UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Fracciones

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
E.A.P. DE. MATEMÁTICA PURA
Fracciones continuas, ecuación de Pell y unidades en el
anillo de enteros de los cuerpos cuadráticos
Capítulo 7. Fracciones continuas periódicas
TRABAJO MONOGRÁFICO
Para optar el Título de Licenciado en Matemática pura
AUTOR
Sonia Alanya Pérez
LIMA – PERÚ
2004
7
Fracciones Continuas Periódicas.
Un subconjunto importante e interesante del conjunto de las fracciones continuas simples infinitas es el conjunto de las fracciones continuas periódicas.
Una fracción continua periódica es una fracción continua de la forma:
£
¤
a1 , a2 , ..., an , b1 , b2 , ..., bn
27
donde n es un entero no negativo y los enteros b1 , b2 , ..., bn se repiten.
Recordemos que un irracional cuadrático es un número irracional que es una
solución de una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 donde a, b y c son
enteros.
Conclusión.
1) Todo
√ irracional cuadrático es un número real que tiene la forma: r +
s k donde r y s ∈ Q; s 6= 0 y k es un entero positivo que no es
cuadrado perfecto.
2) Las fracciones continuas periódicas difieren de otras fracciones continuas en que ellas representan irracionales cuadráticas, ası́ por ejemplo
tenemos:
√
¤
1 + 10 £
= 1, 2, 1
3√
£
¤
23 = 4, 1, 3, 1, 8
√
−1 + 5 £ ¤
= 0, 1
2
√
1 + 10
La representación en fracción continua de
es un ejemplo de
3
una fracción continua periódica pura.
Teorema 12. Toda fracción continua periódica representa un irracional
cuadrático.
Demostración.
£
¤
Sea a0 , a1 , ..., aj , b0 , b1 , ..., bm−1 cualquier fracción continua periódica. Entonces hagamos:
x = [a0 , a1 , ..., aj , y]
£
¤
donde y = b0 , b1 , ..., bm−1 .
Como
¤
£
y = b0 , b1 , ..., bm−1 , b0 , b1 , ..., bm−1
entonces
y = [b1 , b2 , ..., bm−1 , y]
el valor de la fracción continua es igual al (n + 1) convergente Cn+1 .
pi
el i-ésimo convergente de la fracción continua en (8)
Sea Ci =
qi
entonces
ypm + pm−1
y=
yqm + qm−1
28
(9)
y
y 2 qm + yqm−1 = ypm + ypm−1
qm y 2 + y (qm−1 − pm ) − pm−1 = 0
(10)
de (9) se tiene que y es un número irracional cuadrático o bien racional pero
lo ultimo queda excluido ello debido a que la fracción continua es infinita, es
una ecuación cuadrática cuyos coeficientes enteros son números irracionales,
ya que y satisface la ecuación y esta representada por una fracción continua
simple infinita.
Por lo tanto y es
√ un irracional cuadrático.
Sea y = r + s d donde r, s son números racionales y k es un entero
positivo que no es cuadrado perfecto.
De (8) se tiene:
0
0
ypn + pn−1
x= 0
0
yqn + qn−1
p0n p0n−1
y 0
son los últimos convergentes para [a0 , a1 , ..., aj ]
qn0
qn−1
√
Reemplazando y = r + s d en la expresión se tiene:
³
√ ´ 0
0
√
0
0
0
r + s d pn + pn−1
rpn + pn−1 + spn d
√
x= ³
= 0
√ ´
0
0
rqn + qn−1 + sqn0 d
r + s d qn0 + qn−1
³
³
√ ´³
√ ´
√ ´
√
A+B d C −D d
C −D d
A+B d
√ ׳
x=
√ ´=
C 2 − D2 d
C +D d
C −D d
√
√
AC − AD d + BC d − BDd
x=
C 2 − D2 d
√
AC − BDd (BC − AD) d
x=
+
C 2 − D2 d
C 2 − D2 d
√
0
0
0
0
0
entonces x = r + s d donde r , s ∈ Q. Además s 6= 0 pues x esta
representado por una fracción continua simple infinita.
Por lo tanto x es un irracional cuadrático y toda función continua periódica
representa un irracional cuadrático.
donde
29
Ejemplo 14. Determinar el irracional cuadrático representado por cada una
de las siguientes fracciones continuas simples infinitas.
£
¤
(i) 4, 1, 3, 4
Solución
£
¤
£ ¤
£
¤
Sea x = 4, 1, 3, 4 ⇒ x = [4, 1, y] donde y = 3, 4 = 3, 4, 3, 4 =
[3, 4, y] ⇒
y (13) + 3
3
⇒ y 2 − 3y − = 0
4 (y) + 1
4
3 √
entonces y = + 3
2
y=
Los primeros dos convergentes de [4, 1, y] es: C0 = 4, C1 =
µ
5
entonces
1
¶
3 √
√ ¢
¡
√
+ 3 .5 + 4
5−2 3
23 + 10 3
2
¶
√ ס
√ ¢
x= µ
=
3 √
5+2 3
5−2 3
+ 3 .1 + 1
2
√
4 3 + 55
x=
13
£
¤
(ii) 1, 2, 3
Solución
Sea x = [1, 2, 3, y] donde y = [1, 2, 3, y] ⇒ x = y
Veamos:
k
ak
pk
qk
0
1
1
1
1
2
3
2
2 3
3
10
7
y (10) + 3
⇒ 7y 2 − 8y − 3 = 0
y (7) + 2
√
8 + 2 37
y1 =
14
√
4 + 37
x=
7
y=
30
£
¤
(iii) 0, 1, 2, 3
Solución.
£
¤
£
¤
Sea x = 0, 1, 2, 3 donde y = 1, 2, 3 = y = [1, 2, 3, y] . Se tiene
10 (y) + 3
7 (y) + 2
2
7y − 8y − 3 = 0
√
4 + 37
entonces y1 =
7
y=
entonces los dos primeros convergentes de [0, 1, 2, 3, y] es:
k
ak
pk
qk
entonces
Ã
x= Ã
4+
4+
√
7
√
7
√
x=
37
37
0
0
0
1
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
7
10
!
.7 + 2
!
.10 + 3
√ ¢
¡
√
61 − 10 37
42 + 7 37
√ ס
√ ¢
=
61 + 10 37
61 − 10 37
−4 + 37
3
Teorema 13. Todo irracional cuadrático puede ser expresado como una
fracción continua periódica.
Demostración. Sea x o bien x0 cualquier irracional cuadrático de la forma
√
a+ b
donde a, b, c y d > 0 y c 6= 0;
x = x0 =
c
el entero b no es un cuadrado perfecto puesto que x es irracional entonces
multiplicando por |c| tenemos
³
√ ´
√
a + b . |c|
a.c + bc2
=
si c > 0 y
x=
c. |c|
c2
√
−a.c + bc2
x=
si c < 0
−c2
31
Ası́ puede escribirse x de la siguiente forma:
√
p0 + d
x0 =
donde q0 | d − p20 ; d, p, q0 ∈ Z y q0 6= 0
q0
d no es un cuadrado entero perfecto.
escribiendo x0 en esta forma podemos obtener una formula sensilla de su
desarrollo fraccionario continuado [a0 , a1 , . . .] .
Probaremos ahora que:
¯
¯ ai = [xi ]
¯
√
¯
¯ x = pi + d
¯ i
qi
¯
(11)
¯ pi+1 = ai qi − pi
¯
2
¯
¯ q = d − pi+1
¯ i+1
qi
ellas definen las sucesiones infinitas de los enteros pi , qi , ai e irracionales xi .
Hagamos a0 = [x0 ]. Si conocemos x1 , pi , qi , ai entonces se tiene
pi+1 = ai qi − pi
d − p2i+1
qi+1 =
qi
√
pi+1 + d
xi+1 =
qi+1
ai+1 = [xi+1 ]
Ahora aplicando inducción para probar que los pi y los qi son enteros tal que
qi 6= 0 y qi | d − p2i . Esto se cumple para i = 0.
si es verdadero en el i − ésimo paso se observa que:
pi+1 = (ai qi − pi ) ∈ Z
µ
¶
d − p2i+1
d − p2i
2
entonces qi+1 =
=
+ 2ai pi − ai qi ∈ Z
qi
qi
es más qi+1 6= 0 (pues si lo fuera se tendrı́a d = p2i+1 mientras que d no es
cuadrado perfecto).
d − p2i+1
Finalmente se tiene qi =
de modo que qi+1 | d − p2i+1
qi+1
32
A continuación se puede verificar que
xi − a i =
=
=
=
√
√
−ai qi + pi + d
d − pi+1
=
qi
qi
2
d−p
³√ i+1 ´
qi
d + pi+1
q
√ i+1
d + pi+1
1
xi+1
la cual verifica (11.1) y ası́ se ha probado que x0 = [a0 , a1 , . . .] ; con ai
definidos por (10).
Mediante x0i denotemos el conjugado de xi es decir
√
pi − d
0
xi =
qi
0
x
h
n−1 + hn−2
entonces x00 = n0
xk hk−1 + hk−2
Tomando conjugados y resolviendo para x0n se obtiene:
 0

x0 −hn−2
kn−2  kn−2 
x0n = −
0
kn−1 x0 −hn−1
kn−1
si n → ∞ entonces
hn−1
kn−1
y
hn−2
−→ x0
kn−2

∴

x00 −hn−2
kn−2
x00 −hn−1
kn−1

 −→ 1
Ası́ que para un n lo suficientemente grande; sea n > N ; N fijo la fracción
del paréntesis es positiva y x0n es negativo.
Pero xn > 0 para todo n ≥ 1 entonces xn − x0n > 0 ∀n > N
√
√
pn + d pn − d
−
>0
qn
qn
√
2 d
ie
>0
qn
33
de aquı́ qn > 0 ∀ n > N.
También se tiene que:
qn qn+1 = d − p2n+1 ≤ d;
qn ≤ qn qn+1
√ ≤d
2
2
pn+1 < pn+1 + qn qn+1 = d; |pn+1 | < d
para n > N . Como d > 0 entonces qn y pn+1 pueden asumir solo un número
fijo de valores posibles para n > N .
De aquı́ que pn y qn pueden asumir solo un número fijo de valores posibles
entonces existen j y k enteros tales que j 6= k donde pj = pk y qj = qk , esto
implica que xj = xk y
x0 = [a0 , a1 , . . . aj−1 , aj , aj+1 , . . . , ak−1 ]
√
√ .
√
Teorema 14. Sea x = r + s k y x = r − s k r + s k es un irracional
cuadrático. Si x > 1 y −1 < x < 0, entonces la fracción continua que
representa a x es una fracción continua periódica pura.
Demostración.
Primero vamos a suponer que x > 1 y −1 < x̄ < 0 se tiene


ai = [xi ]
1
(12)
xi+1 =

xi − ai
tomando conjugados en (11) obtenemos
1
x̄i+1
= x̄i − ai .
Tenemos que
ai ≥ 1 ∀ i ≥ 0 pues x0 > 1 de aquı́ que si x̄ < 0 entonces
tiene −1 < x̄i+1 < 0.
Suponiendo que −1 < x̄0 < 0.
Por inducción se tiene que −1 < x̄i+1 < 0 ∀i ≥ 0.
De aquı́:
1
x̄i = ai +
x̄i+1
se tiene que
0<−
1
x̄i+1
·
− ai < 1; ai = −
34
1
x̄i+1
¸
1
x̄i+1
< −1 y se
Ahora bien x es un irracional cuadrático de modo que: xj = xk para algunos
j, k que están en Z con 0 < j < k entonces se tiene x̄j = x̄k y
·
¸
1
aj−1 = −
= ak−1
x̄j
1
1
= ak−1 +
= xk−1
xj−1 = aj−1 +
xj
xk
Ası́ que xj = xk implica xj−1 = xk−1 . Una iteración de multiplicidad j de
esta ultima implicación nos da que x0 = xk−j y se tiene
x = x0 = [a0 , a1 , . . . , ak−j−1 ] .
¥
Teorema 15. Si k es un entero positivo que
√ no es un cuadrado perfecto
entonces la fracción continua que representa k es una fracción continua periódica cuyo periódo comienza despues del primer término, especı́ficamente:
√
£
¤
k = a0 , a1 , a2 , ..., an−1 , 2a0
√
Demostración. Sea √k = [a0 , a1√
, ...], como a0 es el mayor
√
√ entero menor que
k tenemos ³
que a0 < ´ k ⇒ a0 + k > 1 y −1 < a0 − k < 0, entonces por
√
Teorema 14 a0 + k es una fracción continua periódica pura. Por tanto
√
£
¤
x = a0 + k = 2a0 , a1 , a2 , ..., an−1
√
£
¤
k = −a0 + 2a0 , a1 , a2 , ..., an−1
£
¤
= −a0 + 2a0 , a1 , a2 , ..., an−1 , 2a0
= [a0 , a1 , . . . , an−1 , 2a0 ]
¥
Teorema 16. (Simetrı́a) El periodo de cada fracción continua, sin √
incluir
2a0 es una expresión simetrica entonces toda fracción contina para k; tal
que k no es cuadrado perfecto, es de la forma:
¤
£
a0 , a1 , a2 , a3 , . . . , a3 , a2 , a1 , 2a0
35
Teorema 17. Si p es un entero
la fracción continua simple
p positivo,£ entonces
¤
periódica que representa a p2 + 1 es p, 2p
Demostración.
Sea p un entero positivo entonces
³p
´
p
1
p2 + 1 = p +
p2 + 1 − p = p +
1
p
2
p +1−p
1
=p+ p
p2
+1+p
1
=p+
1
=p+
p
1
p2
´
+1−p
1
=p+
1
1
2p +
2p +
³p
2p + p
p2 + 1 − p
1
p2 + 1 + p
1
£
¤
= p, 2p , p > 0
Teorema 18. Si p es un entero positivo mayor hque 1, entonces lai fracción
p
continua periódica que representa a p2 − 1 es p − 1, 1, 2 (p − 1)
Demostración.
Sea p un entero positivo / p > 1 ⇒ como p > 1 ⇒ p − 1 > 0 ⇒
hp
i
p
2
2
p − 1 = (p − 1) +
p − 1 − (p − 1)
hp
i
p
p2 − 1 = (p − 1) +
p2 − 1 + (1 − p)
1
1
=p−1+
p
p2 − 1 + (1 − p)
1
=p−1+ p
p2 − 1 + p − 1
2 (p − 1)
¥
36
Ejemplo 16 . Verificar el teorema 14 para cada uno de los irracionales
cuadráticos
√
(i) 3 + 10
Solución.
Veamos: x = 3 +
√
10 es un irracional cuadrático.
√
Como x > 1 y x = 3 − 10 / − 1 < x < 0, entonces la fracción
continua que representa a x es una fracción continua periódica pura.
√
√
3 + 10 ⇒ 6 ≤ 3 + 10 < 7 entonces
³
√
√ ´
√
3 + 10 = 6 + 3 + 10 − 6 = 6 + 10 − 3
=6+
1
1
¡√
¢
=6+
1
6
+
10
−
3
√
10 − 3
1
=6+
6+ √
Por tanto 3 +
√
(ii) 2 + 7
√
1
10 + 3
£ ¤ £ ¤
10 = 6, 6 = 6
Solución
√
Entonces 4 ≤ 2 + 7 < 5 ⇒
³
√
√ ´
√
2+ 7=4+ 2+ 7 −4=4+ 7−2
=4+
1
1
=4+
1
1
√
¢
1 + ¡√
7−2
3 7+1
6
1
=4+
1
1+
1
1+
1+
Por tanto 2 +
√
£
¤
7 = 4, 1, 1, 1
37
1
¡√
¢
4+
7−2
√
1+ 2
(iii)
2
Solución
Veamos:
√
1+ 2
(a)
>1
2
√
1− 2
⇒ −1 < x < 0
(b) x =
2
√
√
1+ 2
1+ 2
⇒1≤
< 3 entonces
2
2
Ã
!
√
√
1+ 2
1+ 2−2
=1+
=1+
2
2
1
1
4+
1+
1
2
√
2−1
√
1+ 2 £ ¤
Por tanto
= 1, 4
2
Ejemplo 17. Demostrar que si p esp
un entero positivo,
£
¤entonces la fracción
2
continua periódica que representa a p + 2 es p, p, 2p
Demostración. Sea p ≥ 1 se tiene
³p
´
p
1
p2 + 2 = p +
p2 + 2 − p = p +
1
p
2
p +2−p
1
1
p
=p+
=p+ p
2
2
p +2+p
p +2−p
p+
2
2
1
1
=p+
=p+
1
1
p+
p+ p
2
p2 + 2 + p
p
2
p +2−p
1
=p+
1
p+
1
2p +
1
p
2
p +2−p
38
Por tanto
p
£
¤
p2 + 2 = p, p, 2p
Ejemplo 18. Demostrar que si p esp
un entero positivo,
entonces
la fracción
£
¤
2
continua periódica que representa a p + 2p es p, 1, 2p
Demostración. Sea p ≥ 1 entonces
³p
´
p
1
p2 + 2p = p +
p2 + 2p − p = p +
1
p
2
p + 2p − p
=p+ p
1
p2 + 2p + p
2p
=p+
1
=p+
1
=p+
1
2p
1+
1
p
p2 + 2p − p
1+
2p
p
p2 + 2p − p
1
=p+
1+ p
p
p2 + 2p − p
p2 + 2p + p
1
1
1+
1
1
2p +
p
p2 + 2p − p
Por tanto
1
=p+
1
=p+
1
2p
1+
p
£
¤
p2 + 2p = p, 1, 2p
39
1+
2p +
1
³p
p2 + 2p − p
´
Teorema 19. Sea d un entero positivo que no sea cuadrado perfecto y
√
hn
sea
los convergentes para el desarrollo fraccionario continuado de d.
kn
√
Supónganse que el entero N satisface |N | < d entonces cualquier solución
positiva de x2 − dy 2 = N con (x, y) = 1 es x = hn y y = kn para algún
entero positivo n.
Demostración.
Sean x, y números positivos tales que (x, y) = 1 y x2 − ρy 2 = σ donde
√
√
ρ es irracional y 0 < σ < ρ; σ y ρ números reales
De la ecuación x2 − ρy 2 = σ se tiene
√
√
(x + ρ.y) (x − ρ.y) = σ
dividiendo por y entonces tenemos:
¡
√ ¢
x + ρ.y
σ
= ¡
√ ¢
y
y x − ρ.y
x √
σ
− ρ= ¡
√ ¢
y
y x − ρ.y
(13)
De la ecuación se tiene que
√
ρ
σ
x √
0< − ρ= ¡
√ ¢< ¡
√ ¢
y
y x + ρ.y
y x + ρ.y
entonces
√
ρ
x √
¡
0< − ρ<
√ ¢
y
y x + ρ.y
=
y
yx
√
ρ
√
ρ
√
ρ
³ √ ´
x+ ρ.y
√
ρ
<
yx
√
ρ
1
1
h
=
+ y2
y2 1 +
1
+ y2
x
√
i
(14)
y ρ
x √
x
Como se tiene que − ρ > 0 implica que √ > 1.
y
y ρ
Por lo tanto
¯
¯
¯x √ ¯
¯ − ρ¯ < 1
por
(14)
¯ 2y 2
¯y
x
es un convergente en el desarrollo por fracciones
Por el teorema 11.
y
√
continuas de ρ.
40
• Si N > 0; tomamos σ = N ; ρ = d; x = s; y = t y el teorema se cumple.
• Si N < 0; entonces
µ ¶
N
1 2
t −
s =− ;
d
d
2
aquı́ se toma
σ=−
N
1
; ρ = ; x = s y y = t.
d
d
t
1
es un convergente en el desarrollo de √ . El
s
d
s
teorema (20) nos demuestra que es un convergente en el desarrollo
t
√
de d.
Se encuentra que
¥
hn
Corolario Sea d un entero positivo que no sea cuadrado perfecto y sea
kn
√
los convergentes para el desarrollo fraccionario continuado de d. Entonces
existe solución de la ecuación x2 − dy 2 = ±1 (Ecuación de Pell).
1
Teorema 20. El n − ésimo convergente de
es el recı́proco del (n − 1) −
x
ésimo convergente de x, si x es un cualquier número real mayor que 1.
Demostración.
1
hn
h0
Se tiene x = [a0 , a1 , . . .] y
= [0, a0 , a1 , . . .] si
y n0 son los converx
kn
kn
1
gentes para x y respectivamente entonces:
x
h00 = 0; h01 = 1; h02 = a1
k0 = 1; k1 = a1
..
.
0
hn = an−1 h0n−1 + h0n−2
kn−1 = an−1 kn−2 + kn−3
k00 = 1; k10 = a0 ; k20 = a0 a1 + 1
h0 = a0 ; h1 = a0 a1 + 1
..
.
0
0
0
kn = an−1 kn−1
+ kn−2
hn−1 = an−1 hn−2 + hn−3
La prueba se completa por inducción.
¥
41