Capítulo 13 Ondas

Capítulo 13
Ondas
1
Movimiento oscilatorio
El movimiento armónico simple ocurre cuando la fuerza recuperadora es proporcional al desplazamiento con respecto del equilibrio
x:
F = −kx
k se denomina constante de fuerza. En el caso de un péndulo, es igual a
mg/l.
El desplazamiento en el movimiento armónico simple viene dado por:
x(t) = A sen(ωt + ϕ)
ω es la frecuencia angular de la oscilación
ω=
v
u
u
t
k
m
ω se mide en rad/s. El radián (rad) es adimensional.
Parámetros del m.a.s.
A es la amplitud y ϕ la fase inicial del movimiento. Se obtienen a partir
de la posición y la velocidad de la partícula en el instante inicial.
En vez de la frecuencia angular, también se utiliza la frecuencia ν:
ν=
ω
2π
El período es inversamente proporcional a la frecuencia:
T =
1
2π
=
ω
ν
ν se mide en ciclos/segundo o hercios (Hz), y el período en segundos.
Energía del m.a.s.
En el m.a.s. se produce un continuo intercambio de energía potencial a
cinética, y viceversa, con la energía total permaneciendo constante, igual
a:
2
E = 12 kA2 = 21 mA2 ω 2 = 12 mvmax
En el punto de equilibrio, toda la energía es cinética y la velocidad es
máxima, vmax .
Características de las ondas
La velocidad de propagación de las ondas en una cuerda, sujeta a una
tensión Tc y con una densidad lineal ρl , está dada por:
v=
v
u
u Tc
t
ρl
La longitud de onda λ es igual al período T multiplicado por la velocidad de propagación de la onda en el medio de transmisión:
λ = Tv
La ecuación de una onda armónica que se desplaza en la dirección y y se
propaga en la x es:
2πx
y(x, t) = A sen ωt −
λ
!
El signo menos indica que se desplaza en el sentido positivo del eje X.
Si una onda atraviesa distintos medios, la frecuencia angular permanece
constante.
Energía de una onda
La energía de una onda en una cuerda vale:
E = 12 A2 ω 2 lρl
La potencia que transmite la onda es:
P =
E
= 12 A2 ω 2 vρl
t
La potencia transmitida coincide con la generada por la fuente.
La magnitud vρl se denomina impedancia Z de la cuerda.
Ondas estacionarias
Una onda en una cuerda con sus dos extremos fijos viene descrita por la
ecuación:
!
2πx
y(x, t) = −2A cos(wt) sen
λ
Si L es la longitud de la cuerda, las posibles longitudes de onda son:
λ=2
L
n
para n = 1, 2, 3, . . .
Las frecuencias correspondientes a las anteriores λ son las frecuencias
propias de una cuerda con sus dos extremos fijos, y vienen dadas por:
ω=
πvn
L
El modo fundamental corresponde a la frecuencia más baja y a la longitud
de onda más larga.
Los nodos son puntos con interferencia destructiva que no vibran en absoluto. n es igual al número de nodos internos más uno.
Problema 13.1
Un péndulo de 90 cm de longitud se desplaza 2 cm de su
posición de equilibrio y se deja oscilar libremente a partir
de t = 0. Encuentra la ecuación de la trayectoria. Repite el
cálculo para el caso en que al péndulo se le imprima una
velocidad inicial de 0.05 m/s en vez de desplazársele.
Problema 13.2
Tenemos un muelle que se estira 5 cm cuando se le cuelga
un peso de 0.25 kg. Calcula:
(a) la constante de fuerza del mismo,
(b) la frecuencia que tendría cuando oscilara con la masa anterior,
(c) el período.
Problema 13.3
Una partícula de 0.1 kg de masa oscila con una frecuencia
de 100 Hz y una amplitud de 1 mm. Halla la velocidad
máxima y la energía del movimiento.
Problema 13.4
La posición de una partícula de 0.2 kg de masa viene dada
por:
x(t) = 5 cos(4t − π) m.
Determina:
(a) la posición de la partícula en t = 1 s,
(b) la velocidad en t = 0,
(c) la aceleración en t = 0,
(d) la fuerza recuperadora,
(e) la amplitud de la oscilación,
(f) el período,
(g) la energía del movimiento.
Problema 13.5
Una partícula de 0.4 kg efectúa un movimiento armónico
simple con una frecuencia de 10 Hz y una energía de 80
J. Calcula:
(a) la amplitud de la oscilación,
(b) la velocidad máxima,
(c) la constante de fuerza recuperadora.
Problema 13.6
La posición de una partícula de 0.1 kg de masa viene dada
por x = A sen(10t) m. En el instante t = 1 s, la velocidad
de la partícula es de −12 m/s. ¿Cuál es la amplitud de la
oscilación? ¿Y su energía?
Problema 13.7
Un pájaro de 30 gr de masa se apoya en el extremo de una
rama de 20 cm de longitud y 3 mm de radio. El módulo de
Young de la madera de la rama es de 8 · 109 N/m2 . ¿Cuál
es la frecuencia de resonancia del pájaro en la rama?
Problema 13.8
Calcula la velocidad de propagación de las ondas en una
cuerda de guitarra de 20 g/m sometida a una tensión de
50 N.
Problema 13.9
Si la cuerda de guitarra del ejercio anterior vibra con una
frecuencia de 100 Hz, ¿cuál es su longitud de onda?
Problema 13.10
Una onda viene dada por la ecuación:
y(x, t) = 0.6 sen 2π(0.2t − 10x) m.
Encuentra:
(a) su amplitud y frecuncia angular,
(b) su longitud de onda,
(c) su velocidad de propagación,
(d) la velocidad de un punto cualquiera del medio por el
que se transmite la onda.
Problema 13.11
Escribe la ecuación de una onda de 2 m de amplitud, 20 m
de longitud de onda que se propaga en el sentido negativo
del eje X en un medio con una velocidad de propagación
de 100 m/s. Supón que en t = 0 el desplazamiento del
origen es nulo.
Problema 13.12
Una onda transversal se propaga en el sentido positivo del
eje Y y la oscilación es en la dirección Z. Su amplitud es
de 0.4 m, su frecuencia de 40 Hz y su longitud de onda
de 25 m. Encuentra la velocidad de un punto cualquiera
en función del tiempo, sabiendo que es nula para y = 0 en
t = 0.
Problema 13.13
Una cuerda de 80 cm de longitud y 40 gr/m oscila con un
período de 0.001 s en un modo con un único nodo interno.
Encuentra la velocidad de las ondas en ella, así como su
tensión. Si los puntos medios entre nodos vibran con una
amplitud de 1 cm, halla su velocidad máxima.
Problema 13.14
La ecuación de una onda en una cuerda es:
y(x, t) = 0.4 sen(50t − x) m.
Obtén:
(a) su período y su longitud de onda,
(b) la velocidad de propagación,
(c) la velocidad máxima de oscilación de los puntos de
la cuerda,
(d) la diferencia de fase, en un mismo instante de tiempo,
entre dos puntos separados 3.5 m.
Problema 13.15
Escribe la ecuación de una onda en una cuerda que se
propaga en el sentido negativo del eje Y y oscila en la
dirección Z con una amplitud de 0.2 m y un período de 0.8
s, sabiendo que la velocidad de propagación de las ondas
en la cuerda es de 160 m/s.
Problema 13.16
Escribe la ecuación del modo fundamental de una cuerda
entre x = −2 m y x = 0, sabiendo que la velocidad de
propagación de las ondas en la cuerda es de 150 m/s, que
en t = 0 la cuerda ocupa el eje X y que la amplitud de
oscilación del punto x = −1 m es de 0.1 m.
Problema 13.17
Una onda con una amplitud de 0.05 m y una frecuencia de
70 Hz se propaga a 35 m/s por una cuerda de 0.1 kg/m.
Calcula la longitud de onda y la potencia transmitida por la
onda.
Problema 13.18
Una fuente oscila con una amplitud de 0.3 m y una frecuencia de 10 Hz unida al extremo de una cuerda de 0.08
kg/m. Si la longitud de onda de las ondas que genera es de
1 m, ¿cuánto tiempo ha de estar funcionando para transmitir una energía de 100000 J?
Problema 13.19
Una cuerda de 1.5 m de longitud posee una densidad lineal de 0.03 kg/m y está sometida a una tensión de 500
N. Si oscila en su modo fundamental con una amplitud máxima de 6 cm, ¿cuál es su energía?
13.1 Un péndulo de 90 cm de longitud se desplaza 2 cm de su posición de
equilibrio y se deja oscilar libremente a partir de t = 0. Encuentra la ecuación
de la trayectoria. Repite el cálculo para el caso en que al péndulo se le imprima
una velocidad inicial de 0.05 m/s en vez de desplazársele.
La frecuencia angular del péndulo vale:
ω=
s
g
=
l
v
u
u 9.8
t
0.9
= 3.3 rad/s.
La amplitud del movimiento es 0.02 y empieza con x = A. Por tanto:
π
x = A cos ωt = 0.02 cos(3.3t) = 0.02 sen 3.3t +
2
!
m.
Cuando imprimimos una velocidad inicial tenemos:
x=
v
0.05
sen ωt =
sen(3.3t) = 0.015 sen(3.3t) m.
ω
3.3
13.2 Tenemos un muelle que se estira 5 cm cuando se le cuelga un peso de
0.25 kg. Calcula:
(a) la constante de fuerza del mismo,
(b) la frecuencia que tendría cuando oscilara con la masa anterior,
(c) el período.
(a) La constante de fuerza del muelle viene dada por:
k=
|F | mg
0.25 · 9.8
=
=
= 49 N m.
|x|
∆x
0.05
(b) La frecuencia de oscilación sería:
v
u
v
u
ω
1u
1u
tk
t 49
ν=
=
=
= 2.23 Hz.
2π
2π m 2π 0.25
(c) El período es la inversa de la frecuencia:
T =
1
1
=
= 0.45 s.
ν
2.23
13.3 Una partícula de 0.1 kg de masa oscila con una frecuencia de 100 Hz y
una amplitud de 1 mm. Halla la velocidad máxima y la energía del movimiento.
La velocidad máxima de la partícula es igual a:
vmax = Aω = 2πAν = 2π 0.001 · 100 = 0.63 m/s.
La energía del movimiento vale:
2
E = 12 mvmax
= 12 0.1 · 0.632 = 0.020 J.
13.4 La posición de una partícula de 0.2 kg de masa viene dada por:
x(t) = 5 cos(4t − π) m.
Determina:
(a) la posición de la partícula en t = 1 s,
(b) la velocidad en t = 0,
(c) la aceleración en t = 0,
(d) la fuerza recuperadora,
(e) la amplitud de la oscilación,
(f) el período,
(g) la energía del movimiento.
(a) En t = 1 la partícula está en:
x = 5 cos(4 − π) = 3.27 m.
(b) La velocidad en t = 0 vale:
v=
dx
= −5 · 4 sen(4 · 0 − π) = 0.
dt
(c) La aceleración en dicho instante es:
a=
dv
= −5 · 42 cos(4 · 0 − π) = 80 m/s2 .
dt
(d) La fuerza recuperadora es igual a la aceleración por la masa:
F = ma = −0.2 · 5 · 42 cos(4t − π) = −16 cos(4t − π) N.
(e) La amplitud de la oscilación es A = 5 m.
(f) El período es inversamente proporcional a la velocidad angular:
T =
2π
2π
=
= 1.57 s.
ω
4
(g) El movimiento posee una energía igual a:
2
E = 12 mvmax
= 12 0.2 · (5 · 4)2 = 40 J.
13.5 Una partícula de 0.4 kg efectúa un movimiento armónico simple con una
frecuencia de 10 Hz y una energía de 80 J. Calcula:
(a) la amplitud de la oscilación,
(b) la velocidad máxima,
(c) la constante de fuerza recuperadora.
(a) La amplitud con la que oscila la partícula la obtenemos a partir de
la energía:
E = 12 mA2 ω 2
despejando llegamos a
A=
v
u
u
t
v
u
u
2E
2 · 80
1
t
=
=
= 0.32 m.
mω 2
0.4 · 4π 2 100 π
(b) La velocidad máxima viene dada por:
vmax = Aω = 0.32 · 2π 10 = 20 m/s.
(c) La constante de fuerza la obtenemos a partir de la frecuencia angular:
ω=
v
u
u
t
k
=⇒ k = mω 2 = 0.4 · 4π 2 100 = 1579 N/m.
m
13.6 La posición de una partícula de 0.1 kg de masa viene dada por x =
A sen(10t) m. En el instante t = 1 s, la velocidad de la partícula es de −12
m/s. ¿Cuál es la amplitud de la oscilación? ¿Y su energía?
Primero obtenemos la amplitud de la oscilación a partir de la velocidad
inicial:
v = A 10 cos(10t) = 10 A cos 10 = −12.
Despejando tenemos:
A=
−12
= 1.43 m.
10 cos 10
La energía de la oscilación es igual a:
2
= 12 0.1 · 1.432 100 = 10.2 J.
E = 12 mvmax
13.7 Un pájaro de 30 gr de masa se apoya en el extremo de una rama de 20
cm de longitud y 3 mm de radio. El módulo de Young de la madera de la rama
es de 8 · 109 N/m2 . ¿Cuál es la frecuencia de resonancia del pájaro en la rama?
Primero hemos de determinar el desplazamiento vertical de la rama x en
función de su radio de curvatura R:
x = R − R cos θ ≈ R 1 − 1 + 12 θ2 = 12 R
l2
l2
=
.
R2
2R
Hemos usado la relación entre el ángulo y el arco Rθ = l. En elasticidad
se vio la relación entre el momento de la fuerza M = F l y el radio de
curvatura:
M = Fl =
2EI
EI
= 2 x
R
l
=⇒
F =
2EI
x.
l2
De aquí deducimos la constante de fuerza. I es el momento de inercia
que para un cilindro vale I = πr4 /4. La frecuencia de resonancia es:
v
u
v
u
v
u
4
u 8 · 109 34 10−12
1u
1u
t 2Eπr
tk
ν=
=
=t
= 10.4 Hz.
3
2π m 2π ml 4
8 · 0.03 · 0.23 π
13.8 Calcula la velocidad de propagación de las ondas en una cuerda de guitarra de 20 g/m sometida a una tensión de 50 N.
La velocidad de propagación de las ondas en una cuerda es:
v=
v
u
u Tc
t
ρl
=
v
u
u
t
50
= 50 m/s.
0.02
13.9 Si la cuerda de guitarra del ejercio anterior vibra con una frecuencia de
100 Hz, ¿cuál es su longitud de onda?
La longitud de onda de las vibraciones de la cuerda de la guitarra es:
λ=
v
50
=
= 0.5 m.
ν
100
13.10 Una onda viene dada por la ecuación:
y(x, t) = 0.6 sen 2π(0.2t − 10x) m.
Encuentra:
(a) su amplitud y frecuncia angular,
(b) su longitud de onda,
(c) su velocidad de propagación,
(d) la velocidad de un punto cualquiera del medio por el que se transmite la
onda.
(a) La amplitud es A = 0.6 m y la frecuencia angular ω = 0.4π rad/s.
(b) La longitud de onda vale:
λ=
1
= 0.1 m.
10
(c) La velocidad de propagación de la onda vale:
v = λν = 0.1 · 0.2 = 0.02 m/s.
(d) La velocidad de un punto de coordenada x es:
vy =
dy
= 0.24 π cos 2π(0.2t − 10x) m/s.
dt
13.11 Escribe la ecuación de una onda de 2 m de amplitud, 20 m de longitud
de onda que se propaga en el sentido negativo del eje X en un medio con una
velocidad de propagación de 100 m/s. Supón que en t = 0 el desplazamiento
del origen es nulo.
La velocidad angular de la onda es:
ω = 2π
v
100
= 2π
= 31.4 rad/s.
λ
20
La ecuación de la onda es:
2πx
2πx
y(x, t) = A sen ωt +
+ ϕ = 2 sen ωt +
+ ϕ m.
λ
λ
!
!
Como y = 0 para t = x = 0 deducimos que ϕ = 0. El signo + delante
del término con x se debe a que la onda se propaga en el sentido negativo
del eje X.
13.12 Una onda transversal se propaga en el sentido positivo del eje Y y la
oscilación es en la dirección Z. Su amplitud es de 0.4 m, su frecuencia de
40 Hz y su longitud de onda de 25 m. Encuentra la velocidad de un punto
cualquiera en función del tiempo, sabiendo que es nula para y = 0 en t = 0.
La ecuación de la onda es:
2πy
z(y, t) = A sen ωt −
+ϕ .
λ
!
La velocidad correspondientes es:
vz
dz
2πy
=
= Aω cos ωt −
+ϕ
dt
λ
!
2π
= 0.4 · 2π 40 cos 80πt − y + ϕ m/s.
25
!
Como vx = 0 para t = y = 0, tenemos ϕ = π/2:
2π
π
vz = 32π cos 80πt − y +
25
2
!
m/s.
13.13 Una cuerda de 80 cm de longitud y 40 gr/m oscila con un período de
0.001 s en un modo con un único nodo interno. Encuentra la velocidad de las
ondas en ella, así como su tensión. Si los puntos medios entre nodos vibran
con una amplitud de 1 cm, halla su velocidad máxima.
La longitud de onda es igual a la longitud de la cuerda, λ = 0.8 m, por
tener un nodo interno. La velocidad de propagación de las ondas es:
v=
λ
0.8
=
= 800 m/s.
T
0.001
La tensión de la cuerda viene dada por:
v=
v
u
u Tc
t
ρl
=⇒
Tc = ρl v 2 = 0.04 · 8002 = 25600 N.
La velocidad máxima es la amplitud por la frecuencia angular:
vmax = Aω = 0.01 · 2π
1
= 20π = 62.8 m/s.
0.001
13.14 La ecuación de una onda en una cuerda es:
y(x, t) = 0.4 sen(50t − x) m.
Obtén:
(a) su período y su longitud de onda,
(b) la velocidad de propagación,
(c) la velocidad máxima de oscilación de los puntos de la cuerda,
(d) la diferencia de fase, en un mismo instante de tiempo, entre dos puntos
separados 3.5 m.
(a) La longitud de onda es λ = 2π = 6.28 m, y el período:
ω = 50 =
2π
T
=⇒
T =
2π
= 0.126 s.
50
(b) La velocidad de propagación de las ondas vale:
v=
2π
λ
=
50 = 50 m/s.
T
2π
(c) La velocidad máxima de un punto es la amplitud por la frecuencia
angular:
vmax = Aω = 0.4 · 50 = 20 m/s.
(d) La diferencia de fase entre dos puntos separados 3.5 m vale:
ϕ=
2π
(x2 − x1 ) = x2 − x1 = 3.5 rad.
λ
13.15 Escribe la ecuación de una onda en una cuerda que se propaga en el
sentido negativo del eje Y y oscila en la dirección Z con una amplitud de 0.2 m
y un período de 0.8 s, sabiendo que la velocidad de propagación de las ondas
en la cuerda es de 160 m/s.
La longitud de onda valdrá:
λ = vT = 160 · 0.8 = 128 m.
La ecuación de la onda es:
2πy
2π
πy
z(y, t) = A sen ωt +
= 0.2 sen
t+
λ
0.8
64
!
!
m.
No hemos considerado una fase inicial debido a que no hay datos para
calcularla.
13.16 Escribe la ecuación del modo fundamental de una cuerda entre x = −2
m y x = 0, sabiendo que la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda
es de 150 m/s, que en t = 0 la cuerda ocupa el eje X y que la amplitud de
oscilación del punto x = −1 m es de 0.1 m.
En el modo fundamental la longitud de onda es el doble de la longitud de
la cuerda λ = 4 m. La frecuencia angular vale:
ω=
2π 150
2πv
=
= 75π rad/s.
λ
4
La ecuación de onda buscada es:
π
2πx
y(x, t) = 0.1 cos ωt +
sen
2 !
λ !
π
πx
= 0.1 cos 75πt +
sen
m.
2
2
!
!
La fase de π/2 en el coseno es para que la cuerda coincida con el eje X
en t = 0.
13.17 Una onda con una amplitud de 0.05 m y una frecuencia de 70 Hz se
propaga a 35 m/s por una cuerda de 0.1 kg/m. Calcula la longitud de onda y la
potencia transmitida por la onda.
La longitud de onda vale:
λ=
35
v
=
= 0.5 m.
ν
70
La potencia transmitida por la onda es:
P = 21 ρl vA2 ω 2 = 12 0.1 · 35 · 0.052 4π 2 702 = 846 W.
13.18 Una fuente oscila con una amplitud de 0.3 m y una frecuencia de 10 Hz
unida al extremo de una cuerda de 0.08 kg/m. Si la longitud de onda de las
ondas que genera es de 1 m, ¿cuánto tiempo ha de estar funcionando para
transmitir una energía de 100000 J?
La velocidad de propagación de las ondas es:
v = λν = 1 · 10 = 10 m/s.
La potencia que transmite la cuerda es:
P = 12 ρl vA2 ω 2 = 12 0.08 · 10 · 0.32 4π 2 100 = 142 W.
El tiempo de funcionamiento necesario para transmitir la energía mencionada es:
E
100000
t=
=
= 704 s.
P
142
13.19 Una cuerda de 1.5 m de longitud posee una densidad lineal de 0.03 kg/m
y está sometida a una tensión de 500 N. Si oscila en su modo fundamental con
una amplitud máxima de 6 cm, ¿cuál es su energía?
La velocidad de propagación de las ondas en una cuerda es:
v=
v
u
u Tc
t
ρl
=
v
u
u
t
500
= 129 m/s.
0.03
La energía la obtenemos integrando la expresión de la energía de un oscilador armónico (la energía de cada punto depende del cuadrado de su
amplitud):
2πx
E =
= 12 ω
ρl A sen
dx
0
λ
!
Z
LZπ
2 L
2 4πx
1 2
= 2 ω ρl A
sen
dx = 12 ω 2 ρl A2
sen2 (u) du
0
0
L
π
!2
Lπ
1 2π 129
= 21 ω 2 ρl A2
=
0.08 · 0.062 1.5 = 7.9 J.
π2
4
3
X1
2
i
mi A2i ω 2
2
Z L
2
2
!