Sistemas de colas: clase 1

Sistemas de colas: clase 1
Amedeo R. Odoni
10 de octubre de 2001
Temas de teoría de colas
9. Introducción a las colas: ley de Little; M/M/1
10. Colas de nacimiento y muerte de Markov
11. Cola M/G/1 y extensiones
12. Colas de prioridad: representaciones de estados
13. Precio de congestión
14. Comportamiento dinámico de las colas
15. Sistema de colas hipercubo
16. Motor de inferencia de colas: psicología
de las colas
Esquema
• Introducción a los sistemas de colas
• Representación conceptual de
•
•
•
•
•
•
•
los sistemas de colas
Códigos para modelos de colas
Terminología y notación
Ley de Little y relaciones básicas
Procesos de nacimiento y muerte
Sistema de colas M/M/1
Diagramas de transición
Probabilidades de estado estacionario
Colas
• La teoría de colas es la rama de la investigación
operativa que estudia las listas de espera
(retardo/congestión)
• Un sistema de colas está formado por un origen de
usuario, una cola de espera y posibilidades de servicio
con uno o varios servidores paralelos idénticos
• La red de colas es un conjunto de sistemas de colas
conectados entre sí
• Parámetros básicos de un sistema de colas:
Tasa de demanda
Capacidad (tasa de servicio)
Tiempos de demanda entre llegadas/Tiempos de servicio
Capacidad y disciplina de la cola (finita/infinita;
FIFO/FCFS, SIRO, LIFO, prioridades)
Numerosos detalles (retroalimentación, “jockeying”, etc.)
Sistema de colas genérico
Servidores
C
Punto de llegada
al sistema
Origen
de usuarios/
clientes
C
Punto de salida
del sistema
C
Cola
C C C C C C
C
C
C
C
Proceso
de llegadas
Tamaño de
origen de usuario
Disciplina de cola
y capacidad
Proceso de servicio
Número de servidores
Red de colas formada por
cinco sistemas de colas
Sistema
de colas
2
Llegada
Sistema
de colas
1
Punto
de elección de
de los usuarios
Sistema
de colas
3
Punto en el que los
usuarios se fusionan
Sistema
de colas
4
+
Sistema
de colas
5
Salida
Aplicaciones de la teoría de colas
• Algunos ejemplos de colas:
_ Facturación en aeropuertos
_ Cajeros automáticos
_ Restaurantes de comida rápida
_ Esperas en líneas de atención telefónica
_ Intersecciones de tráfico
_ Peajes
_ Aviones en espera para aterrizar
_ Llamadas a la policía o a compañías de servicios públicos
• Estándares de calidad del servicio (LOS)
• Análisis económicos que incluyan comparaciones
entre costes de explotación, inversiones de capital
y LOS
Importancia de los modelos de colas en
los análisis de inversiones de capital
Coste
Coste total
Coste
óptimo
Coste de crear la capacidad
Coste de pérdidas por esperas
Capacidad“óptima”
Capacidad del aeropuerto
Ventajas e inconvenientes
de la teoría de colas
• Los modelos de colas implican siempre aproximaciones
a la realidad y una simplificación de ésta
• Los resultados permiten apreciar el orden de importancia,
los cambios con relación a un punto de referencia y las
tendencias más probables
• Resultados "cerrados" limitados casi siempre a situaciones de“estado
estacionario" y obtenidos sobre todo (aunque no exclusivamente) para
su aplicación a sistemas de nacimiento y muerte y de “fase”
• Proporciona algunas cotas útiles para sistemas más generales
en estado estacionario
• Cada vez hay más soluciones numéricas disponibles
para sistemas dinámicos
P
Código para modelos de colas:
A/B/m
Distribución del
tiempo de servicio
Sistema de colas
Número de servidores
–/–/–
Distribución del
tiempo entre llegadas
Usuarios
C
C
CCCCCC
C
C
Cola
S
S
S
S
Posibilidad
de servicio
• Algunos códigos de letras estándar para A y B:
_ M: Exponencial negativa
_ D: Determinista
_ Ek:Distribución de Erlang en orden k
_ G: Distribución general
• Modelo tratado en esta clase: M/M/1
Terminología y notación
• Estado del sistema: número de usuarios
•
•
•
•
•
que hay en el sistema
Longitud de la cola : número de usuarios
en espera de servicio
N(t) = número de usuarios en el sistema
en un tiempo t
Pn(t) = probabilidad de que N(t) sea igual a n
λn: tasa media de llegada de nuevos
usuarios cuando N(t) = n
µn: tasa de servicio media (combinada)
cuando N(t) = n
Terminologia y notación (2)
• Estado transitorio : el estado del sistema en t
•
•
•
•
•
depende del estado en t = 0 o en t
Estado estacionario : el sistema es independiente
del estado inicial y de t
m: número de servidores (canales de
servicio paralelos)
Si λ n y la tasa de servicio por servidor ocupado
son constantes, λ n=λ, µn= min (nµ, mµ)
Tiempo previsto entre llegadas= 1/λ
Tiempo de servicio previsto= 1/µ
Algunos valores previstos importantes
en estado estacionario
• Datos:
_
_
λ = tasa de llegadas
µ = tasa de servicio por canal de servicio
• Incógnitas:
L = número previsto de usuarios en el sistema
_ Lq = número previsto de usuarios en cola de espera
_ W = tiempo previsto de permanencia en el sistema
por usuario (W = E(w))
_ W q = tiempo previsto de espera en cola por usuario (W q =
E(wq))
• 4 incógnitas ⇒ Necesitamos 4 ecuaciones
_
Ley de Little
Número
de usuarios
A(t): llegadas acumuladas al sistema
C(t): servicios completos acumulados en el sistema
A(t)
N(t)
C(t)
t
T
LT
∫
= 0
N (t )dt
T
T
T
A(T ) ∫0 N (t )dt
=
⋅
= λT ⋅ WT
T
A(T )
Tiempo
Correlaciones entre L, L q, W, Wq
• 4 incógnitas: L, W, L q,Wq
• Necesitamos 4 ecuaciones y tenemos 3:
_
_
L = λW (Ley de Little)
Lq = λWq
1
_ W = Wq +
µ
• Conociendo cualquiera de los 4 valores previstos,
podremos hallar los otros 3
• Hallar el valor de L será más o menos difícil dependiendo
del tipo de sistema de colas disponible
∞
• L = ∑ nPn ( Pn : probabilidad de que haya n clientes en el sistema)
n =0
Sistemas de colas de nacimiento y muerte
1.
2.
3.
4.
5.
m paralelo, servidores idénticos.
Colas de capacidad infinita.
Cuando hay n usuarios en el sistema (en
cola y en servicio), las llegadas son según
Poisson a una tasa λ n por unidad de tiempo.
Cuando hay n usuarios en el sistema, las
salidas son según Poisson a una tasa de
µ n por unidad de tiempo.
Disciplina FCFS.
ii
M/M/1: Vista de diagrama de transición
entre estados desde dos puntos
•
Desde el punto 1:
?P0 = µP1 (λ + µ ) P1 = λP0 + µP2
λ
λ
0
•
λ
λ
…
2
1
n-1
λ
λ
λ
µ
µ
µ
µ
(λ + µ ) Pn = λPn−1 + µPn+1
n+1
n
µ
µ
µ
Desde el punto 2:
λ
λ
0
λ
µ
λ
…
2
1
µ
λPn = µPn+1
λP1 = µP2
?P0 = µP1
µ
n-1
µ
n+1
n
µ
λ
λ
λ
µ
µ
M/M/1: Derivación de P0 y Pn
2
P1 =
Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
Paso 4:
n
λ
λ
λ
P0 , P2 =   P0 , L, Pn =   P0
µ
µ
µ
n
λ 
P
=
1
,
⇒
P
∑
n
0 ∑
 µ  = 1 ⇒ P0 =
n= 0
n= 0 

∞
∞
1
λ
 
∑
n =0  µ 
∞
n
n
∞
λ
λ
1− ρ ∞
1
n
ρ = , luego ∑   = ∑ ρ =
=
(Q ρ < 1)
µ
µ
1
−
ρ
1
−
ρ
n= 0 
 n= 0
∞
P0 =
1
∞
n
ρ
∑
n= 0
= 1− ρ
y
Pn = ρ n (1 − ρ )
M/M/1: Derivación de L, W,Wq, y Lq
∞
∞
n= 0
n =0
∞
∞
• L = ∑ nPn =∑ nρ (1 − ρ ) = (1 − ρ )∑ nρ = (1 − ρ ) ρ ∑ nρ n−1
n
n= 0
n
n =1
d  ∞ n
d  1 
= (1 − ρ ) ρ


 ∑ ρ  = (1 − ρ ) ρ
dρ  n =0 
dρ  1 − ρ 
λ
 1 
ρ
λ
µ

= (1 − ρ ) ρ 
=
=
=
2 
 (1 − ρ )  (1 − ρ ) 1 − λ µ µ − λ
L
λ
1
1
• W= =
⋅ =
λ µ −λ λ µ −λ
• Wq = W −
1
1
1
λ
=
− =
µ µ − λ µ µ (µ − λ )
λ
λ2
• Lq = λ Wq = λ ⋅
=
µ (µ − λ ) µ ( µ − λ )