Teoría Combinatoria

Teoría combinatoria
Introducción
La Teoría Combinatoria estudia las agrupaciones que pueden ser formadas cuando se toman todos, o algunos, de los elementos de un conjunto …nito. Los elementos del conjunto pueden ser de cualquier naturaleza: números, personas, empresas,
artículos producidos por una fábrica, etc. La Teoría Combinatoria estudia especialmente el número de agrupaciones que pueden ser obtenidas bajo algún modo
de composición de los elementos. Para ello, distingue básicamente tres conceptos:
arreglos, permutaciones y combinaciones.
Para calcular probabilidades, muchas veces es necesario determinar la cantidad de
elementos de un conjunto dado (cardinal del conjunto), o la cantidad de elementos del
conjunto integrado por las agrupaciones que podemos realizar tomando algunos de
los elementos. A menudo, la tarea de contarlos uno a uno resulta tediosa. En cambio,
para poder contar resulta de mucha utilidad el llamado Principio Fundamental de
Conteo y los aportes realizados por la Teoría Combinatoria.
Principio Fundamental de Conteo
De…nición 1 (Principio fundamental de conteo) Sea un proceso que involucra
k niveles, siendo n1 ; n2; n3; :::; nk el número de resultados posibles de cada uno de ellos.
Entonces, el número total de resultados posibles de los k niveles es:
n1
n2
n3
:::
nk
Este principio es también conocido como Regla de la Multiplicación.
Ejemplo 1 Una familia desea adquirir una vivienda en un balneario y se le presentan las siguientes posibilidades: casa o apartamento. A su vez, cada una puede ser
de 1, 2 o 3 dormitorios. ¿Cuántos tipos posibles de vivienda tiene a disposición?
Como existen dos niveles, y se tienen 2 opciones para el primer nivel (casa o
apartamento) y 3 opciones para el segundo (número de dormitorios), se puede aplicar
el principio fundamental de conteo para obtener la respuesta: 2 3 = 6 tipos de
vivienda.
Este resultado puede ser visualizado claramente con la ayuda de un diagrama de
árbol:
i
ii
Arreglos
De…nición 2 Dado un conjunto de n elementos, se de…ne como arreglo de n de
orden k (k n ) a cada k-upla ordenada que puede formarse tomando k elementos
diferentes entre los n dados.
Como una k-upla está constituida por k elementos dispuestos en determinado
orden, dos arreglos serán diferentes, aún conteniendo los mismos elementos, si los
mismos se encuentran en distinto orden.
Al número de arreglos de n de orden k lo notaremos como Ank . Para calcular
dicho número, es posible utilizar el principio fundamental de conteo. El primer lugar
de la k-upla puede estar ocupado por uno cualquiera de los n elementos, mientras
el segundo lugar puede estar ocupado por cualquiera de los elementos que no están
en el primer lugar, es decir por uno de los (n 1) elementos restantes, ya que los k
elementos deben ser diferentes. El tercer lugar puede estar ocupado por cualquiera
de los elementos que no están ni en el primer lugar ni en el segundo, es decir por
uno cualquiera de los (n 2) elementos restantes. Si se continúa el razonamiento,
para ocupar el k-ésimo lugar se tendrán (n k + 1) elementos posibles. Entonces,
el número de arreglos de n de orden k es:
Ank = n (n
1) (n
2)::: (n
k + 1)
Recordando la de…nición de factorial de un número natural:
n! = n (n
1) (n
2)::: (1)
8n 2 N; n 6= 0
0! = 1
puede obtenerse otra fórmula para el cálculo del número de arreglos:
Ank = n (n
=
1) ::: (n
k + 1)
(n
(n
k) (n
k) (n
k
k
1) ::: (1)
=
1) ::: (1)
n!
(n
k)!
Obsérvese que si de un conjunto de n elementos diferentes se extraen k sucesivamente sin reposición, e interesa el orden de extracción, se tendrán exactamente Ank
extracciones diferentes posibles.
iii
Ejemplo 2 De una caja que contiene cuatro bolillas numeradas del 1 al 4 se extraen
sucesivamente 2 sin reposición. ¿Cuántas extracciones diferentes pueden resultar si
se supone que interesa el orden de extracción?
Las diferentes posibilidades son todos los arreglos de 4 de orden 2, es decir
todos los pares ordenados posibles: (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2),
(3,4), (4,1), (4,2), (4,3). Entonces, pueden resultar A42 = 4 (4 1) = 12 extracciones
posibles.
Permutaciones
De…nición 3 Dado un conjunto de n elementos, llamaremos permutación de n a
cada forma de ordenar los n elementos dados.
Se observa que las permutaciones constituyen un caso particular de los arreglos
(k = n). Por consiguiente el número de permutaciones de n (Pn ) es igual al número
de arreglos de n de orden n:
Pn = Ann =
n!
(n
n)!
=
n!
= n!
0!
Ejemplo 3 En una carrera intervienen 3 nadadores: a, b y c. ¿Cuáles son los resultados posibles de la carrera y cuántos son?
Los resultados de la carrera son las permutaciones de los 3 elementos: (a,b,c),
(a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a), donde cada elemento indica el nadador que
obtiene la primera, la segunda y la tercera posición. En tanto, la cantidad de resultados posibles es: P3 = 3! = 3 2 1 = 6.
Combinaciones
De…nición 4 Dado un conjunto de n elementos, llamaremos combinación de n de
orden k (k n) a cada subconjunto que puede formarse tomando k elementos diferentes entre los n dados.
Como en los conjuntos no interesa el orden de los elementos, dos combinaciones
serán diferentes si contienen por lo menos algún elemento diferente.
Considérese, por ejemplo, un conjunto de n elementos diferentes del cual se extraen k sucesivamente y sin reposición, sin que interese el orden de extracción, o del
cual se extraen k elementos simultáneamente. En cualquiera de estos dos casos las
extracciones posibles son todas las combinaciones de n de orden k.
El número de combinaciones de n de orden k se denota Ckn (también llamado
número combinatorio). Para calcular este número buscaremos la relación existente
entre éste y los números Ank y Pk . A modo de ejemplo: sea A = fa; b; c; dg, se
consideran todas las combinaciones de 4 de orden 3 y se colocan en una primera
columna. A la derecha, se forma un cuadro de tal forma que en la …la en la cual
se encuentra cada una de las combinaciones se encuentren todas las permutaciones
posibles de los tres elementos que pertenecen a la combinación correspondiente:
iv
{a,b,c}
{a,b,d}
{a,c,d}
{b,c,d}
(a,b,c) (a,c,b) (b,a,c) (b,c,a) (c,a,b) (c,b,a)
(a,b,d) (a,d,b) (b,a,d) (b,d,a) (d,a,b) (d,b,a)
(a,c,d) (a,d,c) (c,a,d) (c,d,a) (d,a,c) (d,c,a)
(b,c,d) (b,d,c) (c,b,d) (c,d,b) (d,b,c) (d,c,b)
Obsérvese que en el cuadro …guran todos los arreglos de los 4 elementos de orden
3, y no hay ninguno repetido. Obsérvese además que dos arreglos de la misma …la
di…eren en el orden de sus elementos, en cambio dos arreglos que estén en la misma
columna di…eren por lo menos en algún elemento. Además, el número de arreglos
que …gura en el cuadro (A43 ) es igual al número de …las del cuadro (C34 ) multiplicado
por el número de columnas del cuadro (P3 ), es decir:
A43 = C34
P3 =) C34 =
A43
P3
Si en lugar de partir de un conjunto con 4 elementos y formar las combinaciones de orden 3, se partiera de un conjunto de cardinal n y se formaran todas las
combinaciones de orden k, se obtendría:
Ank = Ckn
Pk =) Ckn =
Ank
n(n
=
Pk
1)(n
2):::::(n
k!
k + 1)
Utilizando factoriales se obtiene:
Ckn =
n!
(n k)!
k!
=
n!
(n k)!k!
Arreglos con repetición
En la de…nición 2 se ha supuesto que los elementos con los cuales se trabaja
son diferentes: se trataba de arreglos sin repetición o de arreglos simples. Ahora se
considerará el caso de que en un mismo grupo, algún elemento pueda …gurar varias
veces.
De…nición 5 Dado un conjunto de n elementos, se de…ne como arreglo con repetición de n de orden k a cada k-upla ordenada que puede formarse tomando k elementos, no necesariamente diferentes, entre los n elementos dados.
Obsérvese que ahora puede darse el caso de que k > n:
Al número de arreglos con repetición de n de orden k lo notaremos como ARkn ,
que obviamente será mayor que Ank . Para calcular dicho número es posible utilizar
nuevamente el principio fundamental de conteo. El primer lugar de la k-upla puede
estar ocupado por uno cualquiera de los n elementos. Como los elementos pueden
repetirse, el segundo lugar también puede estar ocupado por uno cualquiera de los
n elementos y así sucesivamente con los k lugares, por lo cual el número de arreglos
con repetición de n de orden k será:
ARkn = n
n
n
:::
n = nk
v
Ejemplo 4 Se lanza un dado tres veces. ¿Cuántos resultados diferentes pueden
obtenerse?
Obviamente, es posible que el mismo número salga dos o incluso tres veces. Los
resultados serán todos los arreglos con repetición de 6 (cantidad de caras numeradas
del dado) de orden 3 (cantidad de veces que se lanza el dado). Entonces la cantidad
de resultados posibles será: AR36 = 6 6 6 = 63 = 216
Ejemplo 5 De una bolsa que contiene tres …chas numeradas del 1 al 3 se extraen
sucesivamente 4 con reposición. ¿Cuántas extracciones diferentes pueden resultar?
Las diferentes posibilidades son todos los arreglos con repetición de 3 de orden
4, es decir todas las cuaternas posibles, donde los elementos no son necesariamente
distintos. Uno de ellos sería, por ejemplo: (3,2,3,1). Entonces, la cantidad de extracciones posibles será: AR43 = 3 3 3 3 = 34 = 81: