Procesos de Poisson

Procesos de Poisson
FaMAF
22 de marzo 2012
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Distribución exponencial
Definición
Una v.a. X con función de densidad dada por
fλ (x) = λ e−λx ,
x > 0,
para cierto λ > 0 se dice una v.a. exponencial con parámetro λ.
1
λ
I
E[X ] =
I
Var (X ) =
1
λ2
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Propiedades
Z
I
I
t
exp(−λx) t
|0 = 1 − exp(−λt)
−λ
0
P(X > t) = 1 − [1 − exp(−λt)] = exp(−λt)
F (t) =
λ exp(−λx)dx = λ
I
Una variable aleatoria con distribución exponencial tiene falta de
memoria.
P(X > s + t | X > s) = P(X > t).
R∞
λ exp(−λx)dx
exp(−λs + t)
=
= P(X > t).
P(X > s+t | X > s) = Rt+s
∞
exp(−λs)
λ
exp(−λx)dx
s
I
Son las únicas v.a. continuas con falta de memoria.
I
El análogo en el caso discreto son las v.a. geométricas.
I
Si X ∼ E(λ), entonces c X ∼ E( 1c λ).
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Variable aleatoria Gamma
Definición
Una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad
f (t) = λe−λt
(λt)n−1
(n − 1)!
se dice una variable aleatoria gamma con parámetros (n, λ).
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Variable aleatoria gamma (n, λ)
Corolario
La suma de n variables aleatorias exponenciales independientes,
cada una de ellas de parámetro λ, es una variable aleatoria Gamma
de parámetro (n, λ).
I
Γ(2, 2)
I
Γ(5, 2)
I
Γ(1, 2) ∼ E(2)
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Procesos estocásticos
Definición
Un proceso estocástico es una sucesión de variables aleatorias
observadas sobre el mismo espacio muestral.
Ejemplo
Supongamos tener una pieza de material radioactivo, el experimento
consiste en observar cuantas partículas se desintegran en un
intervalo de tiempo, y el tiempo que tarda en desintegrarse cada
partícula. El número de partículas que se desintegran en [0, t] es una
variable aleatoria N(t) y el tiempo en que se desintegra la n-esima
partícula Dn también es una variable aleatoria. La colección de
variables forman procesos estocásticos realcionados.
Ejemplo
Consideremos llamadas telefónicas que llegan a una central
telefónica y sea Dn el tiempo en que la n-esima llamada ingresa a la
central y N(t) el número de llamadas que ingresa en un intervalo de
tiempo [0, t].
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Proceso de Poisson homogéneo
N(t),
t ≥ 0,
es un proceso de Poisson homogéneo de razón λ, λ > 0, si:
I
N(0) = 0 proceso comienza en cero
I
incrementos independientes Para cada n ≥ 1 y cada partición
0 ≤ t0 < t1 < · · · < tn se tiene que N(t0 ), N(t1 ) − N(t0 ), . . . ,
N(tn ) − N(tn−1 ) son variables aleatorias independientes.
I
incrementos estacionarios Para cada t ≥ 0, s > 0, se cumple
que la distribución de N(t + s) − N(t) es igual a la de N(s).
I
limh→0
P(N(h) = 1)
= λ,
h
I
limh→0
P(N(h) ≥ 2)
= 0.
h
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Incrementos independientes
N(tn ) − N(tn−1 )
N(t1 )
0
1
0
t1
1
0
11
00
t2 t3
11
00
tn−1
1
0
tn
I
N(t1 ): nro. de llegadas hasta t = t1 .
I
N(tn ) − N(tn−1 ): nro. de llegadas entre tn−1 y tn .
I
En dos intervalos de tiempo disjuntos, las variables ”número de
llegadas” son independientes.
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Incrementos estacionarios
N(s)
0
N(t + s) − N(t)
1
0
s
11
00
t
1
0
t +s
La distribución del número de llegadas depende sólo de la longitud
del intervalo.
N(s) ∼ N(t + s) − N(t),
s < t.
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Ocurrencia de 1 o más eventos
I
La probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo de
tiempo pequeño es proporcional al tamaño del intervalo.
Constante = λ.
P(N(h) = 1)
lim
= λ,
h→0
h
I
La probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos en un
intervalo muy pequeño es cero.
lim
h→0
P(N(h) ≥ 2)
= 0.
h
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Consecuencias
Proposición
Supongamos que N(t) es el número de llegadas en el intervalo de
tiempo [0, t], que forma un proceso de Poisson de tasa λ. Entonces,
la distribución de cada N(t) es Poisson de tasa λt
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La variable aleatoria N(t)
n intervalos
0
1
0
0
1
0
1
01
1
0
1
00000
1
0
1
00000000
11111111
1111
01
1
0
0
1
0
1
0
t
n
2t
n
1
0
0
01
1
0
1
01
1
0
t
I
Para probarlo, dividamos el intervalo en n pedazos, cada uno de
largo nt .
I
En cada sub-intervalo, el número de llegadas es una v.a.
Bernoulli, con p = λ nt
I
El número total de llamadas en [0, t] es el número de
sub-intervalos que contienen una llegada.
I
La independencia de los sub-intervalos implica que el número
total de llegadas N(t) es binomial de parámetro p = λ nt .
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La variable aleatoria N(t)
I
Cuando n tiende a infinito, tenemos
k n−k
n
λt
λt
pN(t) (k ) ∼ lim
1−
n→∞ k
n
n
k n−k
λt
n(n − 1) . . . (n − k + 1) λt
1−
n→∞
k!
n
n
n
−k
k
n(n − 1) . . . (n − k + 1)
λt
λt
(λt)
= lim
1−
1
−
n→∞ k !
n
nk
n
n
−k k
(λt)
λt
λt
1
2
k −1
=
lim 1 −
1−
1−
1−
... 1 −
k ! n→∞
n
n
n
n
n
=
lim
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Poisson
I
Observando que
lim
n→∞
λt
1−
n
n
= e−λ
y que los otros términos a la derecha del límite tienen límite 1, se
obtiene
(λt)k −λt
pN(t) (k ) =
e
k!
donde λt, esa constante que supusimos existe, es la tasa de
llegadas en el intervalo [0, t].
I
N(t) es una variable con distribución Poisson de tasa λt.
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Tiempos entre llegadas
e1
X1
1
0
e2 e3
X2
1
0
11
00
X3
en−1
en
11 Xn 0
00
1
I
ei : tiempo en que ocurre el evento i.
I
X1 : tiempo transcurrido hasta el primer evento.
Xj : tiempo transcurrido entre el (j − 1)-ésimo evento y el j-ésimo,
para j > 1.
I
{Xj } es la sucesión de tiempos entre llegadas
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Distribución de los tiempos entre llegadas
Proposición
Las variables aleatorias X1 , X2 , . . . , son v.a. independientes,
igualmente distribuidas, con distribución exponencial con parámetro
λ.
Xi ∼ E(λ),
i = 1, 2, . . . .
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Tiempo entre llegadas
Para probar esto veamos que
I
X1 es una variable aleatoria exponencial de parámetro λ.
P(X1 > t) = P(N(t) = 0) = e−λt
I
P(X2 > t | X1 = s)
= P(0 eventos en (s, s + t] | X1 = s)
= P(0 eventos en (s, s + t])
= e−λ t
X2 ∼ E(λ), y es independiente de X1 .
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Tiempo entre llegadas
Sea s = s1 + · · · + sj−1 : tiempo hasta el evento j − 1.
P(0 eventos en (s, s + t]
|
X1 = s1 , . . . , Xj−1 = sj−1 )
(incrementos independientes) = P(0 eventos en (s, s + t])
(incrementos estacionarios) = e−λt
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Sn
El tiempo hasta el n-esimo evento es Sn =
n
X
Xj , una suma de
j=1
exponenciales independientes por lo cual tiene densidad
fn (t) = λe−λt
(λt)n−1
(n − 1)!
Gamma de parámetros (n, λ).
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Conclusion
N es un proceso de Poisson con tasa λ entonces para cada t, N(t),
el número de llegadas, es una variable Poisson con tasa λt, Xn el
tiempo entre n-esima llegada y la anterior, es exponencial de tasa λ y
Sn el tiempo hasta la n esima legada es Gamma de parámetros
(n, λ).
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El proceso de Poisson no homogéneo
N(t),
t ≥0
es un proceso de Poisson no homogéneo con función de intensidad
λ(t), t ≥ 0, si:
1. N(0) = 0
2. para cada n ≥ 1 y cada partición 0 ≤ t0 < t1 < · · · < tn se tiene
que N(t0 ), N(t1 ) − N(t0 ), . . . , N(tn ) − N(tn−1 ) son variables
aleatorias independientes.
3. limh→0
P(N(t + h) − N(t) = 1)
= λ(t),
h
4. limh→0
P(N(t + h) − N(t) = 1) ≥ 2)
= 0.
h
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Valor medio del proceso
Z
m(t) =
t
λ(s) ds
0
I
Si λ(t) = λ, constante, entonces m(t) = λ · t.
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Número de eventos en (t, t + s]
Proposición
Para cada t ≥ 0 y s > 0 se tiene que N(t + s) − N(t) es una variable
aleatoria Poisson con media
Z t+s
m(t + s) − m(t) =
λ(x) dx.
t
Corolario
Si λ(t) = λ (es constante), N(t + s) − N(t) es una variable aleatoria
Poisson con media λt.
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Poisson homogéneo y Poisson no homogéneo
I
Existen eventos del tipo A y eventos del tipo B.
I
I
Independientemente de lo que ocurrió antes, si ocurre un evento
del tipo A entonces ocurre uno del tipo B con probabilidad p(t).
N(t)= número de eventos del tipo A en [0, t]
I
A(t)= número de eventos del tipo B en [0, t].
Proposición
Si (N(t))t≥0 es un proceso de Poisson homogéneo con razón λ > 0,
entonces (A(t))t≥0 es un proceso de Poisson no homogéneo con
función de intensidad λ(t) = λ · p(t), ∀t > 0.
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Poisson homogéneo y Poisson no homogéneo
I
El proceso A(t) cumple con las condiciones de comenzar en el
cero, tener incrementos independientes y probabilidad nula de
observar instantáneamente mas de un evento.
I
Para ver la tasa instantánea de observar un evento
P(1 evento del tipo B en [t, t+h]) = P(un evento y es de tipo B)+
+P(dos o mas eventos y exactamente uno es de tipo B) ∼ λhp(t)
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