simulador electromagnetico basado en fdtd

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE
TELECOMUNICACIÓN
TRABAJO FIN DE MASTER
Máster Universitario en Tecnologías y Sistemas de Comunicación
AÑO 2011/2012
SIMULADOR ELECTROMAGNETICO
BASADO EN FDTD
AUTOR: José Manuel Inclán Alonso
TUTOR: Manuel Sierra Pérez
TRABAJO FIN DE MÁSTER
TÍTULO: “Simulador electromagnético basado en FDTD”
AUTOR:
José Manuel Inclán Alonso
TUTOR:
Manuel Sierra Pérez
UNIVERSIDAD:
Universidad Politécnica de Madrid
DEPARTAMENTO:
Señales, Sistemas y Radiocomunicaciones
GRUPO:
Grupo de Radiación
MIEMBROS DEL TRIBUNAL:
PRESIDENTE:
Pr. Dr. Manuel Sierra Pérez
VOCAL:
Pr. Dr. Juan Enrique Page de la Vega
SECRETARIO:
Pr. Dr. Belén Galocha Iragüen
SUPLENTE:
Pr. Dr. Mariano Barba Gea
FECHA DE LECTURA:
CALIFICACIÓN:
2
1 Indice
1.
Introducción .................................................................................................................. 6
2.
Conceptos del FDTD ...................................................................................................... 7
2.1.
Algoritmo de Yee ................................................................................................... 7
2.2.
Dispersión y estabilidad ........................................................................................ 8
2.3.
Forma de mallar .................................................................................................... 9
2.4.
Condiciones open space ...................................................................................... 12
2.4.1.
Condiciones ABC.......................................................................................... 13
2.4.2.
PML (Perfect Matching Layer) ..................................................................... 14
2.5.
2.5.1.
Fuentes ........................................................................................................ 19
2.5.2.
Puertos discretos ......................................................................................... 20
2.6.
4.
Puertos en guía.................................................................................................... 22
2.6.1.
Onda plana .................................................................................................. 22
2.6.2.
Bootstraping ................................................................................................ 23
2.6.3.
Scattered Field – Total Field ........................................................................ 24
2.7.
3.
Inserción señal..................................................................................................... 18
Diagrama de radiación ........................................................................................ 25
Ejemplo de simulación de un dipolo λ/2 ..................................................................... 28
3.1.
Modelo del dipolo ............................................................................................... 28
3.2.
Campo eléctrico total en el tiempo ..................................................................... 28
3.3.
Campo magnético ............................................................................................... 30
3.4.
Campo eléctrico .................................................................................................. 32
3.5.
Señal incidente e impedancia vista ..................................................................... 34
3.6.
Resistencia en función del mallado ..................................................................... 36
3.7.
Comparación con software comercial................................................................. 38
3.8.
Resonancia en función de la señal de entrada.................................................... 40
3.9.
Campo lejano....................................................................................................... 40
Ejemplo antena de ranuras ......................................................................................... 42
4.1.
Alimentación de la guía ....................................................................................... 42
4.1.1.
Bootstraping ................................................................................................ 42
4.1.2.
Scattered Field – Total Field ........................................................................ 44
4.1.3.
Método simplificado de alimentación empleado ....................................... 45
4.2.
Señales temporales obtenidas ............................................................................ 46
4.3.
Parámetros S ....................................................................................................... 49
3
5
6
4.4.
Señales cortes 2D ................................................................................................ 52
4.5.
Campo radiado por la ranura .............................................................................. 55
4.6.
Guía con 4 ranuras .............................................................................................. 58
4.7.
Señales en los puertos......................................................................................... 58
4.8.
Parámetros S guía ranurada ................................................................................ 59
4.9.
Campos en 2D en la guía ranurada ..................................................................... 60
4.10.
Diagramas radiación guía ranurada .................................................................... 61
4.11.
Array con cuatro guías......................................................................................... 63
4.12.
Cortes campos de cuatro guías ranuradas .......................................................... 64
4.13.
Señales en los puertos para array de cuatro guías ............................................. 64
4.14.
Parámetros S array de cuatro guías .................................................................... 65
4.15.
Diagramas de radiación array 4x4 ....................................................................... 67
Acoplador en guía ....................................................................................................... 70
5.1
Simulación ........................................................................................................... 70
5.2
Señales temporales ............................................................................................. 71
5.3
Parámetros S ....................................................................................................... 72
5.4
Cortes 2D de señales ........................................................................................... 73
Esquema de simulación ............................................................................................... 75
6.1
Explicación de cada clase .................................................................................... 77
6.1.1
FDTD.java..................................................................................................... 77
6.1.2
PML.java ...................................................................................................... 77
6.1.3
Complex.java ............................................................................................... 77
6.1.4
Constants.java ............................................................................................. 77
6.1.5
FFT.java........................................................................................................ 77
6.1.6
NFTFF.java ................................................................................................... 78
6.1.7
NFTFF3.java ................................................................................................. 78
6.1.8
2DPlot.java .................................................................................................. 78
6.1.9
Record1D.java ............................................................................................. 78
6.1.10
Mesh.java .................................................................................................... 78
6.1.11
SParameters.java ......................................................................................... 79
6.1.12
Source.java .................................................................................................. 79
6.1.13
Launcer.java ................................................................................................ 79
6.1.14
LauncerIni.java ............................................................................................ 79
6.1.15
Optimizer.java ............................................................................................. 79
4
6.2
Líneas de código por clases ................................................................................. 79
7
Bibliografía .................................................................................................................. 81
5.
Indice de figuras .......................................................................................................... 82
6.
Indice de tablas ........................................................................................................... 85
5
1. Introducción
El presenta trabajo fin de master tiene como objetivo el desarrollo de un simulador FDTD.
El método FDTD fue propuesto por Yee y se basa en resolver las ecuaciones de Maxwell
aproximando sus derivadas.
El primer problema que presento el método es como establecer unas condiciones de
contorno abiertas. En el TFM se han estudiado tanto condiciones de absorción analíticas (más
sencillas) así como el PML de Berenguer.
También es un método bastante problemático en la inserción de fuente y en la extracción
de señales reflejadas, habiendo múltiples técnicas y maneras de resolver estos problemas
relacionados con la inserción de fuente. En el trabajo TFM se comentan varias técnicas usadas
en software comercial mostrando ejemplos propios y finalmente se establece una forma de
inserción propia.
Por último otro punto importante es el relacionado con la obtención del diagrama de
radiación. En el caso del FDTD estaremos trabajando en el dominio temporal por lo que las
asunciones que se hacen en el caso de estar en un régimen monocromático en frecuencia no
son aplicables. Por ello hay que estudiar algoritmos eficientes que permitan obtener el campo
lejano a partir del campo cercano en el dominio temporal.
En un primer apartado se hará una introducción teórica explicando los conceptos sin
entrar en mucho detalle en las ecuaciones, ya que para eso ya están las referencias, y
poniendo siempre ejemplos de simulaciones sencillas donde se comprueben los fundamentos.
A continuación se utilizará el método para hacer dos simulaciones de antenas, un dipolo y un
slotted waveguide array. Las simulaciones van mejorando conforme se avanza en el TFM ya
que se van corrigiendo errores y se van añadiendo nuevos elementos que mejoran el método.
Finalmente se describirá el diagrama de clases utilizados y se expondrá la necesidad de
utilizar lenguajes de programación compilados debido a la carga computacional.
6
2. Conceptos del FDTD
2.1. Algoritmo de Yee
El algoritmo inicial de Yee se puede encontrar en (1). El algoritmo calcula el campo
electromagnético en una serie de puntos y tiempos aproximando las derivadas espaciales y
temporales en las leyes de Faraday y Ampère generalizas que se muestran a continuación.
⃗
⃗
⃗
( ⃗⃗
⃗
{
(
⃗)
⃗)
Estas dos ecuaciones dan a su vez lugar a seis ecuaciones, una por cada componente. El
quid del algoritmo se basa en la elección de la distribución espacial donde se calculan los
campos como se muestra en la Figura 1 así como el entrelazado temporal entre el campo
magnético y eléctrico.
Figura 1 Algoritmo de Yee
A partir de la distribución de campo de la Figura 1 se pueden calcular las derivadas como:
(
)
(
(
)
(
)
)
Desarrollando las ecuaciones de Maxwell al final se comprueba como para calcular el
campo eléctrico en cada punto solo es necesario el campo en ese punto en instantes
anteriores así como las derivadas del campo magnético de las otras dos componentes. Otra
cosa interesante que se muestra en las ecuaciones anteriores y que es fácilmente demostrable
7
mediante el desarrollo en serie de Taylor, es que el error cometido es del orden del cuadrado
de la distancia entre campos.
2.2.
Dispersión y estabilidad
Uno de los primeros problemas que se detectó en el algoritmo es la estabilidad numérica. El
algoritmo es estable o no en función de la discretización temporal que escojamos, todo ello
está probado en (2). La clave fundamental es que el periodo de muestreo debe ser igual o
inferior en teoría a la relación que se expresa abajo, en la práctica es conveniente que sea
inferior debido al error numérico.
√
Otro punto importante tratado en (2) es el tema de la dispersión. Uno de los problemas del
FDTD es el hecho de que hay una diferencia entre la velocidad de fase real y la calculada. Esta
diferencia está ligada a la relación entre la distancia espacial entre campos muestreados con la
longitud de onda de la señal que hacemos incidir y al utilizado.
Además esta velocidad de fase cambia ligeramente según la dirección de propagación de la
onda. Es lo que se ha denominado anisotropía numérica, ya que dependiendo de la dirección
de la onda incidente la malla se comportará de distinta forma.
Un ejemplo sacado de (2) se muestra a continuación donde se ve la variación de la
velocidad de fase en función de la incidencia y del mallado utilizado.
Figura 2 Dispersión en función de incidencia y mallado
Existe un valor exacto de
denominado magic step para el cual la velocidad de fase real y
la calculada son iguales. Sin embargo este valor solo dispersión nula cuando trabajamos en una
8
sola dimensión, ya que en 2D y 3D, el magic step solo hace que no tengamos dispersión
numérica para propagación en diagonal (pero aun así es el valor que da la mínima dispersión).
Taflove y otros autores recomiendan como solución de compromiso utilizar λ0/20 como
mallado para evitar problemas de precisión asociados a la dispersión numérica.
En la Figura 3 se muestra un pequeño ejemplo de simulación en 1D donde se hace incidir
una señal sobre un conductor perfecto, por lo que vemos la señal incidente original y la
reflejada un tiempo después. La línea azul utilizada el magic step y no tenemos nada de
dispersión. Si cambiamos el periodo de muestreo temporal a la mitad pero manteniendo un
mallado alto, vemos como se aprecia ligeramente que la señal está un poco más retardada
(señal roja) pero manteniendo un error bajo. Si ahora reducimos el mallado (línea negra)
vemos que los errores de dispersión aumentan más, estos errores no solo hacen que la señal
se retarde si no que al propagarse cada componente de frecuencia a distinta velocidad
también modifica la forma de onda, como se aprecia en la segunda réplica de la señal en negro
(dura más en tiempo).
1
z=0/20  t= z/c
0.8
z=0/20  t=0.5· z/c
z=0/5 t=0.5· z/c
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
5
10
15
20
25
ns
Figura 3 Dispersión causada por mallado y discretización temporal
Debido a los problemas de anisotropía causados por las diferentes velocidades de fase
según la dirección de propagación se propusieron celdas hexagonales y dodecaedros en (3).
Sin embargo, a pesar de sus mejores características en cuanto a dispersión se refiere, tienen el
inconveniente de que es más difícil establecer un mallado real con ellas y de que la carga
computacional resultante es mayor.
2.3.
Forma de mallar
La forma de mallar o mejor dicho la forma de definir cuerpos en el FDTD no es tan sencilla
como pueda parecer en un principio. Dados que fundamentalmente trabajaremos con
materiales con permeabilidad igual a uno, la información del material residirá en las
9
constantes de actualización del campo eléctrico así como la conductividad en caso de tratarse
de materiales metálicos.
Muchos autores proponen celdas como las de la Figura 4, estas celdas representan
correctamente superficies metálicas, sin embargo tienen el problema de que no se comportan
igual según por donde incida la onda. En la figura cada color representa una componente del
campo eléctrico con el mismo material.
Figura 4 Forma de mallar I
Otra forma de mallar es la de la Figura 5, en este caso al ser la estructura completamente
simétrica, la celda se comportará igual, independientemente de por dónde incida la onda.
Figura 5 Forma de mallar II
Otro dato interesante consiste en como mallar un metal. En la superficie de un PEC el
campo eléctrico tangencial debe ser nulo. Por ello a la hora de mallar una superficie metálica
hay que hacerlo de tal forma que el último campo no nulo sea normal a la superficie, dicho de
otra forma los primeros campos que deben estar asignados a PEC deben ser los tangenciales
como se muestra en la Figura 6.
10
Figura 6 Mallado de superficie PEC
En la Figura 7 se muestran los campos para un modo TE10 en el caso de que las paredes
PEC de la guía se han mallado mal, los primeros campos asignados al PEC son normales en vez
de tangenciales. El modo TE10 solo debería tener componente en Z, se comprueba como
existe componente en X e en Y debido al error en el mallado. Además también se comprueba
como la distribución del modo principal (Ez) no es la ideal ya que el valor de campo es más alto
en los extremos que en el centro.
E Field At Time Step = 1000
E Field At Time Step = 1000
0.06
2
2
0.02
0.04
4
4
0.01
0
X
0.02
6
8
8
10
12
5
10
15
Y
20
0
X
6
-0.02
-0.01
10
-0.02
12
-0.04
-0.06
5
25
10
15
Y
Ex
20
25
Ey
E Field At Time Step = 1000
2
0.2
4
0.15
X
6
0.1
8
10
0.05
12
5
10
15
Y
20
25
0
Ez
Figura 7 Campos TE10 mallando mal superficie PEC
En la Figura 8 se muestra un modo TE10 de una guía rectangular en las que sus paredes
han sido malladas correctamente. En este caso los valores de Ex y Ey son tres ordenes de
magnitud inferiores al valor el capo principal. En este caso el modo TE10 (Ez) es mucho más
uniforme y no existen las diferencias antes citadas.
11
-3
E Field At Time Step = 1000
2
6
0
6
8
-1
X
4
2
1
8
10
10
0
-2
5
10
15
Y
20
25
5
30
10
Ex
15
Y
20
25
30
Ey
E Field At Time Step = 1000
0
2
-0.5
4
X
X
x 10
2
1
4
-3
E Field At Time Step = 1000
x 10
2
-1
6
8
-1.5
10
-2
5
10
15
Y
20
25
30
Ez
Figura 8 Campos TE10 mallando bien superficie PEC
2.4.
Condiciones open space
Uno de los máximos retos que se planteó después de que Yee diera a conocer su
algoritmo fue como establecer condiciones de contorno abiertas. Dado que para actualizar el
valor de una celda necesitamos campo antes y después, el último punto de la simulación no
tendrá campo después, por lo que no se puede actualizar y permanece con un valor fijo, lo que
representa un plano eléctrico haciendo que cualquier onda que incida salga rebotada.
Lo deseable sería disponer de mecanismos para que una onda se atenúe o se extinga
dando la impresión de que se propaga hacia el espacio libre o que es absorbida por una
supuesta carga que representa al puerto en guía.
Para ello en primer lugar surgieron las condiciones analíticas ABC. Estas condiciones son
muy sencillas de implementar ya que se basan en una corrección del campo en las fronteras. El
problema que tienen es que son capaces de absorber solo un determinado tipo de ondas
(polarización e incidencia determinadas), degradándose mucho el comportamiento fuera de lo
prestablecido.
Más tarde surgió el PML de Berenger que a diferencia de las condiciones analíticas es
independiente de la polarización de la onda y es capaz de absorber ondas con cualquier
incidencia (a excepción de ondas con incidencia paralelas). El PML consiste en añadir a la
simulación unas celdas más en el extremo de tal forma que la señal se atenúe al incidir en ellas
sin que se refleje nada de la señal en la interfase. La pega es que es mucho más complejo de
implementar y tiene una carga computacional enorme, dándose el caso de que se tarda más
en actualizar las regiones PML que en hacer la propia simulación dentro de la región del FDTD.
12
2.4.1.
Condiciones ABC
El operador analítico o ABC (Absorbing Boundary Conditions) más utilizado es el que
desarrollo Mur en (4). Básicamente se fuerza la ecuación escalar de onda en los extremos de la
simulación.
Las derivadas se aproximan de una forma similar a lo que se haría con el FDTD, solo que en
este caso las expresiones son más largas ya que tenemos derivadas dobles y derivadas en
espacio y tiempo.
El problema viene cuando discretizamos esa ecuación, la ecuación de onda como tal está en
coordenadas esféricas, y nosotros para aproximar las derivadas en una superficie la
transformamos a coordenadas cartesianas y suponemos intrínsecamente una incidencia
quasinormal. Por ello estos operadores analíticos funcionan relativamente bien cuando la onda
incide perpendicularmente y con una polarización determinada, mientras que su
comportamiento se degrada bastante cuando estos supuestos no se cumplen.
En la Figura 9 se muestra una pequeña simulación en 1D de una onda que incide en una
frontera ABC de Mur. Vemos como a pesar de que tenemos una incidencia perfectamente
ortogonal y con la polarización perfecta, tenemos algo de señal rebotada, aunque de un nivel
mucho menor.
1
-4
4
x 10
0.8
3
0.6
0.4
2
0.2
1
0
0
-0.2
-1
-0.4
-0.6
-2
-0.8
-3
-1
0
20
40
60
80
100
z
(a)
120
140
160
180
200
-4
0
20
40
60
80
100
z
120
140
160
180
200
(b)
Figura 9 Señal incidente (a) y reflejada de una frontera ABC de Mur
Por lo expuesto anteriormente estos operadores no se usan mucho para absorber ondas,
aun cuando son mucho más simples y con mucha menos carga computacional que el PML ya
que solo hay que hacer una corrección en la frontera. Sí que son utilizados en puertos en guía
ya que en ese caso sí que podemos saber las características de la onda incidente y nos permite
situar un puerto en mitad del espacio de simulación sin necesidad de utilizar PML en medio.
13
Para mejorar estos operadores existen multitud de publicaciones que proponen cosas
nuevas, en la mayoría de los casos se basan en las elecciones de funciones W que resuelvan la
ecuación de onda con una serie de suposiciones determinadas. Entre otras cabe destacar las
basadas en aproximaciones de Taylor, Trefethen- Halpern, extrapolación de Liao y el operador
de Ramahi.
2.4.2.
PML (Perfect Matching Layer)
El PML fue originalmente propuesto por Berenguer en (5). A partir del artículo original se
han propuesto múltiples alternativas que en muchos casos no son más que revisiones del
artículo original pero expresando el splitted-field de Berenguer con otra formulación y
demostrando que al final se llegan a las mismas soluciones en el campo en el dominio
temporal a las que llegó Berenguer.
También se ha ido resolviendo una serie de problemas del PML original como la frecuencia
de corte inferior, o el efecto de la discretización del espacio continuo que produce reflexiones.
A la hora de implementar el PML resulta bastante conveniente ir siguiendo los desarrollos
que se han ido haciendo sobre el PML a lo largo del tiempo para saber cómo se han ido
resolviendo los problemas. De esta forma se podrá optimizar lo máximo posible las fronteras
PML y será más fácil detectar problemas que aún persisten en el PML.
La idea original de Berenguer es situar un material entre el lattice y la caja PEC que
absorba o atenúe las señales incidentes. El problema es que para que las ondas incidentes se
atenúen hay que dotar al material de una conductividad, pero si suponemos espacio libre en el
interior del lattice una onda que se propagara por él e incidiera sobre un conductor real se
reflejaría en su mayoría. Por ello además de una conductividad eléctrica hay que añadir una
magnética.
La idea innovadora que tuvo Berenguer fue dividir una componente del campo en dos en
el caso de un modo TM en 2D, por lo que tendríamos Ex, Ey, Hzx y Hzy . Para poder hacer esto
hay que tener en cuenta que el material dentro del PML tiene una conductividad σx que valdrá
para Ey y una conductividad magnética σx* que multiplicará a Hzx, y viceversa con σy y σy*.
Las ecuaciones 3ª y 4ª de Maxwell (Faraday y Ampere) es su forma dual para el caso de un
modo TM en 2D dan lugar a las siguientes ecuaciones (igualando componentes):
(
)
(
)
14
En (5) se desarrollan estas ecuaciones para una interfase entre vacío y un región PML.
Finalmente se llegan a unas expresiones para el campo transmitido e incidente a la región PML
en función del coeficiente de reflexión, se despeja este coeficiente forzando la continuidad de
campo en la interfase, se iguala a cero y con ello se sacan las siguientes conclusiones:
La conductividad eléctrica y magnética en la dirección paralela a la interfase deben ser
iguales a cero en el caso del vacío o un medio dieléctrico en el interior del lattice (debido a la
continuidad del campo eléctrico).
La relación entre conductividad eléctrica y magnética debe ser igual a la impedancia del
medio del interior del lattice para una reflexión nula.
El PML absorberá ondas independientemente de su polarización, atenuando por igual
todas las componentes.
La atenuación que sufre la onda depende del ángulo de incidencia, siendo máxima para
incidencia normal y nula para incidencia paralela.
El PML de Berenguer recibe el nombre de splitted-field en la bibliografía debido a la
división de campo ficticia que hace en sus formulaciones. En el caso de 2D TM tenemos 4
componentes (1 más), pero en el caso general 3D (6) tenemos 12 componentes en lugar de 6
con sus consiguientes actualizaciones temporales por lo que no resulta muy eficiente
computacionalmente. En Figura 10 se puede ver el modelo de las fronteras PML con las
conductividades en cada región, dos componentes no nulas en las aristas y las tres
componentes no nulas en los vértices.
Figura 10: PML Bérenger en 3D (6)
15
Uno de los primeros problemas que se detectaron ya en (5) y (6), y que se trata más
detenidamente en (7) es el efecto de la discretización. El PML funciona correctamente con las
ecuaciones de Maxwell cuando tenemos un espacio continuo, pero en el lattice del FDTD
tenemos el campo eléctrico muestreado en puntos distintos según la componente y en
instantes distintos del campo magnético, por lo que se producirán reflexiones parciales en la
frontera.
Para mitigar este efecto Bérenger y otros autores proponen incrementar la conductividad
gradualmente en el PML, empezando con un valor bajo y terminando en un valor máximo. Hay
que buscar un compromiso entre una conductividad máxima elevada que haría que las ondas
se atenuaran más en el PML pero hubiera más reflexión en la interfase inicial y una
conductividad máxima baja que haría que no hubiera mucha reflexión en la interfase pero que
causaría que la onda no se atenuase mucho y volviera rebotada de la frontera PEC final.
Un ejemplo de función de degradado se muestra a continuación:
( )
( )
( ⁄ )
(
) (
)
Otro de los efectos comentados en (2) y (7), es el efecto de la frecuencia de corte inferior.
En las formulaciones que se utilizan en los artículos se ve que las expresiones tienen un polo a
la frecuencia cero, por lo que si incide una onda a frecuencias bajas se reflejará casi en su
totalidad. Este problema se resolverá con el Coarse-PML que se explicará más tarde.
El PML propuesto por Bérenguer es un medio irreal y un tanto extraño, ya que dividir las
componentes del campo en dos no resulta muy útil. Por ello varios autores intentaron
establecer una formulación más parecida a las ecuaciones de Maxwell originales, entre ellos
destaca el Stretched-coordinate formulation (8). Con este método se propone un mapping
como se muestra a continuación.
̃
( )
∫
Con ello se define el operador nabla equivalente
̃
̂
̂
̂
Y podemos reescribir las ecuaciones de Maxwell para el medio propuesto por Berenger en
su forma habitual, como por ejemplo:
̆
̃
̆
De esta forma en el nuevo espacio transformado tenemos las mismas ecuaciones de
Maxwell sin necesidad de dividir cada componente del campo.
El problema está en que cuando trasladamos estas ecuaciones al dominio temporal
aparecen convoluciones de los sx con campos.
16
El stretched coordinates y el splitted-field son ambos medios basados en modelos
matemáticos que no se corresponden con algo real. Si existiera un material parecido sería un
material anisótropo, y más concretamente un material uniaxial, es decir, un material que
funcionara de igual manera cuando se gira sobre su normal (9).
Por ello se definen tensores
̿
[
][
][
]
Sw tendrá un valor distinto de la unidad según las conductividades descritas en las
fronteras PML, es decir en las esquinas tendremos las tres sw distintas de uno, mientras que en
las aristas tendremos solo dos y en el resto de las regiones PML solo una distinta de uno.
A partir de los tensores basta con aplicar las ecuaciones de Maxwell (Faraday y Ámpere)
con el mapping propuesto anteriormente.
̿̆
̿̆
̆
̆
Las variables sw deben ser constantes en la dirección transversal y además deben cumplir
otra relación entre σ y ε debido a que con el maping que se ha establecido la ley de Gauss no
es equivalente a la original lo que lleva a que aparezcan cargas en las fronteras PML si ε no es
igual en la frontera. Por ello finalmente la expresión usada para las sw es:
Donde la kappa y la sigma varían en la dirección longitudinal del PML.
Si calculamos la expresión de la reflexión en la interfase en función de coeficientes sw y de
la frecuencia vemos que existe una frecuencia de corte inferior a partir de la cual el PML no
absorbe las ondas, este problema se agrava cuando hay superficies metálicas cercanas o
cuando la incidencia de la onda no es normal.
Por ello surge el CPML, la idea es modificar los coeficientes sw añadiendo un término real
al denominador.
Con ello lo que se consigue es quitar el polo de baja frecuencia de tal forma que a baja
frecuencia la reflexión estará controlada por ax y a frecuencias superiores tendrá el
funcionamiento normal.
En (10) se propone una forma eficiente de calcular las convoluciones necesarias en el
CPML para un medio arbitrario en general.
17
A modo de resumen se presentan los parámetros fundamentales del PML en la Tabla 1.
ε
m
σmax
Κmax
amax
ma
Permitividad de las regiones PML, en caso de que una línea de
transmisión penetre en la frontera debe ser igual a la épsilon efectiva
del modo que se propague por la línea de transmisión.
Orden del degradado para σ y κ (Normalmente 3).
Conductividad máxima al final de la frontera PML
Parte real de los sx, >=1 para absorber los modos evanescentes y los
de baja frecuencia
Parte real del denominados de los sx >=0, igual para kappa
Parámetro de degradado de a
Tabla 1 Parámetros del PML
En la Figura 11 se presenta una comparación de dos simulaciones hechas para hallar la
señal que vuelve al incidir una onda plana sobre un objeto. Aparte de que en (b) se aplica una
técnica conocida como Scattered Field – Total Field que se explicará más adelante, se ve
claramente, sobre todo en la componente Ex, como si no se usa PML la señal empieza a
rebotar como si fuera una cámara reverberante y lo que tenemos en un conjunto de
reflexiones que impiden ver el comportamiento que tendría de verdad el objeto.
Ex en  t =318
Ex en  t =300
Ey en  t =318
Ey en  t =300
Hz en  t =318
Hz en  t =300
(a)
(b)
Figura 11 Scattering sin PML(a) y con PML(b)
2.5.
Inserción señal
Alimentar la estructura con FDTD puede parecer sencillo en un principio, sin embargo,
surgen múltiples problemas. El primero de ellos es que tipo de variación o señal temporal
utilizar y cómo afectará a los resultados una u otra señal. El segundo problema es cómo
alimentar de tal forma que se sea capaz de distinguir entre señal original y señal reflejada.
18
Así mismo existen básicamente dos maneras de alimentar la simulación, la primera
consiste en un puerto discreto, es decir, alimentaremos la simulación en un punto o a lo largo
de una línea y la segunda es los llamados puertos en guía donde alimentaremos la simulación
en una superficie.
2.5.1.
Fuentes
Normalmente la señal utilizada en las simulaciones FDTD es una campana de Gauss
pulsada o sin pulsar, si no la pulsamos tendrá entonces componente continua. Normalmente
los parámetros más importantes a la hora de elegir una u otra señal es la frecuencia del pulso,
es decir la frecuencia del seno que multiplica a la campana de Gauss y la σ del pulso gaussiano.
Cuanto más grande sea la σ más tiempo durará la señal y más suave será la variación de
envolvente, en otras palabras, menos contenido espectral o más estrecha en frecuencia. Por el
contrario si la σ es muy pequeña la campana de Gauss será más estrecha, menos tiempo
ocupará la señal y más componentes espectrales habrá.
Podemos pensar entonces que lo mejor es usar señales con una σ pequeña, pero en
muchas ocasiones, sobre todo en líneas de transmisión que soporten varios modos las
variaciones muy rápidas de la señal de entrada pueden conllevar transitorios muy grandes
hasta que la señal decae a cero. Estos problemas se los encuentra muchas veces el usuario de
software comercial, cuando simula algo con vías o demasiado pequeño verá que llegado a un
punto la simulación se pará y vuelve a empezar, en muchos casos será porque ha detectado
que la señal de entrada no es la más adecuada y la intentará refinar.
En la Figura 12 se muestra el ejemplo de meter una señal con una σ grande (a) y otra con
una σ pequeña (b). Vemos como en la primera la señal incidente no sufre ningún tipo de
dispersión ni transitorio, mientras que en la segunda sí que tenemos un transitorio bastante
largo en la puerta de entrada debido a reflexiones fuera de banda. Debido a esto, a pesar de
que la estructura analizada en ambos casos es la misma las señales reflejadas son distintas en
forma debido al distinto contenido espectral de las fuentes.
Z component
3000
3000
signal 1
signal 3
Incident signal
Reflected signal
2000
2000
1000
1000
0
0
-1000
-1000
-2000
-2000
-3000
0
500
1000
1500
Samples ( t)
(a)
2000
-3000
0
2500
500
1000
1500
Samples ( t)
2000
2500
(b)
Figura 12 Ejemplo de campana de Gauss pulsada
19
Muchas veces es deseable ver qué pasa cuando la antena o dispositivo está transmitiendo
un flujo de potencia constante, para lo cual tenemos que inyectar un seno. Sin embargo no
podemos inyectar un seno sin más ya que si la transición es muy brusca se pueden generar
componentes en frecuencias superiores y por tanto generar otros modos. Por ello hay que
hacer una transición suave del seno como se muestra en la Figura 13 (a). Si este seno se para
de golpe sin volver a realizar la misma transición suave se generan componentes en
frecuencias superiores como se muestra en la Figura 13 (b).
(a)
(b)
Figura 13 Seno en tiempo (a) y en frecuencia (b)
2.5.2.
Puertos discretos
La idea de un puertos discreto es asignar en un punto un valor de campo con una
determinada dirección. El símil con el mundo de los circuitos sería una fuente de tensión en
principio sin una Resistencia o parte reactiva asociada. La resistencia se puede incluir
simplemente añadiendo un material de una cierta conductividad en una celda pegada a la que
se pincha el campo.
Para simular el efecto de una fuente de tensión entre un vivo y una masa bastaría con
forzar el campo a un determinado valor en cada instante de tiempo en el gap entre vivo y
masa. Obviamente la dirección de este campo debe ser perpendicular a ambas superficies, por
lo que lo mejor es que la superficie del vivo y la de la masa sean paralelas.
Figura 14 Esquema de puertos discretos
Para una distancia d entre la masa y el vivo del dipolo tenemos un voltaje aplicado en
función de la distancia de:
20
∫⃗
Dado que la dirección de integración y la del campo eléctrico son iguales, y además el
campo eléctrico es constante tenemos:
Traducido a celdas tenemos:
Para hallar la corriente que circula por el puerto aplicamos la ley de Ámpere alrededor de
un contorno del puerto o del dipolo como e muestra en la Figura 15. Lógicamente dado que las
celdas son hexaedros el contorno de integración será un cuadrado.
Figura 15 Aplicación Ley de Ámpere
∮⃗
Aplicándolo al esquema de mallado seguido e integrando según Figura 16 la tenemos:
∑
(
∑
)
(
∑
(
)
∑
(
)
)
Figura 16 Esquema de integración para la ley de Ámpere
21
Con esto obtenemos el voltaje y la corriente en el tiempo, pero para hallar los parámetros
S o la impedancia nos interesa más tenerlo en el dominio de la frecuencia. Por ello a cada una
de las señales hay que aplicarle una FFT.
Unos de los problemas al hacer la FFT es que la señal está muy muestreada ya que el
periodo de muestreo viene impuesto por la estabilidad del propio método por lo que los
puntos en la banda de interés serán pocos (para un número de puntos de la FFT similar al
número de muestras). Por ello se suele interpolar la señal en frecuencia mediante la técnica
zero padding. Esto también puede llevar a error sobre todo cuando hay resonancias muy
pronunciadas ya que dependiendo donde se encuentre esa resonancia nos aparecerá con un
nivel u otro, es decir, nos dará un resultado de simulación muy bueno si justo la frecuencia de
resonancia coincide con uno de los puntos de la FFT, mientras que si la frecuencia coincide con
unos de los puntos interpolados, lógicamente el resultado es menos preciso. Esta, entre otras,
es una de las razones por las que el método FDTD no es muy apropiado para estudiar
elementos muy resonantes o de banda muy estrecha.
En algunos casos puede resultar de utilidad dotar al puerto con una resistencia o
reactancia. Las ecuaciones para una reactancia, ya sea condensador o simple bobina, son
difíciles de conseguir, pero en el caso de resistor simplemente basta con forzar una celda en el
gap a una determinada conductividad, como muestran las ecuaciones de abajo.
2.6.
Puertos en guía
Muchas veces no nos bastará con un puerto discreto ya sea porque queremos simular el
comportamiento de una estructura cuando un modo se propaga o cuando incide una onda en
él, o simplemente porque el medio a simular no tiene onda de corriente o voltaje.
2.6.1.
Onda plana
Los puertos en guía consisten en pichar el campo a lo largo de una determinada superficie.
En un primer momento si pinchamos el campo con el mismo valor en todos los puntos
estaremos creando una onda plana, en función de si estemos en espacio libre o no, esta onda
plana se “reconfigurará” en un modo determinado en el caso de una línea de transmisión o
continuará como onda plana.
En la Figura 17 se presenta el resultado de una pequeña simulación en la cual se quiere
ver lo que pasa al incidir una onda plana sobre una pieza metálica de sección cuadrada. Como
fuente pinchamos Ey a lo largo de una superficie un valor constante espacialmente y que
temporalmente tiene la forma de una campana de Gauss multiplicada por un seno. Vemos
como automáticamente se genera la componente en Hz (la dirección longitudinal es x) creando
una onda plana. No aparece componente Ex hasta que la onda “impacta” con la superficie
metálica, momento en el cual las aristas se comportan como generadores de difracción.
22
Finalmente se ve el resultado pasado un cierto periodo. Al no haber PML ni nada que absorba
las ondas lo que tenemos es el resultado de múltiples reflexiones entre sí, como si fuera una
cámara reverberante.
Ex en  t =80
Ex en  t =167
Ex en  t =318
Ey en  t =80
Ey en  t =167
Ey en  t =318
Hz en  t =80
Hz en  t =167
Hz en  t =318
Figura 17 Simulación onda plana
2.6.2.
Bootstraping
El simular una onda plana tiene múltiples aplicaciones como hallar secciones radar, ver la
interacción de ondas electromagnéticas con cuerpos vivos… sin embargo en la mayoría de
problemas en microondas lo que realmente nos interesa simular son líneas de transmisión que
soportan una serie de modos que no se corresponden con una onda plana.
El problema es que a priori no conocemos la distribución espacial de esos modos y aun
cuando la conociéramos (como es el caso de una guía) habría que tener cuidado a la hora de
pincharlos ya que hay que tener en cuenta que los campos no están muestreados en el mismo
punto del espacio y hay una diferencia temporal entre el muestreo del campo eléctrico y
magnético.
Por todo ello Taflove y otros autores proponen el uso de bootstraping. Esto consiste en
inyectar una onda plana sin más al inicio de una línea de transmisión que se vaya a usar como
línea de entrada, propagar esa onda plana y ver la distribución espacial que tendremos a una
distancia de la inserción. A continuación podemos reinyectar esos modos al inicio de la línea de
transmisión y repetir el proceso en busca de una mayor convergencia, aunque en la mayoría
de los casos con un par de pasadas suele ser suficiente. Una vez obtenida la configuración
espacial del modo, cada vez que hagamos una simulación con ese tipo de línea podemos
reinyectar directamente la configuración obtenida.
23
En el ejemplo de la simulación de una ranura se mostrará más en detalle el uso de esta
técnica.
Figura 18 Esquema bootstrapping
En la Figura 18 se presenta un esquema de uso de bootstraping. En la inserción vemos un
campo constante, a λ/10 vemos como la distribución de campos ha cambiado un poco y a λ/4
ya tenemos la distribución espacial del modo (TE10 de una guía rectangular).
2.6.3.
Scattered Field – Total Field
Con los puertos en guía surge un problema añadido. Normalmente queremos dotar a la
señal del puerto con un sentido. Si pinchamos el campo sin más lo que provocaremos es que la
onda se propague en los dos sentidos, cuando únicamente queremos que lo haga en uno. Para
solucionar este problema surge la técnica total-field/scattered-field.
Esta técnica se describe en detalle en (11). Se basa en dividir el campo en dos, campo
incidente y campo reflejado. El espacio de simulación también se divide en dos zonas como se
muestra en la Figura 19.
Figura 19 Scattered Field / Total Field
En las fronteras se hacen correcciones para eliminar la parte de campo correspondiente al
incidente. El quid de la cuestión es saber el valor del campo incidente en cada una de las
fronteras. En el caso de una onda plana y para cualquier tipo de incidencia se consigue de una
24
forma fácil y sin mucho coste computacional generando una “lookup table”, que no es más
que un vector en una dimensión con la variación temporal a partir del cual se extrapolan los
valores de campo en otros puntos del espacio.
En la Figura 20 se muestra un ejemplo de uso de la técnica. La primera imagen se
corresponde a una simulación en la cual se inyecta la onda a una distancia del origen y por
tanto la onda se propaga en ambas direcciones. En el segundo caso haciendo las correcciones
necesarias en la frontera se consigue dotar a la onda de un único sentido. De esta forma
podemos saber exactamente cual es la onda reflejada por el sólido que hay en el centro ya que
basta con muestrearla a la izquierda de la frontera.
Figura 20 Ejemplo Scattered Fields – Total Field
Esto funciona bien cuando hablamos sobre ondas planas y medios abiertos, pero no cuando
queremos analizar líneas de transmisión y en especial aquellas que son dispersivas, ya que a
priori no conocemos la variación temporal de la señal (dependerá de la constante de fase, de
las componentes frecuenciales de la señal de entrada…). Para solucionar este problema
existen métodos como el Matched Numerical Dispersion Technique (12) o Analytical Field
Propagation (2). El problema de estos métodos es que incrementan notablemente la
complejidad y la carga computacional ya que requieren hacer cambios del dominio temporal al
de la frecuencia y viceversa continuamente.
2.7.
Diagrama de radiación
Se aplican los principios de equivalencia, que nos dicen básicamente que la radiación de la
estructura bajo estudio será la misma que la de una supuesta caja que rodeara a la estructura
recorrida por corrientes magnéticas y eléctricas tales que estas corrientes produjeran el mismo
campo en el exterior que el que produciría la antena bajo estudio.
Estás corrientes se calculan a partir de su propia definición y suponiendo que los campos
en el interior de la caja son nulos (en la equivalencia). En la Figura 21 se puede ver una
descripción gráfica de la aplicación de este principio. Las corrientes que recorren la caja serán
por tanto la multiplicación vectorial de la normal por el campo (con un signo – en el caso de
corriente magnética). El campo perpendicular a la caja no contará por tanto para el campo
lejano (el producto vectorial da cero).
25
Figura 21 Aplicación principio de equivalencia
Los campos en campo lejano se pueden definir a partir de los potenciales vectores,
normalmente se usan los potenciales vectores A y F, en este caso, se sustituyen estos por los
W y U, que son más propicios para integrar en el tiempo.
A partir de estos potenciales vectores se calcularía el campo según las siguientes
expresiones:
̌
(
)
(
)
̌
(
)
(
)
Los potenciales en el dominio del tiempo se definen como:
(
(
)
)
[∬
[∬
(
(
̂
)
̂
)
]
]
Para calcular las integrales habrá que sumir contribuciones espaciales, las corrientes se
calculan a partir de los campos en la caja de radiación (rotacional por la normal) y su derivada
temporal de la misma forma en la que se haría con el FDTD. De esta forma en cada paso de
tiempo de la simulación tendremos que integrar los campos en la caja, restarles los campos en
el instante anterior y calcular para cada celda su posición temporal en campo lejano en
relación a Theta y Phi.
Al calcular la posición temporal lo más normal es que no salga un número entero, es decir,
puede ser que el campo lejano debido a una celda en una dirección dada haya que sumarlo en
124,3·Δt. Para ello se hace una ponderación, se sumaría esa contribución multiplicada por 0.7
en 124·Δt y multiplicada por 0.3 en 125·Δt.
Otro punto a tratar es que para sumar las contribuciones de los campos en cada dirección
resulta mucho más fácil hacerlo en coordenadas cartesianas, por ellos se calculan los W x,y,z y
luego una vez que termina la simulación se pasa a coordenadas esféricas.
Finalmente una vez terminada la simulación hay que calcular la TF de los campos y
quedarse con las frecuencias que interesen.
26
El método usado requiere un par de arrays (W y U) por cada dirección (θ,φ) que se quiera
por lo que puede requerir una memoria dinámica alta (lo cual hoy en día no es mucho
problema). Un punto a favor del método es que mediante una única
simulación/transformación somos capaces de hallar el campo en todas las frecuencias que
queramos (siempre que nuestra señal de entrada tenga componente espectral en esas
frecuencias).
A la hora de calcular la TF discreta en un primer momento puede parecer la mejor idea
utilizar la FFT, sin embargo no es la mejor de las formas. Dado que en la mayoría de los casos a
la hora de calcular el diagrama de radiación, nos interesa el campo en un número reducido de
frecuencias, a lo sumo tres, es ilógico utilizar un algoritmo que es muy rápido calculando TODO
el espectro. En vez de eso resulta mucho más eficiente aplicar la definición de la DFT en sí
misma y hacer un único cálculo por frecuencia, la complejidad de calcular la DFT a una
frecuencia es O(N) mientras que la de la FFT es O(N·log2(N)). Es decir la FFt sería beneficiosa si
quisiéramos calcular todo el espectro pero resta eficiencia si solo nos interesa una única de las
frecuencias.
27
3. Ejemplo de simulación de un dipolo λ/2
A continuación se presentará la simulación de un dipolo λ/2. Este tipo de antenas tienen
un diagrama de radiación uniforme en φ y con nulos en las direcciones longitudinales del
dipolo. Dado que el dipolo fue la primera antena que se simulo no incluye el mallado no
uniforme que se incluyó más tarde.
3.1.
Modelo del dipolo
Por simplicidad y dado que en FDTD la celda estándar es cúbica se analizará un dipolo de
sección cuadrada con un grosor de 3 celdas.
FDTD no es un método muy recomendable para analizar este tipo de antenas debido a
que para mallar con precisión hilos delgados necesitamos reducir mucho el tamaño de la celda.
Como condiciones de contorno se ha empleado el CPML, en este caso dado que la inserción de
fuente se hace mediante un puerto discreto en el centro del dipolo, todas las fronteras CPML
son iguales.
Los parámetros generales utilizados en la simulación son los especificados en la Tabla 2.
CPML
Parámetros generales
Fuente
Celdas
ε
m
ma
R (coef. Réflex)
α
κ
Celda cúbica
εmedio
µmedio
Tipo
Modo
f0
τc
σ
5
1.0
3
1
0.0001
0.24
15
0.25/0.5 mm
1.0
1.0
Gaussiana pulsada
Puerto discreto
5-7 GHz
3/ f0
2e-10 (Hz)
Tabla 2 Parámetros comunes de simulación del dipolo
3.2.
Campo eléctrico total en el tiempo
En la Figura 22 se recogen una serie de capturas del campo eléctrico total en el plano
longitudinal del dipolo en distintos instantes de tiempo. Todas las gráficas tienen la misma
escala de color y en ellas se ve cómo va fluctuando el campo conforme se va inyectando la
gaussiana. En la Figura 23 se muestra la señal gaussiana de entrada aplicada mediante soft
source en el espacio que hay que hay entre las dos mitades del dipolo. En la Figura 23 también
se muestra los instantes de tiempo en los que se han hecho las capturas de la Figura 22.
28
Figura 22 Campo eléctrico de un dipolo λ/2 en el tiempo
29
Una cosa que puede llamar la atención en las figuras es que existe campo en la dirección
longitudinal del dipolo cuando sabemos de antemano que un dipolo λ/2 no radia en esa
dirección. Como se verá luego ese campo no va a contribuir nada al campo lejano ya que es
perpendicular a la superficie en la que se integra el campo (es de componente radial).
Figura 23 Instantes de tiempo de las capturas de la Figura 22
3.3.
Campo magnético
En la Figura 25 se muestran las componentes del campo magnético en un instante de
tiempo según el corte de la Figura 24.
Figura 24 Corte para representación campo magnético
30
Figura 25 Campo magnético corte longitudinal
Las corrientes en el dipolo van longitudinalmente y para que esto sea así el campo
magnético tiene que ser transversal (ley de Ampère), por ello solo hay componente en x y en z.
Al estar tomada la captura en una de la caras, se ve como en esa cara tenemos un campo más
o menos uniforme de componente x y también podemos observar el campo de componente z
correspondiente a las otras dos caras, el campo en estas dos caras tiene sentido contrario, por
lo que el valor del campo en una es positivo y en la otra negativo. En Figura 26 se representa
un esquema del campo magnético en la sección transversal.
Por otro lado el campo magnético de componente y es nulo salvo en el centro ya que en el
centro sí que hay corrientes en la sección transversal (corrientes que nacen el centro de la
sección transversal y fluyen hacia los bordes).
Figura 26 Esquema del campo magnético alrededor del dipolo
Finalmente se presentan en la Figura 27 los resultados del campo magnético en la sección
transversal para comprobar cómo la distribución es la descrita anteriormente.
31
Figura 27 Campo magnético en el plano transversal
3.4.
Campo eléctrico
En la Figura 29 se muestran las componentes del campo eléctrico correspondientes al
corte de la Figura 28. Se presentan las componentes en dos instantes de tiempo
correspondientes a un desfase aproximado de π para poder ver como fluctúa cada
componente en el tiempo.
Figura 28 Corte longitudinal del dipolo para representación del campo eléctrico
32
Figura 29 Componentes campo eléctrico corte longitudinal
Vemos como en el extremo del dipolo solo hay componente de campo Y (en el eje Y), es
decir tiene componente radial, por lo que su contribución al campo lejano es nula, como cabría
esperar ya que el dipolo no radia en su dirección longitudinal (en este caso en Y). Esto se
comprobará cuando se presenten los diagramas de radiación obtenidos mediante la
transformación descrita en secciones anteriores.
Por otro lado la componente de campo Z es casi nula, solo hay un poco en los extremos.
Finalmente en la Figura 30 se presentan los cortes transversales de cada componente del
campo eléctrico a una distancia de cinco celdas del centro del dipolo. La distribución de las
componentes aunque parezca extraña es la necesaria para que el dipolo tenga un campo con
polarización lineal en la dirección de theta.
33
Figura 30 Componentes del campo eléctrico en corte transversal
3.5.
Señal incidente e impedancia vista
En la Figura 31 se muestra la señal introducida como fuente. Se comprueba como la señal
tiene componentes espectrales entre 4 y 7 GHz, por lo que el margen de validez de los
resultados será ese.
Figura 31 Señal incidente en el tiempo y en la frecuencia
34
La señal se introduce fijando el campo en el gap en el centro del dipolo al valor de la
fuente, es decir con un lumped port con excitación hard source. Para hallar la corriente que
circula por el puerto discreto basta con aplicar la ley de Ampère alrededor de ese puerto
integrando el valor del campo magnético alrededor de una curva. Esta curva obviamente será
un cuadrado, por lo que bastará sumar las contribuciones del campo magnético multiplicadas
por el ancho de la celda en cada dirección, dado que el diferencial de longitud de la curva
coincide con una de las componentes del campo en coordenadas cartesianas y es
perpendicular a las demás solo se necesita sumar una de las componentes en cada lado del
cuadrado.
Para obtener la resistencia que se ve, basta con dividir la DFT del voltaje aplicado entre la
DFT de la corriente generada. El voltaje se obtiene a partir de su función integrando el valor
del campo aplicado a lo largo de la longitud en la que se aplica, que en este caso es multiplicar
directamente ya que la dirección del campo es la misma que la del diferencial de longitud.
Figura 32 Corriente generada en el puerto
Normalmente los lumped ports tienen asociada un resistencia, bobina o condensador al
puerto. De esta forma la celda donde se aplica el campo se correspondería con una fuente de
tensión y en una celda contigua se cambiaría el material por uno de conductividad tal que su
conductividad multiplicada por el tamaño de la celda sea igual a la resistencia deseada.
Al añadir esta resistencia modificamos el valor de la corriente que circula por el puerto, lo
cual tampoco es demasiado problemático porque conociendo el valor de esa R y de la
corriente podemos hallar el valor de la impedancia del dipolo. Si no añadimos esa R lo que va a
pasar es que aparecerá algo de carga estática que se quedará entre el gap del dipolo, debido a
que estamos empleando una hard source. Cuando introducimos esta R esa carga no existe
porque se consume en la R al generarse una corriente asociada a esa carga.
En la Figura 33 se presenta el campo en el gap en el caso de añadir una resistencia de 60 Ω
y sin añadirlo. Vemos como el campo total varía algo debido a la presencia de esa resistencia y
como al final cuando ya se ha apagado la fuente en el caso con resistencia el campo es cero
35
mientras que en el caso sin resistencia aparece un valor de campo estático generado por la
carga antes mencionada.
Figura 33 Campo total en el gap
Los paquetes de software comerciales siempre incluyen la resistencia por defecto pero en
este caso no es necesario del todo ya que sabiendo el funcionamiento del sistema en el caso
de no incluir la resistencia obtendremos directamente el valor de la impedancia vista por el
puerto y lo único que habrá que hacer será eliminar el valor de señal en instantes posteriores a
cuando se apaga la fuente, o simplemente despreciar el termino de componente continua a la
hora de transformar a frecuencia la señal.
3.6.
Resistencia en función del mallado
A continuación se estudiará cómo cambia la impedancia calculada en función del tamaño
de celda. En la Tabla 4 se resumen los parámetros de simulación así como el tiempo que ha
tardado. Los parámetros base del dipolo se detallan en
Longitud
Ancho
Gap central
Datos físicos del dipolo
15.5 mm + celda
1.5 mm
0.5 mm
Tabla 3 parámetros geométricos del dipolo
Cabe destacar que el mallado es uniforme, por lo que no es lo más óptimo posible ya que
mallamos el PML y las zonas próximas igual que el propio dipolo. Cabe destacar que excepto
en el último paso el número de celdas se multiplica por 2, mientras que el tiempo se
incrementa de forma exponencial. Esto es así porque la carga computacional del PML aumenta
de esa forma, lo cual corrobora que en el FDTD la mitad del tiempo o más de la simulación se
gasta en actualizar los códigos convolucionales del PML.
En la última simulación aparece un problema añadido. Estamos casi en 2 millones de
celdas de las cuales casi un cuarto de millón corresponde al PML, por lo que no es de extrañar
36
que tarde 3 horas y pico. Además dado que hemos ido reduciendo el tamaño de las celdas
aumentando solo el número de celdas en la dirección longitudinal del dipolo y no es las
transversales, llega un momento en que la distancia entre el dipolo y las fronteras PML se
reduce, por lo que sería necesario incrementar esta distancia ya que como se aprecia en las
simulaciones la proximidad de las fronteras PML está influyendo en la simulación.
Δx= Δy= Δz (mm)
0.5
0.25
0.125
0.0625
Cells
126K
252K
504K
1.792M
PML cells
32,760
62,160
120,960
238,560
Steps
2000
4500
8000
10000
Time (sg)
46
3:45
20:30
3:40:00
Tabla 4 Resumen simulaciones cambiando mallado
Otro dato a tener en cuenta es que debido a la forma en la que se malla el dipolo tiene
una longitud fija de 15.5 mm más media celda extra por cada lado, es decir cada vez que
reducimos el tamaño de celda reducimos un poco el tamaño del dipolo, por lo que cabe
esperar que según aumentamos el mallado, la frecuencia de resonancia se desplace hacia
arriba un poco.
En la Figura 34 y la Figura 35 se muestran la impedancia simulada. Se comprueba como
para los tres primeros mallados la similitud es bastante grande mientras que para el mallado
máximo se observan los problemas descritos anteriormente debido a la proximidad de las
fronteras PML. También se comprueba como la frecuencia de resonancia va variando según
reducimos el tamaño de malla en parte porque el dipolo es más pequeño como se comentó en
el párrafo anterior y en parte porque el mallado es más denso por lo que los resultados son
más exactos.
Figura 34 Resistencia del dipolo para distintos tamaños de celda
37
Figura 35 Reactancia del dipolo para distintos tamaños de celda
3.7.
Comparación con software comercial
Para corroborar los resultados se comprueban con los obtenidos por el software comercial
CST. Este software no usa exactamente FDTD sino que usa FIT, el método es muy parecido, ya
que trabaja en el tiempo, usa PML, los mismos métodos de inserción de campo… solo que en
el caso de FIT se aproximan integrales en vez de derivadas como en el FDTD.
Lo primero que hay que decir es que el software comercial evidentemente tiene métodos
para refinar el mallado lo máximo posible. En la Figura 36 se representa la forma que tiene de
mallar el dipolo el CST, como podemos comprobar el mallado en el dipolo es mucho más denso
que en las zonas de aire.
El tiempo utilizado para la simulación fue de 2 minutos y 35 segundos para 1400K celdas.
El ratio entre el tiempo de simulación de CST y del propio simulador es de 370%. Obviamente
para el mismo número de celdas el software comercial va a ser más preciso porque hará un
mallado mejor, pero si se tuviera que hacer una optimización más larga se podría perfeccionar
el mallado con un mallado no uniforme en el simulador, haciendo que el tiempo de simulación
fuera la tercera parte del CST en este caso.
38
Figura 36 Detalles del mallado con CST
Figura 37 Comparación de impedancia con CST
39
En las gráficas que comparan las impedancias obtenidas con CST y el simulador se
comprueba como la coherencia entre ambas es bastante grande sobre todo en la zona de
interés (zona de resonancia).
3.8.
Resonancia en función de la señal de entrada
Una comprobación necesaria del simulador es ver cómo cambian los resultados según
cambia la señal de entrada. Los resultados no deberían variar según cambie la señal de entrada
siempre y cuando la señal de entrada tenga contenido espectral suficiente en la banda de
interés (superior al ruido numérico).
Figura 38 Resonancia frene a señal de entrada
En la Figura 38 se muestra la reactancia simulada en función de diversas señales de
entrada de frecuencias diferentes. Se comprueba como efectivamente variando la frecuencia
de entrada la resonancia no se mueve.
3.9.
Campo lejano
En la Figura 39 se muestra el diagrama de radiación en 3D sin normalizar para la
frecuencia de resonancia (4.1 GHz), se comprueba como el diagrama de radiación se
corresponde al clásico de un dipolo con un nulo en la dirección longitudinal del dipolo.
40
20
15
10
Z axis
5
0
-5
-10
-15
-20
20
10
0
-10
X axis
-20
20
0
10
-10
-20
Y axis
Figura 39 Diagrama de radiación del dipolo en 3D
En la Figura 40 se muestra el diagrama de radiación en el corte longitudinal comparado
con CST. Comprobamos como el parecido es bastante grande.
Figura 40 Corte longitudinal vs CST
41
4. Ejemplo antena de ranuras
A continuación se presentaran las simulaciones hechas para antenas de ranuras en guía
onda rectangular. En un primer momento se explicara la forma de alimentar y de hallar
parámetros S para después mostrar los resultados de simulación para una única ranura y un
array de 8x8 ranuras.
4.1.
Alimentación de la guía
Lo primero antes de nada es hacer el setup del puerto en guía. En este caso surgen varios
problemas. El primero es que tenemos que hallar la distribución espacial del modo que se
propaga (suponiendo que únicamente tengamos un modo), para ello se aplica la técnica
bootstraping descrita anteriormente.
El segundo problema viene a la hora de poder extraer el campo reflejado para el cálculo
de los parámetros S. Aplicando un hard source es imposible obtenerlo porque estaremos
creando una pared eléctrica, por ello hay que aplicar técnicas del tipo Scattered-Total Field
(SFTF). El problema de las técnicas SFTF es que no son de fácil implementación cuando no
estamos en el vacío ya que es mucho más difícil determinar la constante de propagación. Aun
cuando exista una expresión analítica para esta constante de propagación (como es en el caso
del TE01), estás expresiones son en función de la frecuencia y trasladarlas al tiempo no es fácil,
además de conllevar una carga computacional excesiva.
Existen técnicas como la Matched Numerical Dispersion Technique o Analytical Field
Propagation que resuelven este problema pero a costa de transformar varias veces de un
dominio a otro. La precisión es muy buena pero obviamente la complejidad y tiempo de
cálculo hacen que no sean tan atractivas.
Por ello en esta primera parte, se detallará como se ha hecho el bootstraping, a
continuación se detallará la solución adoptada para el SFTF y se simulara una ranura para
comparar resultados con software comercial.
4.1.1.
Bootstraping
La primera idea es inyectar una onda plana en una sección transversal de la guía.
Obviamente es un poco extraño inyectar una onda plana en una guía ya que estaremos
excitando campo en superficies metálicas con componente no normal. Lo que va a pasar es
que el campo cambiará en unas cuantas líneas de la distribución que nosotros le hayamos
metido a la distribución que realmente soportaría la guía (ya sea la de un único modo o la de la
combinación de muchos).
En la Figura 41 se muestra el corte transversal a una longitud de onda de la excitación de
una guía en función de la frecuencia y modo en el que se excita la onda plana.
42
(a)
(b)
(d)
(c)
(e)
(f)
Figura 41 Modos en guía
En el primer caso (a) se excita una onda plana con campo eléctrico en sentido horizontal y
a una frecuencia a la que la guía es monomodo por lo que el modo resultante es un TE10, en el
segundo caso (b) se hace lo mismo pero subiendo en frecuencia y vemos como en este caso lo
primero que veríamos sería la distribución de un modo TE20. En la figura (c) se excita el campo
eléctrico vertical y en este caso vemos un modo TE03.
En el caso de (d) excitamos ambas componentes del campo eléctrico (horizontal y vertical)
y lo que vemos es un modo TE11. En el siguiente caso (e) vemos lo que realmente pasa al
excitar la guía a una frecuencia donde la guía soporta varios modos, tenemos una mezcal el
modo TE01, TE10 y TE11 que va variando con el tiempo, esta variación también se observa en
el perfil longitudinal ya que cada modo tendrá una constante de propagación diferente y por lo
tanto no es fácil distinguir cada longitud de onda como en el caso monomodo. Finalmente en
(f) vemos lo que pasa al excitar una frecuencia en la que los modos está al corte, vemos como
la mallaría de la potencia se extingue debido a que se excitan modos evanescentes y
únicamente se excita algo de potencia, que será la correspondiente a las componentes
espectrales de más alta frecuencia y que si que soporta la guía.
43
4.1.2.
Scattered Field – Total Field
Una vez hecho el bootstraping surge otro problema ya comentado en capítulos anteriores.
Si alimentamos la guía sin hacer ninguna corrección lógicamente estaremos excitando señal en
ambos sentidos como se aprecia en la primera parte de la Figura 42. Para solucionar este
problema se puede emplear la técnica Scattered Field – Total field, con la que si dotamos de
un sentido a la señal y es posible detectar la señal reflejada (ya que iría en sentido contrario).
El problema de esta técnica es que la formulación que se suele emplear tiene en cuenta que se
trata de una onda plana, en el momento en que esto no es así la cosa se complica ya que la
constante de propagación puede variar con la frecuencia y es imposible saber de antemano la
variación que va a haber en la señal dentro de la guía.
Para solucionar este problema hay técnicas ya comentadas anteriormente que se basan
en cambios de dominio espectrales, pero ello conlleva una carga computacional bastante
grande. En lugar de eso lo que se hace en esta simulación es correr una primera simulación en
donde se guardan los cortes del campo en el puerto y luego en posteriores simulaciones se
emplean esos cortes para hacer la corrección. Esta presimulación del puerto puede ser solo de
unas pocas celdas en la dirección longitudinal ya que solo nos interesan los campos una celda
antes y después del puerto.
El problema añadido es que puede que tenga menos carga computacional hacerlo de esta
manera pero sigue teniendo una carga computacional alta debido a que en cada iteración hay
que leer de un fichero como era la distribución del campo en el puerto en la presimulación.
Como mejora se podría estudiar hallar la variación temporal del puerto y establecer un
array lineal que permitiera establecer la forma de los campos antes y después del puerto.
EFieldzXY At Time Step = 244
40
0.25
35
0.2
30
0.15
25
0.1
20
0.05
15
0
10
-0.05
5
10
20
30
40
50
44
EFieldzXY At Time Step = 244
40
0.25
35
0.2
30
0.15
25
0.1
20
0.05
15
0
10
5
4.1.3.
-0.05
Figura 42 Excitación de guía normal y con SF/TF Technique
10
20
30
40
50
Método simplificado de alimentación empleado
En la Figura 43 se presenta el esquema del método seguido para hallar los parámetros S.
Es un método que busca el compromiso entre exactitud, tiempo de cálculo y memoria
dinámica usada en el proceso.
Figura 43 Vista guía con ranura para hallar reflexión
La idea principal es mantener la inserción de onda tan simple como se pueda. Para hallar
la reflexión lo que se hace es hacer una primera simulación de la línea de transmisión utilizada
y luego comparar con la simulación real. Puede parecer costoso en tiempo el tener que hacer
dos simulaciones, pero en realidad la primera simulación basta con hacerla para un trozo corto
de línea y solo hay que hacerla una vez ya que se reutilizan los resultados para el resto de
optimizaciones siempre y cuando no cambiemos el puerto de entrada.
El primer paso es hacer una simulación de una línea de transmisión igual a la utilizada en
el puerto de entrada, en este caso una guía, y con PML en los dos extremos para que absorba
la onda. La inyección de campo se hace mediante una onda plana, es decir, pinchando el
campo en una determinada componente y con el mismo valor en la sección transversal. Esta
45
componente obviamente será la componente transversal del modo TE10. La inyección será
mediante soft source, es decir añadiendo al campo presente en el área de alimentación el
valor fuente. La soft source a diferencia de la hard source no actúa como pared eléctrica y
permite que la atraviesen ondas.
Debido a que estamos inyectando una onda plana y no hacemos bootstraping no
conocemos realmente la señal de entrada que estamos introduciendo, por ello hay que
muestrear la señal a unas cuantas celdas de la inserción en la presimulación (señal 2) para
saber cual es realmente la señal incidente y poder compararla posteriormente con la reflejada.
Así mismo como no utilizamos el SFTF al inyectar la señal, lo haremos en ambas
direcciones, por ello también hay que muestrear la señal en la presimulación en la dirección
contraria (señal 1) para poder obtener por comparación luego la verdadera señal reflejada.
A continuación hacemos la simulación con la pared al final de la guía y la ranura,
muestreando la señal al inicio a la izquierda del área de alimentación (señal 3).
Para muestrear las señales lo que se hace es sumar todas las componentes una a una en
una sección de la guía, de tal forma que al final tenemos tres señales, una por cada
componente del campo eléctrico.
Podemos obtener directamente el S11 en módulo a partir de las señales anteriores
utilizamos la siguiente fórmula.
√|
(
)|
√|
(
|
)|
(
|
)|
(
)|
|
|
(
(
)|
)|
En este caso el S11 estará normalizado a la impedancia de la línea de transmisión.
4.2.
Señales temporales obtenidas
Las señales temporales obtenidas según el esquema de la Figura 43 se presentan a
continuación. Para obtener estas señales en el tiempo se integran los valores de señal en una
componente en el puerto. En la Figura 44 se presenta la señal correspondiente al campo
eléctrico de componente Z, es decir, la componente transversal correspondiente al modo
TE01. La señal azul se corresponde con la señal en el puerto de entrada con la ranura, vemos
como inicialmente es igual a la señal de entrada (la roja) y luego empieza a cambiar a medida
que llega la reflexión de la pared final. La señal roja se corresponde a la señal pseudoreflejada
(por denominarla de alguna manera) ya que al no aplicar ninguna técnica como el SF/TF al
alimentar la guía generamos una onda en los dos sentidos. Por ello en el inicio la señal azul
será la suma de la señal incidente y las posibles reflexiones que vengan.
46
Z component
4000
Signal 3
Signal 1
3000
2000
1000
0
-1000
-2000
-3000
-4000
0
500
1000
1500
Samples ( t)
2000
2500
Figura 44 Señales reflejadas componente Z
En la Figura 45 se muestra la componente Y de las señales reflejadas, está es la
componente longitudinal del modo TE01. En la Figura 46 se presentan las señales reflejadas de
componente X. En teoría en la presimulación (señal 1) no debería haber nada de componente
X ya que el modo TE01 no tiene, sin embargo aparece algo de componente X debido a que
estamos inyectando una onda plana en el puerto, sin embargo el valor de esta componente
comparado con el valor de la componente Z es varios ordenes de magnitud menor.
Y component
60
Signal 3
Signal 1
40
20
0
-20
-40
-60
0
500
1000
1500
Samples ( t)
2000
2500
Figura 45 Señales reflejadas componente Y
47
X component
30
Signal 3
Signal 1
20
10
0
-10
-20
-30
0
500
1000
1500
Samples ( t)
2000
2500
Figura 46 Señales reflejadas componente X
Finalmente se representan las señales reflejada e incidente en la Figura 47.
3000
Incident signal
Reflected signal
2000
1000
0
-1000
-2000
-3000
0
500
1000
1500
Samples ( t)
2000
2500
Figura 47 Señales reflejada y transmitida
48
5
DFT
x 10
Incident
Reflected
6
5
4
3
2
1
2.6
2.8
3
f(Hz)
3.2
3.4
3.6
10
x 10
Figura 48 DFT de señales incidente y reflejada
A partir de las DFT´s de las señales incidente y reflejada (Figura 48) resulta posible
adivinar dónde va a estar la resonancia, en este caso algo por encima de los 30 GHz.
4.3.
Parámetros S
Una vez establecido el setup del puerto, a continuación se expondrán una serie de
sweeps mostrando las variaciones en la reflexión en función de las variaciones en la geometría
de la ranura.
Una ranura en guía tiene fundamentalmente dos parámetros básicos, su longitud y su
offset respecto al centro de la guía (Figura 49). Con su longitud se controla la frecuencia de
resonancia, mientras que con su offset se controla la admitancia equivalente que presenta la
ranura.
ra_L
ra_offset
Figura 49 parámetros de una ranura
En la Figura 50 se pude ver un esquema del mallado seguido en la ranura, en él se ha
tratado de mallar mucho más la zona de la ranura que el resto. Una mejora en el mallado sería
49
mallar no uniformemente la ranura, de tal forma que la malla fuera más densa en los extremos
y menos en el centro. Lo mismo se podría hacer en la sección transversal de la guía.
Figura 50 mallado de una guía con una ranura
Para mallar una ranura hay que tener en cuenta como se comento en la introducción
teórica el último campo no nulo anterior a una superficie eléctrica debe ser de componente
perpendicular a la superficie. Por ello se sigue el mallado que se muestra en la Figura 51, en el
cual siempre debe haber una fila más de componentes Ex y una columna más de componente
Ey. Para hacer la ranura más ancha habría que añadir siempre una fila de componentes Ey/Ez y
otra fila debajo de componentes Ex para cumplir con las condiciones en la superficie de un
PEC.
Ex
Ez
Ey
Figura 51 Mallado ranura
En las simulaciones se comprueba como disminuyendo la longitud de las ranuras aumenta
la frecuencia de resonancia Figura 52), como es lógico. También se comprueba como
aumentando el offset de la ranura cambia el valor de su admitancia (Figura 53), variando el
offset vamos cambiando desde admitancias muy bajas hasta admitancias más altas, en el
medio de esta variación obtenemos la mejor adaptación, correspondiente a la impedancia del
generador.
50
S11 vs slot slot length (mm)
0
-2
-4
-6
dB
-8
-10
4.5 FDTD
4.5 CST
4.75 FDTD
4.75 CST
5 FDTD
5 CST
5.25 FDTD
5.25 CST
-12
-14
-16
-18
-20
25
26
27
28
29
30
f (GHz)
31
32
33
34
35
Figura 52 S11 en función de longitud ranura
S11 vs slot slot offset
0
-2
-4
-6
dB
-8
3.12 mm
3.12 mm
2.62 mm
2.62 mm
2.12 mm
2.12 mm
1.62 mm
1.62 mm
-10
-12
-14
-16
FDTD
CST
FDTD
CST
FDTD
CST
FDTD
CST
-18
-20
25
26
27
28
29
30
f (GHz)
31
32
33
34
35
Figura 53 S11 en función de offset de la ranura
51
En ambas figuras se comparan los resultados con los obtenidos mediante software
comercial, en este caso CST. En ambos casos se observa como las resonancias están justo
donde deben estar. La diferencia está en que en el software comercial el S11 es siempre
menor, esto no supone un problema en exceso en la rutina del optimizador ya que de
cualquier forma el propio software es capaz de detectar la mejor de las soluciones ya que sigue
la tendencia que hay en cada barrido. Por ejemplo en la Figura 53 se ve como variando el
offset se desplaza por un lado un poco la frecuencia de resonancia y también se ve como la
adaptación empeora al disminuir el offset, tanto en el software comercial como en el propio.
4.4.
Señales cortes 2D
Una de las ventajas del FDTD es que se pueden ver las señales en el tiempo y detectar
posibles errores, difracciones…
En la Figura 54 se presenta el campo magnético de componente X en la cara interior de la
guía donde está hecha la ranura. Vemos como afecta la ranura al campo magnético, y por ende
Hy field
a las corrientes superficiales, y en la última
captura se puede comprobar cómo resuena la
ranura.
45
40
35
X axis
30
25
20
Hy field
15
10
45
5
40
35
10
20
30
40
Y axis
50
60
70
X axis
30
25
20
Hy field
15
10
45
5
40
35
10
20
30
40
Y axis
50
60
70
20
30
40
Y axis
50
60
70
X axis
30
25
20
15
10
5
10
52
Hy field
45
40
35
X axis
30
25
20
15
45
10
405
35
10
20
30
40
Y axis
50
60
70
30
25
20
15
10
5
Figura 54 Campo magnético con ranura componente X
10
20
30
40
50
60
70
La
Figura 55 y Figura 56 muestra la componente Z e Y del campo magnético en la cara de la
guía con la ranura. Vemos como aparece en la zona de inserción dos pequeños spots debido a
que se inserta una onda plana en vez del modo correspondiente con bootstraping. Esto puede
parecer un problema, pero en realidad no afecta nada a la simulación ya que al utilizar la
comparación entre el caso de guía normal y guía con ranura cortocircuitada, el problema está
presente en ambos casos y se cancela. En el modo TE01 no debería existir campo Hz, pero sin
embargo aparece en la ranura. La componente Hy sería la componente longitudinal del modo
TE10.
Hz field
45
40
35
X axis
30
25
20
15
10
5
10
20
30
40
Y axis
50
60
70
Figura 55 Campo magnético en ranura, componente Z
53
Hy field
45
40
35
X axis
30
25
20
15
10
5
10
20
30
40
Hy field
Y axis
50
60
70
10
20
30
40
Y axis
50
60
70
45
40
35
X axis
30
25
20
15
10
5
Figura 56 Campo magnético en guía, componente Y
En la Figura 57 se presentan los cortes transversales del campo eléctrico a la altura del
centro de la ranura, cada corte se corresponde a un instante de tiempo, de menor a mayor. En
ellos se puede apreciar como radia la ranura, comprobándose como en ese plano el diagrama
de radiación va a ser del tipo abanico. Otra cosa interesante que se ve es la difracción que se
produce en los bordes o cantos de la guía, especialmente en el más cercano a la ranura.
54
Figura 57 Campo eléctrico corte transversal a la altura de la ranura
4.5. Campo radiado por la ranura
Para calcular el campo radiado por la ranura se utiliza el procedimiento descrito
anteriormente. En este caso y a diferencia del dipolo no podemos utilizar la caja de radiación
donde muestrear las corrientes magnéticas y eléctricas ya que hay dos caras que intersecarían
a la guía, y por tanto se considerarían los campos en el interior de la guía para el cálculo del
campo lejano. Hay dos soluciones, evitar esas dos “tapas” como se muestra en la Figura 58, el
error no sería muy grande ya que el campo en esa zona es menor, y la segunda es
simplemente introducir una corrección en el algoritmo para que no tenga en cuenta esa zona
(la del puerto). Para el cálculo del campo lejano de una sola ranura se ha utilizado la primera
forma.
Figura 58 Superficie de integración para cálculo de campo lejano
55
En la Figura 59 se muestra el diagrama de radiación en 3D y en la Figura 60 en función de
Theta y Phi. En el primer caso la similitud con el software comercial es bastante grande con la
diferencia de que en el software comercial se muestra el diagrama den dB y en el propio en
unidades naturales. En la figura en 2D se ve como la forma del campo es más o menos la
misma y como la radiación principal va en la misma dirección.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
eje z
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
eje y
eje x
(a)
(b)
Figura 59 Diagrama radiación de una ranura en 3D FDTD(a) y CST(b)
FIT CST
Own FDTD
180
0
160
0
160
-5
140
-5
140
-10
-10
120
120
-15
100
-15
80
-20
 (º)
 (º)
100
-20
80
60
-25
-25
40
40
-30
-30
20
20
-35
0
60
0
50
100
150
200
 (º)
(a)
250
300
350
0
0
50
100
150
200
250
300
350
 (º)
(b)
Figura 60 Diagrama radiación 2D 1 ranura FDTD(a) y CST(b)
En la Figura 61 y Figura 62 se muestran los cortes en Phi y Theta. En ellos se pueden
apreciar la forma del diagrama y la posición de mínimos y lobulos. Muchos de estos lóbulos
son provocados por difracción en los cantos de las guías. Así por ejemplo en los cortes en Phi
56
-35
se distinguen claramente la radiación de la ranura en 180º y la radiación en 0º correspondiente
al canto opuesto de la ranura.
Own FDTD
0
-5
-10
dB
-15
-20
-25
-30
-35
-40
0
20
40
60
80
100
120
140
160
(º)
Figura 61 Cortes en θ del diagrama de radiación de una ranura
0
-5
-10
dB
-15
-20
-25
-30
-35
-40
0
50
100
150
200
250
300
350
 (º)
Figura 62 Cortes en φ de diagrama de radiación de una ranura
57
4.6.
Guía con 4 ranuras
En la Figura 63 se presenta un esquema de una guía ranurada. Variando el offset de las
ranuras se varía la admitancia de cada una de tal forma que si su separación es λ/2, la
admitancia en el punto de alimentación es la suma de la de las ranuras. La distancia desde el
centro de la última ranura hasta la pared debe de ser del orden de λ/4 para así poner un
circuito abierto virtual en el extremo.
d ranuras
d final
Figura 63 Esquema de 1 guía ranurada
4.7. Señales en los puertos
En la Figura 65 se representan las señales en el puerto de entrada. En el caso de la señal
reflejada (roja) se comprueba como en un primer momento viene una señal grande
correspondiente a la reflexión en la pared y luego otras señales más pequeñas
correspondientes a la parte de la señal que rebota varias veces y a acoplos entre ranuras.
Figura 64 Señales incidentes y reflejadas
58
4.8. Parámetros S guía ranurada
En la Figura 65 se presentan los resultados de adaptación e función de la longitud de las
ranuras comparados con los resultados obtenidos con CST. Al igual que en el caso de una
ranura se ve como los resultados obtenidos tienen un nivel de reflexión más alto pero siempre
se encuentran las resonancias en el mismo punto y con una forma similar.
Figura 65 S11 guía ranurada vs longitud ranura
En la Figura 66 se presenta la adaptación de la guía ranurada en función del offset de las
ranuras (para un offset entre ranuras igual). Se comprueba como el valor óptimo estaría
cercano a 2.62 mm.
59
S11 vs slot slot offset
5
0
dB
-5
-10
3.12 mm
2.62 mm
2.12 mm
1.62 mm
-15
-20
25
26
27
28
29
30
f (GHz)
31
32
33
34
35
Figura 66 S11 guía ranurada vs offset ranuras
4.9. Campos en 2D en la guía ranurada
En la Figura 67 y Figura 68 se presentan cortes longitudinales de la guía ranurada. Se
comprueba por un lado como la onda va avanzando, haciendo que unas ranuras radien
primero y luego otras según la separación eléctrica que hay entre ellas y como la onda va
“perdiendo” potencia en el interior de la guía ya que parte de esta potencia se radia por las
ranuras.
45
45
40
40
35
35
30
30
25
25
20
20
15
15
10
10
5
5
10
20
30
40
50
60
70
10
80
20
30
40
50
Figura 67 Cortes de la parte superior exterior de la guía
60
70
80
60
35
30
25
20
15
10
5
Figura 68 Corte transversal de dos ranuras radiando
10
20
30
40
50
60
70
80
4.10. Diagramas radiación guía ranurada
eje z
En la Figura 69 y Figura 70 se presentan los diagramas en 3D y en 2D de una guía con 4
ranuras tanto con FDTD como con software comercial. Los resultados son muy parecidos sobre
todo en el caso de 2D ya que en el caso de 3D los resultados de FDTD no están expresados en
unidades logarítmicas.
eje x
eje y
(a)
(b)
Figura 69 Diagrama de radiación en 3D con CST (a) en d v B y FDTD (b) en ud. naturales
61
FIT CST
Own FDTD
180
0
0
160
160
-5
-5
140
140
-10
-10
120
120
-15
80
-20
60
-25
40
-30
 (º)
 (º)
100
100
-15
80
-20
60
-25
40
-30
20
20
-35
0
50
100
150
200
250
300
0
350
 (º)
-35
0
50
100
150
200
 (º)
250
300
Figura 70 Radiación en 2D CST y FDTD propio
En la Figura 72 se ve como la guía apunta a 20 º en Theta aunque tienen una serie de
lóbulos secundarios correspondientes entre otras cosas a difracciones en los cantos de la guía.
En la Figura 71 se presentan los cortes en phi.
0
-5
-10
-15
dB
0
-20
-25
-30
-35
-40
0
50
100
150
200
250
300
350
 (º)
Figura 71 Cortes en φ guía ranurada
62
350
Own FDTD
0
-5
-10
dB
-15
-20
-25
-30
-35
-40
0
20
40
60
80
100
120
140
160
(º)
Figura 72 Cortes en θ diagrama radiación guía ranurada
4.11. Array con cuatro guías
Port 4
Port 3
Port 2
Sep
Port 1
Como último apartado se presenta un array de 4 guías. En este caso las guías no
funcionaran todas igual debido a los acoplos que existan con sus vecinas.
Figura 73 Esquema de las 4 guías
63
4.12. Cortes campos de cuatro guías ranuradas
Figura 74 Vista transversal de 4 guías
Figura 75 Vista longitudinal 4 guías
4.13. Señales en los puertos para array de cuatro guías
Comparando con simulaciones anteriores en este caso la señal no decae tan rápido a cero
como antes debido a los acoplos que hay presentes entre guías que hacen que nos lleguen
hasta 3 “grandes” reflexiones.
64
4
1
x 10
Port 1 Incident
Port 1 Reflected
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
500
1000
1500
Samples ( t)
2000
2500
Figura 76 Señales incidente y reflejada
4.14.
Parámetros S array de cuatro guías
La Figura 77 muestra los parámetros S cuando se excita únicamente una guía. Se
comprueba como la similitud con el software comercial es bastante grande, teniendo en
cuenta que la forma y las resonancias son iguales solo que aumente un poco el nivel de
reflexión. Se comprueba como el acoplo entre guías es del orden de 17 dB con la guía más
próxima, -23 para la siguiente y -27 para la más alejada (siempre mirando en la zona de
resonancia).
65
Matching and coupling
0
Matching FDTD
Matching CST
Coupling 1->2 FDTD
Coupling 1->2 mm CST
Coupling 1->3 FDTD
Coupling 1->3 CST
Coupling 1->4 FDTD
Coupling 1->4 CST
-5
-10
-15
dB
-20
-25
-30
-35
-40
-45
-50
25
26
27
28
29
30
f (GHz)
31
32
33
34
35
Figura 77 Adaptación y acoplos entre guías entrando por primera guía únicamente
En la Figura 78 se muestra la adaptación de cada uno de los puertos. Se comprueba como
las dos guías centrales se comportan de la misma forma, mientras que las dos que están en los
extremos tienen una adaptación diferente. Se podría pensar que la adaptación de las guías de
los extremos debería ser igual, pero hay que tener en cuenta la posición de las ranuras, ya que
en la primera guía las ranuras 1 y 3 dan hacia en el que está el vacío, mientras que en la cuarta
guía dan hacia el lado en el que está la tercera guía.
66
Matching
0
Matching 1
Matching 2
Matching 3
Matching 4
-2
-4
-6
dB
-8
-10
-12
-14
-16
-18
-20
25
26
27
28
29
30
f (GHz)
31
32
33
34
35
Figura 78 Adaptación de cada puerto de las guías
4.15. Diagramas de radiación array 4x4
En la Figura 79y Figura 80 se presentan los diagramas de radiación en 2D y 3D del array.
Como se puede comprobar las similitudes son muy grandes. Hay que tener en cuenta que en
este caso el paso en φ y θ se ha aumentado un poco para que no tardara mucho, aúna así la
precisión es bastante buena. Hay que destacar que la gráfica en 2D en CST está en dB mientras
que la propia está en unidades naturales.
(a)
(b)
Figura 79 Diagramas 2D 4x4 CST(a) y FDTD(b)
67
(a)
(b)
Figura 80 Diagramas en 3D CST(b) y FDTD(a)
0
-10
dB
-20
-30
-40
-50
-60
0
50
100
150
200
250
300
350
 (º)
Figura 81 Cortes en φ
68
Own FDTD
0
-10
dB
-20
-30
-40
-50
-60
0
20
40
60
80
(º)
100
120
140
160
Figura 82 Cortes en θ
69
5 Acoplador en guía
A continuación se simularán acopladores por ranura en guía. Estos acopladores sirven
para acoplar parte de la potencia de la guía longitudinal a las guías en rama. Normalmente se
emplean ranuras giradas o ranuras longitudinales. En este caso debido a que mallar una ranura
girada resultaría más complicado se utilizaran ranuras transversales como se ve en la siguiente
figura.
En la Figura 1 se muestra el esquema del acoplador, dos guías transversales con una
ranura entre ellas que acopla parte de la potencia a las guías en ramas y parte se transmite
para otras ramas o circuitos.
Figura 83 Esquema de Acoplador en guía
5.1 Simulación
En este caso para simular el acoplador en guía habría que actualizar el campo en muchas
zonas donde nunca va a haber campo ya que los bucles del algoritmo hacen que se tenga que
estudiar todo el comportamiento electromagnético en un paralelepípedo entero.
Una opción sería cambiar los bucles para que se fueran cambiando los recorridos
progresivamente según las distintas partes o hacer como hace Taflove en su libro, aplicar el
algoritmo en componentes (guia1, ranura y guias2 en este caso). Estas opciones resultan un
cambio sustancial en el código por lo que se desecharon.
En lugar de ello se define un nuevo tipo de material en el bucle además del PEC de tal
forma que si en el bucle se detecta que esa celda corresponde a ese material salta al siguiente
paso sin realizar ningún cálculo. Esto supone que vamos a ejecutar un bucle vacío en muchas
posiciones, perdiendo algo de tiempo, pero ganando mucho tiempo en comparación con el
caso en el que se aplica el algoritmo a todos los puntos del paralelepípedo.
En la Figura 84 se ve el corte de los materiales empleados. En rojo fuerte estaría el
conductor, en azul aire y el rojo más claro representa las zonas en las que no se calcula el
campo. La frontera superior también es PEC, por lo que la guía superior terminará en PEC
70
también. Otra cosa a destacar es que aunque el mallado parezca igual, no lo es, es decir el
tamaño de los cuadraditos en la realidad no es el mismo.
60
50
20
15
40
10
30
5
10
20
30
40
50
60
20
10
10
20
Figura 84 Cortes transversales definición de materiales
30
40
50
60
En la Figura 85 se muestran los esquemas de mallado no uniforme seguidos, donde se
comprueba como en z se ha mallado mucho más en la ranura que en el resto y como se malla
también mucho más en la zona en la que las guías quedan enfrentadas.
Mallado en z
Mallado en x
Figura 85 Esquema de mallado de doble guía
5.2 Señales temporales
En la Figura 86 se muestran las señales en el tiempo del acoplador en ranura. Como puede
verse la señal transmitida es muy parecida a la gaussiana que se inyecta, lo cual quiere decir
que se transmitirá toda la potencia salvo en un rango de frecuencias. Las señales reflejadas y
acopladas son muy parecidas, por lo que sus parámetros S también serán parecidos en forma.
71
Coupled signal
Reflected Signal
500
300
400
200
300
200
100
100
0
0
-100
-100
-200
-300
-200
-400
-300
-500
0
500
1000
1500
Samples
2000
2500
3000
0
500
1000
1500
Samples
2000
2500
Transmited signal
2000
1500
1000
500
0
-500
-1000
-1500
-2000
0
500
1000
1500
Samples
2000
2500
3000
Figura 86 Señales temporales del acoplador de ranura
5.3 Parámetros S
En la Figura 87 se presentan los parámetros S simulados comparados con los de CST. Se ve
que la concordancia es bastante grande a pesar de que hay un pequeño desplazamiento en
frecuencia. Esto pequeño desplazamiento puede ser debido a que resulta difícil traducir el
mallado propio a distancias reales ya que en muchos casos hay que ir comprobando hasta
donde llega la ranura y que tamaño de malla hay en cada posición de la ranura…
72
3000
Waveguide slot coupler
0
Matching FDTD
Matching CST
Coupled 1 FDTD
Coupled 1 CST
Coupled 2 FDTD
Coupled 2 CST
Transmited FDTD
Transmited CST
-5
dB
-10
-15
-20
-25
25
26
27
28
29
30
f (GHz)
31
32
33
34
35
Figura 87 Parámetros S acoplador en guía
5.4 Cortes 2D de señales
En la Figura 88 se presentan los campos en un corte transversal en diversos instantes de
tiempo. Se comprueba como se deforma el modo TE cuando la ranura empieza a acoplar
potencia y como el campo en el interior de la ranura es muy alto, como es lógico.
20
20
15
15
10
10
5
5
10
20
30
40
50
60
20
20
15
15
10
10
5
5
10
20
30
40
50
60
10
20
30
40
50
60
10
20
30
40
50
60
20
15
10
5
10
20
30
40
50
60
Figura 88 Cortes 2D transversales del acoplador por ranura
73
En la Figura 89 se ve el campo en secciones longitudinales tanto de la guía principal como
de la acoplada. En el primer caso (la guía principal) se puede apreciar el efecto de la inserción
de campo mediante soft surface ya que aparece una especie de pared de un color más fuerte.
La potencia en la guía de arriba aparece de un color mucho más tenue debido a que la
cantidad de potencia que va a cada rama es inferior a la cuarta parte de la de la guía principal.
60
60
50
50
40
40
30
30
20
20
10
10
10
20
30
40
50
60
10
60
60
50
50
40
40
30
30
20
20
10
10
10
20
30
40
50
60
10
20
20
30
40
50
60
30
40
50
60
Figura 89 Cortes en 2D longitudinales acoplador por ranura
74
6 Esquema de simulación
En la Figura 90 se presenta el diagrama de clases den Java así como los ficheros matlab
auxiliares.
En un principio se empezó a programar el algoritmo en matlab pero se vio que conforme
aumentaba la carga computacional el tiempo de cálculo era demasiado grande además de no
poder controlar tan bien la memoria dinámica con matlab. A continuación se empezaron a
hacer pruebas con lenguaje C, el problema es que C no permite una escritura de código tan
sencilla e eficiente como Java (aunque suele correr más rápido que Java). Por ello finalmente
se escribió el código final en Java, en las pruebas realizadas el código corría igual de rápido en
Java y en C, siendo mucho más fácil de cambiar y jerarquizar el código en Java.
Él código tiene un núcleo que es el que contiene el algoritmo y es el encargado de llamar a
cada una de las clases. Todo el código Java ha sido escrito desde cero a excepción de la FFT y el
GA (Genetic Algortihm). El código de la FFT es código opensource cogido de Internet. El código
del optimizador basado en algoritmo genético es código del MIT liberado. Para utilizar tanto la
FFt como el GA ha habido que hacer una serie de pasarelas para que se puedan entender con
el propio programa ya que por ejemplo el GA optimiza ristras de bits, por lo que hay que
transformar nuestros parámetros de simulaciones en ristras de bits así como funciones de
peso en función de nuestros deseos.
Finalmente la salida del algoritmo se presenta con matlab con pequeños scripts para
presentar gráficas en 2D, películas o diagramas de campo.
75
Figura 90 Esquema de clases java y matlab
76
6.1 Explicación de cada clase
6.1.1 FDTD.java
FDTD.java es el núcleo del algoritmo. Contiene todas las referencias al PML, fuente,
parámetros S, etc de la simulación. Es donde está escrito el bucle temporal por lo que es desde
donde se llama a las demás clases. En un primer momento está clase era mucho más grande y
se fue adelgazando paulatinamente llevando parte de sus rutinas a clases aparte a medida que
crecía.
6.1.2 PML.java
En esta clase se guardan todos los arrays y variables relacionados con el PML. Puesto que
las fronteras PML se establecen en un principio y no se prevé que se vayan a cambiar
dinámicamente en optimizaciones, el cambio de las características de las fronteras debe
hacerse en el constructor de la clase.
La forma de utilizar la clase es crear el objeto, asignar al núcleo el objeto mediante el set()
del núcleo y a continuación llamar al método que inicializa las variable en el PML. Una vez
inicializado el algoritmo llamará al núcleo para modificar los códigos convolucionales.
6.1.3 Complex.java
Es una clase que representa a un número complejo con todas sus operaciones asociadas.
La clase en si contiene al número complejo, es decir no es una clase con métodos estáticos, un
ejemplo de utilización sería:
Complex a = new Complex(1.0 , 2.0)
Complex b= new Complex(1.4, 3.4);
Complex div =a.divididedby(b);
6.1.4 Constants.java
Esta clase contiene en variables estáticas los valores de constantes físicas como pueden
ser la velocidad de la luz, la permitividad y permeabilidad del vacío, el número pi…
6.1.5 FFT.java
Clase que vale para calcular la FFT de secuencias. Básicamente en el núcleo se crea un
objeto de esta clase y cada vez que se quiere una FFT se le llama. El algoritmo utilizado es del
tipo recursivo (O(Nlog2(N)), no es el más eficiente en memoria y carga, pero sí el más legible y
fácil de implementar.
77
6.1.6 NFTFF.java
Este interfaz representa el objeto que se encarga de transformar el campo cercano en
campo lejano. Se usa una interfaz en lugar del propio objeto en si porque la implementación
cambia un poco según si se quiere el diagrama en un corte en θ, en φ o en 3D. De esta forma
se puede instanciar un objeto NFTFF en la rutina principal sin necesidad de saber qué tipo de
corte es.
6.1.7 NFTFF3.java
A modo de ejemplo se presenta la implementación 3D del near to far field. El uso de estas
clases en la rutina principal es el siguiente. Primero se inicializa con los datos de tiempo
máximo, direcciones theta y phi y frecuencias de interés. A continuación mediante setters se
establecen las coordenadas de la caja de radiación, el área que se utiliza para el puerto…
Dentro de la rutina principal hay que incluir un trozo de código que compruebe si hay algún
NFTFF asociado y si lo hay ejecutar un paso en la actualización. Finalmente una vez que la
simulación FDTD ha terminado hay que llamar a los métodos finalNFTFF(), timeToFrequency() y
ouput() o outputFrequency() según se quiera.
6.1.8 2DPlot.java
Esta clase contiene varios métodos para guardar datos en 2D. Entre estos datos están los
campos en cada una de las componentes en un plano especificado, el campo en una única
región concreta, el mallado en la estructura…
Su uso es muy simple, se crea un objeto Record2D en el lanzador pasándole una
referencia del propio kernell para que pueda acceder a él sin restricciones. Al crear el objeto
hay que especificarle una frecuencia o periodo de salvado y cada vez que se llame a un método
de salvado se comprobará si el instante en el que se ejecuta es módulo cero con el periodo de
salvado para guardar la información en fichero.
6.1.9 Record1D.java
Esta clase se encarga de contener arrays temporales e ir almacenando muestras en cada
paso de la simulación.
6.1.10
Mesh.java
Mesh.java es un interfaz que representa al mallador, es decir, al objeto físico a simular. Al
utilizar una interfaz podemos instanciar en el núcleo a un único mallador que a su vez tendrá
varias implementaciones como dipolos, guías de onda, guías de onda ranuradas...
El único método que debe implementar un objeto que implemente el interfaz además el
constructor es el método mesh() que será llamado por el núcleo para asignar materiales a los
arrays espaciales del núcleo.
78
6.1.11
SParameters.java
Esta clase se encarga de leer las muestras de las presimulaciones (necesarias para
comparar señales como se explicó anteriormente), almacenar los arrays temporales de las
señales en cada paso de la simulación, calcular los parámetros S usando FFTs y guardar los
parámetros en ficheros txt.
6.1.12
Source.java
Esta clase contiene diversos tipos de señales temporales. Se inicializa en el núcleo y se la
llama cada vez que se quiere una muestra nueva de la señal de entrada.
6.1.13
Launcer.java
Launcher se encarga de las rutinas necesarias para lanzar la simulación, en un primer
momento se hacia todo en el método main del núcleo pero debido a que es único que cambia
entre simulación y simulación cuando se hace el setup se decidió aislarlo para poder
controlarlo más fácilmente.
6.1.14
LauncerIni.java
Igual que Launcher normal solo que es usado para hacer únicamente la presimulación
para luego comparar señales.
6.1.15
Optimizer.java
Esta clase es la pasarela entre el paquete optimizador del MIT y la propia simulación. Lo
fundamentral de esta clase es como se traducen la posición de ranuras y offset (por ejemplo)
en bits para pasárselos al optimizador. También define la función de gol a partir de los
parámetros S calculados en cada paso.
6.2 Líneas de código por clases
En la Tabla 5 se presenta un resumen de las clases con las líneas de código de cada uno de
ellas. Con ello se puede comprobar que clases hacen más o menos trabajo. Una excepción
sería la clase 2D Plot que es larga porque tiene muchos métodos repetitivos según se quieran
los cortes, módulo o una componente, etc.
79
Clase
FDTD
NTFF2
PML
Slotted Waveguide
2DPlot
Complex
Constants
FFT
Record1D
SParameters
Source
Launcher
LauncherIni
Optimizer
líneas
685
602
354
141
816
53
22
80
52
188
60
61
66
120
Tabla 5 Líneas por clase Java
80
7 Bibliografía
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isotropic media. Yee, K. S. s.l. : IEEE Trans. Antennas and Propagation, Vol. 14.
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method. Tercera. s.l. : Artech House, 2005.
3. Fourier analysis of numerical algorithms for the Maxwell´s equations. Liu, Y. s.l. : J
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4. Absorbing boundary conditions for the finite-difference aproximation of the timedomain electromagnetic field equations. G., Mur. s.l. : IEEE Transc. Electromag. Compat., Vol.
23.
5. A perfectly Matched Layerfor the Absorption of Electromagnetic Waves. Berenguer,
Jean-Pierre. 1994, Journal of Computacinal Physics, Vol. 114, págs. 185-200.
6. Three-Dimensional Perfectly Matched Layer for the Absorption of Electromagnetic
Waves. Bérenger, Jean Pierre. 1996, Journal of Computacional Physics, Vol. 127, págs. 363379.
7. Perfectly Matched Layer for the FDTD solution of Wave-Structure Interation Problems.
Bérenger, Jean Pierre. 1, January de 1996, IEEE Transactions of Antennas and Propagation,
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8. A 3D perfectly matched medium from modified Maxwell´s equations with streched
coordinates. Chew, W. C. and W.H. Weedom. s.l. : IEEE Microwave Guided Wave Lett., Vol. 7.
599-604.
9. A perfectly matched anisotropic ansorber for use as an absorbing boundary conditions.
Sacks, Z.S. s.l. : IEEE Trans. Antennas Propagat., Vol. 43.
10. Convolutional PML (CPML): An efficient FDTD implementation of the CFS-PML for
arbotrary media. Roden, J.A. and S.D. Gedney. s.l. : Microwave Optical Tech. Lett., Vol. 27.
11. On implementating a numeric Huygen´s source scheme in a finite difference program
to illuminate scattering bodies. Merewether, D.E., R. Fisher and F.W. Smith. s.l. : IEEE Trans.
Nuclear Science , Vol. 27.
12. Perfect wideband plane wave injector for FDTD method. Guiffaut, C. and K.
Mahdjoubi. Salt Lake City : Proc. IEEE Antennas Propagation Soc. Intl. Symp.
81
5. Indice de figuras
Figura 1 Algoritmo de Yee ...................................................................................................... 7
Figura 2 Dispersión en función de incidencia y mallado ........................................................ 8
Figura 3 Dispersión causada por mallado y discretización temporal..................................... 9
Figura 4 Forma de mallar I ................................................................................................... 10
Figura 5 Forma de mallar II .................................................................................................. 10
Figura 6 Mallado de superficie PEC ...................................................................................... 11
Figura 7 Campos TE10 mallando mal superficie PEC ........................................................... 11
Figura 8 Campos TE10 mallando bien superficie PEC .......................................................... 12
Figura 10 Señal incidente (a) y reflejada de una frontera ABC de Mur ............................... 13
Figura 11: PML Bérenger en 3D (6) ...................................................................................... 15
Figura 12 Scattering sin PML(a) y con PML(b) ..................................................................... 18
Figura 13 Ejemplo de campana de Gauss pulsada ............................................................... 19
Figura 14 Seno en tiempo (a) y en frecuencia (b) ................................................................ 20
Figura 15 Esquema de puertos discretos ............................................................................. 20
Figura 16 Aplicación Ley de Ámpere .................................................................................... 21
Figura 17 Esquema de integración para la ley de Ámpere .................................................. 21
Figura 18 Simulación onda plana ......................................................................................... 23
Figura 19 Esquema bootstrapping ....................................................................................... 24
Figura 20 Scattered Field / Total Field ................................................................................. 24
Figura 21 Ejemplo Scattered Fields – Total Field ................................................................. 25
Figura 22 Aplicación principio de equivalencia .................................................................... 26
Figura 23 Campo eléctrico de un dipolo λ/2 en el tiempo................................................... 29
Figura 24 Instantes de tiempo de las capturas de la Figura 21............................................ 30
Figura 25 Corte para representación campo magnético ..................................................... 30
Figura 26 Campo magnético corte longitudinal ................................................................... 31
Figura 27 Esquema del campo magnético alrededor del dipolo ......................................... 31
Figura 28 Campo magnético en el plano transversal ........................................................... 32
Figura 29 Corte longitudinal del dipolo para representación del campo eléctrico ............. 32
Figura 30 Componentes campo eléctrico corte longitudinal ............................................... 33
Figura 31 Componentes del campo eléctrico en corte transversal ..................................... 34
Figura 32 Señal incidente en el tiempo y en la frecuencia .................................................. 34
Figura 33 Corriente generada en el puerto.......................................................................... 35
Figura 34 Campo total en el gap .......................................................................................... 36
Figura 35 Resistencia del dipolo para distintos tamaños de celda ...................................... 37
Figura 36 Reactancia del dipolo para distintos tamaños de celda....................................... 38
Figura 37 Detalles del mallado con CST ............................................................................... 39
Figura 38 Comparación de impedancia con CST .................................................................. 39
Figura 39 Resonancia frene a señal de entrada ................................................................... 40
Figura 40 Diagrama de radiación del dipolo en 3D .............................................................. 41
Figura 41 Corte longitudinal vs CST...................................................................................... 41
Figura 42 Modos en guía ...................................................................................................... 43
Figura 43 Excitación de guía normal y con SF/TF Technique ............................................... 45
82
Figura 44 Vista guía con ranura para hallar reflexión .......................................................... 45
Figura 45 Señales reflejadas componente Z ........................................................................ 47
Figura 46 Señales reflejadas componente Y ........................................................................ 47
Figura 47 Señales reflejadas componente X ........................................................................ 48
Figura 48 Señales reflejada y transmitida ............................................................................ 48
Figura 49 DFT de señales incidente y reflejada.................................................................... 49
Figura 50 parámetros de una ranura ................................................................................... 49
Figura 51 mallado de una guía con una ranura ................................................................... 50
Figura 52 Mallado ranura ..................................................................................................... 50
Figura 53 S11 en función de longitud ranura ....................................................................... 51
Figura 54 S11 en función de offset de la ranura .................................................................. 51
Figura 55 Campo magnético con ranura componente X ..................................................... 53
Figura 56 Campo magnético en ranura, componente Z ...................................................... 53
Figura 57 Campo magnético en guía, componente Y .......................................................... 54
Figura 58 Campo eléctrico corte transversal a la altura de la ranura .................................. 55
Figura 59 Superficie de integración para cálculo de campo lejano ..................................... 55
Figura 60 Diagrama radiación de una ranura en 3D FDTD(a) y CST(b) ................................ 56
Figura 61 Diagrama radiación 2D 1 ranura FDTD(a) y CST(b) .............................................. 56
Figura 62 Cortes en θ del diagrama de radiación de una ranura......................................... 57
Figura 63 Cortes en φ de diagrama de radiación de una ranura ......................................... 57
Figura 64 Esquema de 1 guía ranurada................................................................................ 58
Figura 65 Señales incidentes y reflejadas ............................................................................ 58
Figura 66 S11 guía ranurada vs longitud ranura .................................................................. 59
Figura 67 S11 guía ranurada vs offset ranuras..................................................................... 60
Figura 68 Cortes de la parte superior exterior de la guía .................................................... 60
Figura 69 Corte transversal de dos ranuras radiando .......................................................... 61
Figura 70 Diagrama de radiación en 3D con CST (a) en d v B y FDTD (b) en ud. naturales . 61
Figura 71 Radiación en 2D CST y FDTD propio .................................................................... 62
Figura 72 Cortes en φ guía ranurada ................................................................................... 62
Figura 73 Cortes en θ diagrama radiación guía ranurada ................................................... 63
Figura 74 Esquema de las 4 guías ........................................................................................ 63
Figura 75 Vista transversal de 4 guías .................................................................................. 64
Figura 76 Vista longitudinal 4 guías ..................................................................................... 64
Figura 77 Señales incidente y reflejada ............................................................................... 65
Figura 78 Adaptación y acoplos entre guías entrando por primera guía únicamente ........ 66
Figura 79 Adaptación de cada puerto de las guías .............................................................. 67
Figura 80 Diagramas 2D 4x4 CST(a) y FDTD(b)..................................................................... 67
Figura 81 Diagramas en 3D CST(b) y FDTD(a) ...................................................................... 68
Figura 82 Cortes en φ ........................................................................................................... 68
Figura 83 Cortes en θ ........................................................................................................... 69
Figura 84 Esquema de Acoplador en guía ............................................................................ 70
Figura 85 Cortes transversales definición de materiales ..................................................... 71
Figura 86 Esquema de mallado de doble guía ..................................................................... 71
Figura 87 Señales temporales del acoplador de ranura ...................................................... 72
Figura 88 Parámetros S acoplador en guía .......................................................................... 73
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Figura 89 Cortes 2D transversales del acoplador por ranura .............................................. 73
Figura 90 Cortes en 2D longitudinales acoplador por ranura .............................................. 74
Figura 91 Esquema de clases java y matlab ......................................................................... 76
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6. Indice de tablas
Tabla 1 Parámetros del PML ................................................................................................ 18
Tabla 2 Parámetros comunes de simulación del dipolo ...................................................... 28
Tabla 3 parámetros geométricos del dipolo ........................................................................ 36
Tabla 4 Resumen simulaciones cambiando mallado ........................................................... 37
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