Esta extensión se hizo para expresar proposiciones que
refieren categorías de objetos y situaciones, más que
objetos y situaciones puntuales.
Por ejemplo, las siguientes son expresiones válidas de la
lógica proposicional:
p: pulgas es un gato.
q: félix es un gato.
r: pulgas es un felino.
s: félix es un felino.
-2-
Lógica de predicados (2)
Lógica de predicados (3)
La proposiciones, reglas lógicas, reglas de inferencia, y
en general los principios de la lógica proposicional han
sido extendidos para tratar a los nuevos elementos: ,
, X.
Variables y proposiciones abiertas
Definición Una oración declarativa p es una
proposición abierta si:
Ejemplos de expresiones válidas en la lógica de primer
orden:
2) p no es una proposición, pero
gato(pulgas)
gato(félix)
X [gato(X) → felino(X)]
1) p contiene una o más variables
3) p puede convertirse en una proposición cuando las
variables que aparecen en ella se reemplazan por
componentes válidos, e.g. constantes o elementos incluidos
en un universo de discurso.
Ejemplo gato(X) es un proposición abierta pues contiene la
variable X, y puede convertirse en gato(pulgas).
-3-
-4-
Lógica de predicados (4)
Lógica de predicados (5)
Universo de discurso
Universo de discurso
La inclusión de un cuantificador implica que se asocia a las
variables de las proposiciones de la lógica de predicados a
conjuntos específicos. Los elementos de esos conjuntos
contienen el universo de discurso, los valores válidos que
pueden tener dichas variables.
Nótese que aún cuando se trate de universos de discurso
infinitos y de proposiciones abiertas, la asociación explícita
de un universo de discurso nos permite ciertas
generalizaciones. Por ejemplo:
gatos de mi calle
●
ℕ
●
●
●
X p(X)
X p(X)
gatos de mi calle
●
X
Algún X
X
Todo X
●
Y [gato(Y) → felino(Y)]
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Lógica de predicados (6)
●
X [gato(X) → felino(X)]
●
X
Algún X
X
Todo X
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Lógica de predicados (7)
Universo de discurso
Universo de discurso
Para determinar el valor de verdad de una proposición de
la lógica de predicados, debe considerarse:
Si se trata de una proposición (que no contiene
variables), se aplican los principios de la lógica
proposicional.
Proposición
abierta
Es falsa...
X p(X)
Para al menos una a del
universo, p(a) es verdadera.
Para cada a del universo, p(a)
es falsa.
X p(X)
Para cada a del universo, p(a) es
verdadera.
Existe al menos una a del
universo, para la cual p(a) es
falsa.
X ¬p(X)
Para al menos una a del
universo, p(a) es falsa, y su
negación ¬p(a) es verdadera.
Si se trata de una proposición abierta (que contiene
variables), se aplican nuevos principios.
X ¬p(X)
-7-
Es verdadera...
Para cada a del universo, p(a) es
falsa, y su negación ¬p(a) es
verdadera.
-8-
Para cada a del universo, p(a)
es verdadera.
Existe al menos una a del
universo para la cual ¬p(a) es
falsa, y su negación p(a) es
verdadera.
Lógica de predicados (8)
Lógica de predicados (9)
Universo de discurso
Variables libres y acotadas
La definición de un universo de discurso es muy
importante, pues en función de este se determina el
valor de verdad de una proposición.
Una variable o proposición es libre si no aparece dentro del
ámbito de un cuantificador. Las variables que no son libres
están acotadas.
gato(X) → felino(X)
Ejemplo
X contiene los gatos de mi calle
X [gato(X) → felino(X)]
Y contiene los juguetes de mi casa
Y [gato(Y) → felino(Y)]
X es una variable libre
X [gato(X) → felino(X)]
X es una variable acotada por X
X [gato(Z)]
Z es una variable libre para
X
Y [gato(Z)
Z es una variable libre para los cuantificadores X y para
Y es una variable acotada por Y y libre para X
-9-
Lógica de predicados (10)
Equivalencia e implicación lógica
Definición Las proposiciones abiertas p(x) y q(x)
definidas para un universo dado son lógicamente
equivalentes, denotado como X [p(X) q(X)],
cuando la proposición bicondicional p(a) ↔ q(a) es
verdadera para cada a del universo.
Definición Decimos que de las proposiciones abiertas
p(x) y q(x) definidas para un universo dado, p(x)
implica lógicamente a q(x), denotado como
X [p(X) q(X)], cuando la proposición condicional
p(a) → q(a) es verdadera para cada a del universo.
- 11 -
X
hombre(Y) → más_ágil(Z,Y)]
Y
- 10 -
Lógica de predicados (11)
Equivalencia e implicación lógica
Definición Para las proposiciones abiertas p(x) y q(x),
definidas para un universo dado, y para la proposición
cuantificada universalmente X [p(X) → q(X)],
definimos:
1) La contrapositiva de
X [¬q(X) → ¬p(X)].
2) La recíproca de
3) La inversa de
X [p(X) → q(X)] como
X [p(X) → q(X)] como
X [p(X) → q(X)] como
- 12 -
X [q(X) → p(X)].
X [¬p(X) → ¬q(X)].
Lógica de predicados (12)
Lógica de predicados (13)
Equivalencia e implicación lógica
Equivalencia e implicación lógica
Ejemplo Sea el universo de discurso el conjunto de todos los
Ejemplo (continuación)
cuadriláteros del plano, y sean c(X) y e(X) las proposiciones abiertas:
c(X): cuadrado(X)
e(X): equilátero(X)
a) La proposición:
X [c(X) → e(X)]
es verdadera y es lógicamente equivalente a su contrapositiva:
X [¬e(X) → ¬c(X)]
ya que [c(a) → e(a)] [¬e(a) → ¬c(a)] para cada cuadrilátero específico a.
La proposición y su contrapositiva son lógicamente equivalentes:
X [c(X) → e(X)]
X [¬e(X) → ¬c(X)]
- 13 -
Reglas de inferencia
Las reglas de inferencia, como Modus Ponens, Modus Tollens,
etc. se extienden también para tratar proposiciones
cuantificadas.
Modus Tollens
X [p(X) → q(X)]
X [p(X) → q(X)]
p(a)
¬q(a)
q(a)
¬p(a)
- 15 -
X [e(X) → c(X)]
es falsa y es la recíproca de la proposición original. La proposición inversa
de la proposición original:
X [¬c(X) → ¬e(X)]
es también falsa. Como [e(a) → c(a)] [¬c(a) → ¬e(a)] para cada
cuadrilátero específico a, la recíproca y la inversa son lógicamente
equivalentes, es decir:
X [e(X) → c(X)]
X [¬c(X) → ¬e(X)]
- 14 -
Lógica de predicados (14)
Modus Ponens
b) La proposición: